LA INCORPORACIÓN DEL USO DEL SOFTWARE GEOGEBRA EN EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

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1 LA INCORPORACIÓN DEL USO DEL SOFTWARE GEOGEBRA EN EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE PITÁGORAS JAVIER FERNANDO ÁLVAREZ DÍAZ HAYDI XIMENA BARBOSA RINCÓN LUIS GABRIEL FUENTES MORENO Trabajo de Grado en la Modalidad de Profundización como Requisito Parcial para Optar al Título de Magister en Educación. Director LIGIA INÉS GARCÍA CASTRO Licenciada, M.Sc, Ph.D (Cand) UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MODALIDAD PROFUNDIZACIÓN IBAGUÉ - TOLIMA 2013

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3 AGRADECIMIENTOS Educar no es solo una forma de ganarse la vida; es, sobre todo, una forma de ganar la vida de los otros. Miguel Ángel Santos Guerra Agradecemos a la Universidad del Tolima, a los docentes, Luz Stella García, Marco Raúl Mejía, Luis Alberto Malagon Plata y demás educadores que hicieron parte de nuestra formación en cada uno de los niveles académicos de la Maestría y en especial a nuestra amiga, maestra y asesora de Trabajo de Grado, Ligia Inés García Castro por sus valiosas enseñanzas que permitieron aproximarnos a una propuesta alternativa de la evaluación. También por su paciencia, su amor y su compromiso para con la educación mostrándonos que otro tipo de país si es posible. Además, agradecemos a nuestros compañeros docentes que enriquecieron esta investigación con sus conocimientos y aportes; también a nuestros estudiantes que son la razón de ser de esta bella profesión. 3

4 DEDICATORIA Qué será del Estudiante que no supere a su Maestro, y del Maestro que no recuerde que fue estudiante? Los autores Dedicamos esta investigación a todos los maestros y maestras que creen que con su trabajo y su reflexión pueden contribuir a construir un nuevo país justo, libre y solidario. A Dios, por darnos un espíritu inconforme, guiarnos y permitirnos consolidar nuestros propósitos en este mundo. A los estudiantes que han sido nuestros mejores maestros. A nuestras familias por comprender y apoyar nuestra ausencia durante este maravilloso tiempo de aprendizaje. En fin a todos los que con sus esfuerzos, paciencia y apoyo hicieron posible la alegría de este triunfo. JAVIER FERNANDO ALVAREZ DIAZ A mi madre: Alicia Díaz de Álvarez A mis hijas: Luna y Estrella Álvarez A mis hermanas: Luz y Lorena Álvarez 4

5 HAIDY XIMENA BARBOSA RINCON A mis padres: Julio y Laura A mi hija: Angie Lorena Rivera A mi hermana: Gloria Esperanza Barbosa LUIS GABRIEL FUENTES MORENO A mi madre: Amira Moreno Triviño A mi hija: Gabriela Fuentes A mis hermanos: Mario y Lisandro A mi novia: Yuliana 5

6 CONTENIDO Pág. INTRODUCCION DESCRIPCION DEL PROBLEMA INCORPORACIÓN DE LA TECNOLOGÍA COMPUTACIONAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN COLOMBIA JUSTIFICACIÓN ANTECEDENTES MARCO TEÓRICO INCIDENCIA DE LAS TIC S GEOGEBRA TEOREMA DE PITÁGORAS PREGUNTA PROBLEMA 37 6

7 6. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS MARCO METODOLÓGICO ENFOQUE Y MÉTODO TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN Análisis documental Exploración de Ideas Previas Intervención en el Aula DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA Planeación de la Experiencia Procedimiento Plan de análisis ANÁLISIS Consideraciones para el análisis de datos 45 7

8 7.4.2 Etapas para el análisis Métodos de análisis ANÁLISIS DE RESULTADOS CONCLUSIONES RECOMENDACIONES 66 REFERENTES 67 8

9 LISTA DE FIGURAS Pág. Figura 1. Propiedades y características del programa Geogebra 29 Figura 2. Ejemplo de actividad en hojas de trabajo 33 Figura 3. Representación y formula del Teorema de Pitágoras 34 Figura 4. Demostración de Euclides 35 Figura 5. Demostración de Bhaskara 36 Figura 6. Hoja de trabajo realizada en el aula por un estudiante 47 Figura 7. Lenguaje geogebra 48 Figura 8. Interpretacion de un estudiante sobre un angulo. 48 Figura 9. Interpretacion de un estudiante sobre una figura geometrica 49 Figura 10. Ejemplo de espacio proyectivo 49 Figura 11. Fragmento hoja de trabajo sobre el cuadrado 50 Figura 12. Fragmento de una hoja de trabajo. Interpretacion 50 Figura 13. Lenguaje matemático 50 9

10 Figura 14. Representaciones hechas por los estudiantes 51 Figura 15. Uso de las representacines y el elnguaje matematico 52 Figura 16. Representación a la hora solucionar un problema 53 Figura 17. Fragmento de una hoja de trabajo 54 Figura 18. Interpretación sobre el área de un cuadrado 54 Figura 19. Resultados sobre el area del cuadrado 55 Figura 20. Interpretación de una pregunta 56 Figura 21. Respuesta a una pregunta abierta 56 Figura 22. Respuesta a preguntas 57 Figura 23. Respuesta a una pregunta sobre áreas y cuadrados 58 Figura 24. Hoja de trabajo del Teorema de Pitágoras 59 Figura 25. Actividad en una tabla y pregunta abierta 60 Figura 26. Respuestas sobre relación del Teorema 61 Figura 27. Respuesta a una pregunta 61 Figura 28. Red semántica sobre la hoja de trabajo

11 Figura 29. Red semántica sobre la hoja de trabajo 2 62 Figura 30. Red semántica sobre la hoja de trabajo 3 62 Figura 31. Red semántica sobre la hoja de trabajo número

12 LISTA DE ANEXOS Pág. Anexo A. Instrumentos de indagación de ideas previas 73 Anexo B. Prueba diagnóstica 76 Anexo C. Hoja de trabajo 1 80 Anexo D. Hoja de trabajo 2 84 Anexo E. Hoja de trabajo 3 87 Anexo F. Hoja de trabajo 4 92 Anexo G. Construcción de ángulos en geogebra 95 Anexo H. Reunión de trabajo 96 Anexo I. Construcción de Triángulos en geogebra 97 Anexo J. Construcción de ángulos en geogebra 98 Anexo K. Construcción de ángulos en geogebra 99 ANEXO L. Hoja de inducción en Geogebra 100 ANEXO M. Construcción del Cuadrado en Geogebra 101 Anexo N. Asesoría

13 RESUMEN El trabajo de investigación La Incorporación del Uso del Software Geogebra en el Aprendizaje del Teorema de Pitágoras nace de la necesidad de aumentar la motivación de los estudiantes, en el aprendizaje de las matemáticas. Se intenta mostrar como los profesores con la ayuda de la tecnología pueden mejorar los ambientes de enseñanza para que la clase sea enriquecedora y les brinde de una manera más divertida los conocimientos en la materia. Para lograr esto, se delimitó el problema de incorporar el uso de software libre en el aprendizaje de las matemáticas en las instituciones educativas del municipio de Ibagué. Después, teniendo en cuenta la situación actual se realizó una experiencia pedagógica en 3 instituciones del municipio de Ibagué; se recolecto información a través de hojas de campo, fotografías, videos y pruebas diagnósticas; se definieron las siguientes categorías, para su posterior análisis con la ayuda del software atlas ti: Interpretación, Lenguaje Matemático, Desplazamiento, Lenguaje de Geogebra, Espacio Euclidiano, Espacio Proyectivo, Medida de Ángulos y Medidas de Longitud. Tras la revisión de la literatura, han resultado de interés para nuestra experiencia pedagógica los pensamientos de: Hohenwarter (2007); Preiner (2008), Balacheff (2000), De Guzmán (1991), Devlin (1997), Santos y Benítez (2003), García (2011), González- López (2001). Taeil (2007), lombardo, Caronía y Abildgaard (2012). Por ende, intentamos transmitir un sentimiento a profesores de matemáticas en niveles básicos y medios, para que busquen caminos que nos ayuden a evolucionar en nuestra forma de enseñar, con el fin de mejorar el aprendizaje de los estudiantes en esta asignatura y transformar la concepción que muchos tienen de ella, como lo plantea García (2011) buscar maneras de ser mejores maestros Palabras Claves: Geogebra, Pitágoras, Matemáticas, Software, Tecnología. 13

14 ABSTRACT The research Incorporating Geogebra Software Use the Pythagorean Theorem Learning comes from the need to increase student motivation in learning mathematics. It attempts to show how teachers with the help of technology can improve learning environments for the class is enriching and gives them a fun way to knowledge in the field. To achieve this, we defined the problem of incorporating the use of free software in the learning of mathematics in schools of Ibague. After taking into account the current situation was an educational experience in 3 schools of Ibague, some information was collected through field sheets, photographs, videos and diagnostic tests, the following categories were defined for further analysis with help the atlas ti software: Interpretation, Mathematical Language, Displacement, Geogebra Language, Euclidean Space, Projective Space, angles Measurements and length measurements. After reviewing the literature, have been of interest to our pedagogical experience: Hohenwarter (2007), Preiner (2008), Balacheff (2000), De Guzman (1991), Devlin (1997), Santos and Benitez (2003), Garcia (2011), González- López (2001), Taeil (2007), Lombardo, Caronia and Abildgaard (2012). Therefore, we try to convey a sense of mathematics teachers in basic and intermediate levels, that look ways to help us evolve our teaching, in order to improve student learning in this subject and transform the conception that many have of it, as suggested by Garcia (2011 ) find ways to be better teachers. Keywords: Geogebra, Pythagoras, Mathematics, Software, Technology. 14

15 INTRODUCCIÓN Esta investigación nace de la necesidad, como docentes de matemáticas de Educación Secundaria, de aumentar la motivación de los estudiantes por la asignatura de matemáticas, así como de mejorar su aprendizaje. Desde hace dos años se ha observado, en un alto porcentaje de nuestros estudiantes, la falta de interés por aprender los contenidos matemáticos que las instituciones educativas les brindan, muchas veces acompañado por problemas de aprendizaje. El desinterés no se refiere exclusivamente a las matemáticas, más bien es un asunto generalizado a todas las asignaturas, a lo largo de la etapa básica y media, donde este sentimiento lo percibe y manifiestan muchos docentes. Por eso, este estudio parte de muchos de estos interrogantes e inquietudes profesionales a la hora de la enseñanza de las matemáticas, en donde se han buscado poner en práctica herramientas teóricas, tecnológicas e informáticas para ayudar a la solución del problema. Se considera que es la hora de un cambio en las prácticas pedagógicas, a través de la aplicación de nuevas herramientas tecnológicas que permitan motivar aún más a los estudiantes; y en este sentido es de suma importancia la adquisición de software educativos que sean de fácil uso por parte de los maestros, y que ayuden a desarrollar las competencias generales y específicas de cada asignatura, pero especialmente de las Matemáticas, ya que se encuentran en un momento apropiado para tratar de mejorar las prácticas de enseñanza en beneficio propio y de los estudiantes. El presente trabajo presenta una propuesta pedagógica utilizando un software de geometría dinámica, para fortalecer el aprendizaje de las matemáticas en 3 instituciones educativas del municipio de Ibagué, a través de prácticas fáciles y divertidas, que permiten a los estudiantes desarrollar su pensamiento matemático, interactuando con la tecnología. 15

16 Se realizó con el fin de motivar a los estudiantes de educación básica secundaria y media, a emplear la tecnología para mejorar sus conocimientos en matemáticas de una manera fácil y divertida, debido a que los principales problemas que se tienen hoy en día en las aulas de clase, es la falta de interés de los estudiantes y las pocas herramientas didácticas y pedagógicas para el profesor, que ayuden a mejorar el ambiente escolar. Por eso el estudio se basó en el uso del programa Geogebra para el aprendizaje del teorema de Pitágoras a partir del análisis de hojas de trabajo y pruebas diagnósticas desarrolladas por estudiantes de grado séptimo de las instituciones: San Francisco, Liceo Nacional y Leónidas Rubio Villegas, apoyado en las siguientes categorías: Interpretación, Lenguaje Matemático, Desplazamiento, Lenguaje de Geogebra, Espacio Euclidiano, Espacio Proyectivo, Medida de Ángulos y Medidas de Longitud, que sirvieron para darle soporte teórico a los resultados del mismo. 16

17 1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA A pesar de que las matemáticas han evolucionado a través del tiempo, en el modo de explicarlas los profesores y en la forma de comprenderlas sus estudiantes, en las aulas de clase se presentan muchos inconvenientes por la falta de interés y motivación de los estudiantes por aprender las matemáticas, además se tienen la costumbre por parte del profesor de usar pocas herramientas didácticas y pedagógicas que ayuden a mejorar el ambiente escolar. Otro aspecto inquietante es como la enseñanza de las matemáticas ha estado basada principalmente en contenidos, sin tratar de buscar soluciones a través de la resolución de problemas que ayuden a desarrollar el pensamiento matemático para la vida diaria. Ahora surge algo nuevo y es la resistencia de gran parte de los profesores al uso de la tecnología computacional a través de programas de geometría dinámica (PGD) en la resolución de problemas matemáticos, muchas veces por no estar en capacidad de usarlos adecuadamente para facilitar los procesos de enseñanza y aprendizaje de una forma interactiva y divertida. El currículo ocupa un lugar importante en la enseñanza de las matemáticas y sus contenidos, teniendo en cuenta la filosofía enfocada a una matemática moderna, que desde 1980 se viene promoviendo para crear diferentes movimientos y grupos interesados en producir cambios para que las matemáticas no sean tan rígidas y abstractas a la hora de enseñarlas (De Guzmán, 1991). Es decir que es necesario que la matemática actúe como una ciencia empírica para la invención de nuevas teorías manipulando y experimentando con objetos que permitan transformar la realidad para que los contenidos no queden como ideas inertes, ya que existe un mundo científico e intelectual cada vez más mutante (De Guzmán, 1991). Por eso la resolución de problemas matemáticos es el método más usado para estimular procesos autónomos de pensamiento y aprendizaje sin dejar a un lado los contenidos en el área a la hora de la inculturación (De Guzmán, 1991). El aprendizaje de las matemáticas según Santos y Benítez (2003) es un proceso de construcción continua de modelos del pensamiento 17

18 matemático que constantemente deben evaluarse y eventualmente transformarse en entidades más robustas (p.25). Geogebra brinda la posibilidad de construir diferentes conjeturas a la hora de resolver un problema planteado ya que permite graficar diferentes figuras geométricas y líneas, además de calcular longitudes, áreas, perímetros, ocultando y resaltando de manera rápida puntos de referencia como números, ejes, líneas, figuras, etc.adicional también le muestra ecuaciones de las diferentes figuras o líneas utilizadas. Otro aspecto importante es que brinda la posibilidad de realizar simulaciones de movimiento por medio del uso de deslizadores. En muchos países el currículo escolar matemático utiliza cada vez más la tecnología computacional para facilitar el conocimiento adquirido por parte del estudiante, resolviendo problemas matemáticos de una forma sencilla que adapte los objetivos y métodos a una población estudiantil cada vez más creciente que exige programas (similares a Geogebra), para tener las mismas oportunidades de aprendizaje. Al mismo tiempo, la tecnología computacional ha hecho de las matemáticas una ciencia más empírica permitiendo a los estudiantes resolver problemas matemáticos que de otra le es imposible (Kilpatrick, Rico & Gómez, 1998). Los investigadores que estudian el currículo se enfocan más en los procesos que en los contenidos y lo realizan bajo tres posturas según el currículo: las autoridades escolares, el profesor y los estudiantes (Kilpatrick et al., 1998). El profesor es el principal motivador del estudiante en el aprendizaje de las matemáticas, de él depende en gran parte un ambiente agradable a la hora de enseñar, algo muy difícil de lograr, porque cada vez se pretende deshumanizar más la enseñanza en la materia, por medio de las maquinas, de allí que el profesor debe conocer cuál es el papel que le corresponde. 18

19 Una adecuada enseñanza de las matemáticas es la que permite que el alumno: manipule objetos matemáticos, active su capacidad mental, ejercite su creatividad, sea consciente de su propio desarrollo en el conocimiento, tenga confianza en sí mismo, se divierta, se prepare para problemas de la vida cotidiana y asuma los nuevos retos de la tecnología y la ciencia. El papel del profesor es promover el aprendizaje de los estudiantes, adaptándolos a través de procesos efectivos a los cambios de nuestra ciencia y cultura (De Guzmán, 1991). Sin importar la edad a la hora de una enseñanza, la clase debe ser atrayente, divertida, satisfactoria, auto realizadora y creativa, además debe ser universal (De Guzmán, 1991). Siempre se ha enseñado en las clases de matemáticas a resolver problemas de una forma u otra, se debe en gran parte a la espontaneidad de los profesores a la hora de utilizar algún método, donde en buena parte se realizan las siguientes fases: explicación de contenidos, ejemplos sencillos, ejercicios aplicados y el problema (De Guzmán, 1991). Si presentáramos un tema matemático basado en la resolución de problemas se procedería más o menos así: -Propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...) -- manipulación autónoma por los estudiantes -- familiarización con la situación y sus dificultades -- elaboración de estrategias posibles -- ensayos diversos por los estudiantes -- herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados) -- elección de estrategias -- ataque y resolución de los problemas -- recorrido crítico (reflexión sobre el proceso) -- afianzamiento formalizado (si conviene) -- generalización -- nuevos problemas -- posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas ((De Guzmán, 1991, p.11). Por eso la enseñanza de las matematicas usando geogebra se apoya en la resolucion de problemas. El profesor es el que dirige el proceso, el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida, donde el estudiante participe, sintiendo placer por los descubrimientos matematicos y motivado a seguir logrando resolver los problemas matematicos, teniendo 19

20 claro que la enseñanza gira alrededor de las teorias y los procesos. El espiritu de la resolucion de problemas es una manera mucho mas adecuada de trasmitir competentemente los contenidos matematicos, los mas importante es estar bien preparando en el tema (De Guzmán, 1991, p.12). El aprovechamiento de las calculadoras y los computadores modernos han influenciado de forma positiva a través de varias experiencias en la educación matemática en primaria y secundaria (hasta llegar a la universitaria), el profesor debe estar preparado para asumir los cambios que requieren el uso de la tecnología computacional para la resolución de problemas matemáticos de una manera satisfactoria por parte de los estudiantes, que se encuentran bombardeados por la tecnologías de la información y la comunicación, herramientas que hay que aprovechar para lograr una percepción de la realidad matemática mejor que la actual (De Guzmán, 1991). Para Devlin (citado por Santos y Benítez, 2003) la tecnología ofrece a los estudiantes un medio que puede favorecer el acceso y desarrollo de recursos matemáticos que les ayude en la construcción de esos modelos (p.25). En la actualidad, la educación utiliza la tecnología como una herramienta de enseñanza y permite a los estudiantes interactuar con figuras de dos y tres dimensiones, manejar información en hojas de cálculo electrónicas, integrando las mismas calculadoras a través de software como Geogebra y utilizándolas dentro del equipo de cómputo, es decir que los métodos de enseñanza en matemáticas han cambiado y seguirán cambiando mucho más, todo sea en pro del desarrollo del pensamiento matemático de una forma dinámica a nivel mundial, pero todo, guiado por un profesor (Balacheff, 2000). El uso de entornos informáticos en la enseñanza de las matemáticas modifican el tipo de enseñanza a través de resolución de problemas interactuando con el computador, donde por medio de esta tecnología se puede experimentar con programas de geometría dinámica (Balacheff, 2000), donde el estudiante puede realizar construcciones de figuras geométricas y al mismo tiempo aprender algebra. Geogebra es un programa gratuito que 20

21 brinda esa posibilidad. Por ejemplo si se dibuja en el computador un segmento formado por una línea y dos extremos, esto sería un hecho para el estudiante pero no un fenómeno, al igual que la construcción de un triángulo con sus mediatrices, de allí la importancia para que el profesor explique el fenómeno que ocurre (Balacheff, 2000). Por eso una buena clase utilizando programas de geometría dinámica, como Geogebra, necesita mucha gestión por parte del profesor, ya que los estudiantes pueden trabajar individualmente o en parejas, donde se debe profesar el respeto por el compañero, ya que no todos tienen las mismas capacidades, ni piensan igual, de ello depende que todos estén motivados, hay muchas formas de llegar a la respuesta, muchas posiciones distintas de una misma construcción geométrica, no todos participan activamente, hay una ida y vuelta del estudiante con el entorno, importante colocar actividades donde puedan llegar a conjeturas, detectar propiedades invariantes, generalizar y abstraer nuevos pensamientos e innovadores (González-López, 2001). 1.1 INCORPORACIÓN DE LA TECNOLOGÍA COMPUTACIONAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN COLOMBIA La visión de la enseñanza de las matemáticas en Colombia está destinada a incorporar las nuevas tecnologías computacionales, donde se deben tener en cuenta muchos mecanismos para diseñar estrategias significativas que permitan resolver problemas matemáticos que cambien la forma de obtener el conocimiento. Un ejemplo que permite visualizar este cambio ( ) Un terreno tiene un frente recto de 30 m de longitud sobre el cual se quiere construir una caseta de vigilancia cuadrada de 3 m de lado y dos salones para bodega también cuadrados que cubran todo el frente del terreno Existe un valor máximo o un valor mínimo para el área total ocupada por las tres bodegas? En la enseñanza usual este problema tiene un tratamiento que enfatiza la manipulación simbólica, lo que genera un universo algebraico dentro del cual 21

22 se desarrolla el proceso de exploración del problema. El éxito de la tarea, dada la naturaleza de la tecnología existente (papel y lápiz), se centra en la destreza de la manipulación algebraica para producir la expresión sintáctica del área total de las bodegas, derivar dicha expresión, igualarla a cero, resolver la ecuación y encontrar el valor del lado de una de las bodegas para el cual se obtiene el área máxima o el área mínima. Al tener a nuestra disposición un programa como GeoGebra, puede dársele un giro, simulando la situación en su vista gráfica, su hoja de cálculo y su vista algebraica en forma paralela. Allí se pueden formular hipótesis con respecto a las diferentes variaciones (del área de cada bodega con respecto a la longitud de su lado, del lado de una bodega con respecto al lado de la otra, del área total de las bodegas con respecto al lado de una de ellas), representar el lugar geométrico de dichas variaciones, buscar la función que modela la relación entre el volumen total de las bodegas y la longitud de una de las bodegas y jugar con la vista gráfica de dicha función, entre otras cosas. Estas son actividades nuevas que se potencian con el uso de la tecnología computacional y que abren la puerta a una nueva organización conceptual, es decir, a una nueva forma del conocimiento matemático. (Galindo, S.F.) 22

23 2. JUSTIFICACIÓN A lo largo del tiempo el aprendizaje de las matemáticas ha sido tema de estudio en diferentes partes del mundo. Desde la existencia del ser humano y el interés de la humanidad por encontrar explicaciones a fenómenos de la naturaleza que surgen todos los días, han llevado a la educación a enfrentar situaciones cada vez más particulares y valerse de los recursos didácticos, curriculares y tecnológicos para avanzar en esta ciencia. La incorporación de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas, a través de software interactivos, como Geogebra, es un asunto de interés actual en el ámbito local, nacional e internacional. En la educación básica secundaria y media de la ciudad de Ibagué encontramos que la matemática es una de las áreas de mayor porcentaje de pérdidas en las instituciones educativas 1, siendo muchos los factores que inciden en esto, entre los cuales podemos mencionar: no le encuentran la utilidad a aprender las matemáticas porque se alejan de la realidad; la desmotivación de los estudiantes acerca del razonamiento, análisis, cálculos, etc ; la percepción de los estudiantes, como una de las áreas más difíciles, si no la más difícil, generándose alrededor de ella muchos sentimientos como temor, apatía, rechazo, fobia, odio; las creencias negativas generadas ya sea, por una concepción familiar es que ella (él) es muy mala (o) para los números o por los estereotipos que se han creado por la familia, amigos y muchas veces por las mismas instituciones las matemáticas son difíciles, complicadas, ; los cuales son difíciles de cambiar. Esquivel, Sánchez, y Araya (2008) analizaron los resultados de varias investigaciones sobre este último tema, donde logró determinar que los estudiantes ven las matemáticas muy útiles pero difíciles de aprender, a través de la reiteración de ejercicios prácticos logran creencias propias como beneficio del fuerte impacto en el proceso educativo. 1 Según la Secretaria de Educación Municipal De Ibagué. 23

24 Por lo anterior se hace necesario buscar e implementar diferentes estrategias que ayuden a mejorar este panorama, entre las cuales aparece el uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), donde este campo es muy atrayente para los estudiantes actuales, según Avalos (2008) la implementación de las Tic s dentro del campo educativo es un factor de gran ayuda en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que puede proponer estrategias que propicien la construcción más que solo la trasmisión de los conocimientos (p.94). El interés del trabajo escogido radica en el uso de TIC en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Secundaria a través del uso de Geogebra, para observar y analizar cómo cambian las actitudes y los conocimientos de los estudiantes y como los profesores pueden colaborar en el desarrollo de su pensamiento. Por otra parte, se espera que el enfoque metodológico elegido, contribuya al fortalecimiento del pensamiento de los estudiantes en el aula. De manera que se plantea la utilización de Geogebra en las salas de sistemas de las instituciones educativas seleccionadas para analizar cualitativamente los efectos producidos en el aprendizaje de los estudiantes, contando con el interés de los profesores en usar la tecnología en el aula de clase, sobre todo cuando viven día a día la realidad escolar, y son los que finalmente resultarían beneficiados en su práctica. Vale la pena resaltar que el software educativo es muy usado actualmente por los profesores y estudiantes de matemáticas, donde Geogebra tiene aproximadamente 20 millones de usuarios 2, apoyados por 140 institutos en diferentes países de todos los continentes, incluido Colombia, donde el Tolima tiene su propio instituto en Ibagué 3. García (2011) aclara que: Estos Institutos forman parte de la red del International GeoGebra Institute y tienen como misión la difusión y enseñanza de Geogebra, la 2 Datos proporcionados por Marcus hohenwarter. Videoconferencia. Congreso Internacional de matemáticas. Ibagué. Octubre Instituto de Geogebra del Tolima (IGT), fundado en el año

25 certificación del nivel de conocimientos adquirido por el usuario, el desarrollo de materiales y, en general, el apoyo al profesorado para su utilización en un contexto educativo (p.26). El propósito es utilizar Geogebra como herramienta educativa, desarrollando hojas de trabajo en clase y pruebas escritas que proporcionen información para el desarrollo del estudio y organizar algunos puntos de vista teóricos y prácticos. Por eso se considera que es hora de cambiar las practicas pedagógicas mediante la aplicación de nuevas herramientas tecnológicas que nos permitan motivar aún más a nuestros estudiantes; y en este sentido es de suma importancia la adquisición de software educativos, libres o bajo licencias, que nos permita capacitarnos como maestros en su uso, y desarrollar las competencias generales y específicas de cada asignatura, pero especialmente la que nos preocupa es la Matemática, ya que creemos que estamos en un momento apropiado para tratar de mejorar nuestras prácticas pedagógicas en beneficio propio y de nuestros estudiantes. 25

26 3. ANTECEDENTES No se puede hablar de enseñanza de las matemáticas sin referirnos a la investigación y la educación de esta ciencia donde la historia hace parte de un capítulo importante. En los últimos dos siglos los matemáticos y educadores se han preocupado por entender cómo se enseñan y se aprenden las matemáticas en la escuela, llevando a cabo procesos que respondan a estos cuestionamientos, adoptando algunos métodos utilizados en las ciencias humanas en el siglo XIX desde una postura positivista; sin embargo alrededor de 1960, la enseñanza de las matemáticas fue vista como un sistema de variables que interactuaban entre sí con la intención de describirlas, interrelacionarlas y manipularlas para obtener cambios a la hora de pensar matemáticamente (Kilpatrick et al., 1998). Las matemáticas que son muy antiguas, no siempre han tenido un fin educativo, han sido usadas para el arte y la lúdica a través del tiempo, por sacerdotes mesopotámicos, humanistas pitagóricos, pensadores medievales, renacentistas, racionalistas y filósofos contemporáneos. El cambio de épocas a nivel internacional no produjeron novedades considerables en la enseñanza de la matemática elemental sino hasta los años 1960 y 1970 cuando se dedicaron a desarrollar temas como la teoría de conjuntos y algebra, dejando muy rezagada la geometría, algo que afecto el aprendizaje de las matemáticas (De Guzmán, 1991), y que en los últimos años se ha corregido por medio de una enseñanza matemática más integral, moderna, pensada como herramienta útil en situaciones cotidianas y apoyada en la tecnología computacional. Actualmente existe la tendencia a utilizar programas de geometría dinámica para resolver problemas matemáticos de una forma más entretenida, que facilite al estudiante su aprendizaje. Hay países que preparan cada día más a los profesores y estudiantes con el fin de disminuir la brecha tecnológica existente, en el uso de programas (software matemáticos) de geometría dinámica como Geogebra, usado actualmente en la 26

27 educación mundial para enseñar geometría y algebra, el cual es fácil de usar y además gratuito (Lombardo, Caronía, Operuk & Abildgaar, 2012). Colombia actualmente posee dos institutos de Geogebra avalados a nivel internacional, uno de Medellín (ITM, 2012) y otro en el Tolima (GPC, 2012), donde los profesores están conformando redes de aprendizaje, a través de cursos y seminarios para adquirir destreza en el uso y manipulación del programa. El uso de programas de geometría dinámica en la enseñanza de las matemáticas como Geogebra ha despertado un gran interés en el campo de la investigación mundial. En un estudio los estudiantes manifiestan que Geogebra les permitió estar activos y actuar con mayor autonomía, haciéndoles ganar en confianza (García, 2011, p.393), lo que indica que Geogebra puede ser usada como una herramienta didáctica para desarrollar pensamientos matemáticos independientes a la hora de generar conjeturas para que más adelante se perfecciones y se conviertan en nuevas teorías. 27

28 4. MARCO TEÓRICO En este apartado, se presentan los referentes teóricos que sustentan éste estudio. En ese mismo orden y entendiendo su importancia, se desarrollan específicamente inferencias sobre la incidencia de las Tic s, Geogebra y el Teorema de Pitágoras. 4.1 INCIDENCIA DE LAS TIC S Se entiende por competencias digitales del profesorado las competencias relacionadas con el uso de las TIC. En el caso de los docentes serán las mismas que requieren todos los ciudadanos y, además, las específicas derivadas de la aplicación de las TIC en su labor profesional, para mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje. Al igual que los estudiantes, los profesores necesitamos una alfabetización digital que nos permita utilizar de manera eficaz y eficiente estos nuevos instrumentos tecnológicos que constituyen las TIC en nuestras actividades profesionales; Necesitamos competencias instrumentales para usar los programas y los recursos de Internet, pero sobre todo adquirir competencias didácticas para el uso de todos estos medios TIC en nuestros distintos roles docentes como mediador, orientador, asesor, tutor, proveedor de recursos para el aprendizaje, fuente de información, organizador de aprendizajes, motivador etc. (Galindo, S.F.) 4.2 GEOGEBRA Geogebra es un software (programa) de código abierto y dinámico (www.geogebra.org/wiki), con propiedades de Geometría, Algebra, calculo y estadística (figura 1), para ser usado de manera gratuita en la enseñanza de las matemáticas a estudiantes desde la educación primaria hasta la universidad. El software fue concebido 28

29 como proyecto de trabajo grado de Markus Hohenwarter, en estudios de maestría en la universidad de Salzburgo, Austria, donde la idea básica era desarrollar un programa que algebra, geometría y calculo en un solo paquete. Este software le ha permitido ganarse varios reconocimiento europeos y mundiales, por la aceptación que ha tenido en el medio académico (Hohenwarter & Lavicza, 2007). Los profesores e investigadores de todo el mundo están construyendo un número abundante de actividades a través de hojas de trabajo y diferentes métodos para el uso del software en todos los niveles educativos. Las actividades pueden ser creadas y desarrolladas con GeoGebra, permitiendo el movimiento de puntos, rectas, figuras geométricas, adaptando la imagen rápidamente al cambio. También las actividades de una manera fácil puede ser llevadas a páginas web dinámicas que tienen applets interactivos donde los estudiantes pueden acceder a ellos desde los colegios o desde su casa sin necesidad de descargar la aplicación o usar el software Geogebra en sus computadores, ósea que el programa permite organizar las clases de otras maneras a las tradicionales (Hohenwarter, Hohenwarter & Lavicza, 2008). Figura 1. Propiedades y características del programa Geogebra. Tomado de: 29

30 Los profesores e investigadores de todo el mundo están construyendo un número abundante de actividades a través de hojas de trabajo y diferentes métodos para el uso del software en todos los niveles educativos. Las actividades pueden ser creadas y desarrolladas con GeoGebra, permitiendo el movimiento de puntos, rectas, figuras geométricas, adaptando la imagen rápidamente al cambio. También las actividades de una manera fácil puede ser llevadas a páginas web dinámicas que tienen applets interactivos donde los estudiantes pueden acceder a ellos desde los colegios o desde su casa sin necesidad de descargar la aplicación o usar el software Geogebra en sus computadores, ósea que el programa permite organizar las clases de otras maneras a las tradicionales (Hohenwarter, M. et al, 2008). Con el fin de manejar las peticiones de de los maestros Hohenwarter estableció el Foro de GeoGebra usuario y GeoGebraWiki, una piscina de material libre, que en la actualidad incluye miles de publicaciones y hojas de trabajo de matemáticas dinámicas. A pesar de este rápido crecimiento GeoGebra permanece fundamentalmente un proyecto liderado por Hohenwarter y el proyecto llegó a un punto en que su éxito continuo ya no puede ser sostenido por una sola persona y una comunidad de usuarios informal. Con base en la información y los datos de la página web, la mayoría de los profesores que actualmente están usando GeoGebra no han recibido ningún tipo de formación en el uso del software, pero han comenzado a utilizarlo debido a su entusiasmo y aliento por parte de sus colegas. (Hohenwarter & Lavicza, 2007). El programa Geogebra se está usando desde el año 2002, y actualmente está disponible de manera gratuita (http://www.geogebra.org) para ser usado en línea o para descargarlo, instalarlo y utilizarlo sin conexión a internet en múltiples plataformas (Windows, Mac OS X, Linux) desde cualquier computador o tablet. Además ha sido traducido a 36 idiomas, debido a su crecimiento rápido en el número de usuarios donde registran visitas a su página desde alrededor de 192 países, y se estima que está siendo usado por más de 100 mil profesores en todo el mundo (Hohenwarter et al., 2008). 30

31 Geogebra fue creado para ayudar a los estudiantes a obtener una mejor comprensión de las matemáticas. Se puede utilizar para la enseñanza activa y orientada al problema y fomentar experimentos y descubrimientos tanto en el aula como en el hogar ( ) puede ser utilizado tanto como instrumento de aprendizaje y como herramienta de enseñanza. Por un lado, los estudiantes pueden crear construcciones a partir de cero en su cuenta. De esta manera, tienen la oportunidad de resolver los problemas mediante la creación de modelos matemáticos y la investigación de las relaciones matemáticas dinámicamente (Hohenwarter et al., 2007). Los estudiantes resultan beneficiados a la hora de construir y modelar fenómenos matemáticos, ya que el programa de Geogebra permite realizar exploraciones interactivas a través del arrastre de objetos, cambiando parámetros y medidas, pero al mismo tiempo el profesor tiene más opciones para mejorar su creatividad a la hora de preparar interactivamente hojas de trabajo para sus clases. Además se pueden encontrar diferentes materiales para el aula usando Geogebra y compartir los realizados en una página web llamada Geogebratube (www.geogebratube.org). Un ejemplo de cómo indicar una actividad por parte de un profesor a sus estudiantes a través de hojas de trabajo y colocando iconos de las herramientas que posee Geogebra están en la figura 2. En cuanto a la creación de materiales didácticos en Geogebra se puede realizar una hoja de trabajo dinámica (página web interactiva-html) a través de una figura dinámica construida en Geogebra que posteriormente se exporta a un archivo html (applet interactivo), con las instrucciones, preguntas y actividades a realizar por parte de los estudiantes, trabajando en sus equipos con o sin conexión a internet (Hohenwarte et al., 2007). Un ejemplo de cómo exportar a la web la figura dinámica construida se muestra a continuación: 31

32 1. En la barra de menú seleccione "Archivo" - "Exportar" - "Hoja Dinámica como Página Web (html)...". 2. Rellene los campos de texto del cuadro de diálogo de exportación que aparece (título, autor, fecha). 3. Añadir un poco de texto que debe mostrarse por encima de la construcción en el campo de texto correspondiente, por ejemplo: "A continuación se puede ver la gráfica de un polinomio cúbico f (x). " 4. En el último campo de texto que se puede brindar tareas para sus estudiantes. 5. Haga clic en el botón "Exportar" y guardar la hoja de cálculo dinámico. Sugerencia: Se recomienda exportar la hoja de cálculo en una nueva carpeta que GeoGebra creará varios archivos durante la exportación. No utilice espacios ni caracteres especiales en el nombre del archivo para evitar problemas. 6. Para acceder a la hoja de cálculo dinámico abrir el archivo HTML en un navegador web. Nota: Internet Explorer puede restringir las páginas HTML interactivas abiertas desde el equipo local. En este caso es necesario hacer clic en una barra amarilla en la parte superior de la ventana del navegador y aprobar una pregunta de seguridad para utilizar la hoja de trabajo dinámico. Sin embargo, este problema no se produce cuando se carga la hoja de cálculo dinámico a Internet. (Hohenwarter et al., 2007). 32

33 Figura 2. Ejemplo de actividad en hojas de trabajo. Tomado de: 4.3 TEOREMA DE PITÁGORAS El filósofo y matemático Pitágoras es muy reconocido a nivel mundial gracias al teorema que lleva su nombre y que la escuela pitagórica popularizo hace ya largos años atrás, a través de demostraciones en Europa, Asia y China. El teorema de Pitágoras es quizás la relación matemática, de cierta complejidad, más conocida por personas con una formación básica y que ofrece, al mismo tiempo, un importante valor práctico, teórico y didáctico, tanto en su versión aritmético-algebraica (a 2 = b 2 + c 2 ), siendo a la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y b y c las medidas de los catetos del 33

34 mismo), como en su versión geométrica (teniendo en cuenta que a 2 es el área de un cuadrado construido tomando como el lado de la hipotenusa y que b 2 y c 2 son las áreas respectivas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos, ver figura 3) (Delgado, 2000, p.277). Figura 3. Representación y formula del Teorema de Pitágoras. Tomado de: Existen un gran número de demostraciones del Teorema de Pitágoras, utilizando diferentes métodos desde épocas antiguas, las primeras civilizaciones (mesopotámica, Egipto, india china) (Delgado, A. M., 2000), la usaron y demostraron, a tal punto que en Europa en la edad media llego a exigirse una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de magister matheseos (maestro en matemáticas). Loomis (citado por Delgado, 2000) clasifica las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algébricas (relación entre lados y segmentos del triángulo); las geométricas (comparación de áreas); las dinámicas (propiedades de fuerza y masa); y las cuaternionicas (usando vectores). 34

35 En esta ocasión se describirán demostraciones algebraicas y geométricas más conocidas, que sean de utilidad e interés para el análisis del estudio. Una de las demostraciones más conocidas es la de Euclides (conocido como el padre de la Geometría), como se muestra en el siguiente enunciado y se evidencia la forma como se desarrolló en la figura 4, lo cual hace que sea una de las más complejas, pero muy sostenible en el tiempo: En los triángulos rectángulos el cuadrado que es hecho del lado que esta opuesto al ángulo recto es igual a los dos cuadrados que son hechos de los lados que contienen el ángulo recto (Delgado, 2000, p. 281). Figura 4. Demostración de Euclides. Tomado de: Otra demostración muy conocida es la de Bhaskara (matemático y astrónomo hindú del siglo XII), que plantea: 35

36 36

37 5. PREGUNTA PROBLEMA Cómo fortalecer los procesos de aprendizaje de las matemáticas con la implementación de Geogebra en el aula de clase? 37

38 6. OBJETIVOS 6.1 OBJETIVO GENERAL Fortalecer los procesos de aprendizaje de las matemáticas con la implementación del uso del Geogebra 6.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar el proceso de aprendizaje del Teorema de Pitágoras mediante el uso de Geogebra en los estudiantes de básica secundaria. Reconocer el aporte de la representación computacional que proporciona el geogebra en el aprendizaje del teorema de Pitágoras. Identificar los beneficios del uso de Geogebra en el proceso de la enseñanza de las matemáticas. Aportar elementos metodológicos para la implementación del geogebra en el aula. Diseñar, poner en práctica y evaluar una secuencia de enseñanza-aprendizaje basada en el uso de software Geogebra. 38

39 7. MARCO METODOLÓGICO 7.1 ENFOQUE Y MÉTODO El presente estudio es cualitativo, el cual consiste en buscar información por medio de métodos que tienen como objetivo encontrar y entender los significados de las relaciones que se crean en la mente de las personas, donde el sujeto es el centro de la investigación (Gutiérrez, Rojas & Urbano, 2012, p.48). La investigación cualitativa es un procedimiento metodológico que utiliza palabras, textos, discursos, dibujos, gráficos e imágenes para comprender la vida social por medio de significados, se trata de entender el conjunto de cualidades interrelacionadas que caracterizan a un determinado fenómeno, utiliza descripciones detalladas de hechos, citas directas del habla de las personas para construir un conocimiento de la realidad social, en un proceso comprobación teórica (Navarrete, 2004, citado por Gutiérrez, 2012). Por otra parte la investigación cualitativa se refiere también a la interpretación científica que se puede hacer de un fenómeno, incluye los siguientes pasos: seleccionar, describir, organizar, entender, y proponer. Dentro de las características principales de esta metodología aparece que es inductiva, es decir, empieza con la observación de un problema hasta generar una explicación del mismo y aportar unas posibles soluciones. En la presente experiencia pedagógica participaron un grupo conformado por tres docentes del municipio de Ibagué, Tolima; que de manera muy activa participaron en el desarrollo de la actividad organizada en cabeza de la Dr. Ligia Inés García para aplicar los diferentes instrumentos de recolección de la información, para posteriormente ser analizados e interpretados a través de Atlas Ti. 39

40 Con el propósito de contribuir al mejoramiento de la enseñanza del teorema de Pitágoras, se diseñó una estrategia metodológica que se apoyó en el uso del software GeoGebra. Esta está formada en total por ocho actividades y sus respectivas guías de trabajo. Se implementó en muestras de 5 estudiantes del grado séptimo de cada una de las tres instituciones educativas públicas del ente territorial de Ibagué, las cuales son: El Liceo Nacional, San Francisco y Leonidas Rubio; durante el segundo periodo del año lectivo 2013, y se comparó el nivel de razonamiento mostrado por ellos. El estudio fue de tipo cualitativo debido a la intencionalidad de la investigación, la naturaleza de los datos y su tratamiento en Atlas Ti, lo cual posteriormente nos permite analizar las diferentes categorías emergentes de los datos. Las actividades realizadas fueron iguales para cada grupo, versaban sobre la misma temática en todos se contó con el uso del software Geogebra. Con el propósito de describir y comparar el desenvolvimiento de los estudiantes en las actividades implementadas, según la estrategia metodológica respectiva y ante la imposibilidad de realizar un reporte detallado para cada uno de los alumnos de los grupos participantes, se seleccionaron cinco estudiantes de cada uno de ellos,. En las redes semánticas construidas mediante Atlas Ti, se puede observar la relación existente entre las respuestas de los estudiantes y las categorías. 7.2 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Los instrumentos de recolección de información que se emplearon en el presente estudio son los siguientes: Análisis documental. Con esta técnica de recolección de la información se revisa, selecciona, relacionan ideas informativamente relevantes de diferentes documentos que tienen relación con el tema objeto de estudio (Peña y Pírela, citado por Gutiérrez, 2013, p.49) 40

41 El acompañamiento detallado, los manuales paso a paso y los procesos conductistas que se utilizan en cada una de las sesiones irán dando espacio a la exploración del software y al diseño cada vez más creativo y libre de construcciones para el aula de clase Exploración de Ideas Previas. Este instrumento buscó indagar conocimientos previos tales como punto, recta, plano, área, perímetro, diagonal, y de algunas figuras geométricas planas como triangulo, cuadrado y polígono. Estos conceptos estaban relacionados con los conceptos de área, formas geométricas, ángulo. El primer instrumento construido y desarrollado sobre la inducción, se utilizó con el fin de saber que percepción tenían los estudiantes sobre el software geogebra, y así comprender el grado de interés hacia el mismo. El segundo instrumento o prueba diagnóstica tenía como propósito explorar las ideas previas del grupo de estudiantes sobre concepciones geométricas y numéricas para generar puntos de partida en la elaboración de las hojas de trabajo que serían desarrolladas posteriormente como instrumentos de tratamiento y conversión de las representaciones semióticas dadas en objetos matemáticos. La estructura de una hoja de trabajo para el acompañamiento de los estudiantes en su proceso de aprendizaje, deben tener en cuenta los siguientes elementos, aunque no todos aparecerán obligatoriamente en la hoja que manejará el estudiante y su complejidad dependerá del nivel de los estudiantes, y del tiempo y recursos disponibles. Identificación: Institución, Población a la cual va dirigido, Nombre de la unidad, Tema, subtema, Número de la hoja de trabajo, Recursos o materiales que se van a utilizar, Fecha, prerrequisitos conceptuales que el estudiante debe manejar para abordar el nuevo tema. Las competencias que se quiere desarrollar: El estudiante debe tener claro cuáles son las habilidades que se pretenden alcanzar con las actividades propuestas. La situación problemática inicial o el conjunto de preguntas generadoras: Se debe partir del planteamiento de una situación novedosa para el estudiante, con un grado 41

42 de dificultad suficiente para considerarlo un reto, pero no tan complicado que lo desmotive, una situación que lo obligue a echar mano de los conocimientos que posee y de sus recursos cognitivos en la búsqueda de las soluciones o respuestas Diagnóstico: Al socializar el trabajo realizado por los equipos con la situación problemática inicial o las preguntas generadoras el docente detecta los vacíos conceptuales y las dificultades de procedimiento de los estudiantes y procede a hacer las aclaraciones y correcciones que permita a los estudiantes abordar con éxito la nueva tarea. Las estrategias didácticas: El docente debe planear los pasos metodológicos que se llevaran a cabo durante el trabajo con los estudiantes, cuales desarrollara él como maestro y cuales el estudiante y en qué momentos. Que parte será para trabajo individual y cual para trabajo en equipo, como ejercerá el control y la evaluación de los procesos. Los procedimientos: Describir en orden de ejecución cada una de las actividades que realizarán los estudiantes, presentar la información, gráficos, tablas o imágenes que sean indispensables, las preguntas que obliguen al estudiante a analizar, argumentar y comunicar los procedimientos. Conclusiones: Es el espacio para que el estudiante escriba las regularidades, leyes o ideas principales obtenidas por los procesos desarrollados Evaluación: El docente propone a los estudiantes algunos problemas o preguntas que permitan conocer el nivel de competencia logrado por ellos. Estos problemas deben evitar la repetición memorística y deben permitir al docente verificar si el estudiante puede aplicar los conocimientos a nuevos contextos. 42

43 7.2.3 Intervención en el Aula. A continuación se describen las ocho actividades incorporadas en el instrumento, mostrando el proceso de aprendizaje de manera secuencial y facilitando los procesos. Cada una de las actividades tuvo destinado un tiempo de dos horas aproximadamente para llevarse a cabo, buscando que los estudiantes dedicaran la mitad del tiempo a la construcción paso a paso de las figuras geométricas y la otra mitad al desarrollo de las actividades, las cuales se entregaron a cada estudiante, y se diseñaron para desarrollar en pequeños grupos de dos a cuatro estudiantes; ya que el trabajo en equipo provoca que los estudiantes desarrollen destrezas sociales cooperativas y el interés en la colaboración, más que generar competencia entre los estudiantes, consolidando así una excelente técnica de trabajo en equipo, donde se tiene en cuenta la opinión de cada uno de los estudiantes, y se llega a la construcción del conocimiento por consenso o común acuerdo DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA Planeación de la Experiencia. La propuesta es trabajar 8 sesiones de 2 horas cada una, lo que representa una sesión cada semana durante el segundo periodo con estudiantes del grado séptimo en cada una de las I.E donde laboramos, con un margen de error de 2 semanas aproximadamente; Realizar un acompañamiento durante el desarrollo de las guías de trabajo, recolectar y analizar la información mediante el uso de ATLASTI, y evidenciar todo el proceso mediante registros fílmicos y fotográficos. 43

44 Cuadro 1. Actividades planeadas durante el desarrollo de la investigación. Sesiones ACTIVIDAD EVALUACIÓN 1ª Presentación del Software Actitudinal 2ª Inducción Hoja de Inducción 3ª Prueba Diagnóstica Evaluación 4ª Los Ángulos Hoja de Trabajo 5ª El Triángulo Hoja de Trabajo 6ª El Cuadrado Hoja de Trabajo 7ª Teorema de Pitágoras Hoja de Trabajo 8ª Prueba final Evaluación Tomado de: la planeación de las actividades a realizar con los diferentes estudiantes Procedimiento. La experiencia pedagógica, desarrollada a través de la construcción y solución de hojas de trabajo, y tomando entre otros, instrumentos como la unidad didáctica, que involucró la identificación de ideas previas de los estudiantes y la intervención en el aula propuesta. La intervención se realizó a grupos de estudiantes, con edades que oscilan entre 10 y 12 años, que cursan grado séptimo, de las Instituciones Educativas Liceo Nacional, Leonidas Rubio Villegas y San Francisco del municipio de Ibagué en el departamento de Tolima. Para efectos de la investigación, el análisis se realizó con una muestra de 5 estudiantes de cada una de las instituciones educativas ya mencionadas; para un total de 15 estudiantes por actividad Plan de Análisis. De acuerdo a la planeación de la experiencia y la unidad didáctica; se realiza la recolección y análisis de la información, en la cual se destacan tres instrumentos: Instrumento de Exploración de Ideas previas: Se realizó la aplicación de un instrumento de recolección de datos, llamado en ésta investigación prueba diagnóstica. La cual tenía por misión, conocer las concepciones alternativas con las cuales llegan nuestros 44

45 estudiantes a enfrentar todo el proceso. De acuerdo al análisis de los resultados obtenidos en la prueba, estos se tienen en cuenta para la construcción y ejecución de la siguiente sesión. Instrumento de Intervención en el Aula: Teniendo en cuenta los resultados del instrumento anterior, se diseñan y aplican las hojas de trabajo en cada aula del grado séptimo seleccionada para esta experiencia en las tres instituciones educativas. La idea es observar el progreso en el dominio de las herramientas, como la construcción paso a paso de las figuras en geogebra, proceso en el cual los estudiantes cada vez lo hacen con mayor velocidad; ayudando a consolidar el conocimiento para resolver los interrogantes planteados. Instrumento de prueba final: Luego de aplicar y analizar los instrumentos diagnósticos y de intervención en el aula, es el momento de reflexionar acerca de los avances en el proceso metacognitivo de consolidación de los preconceptos para el teorema de Pitágoras. Para ello, se aplica una prueba final que verifique los progresos de los estudiantes luego de haber desarrollado toda la experiencia. 7.4 ANÁLISIS Consideraciones para el análisis de datos. En este segmento se presenta el modo en el que se llevó a cabo el análisis de los datos recogidos durante la puesta en práctica de la secuencia didáctica en las tres instituciones educativas, basada en la construcción y desarrollo de hojas de trabajo en Geogebra. Se muestran las etapas en las que el análisis tuvo lugar y los distintos métodos empleados para realizarlo. A continuación, se exponen las consideraciones y criterios que se tuvieron en cuenta para el análisis de los datos, así como la técnica empleada para extraer conclusiones (triangulación) Etapas para el análisis. En un principio se había planificado estudiar la totalidad de los estudiantes involucrados -que sumaban 70 aproximadamente- en la investigación, 45

46 sin embargo al reflexionar al respecto, son evidentes los inconvenientes para procesar la gran cantidad de información que habríamos de recolectar (Prueba diagnóstica, archivos digitales, observaciones descriptivas, hojas de trabajo, prueba final)); entonces se procede a establecer una muestra que resulte significativa para los análisis. El número de la muestra fuera igual para cada una de las instituciones seleccionadas. Entonces se optó por que la muestra fuera de diez (10) estudiantes por colegio; pero a la hora de alimentar Atlas Ti, encontramos ciertas dificultades propias del software, razón por la cual se estableció un muestreo de 5 estudiantes por Institución, para un total de 15 por actividad en cada sesión; con lo cual finalmente se ajustaba a nuestros requerimientos Métodos de análisis. Los métodos empleados para el análisis final, dependen de los instrumentos utilizados para recoger los datos. Los cuales permitieron realizar un análisis cualitativo en el software Atlas Ti, que facilitó la organización de la información para detectar categorías. Dicho software, específico para el análisis cualitativo de textos, imágenes, archivos de audio y vídeo, se empleó para los 5 estudiantes pertenecientes a la muestra de cada institución, y permitió integrar la información obtenida. 46

47 8. ANÁLISIS DE RESULTADOS Una vez desarrolladas las diferentes guías, se procedió a identificar las categorías emergentes para construir las redes semánticas con ayuda del software ATLASTI, y así posteriormente realizar el proceso de análisis de cada una de ellas. Como categoría principal para cada una de las redes semánticas, se seleccionó la interpretación, porque para obtener conocimiento pero partiendo de una experimentación, seguida de una observación y posteriormente un razonamiento o análisis de lo obtenido. Para Morín (2000) el conocimiento como traducción y reconstrucción de la realidad implica la interpretación de los hechos observacionales, y previene sobre el riesgo de error e ilusión que ello acarrea. Para las matemáticas la interpretación se realiza desde un conjunto de proposiciones, formulas, axiomas, principios, en un modelo, guía o prueba siendo estos un conjunto en el cual se han definido un esquema u estructura especifica que permita una interpretación, es decir, que las formulas o axiomas sean realizables y por ende interpretables. Se puede concluir que la interpretación de un contenido o tema se da cuando este es comprendido y traducido en una forma de expresión (figura 6). Por lo tanto se busca que los estudiantes con los cuales se trabajó con el software geogebra, estén en capacidad de realizar una interpretación partiendo del desarrollo de las guías siempre de la mano del software. Aquí se puede evidenciar unos ejemplos claros de la interpretación realizada por diferentes estudiantes al aplicar la hoja de trabajo número uno sobre ángulo, en la cual después de realizada la actividad con ayuda de geogebra se le pide que describa con sus palabras que es un ángulo. Figura 6. Hoja de trabajo realizada en el aula por un estudiante. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). 47

48 En esta se puede ver como el estudiante basa su interpretación del concepto de ángulo partiendo del trabajo realizado con el software geogebra y la figura obtenida, según las instrucciones que siguió y los comandos utilizados para construirla. Es importante resaltar como el estudiante ya se va apropiando del lenguaje de Geogebra (Figura 7) y lo involucra en la interpretación del concepto de ángulo. A pesar que es la primera guía que se desarrolló con ellos. El proceso realizado por el estudiante corrobora como la construcción de conocimiento aparece después de los siguientes procesos: primero la experimentación (pasos que siguió de la guía), seguido de una observación (análisis de la figura obtenida y sus movimientos) para finalmente llegar a su interpretación, la cual nos la da por escrito con sus propias palabras (Figura 8 y 9), podría decirse que este análisis parte de un proceso visual antes concebido. Figura 7. Lenguaje geogebra Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). Como lo ratifica Torregrosa & Quesada (citado por Osorio Mancilla 2013), los procesos van de un anclaje visual a uno discursivo implica acciones cognitivas de asociación de la configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones, teoremas, axiomas). (p.281) Figura 8. Interpretacion de un estudiante sobre un angulo. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). 48

49 Aquí se puede evidenciar el manejo de las palabras para expresar lo comprendido e interpretar el trabajo realizado, este estudiante baso su interpretación en la figura construida en el software y el movimiento interactivo obtenido con el mismo. Figura 9. Interpretacion de un estudiante sobre una figura geometrica. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). En esta siguiente interpretación, se evidencia que tiene claro que es una figura geométrica y las partes que contienen el ángulo (Figura 10), pero no usa un lenguaje propio para describir lo que entiende por ángulo. Al contrario utiliza términos que se pueden relacionar con el lenguaje matemático. Figura 10. Ejemplo de espacio proyectivo. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). Otra forma de interpretación realizada por ellos, es partiendo de datos obtenidos en una tabla (Figura 11), Aquí podemos corroborar como partiendo de la experimentación (realización de la figura con ayuda del software), seguida de la observación y razonamiento de los resultados obtenidos el estudiante interpreta y contesta la pregunta planteada, este especialmente tuvo en cuenta un detalle que los demás no lo observaron la unidad metro y se puede ver que la relación que el encontró entre la columna del lado y la del área es muy limitada. No se apropió del concepto de área. 49

50 Figura 11. Fragmento hoja de trabajo sobre el cuadrado. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Se puede verificar que la interpretación se basó en los movimientos realizados en el software geogebra, Ya que emplea el lenguaje que se maneja en el programa (Figura 12). Figura 12. Fragmento de una hoja de trabajo. Interpretación. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). El lenguaje matemático utilizado por los estudiantes para el desarrollo de las diferentes guías, es muy básico, en el cual se relacionan números con simbologías y palabras básicas (Figura 13), en el cual encontramos: Figura 13. Lenguaje matemático. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). 50

51 Las representaciones tomadas como herramientas de las matemáticas, las cuales ayudan a una mejor comprensión y/o interpretación, según Radford (1988) las representaciones se han entendido como todas aquellas herramientas (signos o gráficos) que hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos particulares abordan e interactúan con el conocimiento matemático, es decir, registran y comunican su conocimiento sobre las matemáticas. Mediante el trabajo con las representaciones las personas asignan significados y comprenden las estructuras matemáticas, de ahí su interés didáctico. En este caso el tipo de representaciones realizadas por los diferentes estudiantes es de tipo gráfico, los cuales les ayudan a resolver los cuestionamientos planteados. Aquí se puede observar unos ejemplos de ello (Figura 14). Figura 14. Representaciones hechas por los estudiantes. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). En este punto se les solicito graficar y hallar la cantidad de baldosas necesarias para cubrir un piso (Figura 15). Los estudiantes realizaron diferentes representaciones 51

52 contrarrestándolas con las medidas de longitud dadas. Aquí se muestran algunas de las representaciones realizadas por ellos, es interesante ver las diferentes formas de abordar las representaciones que ellos le dan para así poder llegar a encontrar la respuesta al interrogante dado. Figura 15. Uso de las representacines y el elnguaje matematico. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Aquí se pueden ver dos diferentes formas de representación realizadas por dos estudiantes, en la cual hace parte importante para la resolución de este, la representación gráfica. Con esto se puede evidenciar la gran importancia que tienen las representaciones para construir o resolver actividades matemáticas (Figura 16), facilitando la comprensión y porque no decirlo la construcción de conceptualizaciones claras. 52

53 Para Hiebert y Carpenter (1992): pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas necesitamos representarlas de algún modo. La comunicación requiere que las representaciones sean externas, tomando la forma de lenguaje oral, símbolos escritos, dibujos u objetos físicos. Para pensar sobre ideas matemáticas necesitamos representarlas internamente, de manera que permita a la mente operar sobre ellas. (p. 66). Figura 16. Representación a la hora solucionar un problema. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Vale la pena resaltar el manejo de las medidas de longitud y sus conversiones o equivalencias, ya que para poder desarrollar completamente este punto era necesario tener claridad en las equivalencias del sistema métrico. Y lo podemos observar en la gráfica anterior (Figura16). Donde este estudiante tiene claro la equivalencia de metros a decámetros. En cuanto a las relaciones e interpretación del concepto de medida tanto de longitud como de área (Figura 17), se puede encontrar: 53

54 Figura 17. Fragmento de una hoja de trabajo donde interpreta conceptos. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Aquí los estudiantes construyeron un cuadrado, siguiendo las indicaciones dadas, después debían realizar variaciones en las dimensiones del cuadrado, todo esto con ayuda del software geogebra, para así completar los datos solicitados en la tabla, en la cual se relacionan unidades de longitud y de área. En esta se puede evidenciar, como después de completar la actividad, el estudiante es capaz de encontrar relaciones entre ellas y con sus palabras intenta explicar o construir un modelo entre longitud y área (Figura 18), así: Figura 18. Interpretación sobre el área de un cuadrado. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Cabe resaltar la importancia de la manipulación y percepción visual que el estudiante puede hacer de la figura construida con ayuda software geogebra, la lógica que le aplica a los datos obtenidos, el cual le permite lograr una mejor interpretación entre medida de longitud y área (Figura 19). 54

55 Según (Tamayo & Sammartí, citados por Castro & Cardenas, 2008), en la construcción de los modelos mentales influye la percepción visual, la comprensión del discurso, el razonamiento, la representación del conocimiento y la experticia (p.137). Figura 19. Resultados sobre el area del cuadrado. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Otra forma de interpretación realizada por los estudiantes acerca de la medida de longitud y de área, se da a partir de una tabla, en la cual cada uno de ellos debía completar los datos que hacían falta. En esta tabla se pueden verificar los resultados obtenidos, partiendo de datos numéricos, expresiones algebraicas y unidades lineales y cuadradas. El estudiante realiza su propio análisis con los datos dados y así halla los faltantes, teniendo en cuenta las características o relaciones encontradas. En esta parte se podría retomar el concepto de medir que le da Moulines, citado por Castro y cárdenas (2008) asignar números a las cosas de modo que aquellos expresen ciertas propiedades que estas exhiben (p.142). Aparece también aquí el término magnitud, el cual hace parte de una propiedad específica de los datos dados y los hallados acompañados por un valor numérico, porque nos ayuda a identificar de qué tipo de datos se está hablando. Aquí cabe mencionar el uso de las magnitudes de longitud (m) y de área (m²) y como el estudiante no las excluye 55

56 (Figura 20), si no que al contrario las hace parte integral del trabajo, en la cual ya empieza a evidenciar la diferencia entre unidades de longitud y de área. Figura 20. Interpretación de una pregunta. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). Esta es otra de las interpretaciones que realiza uno de los estudiantes (figura 20), en cuanto a la forma de hallar el área y la longitud, aquí se refleja la construcción del concepto de área, partiendo de la forma para calcularlo (el área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de uno de sus lados) y como deduce el inverso de esta para hallar la longitud de uno de sus lados (la raíz cuadrada de su área es igual a la medida de sus lados). El software geogebra nos permite visualizar de forma más sencilla y real las variaciones de desplazamientos que con hoja y papel sería difícil de visualizar, para los estudiantes esta herramienta les ayuda a comprender con más facilidad los diferentes movimientos y les facilita la construcción. Figura 21. Respuesta a una pregunta abierta. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). 56

57 En esta parte podemos ver (Figura 21), como gracias al software geogebra, el estudiante identifica diferencias en los ángulos tanto de forma como de magnitud, basándose en la figura obtenida con ayuda del software y los movimientos que este nos permite realizar. En cuanto a la categoría espacio, antes de empezar a abordarla debemos de mencionar los dos tipos que emergieron en este análisis: primero el espacio euclidiano o Geometría Euclidiana, también conocida como Métrica, la cual trata del estudio y representación de las longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones rígidas (Bustamante, 2004, p.164). El espacio proyectivo, el cual comprende la representación de transformaciones en las cuales, a diferencia de lo que ocurre en las de tipo euclidiano, las longitudes y los ángulos experimentan cambios que dependen de la posición relativa entre el objeto representado y la fuente que lo plasma (Bustamante, 2004, p.165) Figura 22. Respuesta a preguntas. Tomado de: Hoja de trabajo N 1 Construcción de ángulos. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO C). 57

58 El espacio euclidiano se evidencia aquí cuando el estudiante nos describe la forma como se representa el ángulo (Figura 22) y a la vez encontramos el proyectivo por el tratamiento que se le da a la figura realizada y las transformaciones a las cuales es sometida para poder comprender las diferencias entre cada uno de los tipos de ángulos. Aquí se evidencia el manejo del espacio proyectivo (Figura 23), la estudiante resalta los cambios que se reflejan después de construida la figura y realizada la manipulación de esta gracias al software dinámico geogebra (como cambia el tamaño y los valores numéricos tanto de longitud y área del cuadrado). Figura 23. Respuesta a una pregunta sobre áreas y cuadrados. Tomado de: Hoja de trabajo N 3 El cuadrado. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO E). En la última guía aplicada a los estudiantes (Figura 24), se busca que cada uno de ellos sea capaz de interpretar los datos obtenidos, partiendo de la construcción de un triángulo para llegar al concepto del teorema de Pitágoras (ya definido en el marco teórico). 58

59 Figura 24. Hoja de trabajo del Teorema de Pitágoras. Tomado de: Hoja de trabajo N 4 Teorema de Pitágoras. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO F). Aquí se puede observar como el estudiante después de la construcción de la figura en el software geogebra y de completar la tabla de datos, relacionando la medida de los lados y los cuadrados de estos, es capaz de dar su propia interpretación a lo obtenido, con sus propias palabras (Figura 25), en la cual se evidencia la construcción del concepto de hipotenusa. Como también se nota la claridad en la relación existente entre el teorema de Pitágoras, el triángulo construido y las áreas de los cuadrados. Con sus propias palabras construyo el concepto del teorema de Pitágoras. 59

60 Figura 25. Actividad en una tabla y pregunta abierta. Tomado de: Hoja de trabajo N 4 Teorema de Pitágoras. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO F). En esta guía el estudiante enfoca su relación en las medidas de los lados más pequeños del triángulo y resalta como se facilita la comprensión del teorema de Pitágoras (Figura 26 y 27), partiendo de la construcción de cuadrados sobre un triángulo rectángulo. Estos son otras de las interpretaciones que dieron algunos estudiantes sobre la relación entre el teorema de Pitágoras (figura 26 y 27), el triángulo y los cuadrados. Se evidencia como sus respuestas están bien enfocadas a lo que realmente es el teorema. 60

61 Figura 26. Respuestas sobre relación del Teorema. Tomado de: Hoja de trabajo N 4 Teorema de Pitágoras. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO F). Figura 27. Respuesta a una pregunta. Tomado de: Hoja de trabajo N 4 Teorema de Pitágoras. Aplicadas a los estudiantes (Ver ANEXO F). Figura 28. Red semántica sobre la hoja de trabajo1. Ángulos. INTERPRETACION is part of is part of is part of is part of is cause of is part of LENGUAJE MATEMATICO ESPACIO PROYECTIVO MEDIDA DE ANGULOS DEZPLAZAMIENTO is associated with is associated with LENGUAJE DE GEOGEBRA ESPACIO EUCLIDIANO Tomado de: Red semántica obtenida de las hojas de trabajo N 1 con ayuda del software ATLAS TI. 61

62 Figura 29. Red semántica sobre la hoja de trabajo 2. Triángulos Tomado de: Red semántica obtenida de las hojas de trabajo N 2 con ayuda del software ATLAS TI. Figura 30. Red semántica sobre la hoja de trabajo 3.Cuadrados. INTERPRETATIVA is part of ESPACIO PROYECTIVO is part of is part of is part of is part of is associated with MEDIDA DE ÁREA is cause of LENGUAJE MATEMATICO is associated with is cause of MEDIDA DE LONGITUD ESPACIO EUCLIDIANO is associated with is associated with REPRESENTACIÓN Tomado de: Red semántica obtenida de las hojas de trabajo N 3 con ayuda del software ATLAS TI. 62

63 Figura 31. Red semántica sobre la hoja de trabajo número 4 del Teorema de Pitágoras. INTERPRETACION is part of is part of is part of is part of is part of is part of MEDIDAS DE AREA ESPACIO PROYECTIVO LENGUAJE MATEMATICO LENGUAJE DE GEOGEBRA is associated with is associated with MEDIDAS DE LONGITUD is associated with ESPACIO EUCLIDIANO Tomado de: Red semántica obtenida de las hojas de trabajo N 4 con ayuda del software ATLAS TI. 63

64 10. CONCLUSIONES Luego del análisis realizado a todos los estudiantes se han obtenido resultados que nos indica que el proceso de aprendizaje mediante el uso del software se vio fortalecido. Son notables los aportes que geogebra hace al proceso de enseñanza de las matemáticas, tanto para el docente como para los estudiantes; ya que permite un con contacto directo con la herramienta, mejorando la comunicación del lenguaje matemático, y la atención hacia el conocimiento matemático. El aporte de la representación computacional más importante del software, es que permite integrar la parte geométrica con la algebraica, y a la vez ir verificando la variación. En el análisis de los resultados se corrobora que los beneficios que geogebra brindó con gran influencia fueron el desarrollo de autoconfianza de los estudiantes en la construcción e interpretación de espacios proyectivos y Euclidianos. Y la posibilidad de que el estudiante estuviera motivado, activo y participativo en todo momento. Uno de los aportes metodológicos de la investigación para la implementación del geogebra en el aula fue la construcción de hojas de trabajo, las cuales se dividen en dos partes; la primera es la descripción detallada paso a paso de la construcción de un determinado espacio proyectivo o Euclidiano. La segunda está constituida por un cuestionario de preguntas abiertas y cerradas las cuales tienen como objetivo detectar el nivel de entendimiento. Se logró diseñar una secuencia de enseñanza distribuida en ocho sesiones de dos horas cada una, que permitió desarrollar las hojas de trabajo en el aula según lo planeado. Para ser evaluadas posteriormente a través del Atlas ti. 64

65 Son varios los aportes que la implementación del uso del geogebra brinda a los estudiantes, gracias los procesos de experimentación y visualización que permite que ellos mismos manipulen la herramienta, facilitando la construcción de sus propias interpretaciones, a diferencia de las prácticas tradicionales con lápiz y papel. Luego del análisis de la prueba diagnóstica y final, se llega a la conclusión de que éstas no aportaron mayor información para responder total o parcialmente algún objetivo. Ya que el interés del estudiante se centraba en la manipulación de la herramienta cada vez con mayor agilidad, y no en la contestación de exámenes tradicionales con lápiz y papel. 65

66 11. RECOMENDACIONES Conociendo las bondades que nos brinda el software Geogebra, se invita a continuar realizando trabajos e investigaciones los cuales redunden en el mejoramiento continuo del proceso enseñanza-aprendizaje en el área de las matemáticas. Incentivar y capacitar a los docentes del área de matemáticas en cuanto al manejo del software y la forma de cómo abordarlo en el aula de clase. Diseñar guías que sirvan de apoyo en el aula de clase, en las cuales se integre el uso del software Geogebra. Implementar el uso del software Geogebra a nivel municipal y departamental en cada una de las instituciones educativas de educación básica y media. Haciéndola parte activa como herramienta didáctica en el Solicitar la apertura de salas dotadas de todo lo necesario para realizar trabajos con el software dinámico Geogebra. 66

67 REFERENCIAS Ávalos, G. G. (2008). El uso de la tecnología de la información y la comunicación y el diseño curricular. Educación, 32(1), Recuperado de: Balacheff, N. (2000). Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: Complejidad didáctica y expectativas. Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional. Barcelona: Graó. Recuperado de: FjAC&url=http%3A%2F%2Fcentralvirtual.webclic.es%2Fdownload_file.php Bustamante, J. C. (2004). El desarrollo de la noción de espacio en el niño de Educación Inicial. Acción Pedagógica, 13(2), Castro, L. I. G., & Cárdenas, A. M. O. (2008). Modelos mentales sobre el concepto de medida. Revista Latinoamericana de Estudios Educativos (Colombia), (2), Carpenter, TP., y Hiebert, J. (1992). Aprender y enseñar con el entendimiento. Devlin, K. (1997) en Santos, M y Benítez, D. (2003). La estructura lógica de asistido por ordenador razonamiento matemático. La American mensual matemática, 104 (7),

68 De Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en educación matemática. Olimpiada Matemática Argentina. Recuperado de: adoras%20en%20educaci%c3%b3n%20matem%c3%a1tica.*miguel%c2%a0de%c2 %A0Guzm%C3%A1n*TIEMat.pdf Esquivel, E. C., Sánchez, M. C., & Araya, R. G. (2008). Creencias de los estudiantes en los procesos de aprendizaje de las matemáticas. Cuadernos de investigación, 3(4), Recuperado de: García, M. (2011). Evolución de actitudes y competencias matemáticas en estudiantes de secundaria al introducir Geogebra en el aula. Tesis. Almería: Universidad de Almería. 571pp. González-López, M.J. (2001). La Gestión de la Clase de Geometría utilizando Sistemas de Geometría Dinámica. En Kilpatrick, Gómez y Rico (eds.), Iniciación a la investigación en Didáctica de la Matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Universidad de Granada; Recuperado de: Grupo Pedagógico Cambiemos GPC. (2012). Instituto Geogebra del Colombia. Recuperado de: Tolima. Gutiérrez, M., Rojas, G. y Urbano, A. (2011). Caracterización de la evaluación de desempeño docente y la autoevaluación docente como componente enriquecedor de la evaluación anual de desempeño. Estudio en las instituciones educativas de básica y 68

69 media del municipio de Rovira. Tolima. Trabajo de Maestría. Universidad del Tolima. 78pp. Hohenwarter, M., y Lavicza, Z. (2007). Matemáticas desarrollo docente de las TIC: hacia un Instituto Internacional Geogebra. Actas de la Sociedad Británica para la Investigación en Matemáticas Aprendizaje, 27 (3), Recuperado de: Hohenwarter, M., Preiner, J, & Yi, Taeil. (2007). Incorporating Geogebra into teaching mathematicsat the college level. Proceedings of the International Conference for Technology in Collegiate Mathematics Boston, USA: ICTCM. Recuperado de: Hohenwarter, M., Hohenwarter, J., Kreis, I., y Lavicza, Z. (2008). Teaching and learning calculus with free dynamic mathematics software Geogebra. Documento presentado en el ICME th International Congress on Mathematical Education, México. Recuperado de: Instituto Tecnológico Metropolitano ITM. (2012). Instituto Geogebra de Medellín. Colombia. Institución universitaria. Extraído de: Kilpatrick, J., Gómez, P., & Rico, L. (1998). Educación matemática. Errores y dificultades de los estudiantes. Resolución de problemas. Evaluación. Historia. Una empresa docente. Recuperado de: Lombardo, G., Caronía, S., Operuk, R. y Abildgaard, E. (2012). 1ª. Conferencia Latino Americana de Geogebra. ISSN , pp

70 Martínez D, A. (2000). Teorema de Pitágoras: originalidad de las demostraciones de E. García Quijano (1848). Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 3(2), Ministerio de Educación Nacional (MEN) Ed. (2002). Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación de Colombia. Dirección de calidad de la educación preescolar, básica y media. Enlace editores Ltda. Primera edición: ISBN: Bogotá. Mojica, D. B., & Trigo, M. S. (2003). Herramientas tecnológicas en el desarrollo de sistemas de representación para la resolución de problemas. Perfiles Educativos, 25(100), Recuperado de: Morin, E. (2000). Los siete saberes necesarios para la educación del futuro (Vol. 151). Unesco. Navarrete, J. M. (2004). En Gutiérrez, M., Rojas, G. y Urbano, A. Sobre la investigación cualitativa. Nuevos conceptos y campos de desarrollo. Investigaciones Sociales, Lima, 8(13), Osorio Mancilla, L. E., & García, L. I. (2013). Representaciones semióticas en el aprendizaje del teorema de Pitágoras (Doctoral dissertation). Peña Vera, T., & Pirela Morillo, J. (2007). En Gutiérrez, M., Rojas, G. y Urbano, A. La complejidad del análisis documental. Información, cultura y sociedad, (16),

71 Radford, L. (1998). On signs and representations. A cultural account. Scientia Pedagógica Experimentalis, 35(1), Tamayo A, O. E. & Sanmartí, N. (2002). En Castro y Cárdenas. Estudio multidimensional de las representaciones mentales de los estudiantes. Aplicación al concepto de respiración. Recuperad de:http://dialnet.unirioja.es/ Torregrosa, G., & Quesada, H. (2007). En Osorio Mancilla, L. E., & García, L. I. Coordinación de procesos cognitivos en geometría. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 10 (2), p

72 ANEXOS 72

73 ANEXO A. Instrumentos de indagación de ideas previas. HOJA DE INDUCCIÓN FECHA: UNIDAD: Figuras Geométricas TEMA: Inducción Software Geogebra NOMBRE: I.E: OBJETIVO: Dar a conocer las herramientas básicas del software Geogebra con el fin de facilitar un conocimiento previo del manejo de estas y la aplicabilidad en matemática y geometría. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Representación de figuras geométricas, punto, recta paralela, recta perpendicular, intersección, segmento, traslación, dirección y sentido. COMPETENCIAS A DESARROLLAR: - RAZONAMIENTO: Justificar estrategias y procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, explicar usando hechos y propiedades. - PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Formular y plantear problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas. - COMUNICACIÓN: Expresar ideas, comprender, interpretar y evaluar en formas diversas. Construir, interpretar y relacionar diferentes representaciones de ideas y relaciones. PROCESO: Se dan a conocer las diferentes herramientas (básicas) del software y se plantearan y desarrollaran unos ejercicios matemáticos donde se explorara el manejo del software y por último se sacaran unas conclusiones. ACTIVIDAD 1.1. OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD: Comprender el manejo del software Geogebra. 1. Dibujar un polígono regular de 8 lados (octágono) de dos formas diferentes y escribe cada uno de los pasos que utilizo para obtenerlos. 73

74 2. Dibuje un círculo y mencione las tres diferentes formas en que se puede construir y que datos nos piden en cada uno de ellos. 3. Construir un triángulo con un deslizador (según las indicaciones dadas). Y responde: Al desplazar el punto arbitrario del deslizador, las propiedades de la figura permanecen? Sí, no Por qué? ACTIVIDAD 1.2. OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD: Conocer la importancia y aplicabilidad del software Geogebra. Realice la siguiente lectura y responde las preguntas que se plantean: GEOGEBRA Es un software que permite realizar construcciones dinámicas e interactivas, fácilmente exportables a aplicaciones web, en las que podemos manipular las expresiones (geométricas, numéricas, algebraicas o tabulables) y observar la naturaleza de las relaciones y propiedades matemáticas a partir de las variaciones producidas por nuestras propias acciones. En su corta historia ya ha obtenido una serie de prestigiosos premios a la calidad didáctica y ha sido producido a más de 40 idiomas. (Tomado de https://sites.google.com/a/ut.edu.co/usoftmath/geogebra/introduccion). 74

75 4. Para usted que significa que el software Geogebra sea dinámico e interactivo? 5. Cree usted que este software mejora el desarrollo de su pensamiento matemático? 6. Cómo se sintió con la utilización del software Geogebra, que inquietudes despertó en usted, que expectativas le creo, le quedaron algunas dudas? 75

76 ANEXO B. Prueba Diagnóstica PRUEBA DIAGNOSTICA FECHA: UNIDAD: Figuras Geométricas ACTIVIDAD: Prueba Diagnostica NOMBRE: I.E: 1. Con sus palabras defina que es un: a) Un Triángulo: b) Un Cuadrado: c) Un Rectángulo: d) Un Pentágono: 76

77 Contesta las preguntas 2 y 3 de acuerdo a la siguiente información: En la siguiente figura se ilustra el diseño de un parque con zonas verdes y caminos demarcados: 2. Cuál de los siguientes recorridos realizados por los caminos demarcados, NO tiene forma de triángulo? Justifica tu respuesta. A. C - E - A C B. B - F - C B C. A - E - D F D. B - C - F B 3. Cuál de los siguientes pares de ángulos son agudos? Justifica tu respuesta. A. DCF Y EFD B. CBD Y ACB C. ABC Y AFE D. BDC Y BED 77

78 A= 90 cm 78

79 79

80 ANEXO C. Hoja de Trabajo Nº1 FECHA: GRADO: Séptimo UNIDAD: Figuras Geométricas TEMA: Construcción de ángulos NOMBRE: I.E: OBJETIVO: Utilizar construcciones de ángulos para identificarlos según su medida y compararlos a través de argumentos claros. COMPETENCIAS A DESARROLLAR a. Comunicación: utiliza construcciones de ángulos para comparar su medida. b. Razonamiento: Usa construcciones y presenta argumentos para mostrar la relación de los ángulos. c. Resolución: Construir argumentaciones formales y no formales sobre propiedades y relaciones de los ángulos. PROCESO: Se utilizaran herramientas (básicas) del software y se construirán ángulos que permitan relacionar los diferentes tipos de ángulos con las figuras geométricas. ACTIVIDADES 1. Abra el programa Geogebra y siga paso a paso el siguiente tutorial: Ejes: No Cuadrícula: No Vistas: gráfica Atracción de Punto a Cuadricula: desactivada (En Opciones). Paso a Paso 1. Construya un segmento horizontal cuyos extremos sean los puntos A y B 2. Construya un Deslizador para ángulos, nómbrelo valor, con un intervalo de 0 a 360 e incremento de 1. Herramienta de Construcción SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS DESLIZADOR 80

81 3. Active la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto, el ángulo indicado, y ROTA OBJETO EN TORNO A UN PUNTO, EL ÁNGULO INDICADO elija, dando clic primero el punto B y luego él A y en la casilla que emerge escriba valor. 4. Renombre el punto B llámelo C. PROPIEDADES 5. Construya el segmento AC. SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS 6. Construya el ángulo BAC ANGULO 7. Sobre el ángulo desactive Mostrar PROPIEDADES Rótulo del ángulo y en Estilo escoja tamaño Inserte el siguiente texto α= valor. α lo INSERTAR TEXTO encuentra en Símbolos y en Objetos seleccione valor. 9. construya un texto que diga: El ángulo INSERTAR TEXTO se clasifica como: 10. relacionando con el punto 9 escriba INSERTAR TEXTO uno a la vez, los siguientes textos: NULO, AGUDO, RECTO, OBTUSO, LLANO, CONCAVO Y DE UNA VUELTA. 11. Escribirlas siguientes condiciones PROPIEDADES DEL OBJETO, sobre cada uno de los textos: LUEGO AVANZADO, LUEGO NULO valor=0 CASILLA CONDICION PARA AGUDO 0 <valor<90 EXPONER OBJETO RECTO valor=90 OBTUSO 90 <valor<180 LLANO valor=180 CONCAVO 180 <valor<360 DE UNA VUELTA valor=360 81

82 12. Coloque el punto A y el punto B como Objetos Fijos. 13. Construya una circunferencia con centro en A y radio igual al del arco que indica la presencia del ángulo. 14. Modifique el color y la opacidad para que la circunferencia y los nombres de los ángulos para que se vean con la apariencia que usted desee. 15. Sobre la circunferencia construida, coloque la Condición para exponer el Objeto escriba valor= Sobre el Deslizador, Seleccione animación automática y escoja la velocidad y estilo que desee. 17. Guarde el archivo con el nombre actividad clasificación de ángulos. PROPIEDADES, BASICO. CIRCUNFERENCIA DADO SU CENTRO Y UNO DE SUS PUNTOS. PROPIEDADES PROPIEDADES PROPIEDADES ARCHIVO, GUARDAR COMO. ACTIVIDAD DE ÁNGULOS FECHA: GRADO: Séptimo UNIDAD: Figuras Geométricas TEMA: Construcción de ángulos NOMBRE: I.E: 1. Teniendo en cuenta la actividad realizada con la ayuda de geogebra describa con sus palabras que es un ángulo. 82

83 2. Cuál es la diferencia entre cada uno de los ángulos utilizados en el ejercicio en Geogebra: 3. existe alguna relación entre los diferentes tipos de ángulos usados en el ejercicio en Geogebra? 83

84 ANEXO D. Hoja de Trabajo Nº 2 DOCENTE: FECHA: Abril de 2013 GRADO: Séptimo UNIDAD: Figuras Geométricas TEMA: El Triángulo SUBTEMA: Cálculo del Área de un Triángulo MATERIALES: fotocopia de la hoja de trabajo 2, equipos de cómputo, programa Geogebra, Video Beam. PRE-REQUISITOS: conocimientos previos rectas y puntos notables, segmentos, tipos de rectas, medidas de longitud, perímetros, áreas, ángulos y teorema de Pitágoras. COMPETENCIAS A DESARROLLAR a. Comunicación: Reconocer las propiedades geométricas del triángulo. b. Razonamiento: Utilizar técnicas y herramientas a través del programa Geogebra, para la construcción de figuras planas y cuerpos de cuatro lados con medidas dadas. c. Resolución: Construir argumentaciones formales y no formales sobre propiedades y relaciones de los triángulos.. PREGUNTAS GENERADORAS 1. Explique la relación entre los ángulos internos de un triángulo. 2. Describe cómo saber sin un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo a partir de la longitud de sus lados, antes de dibujarlos. 3. A qué se le llama altura de un triángulo? 5. Describa con sus palabras, como construiría un triángulo paso a paso en Geogebra. 6. Diga cuál es la conjetura de la suma angular de los triángulos. 7. Cuál es la conjetura del triángulo isósceles? ACTIVIDAD DE CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO 1. Abra el programa Geogebra y siga paso a paso el siguiente tutorial: Ejes: No Cuadrícula: si Vistas: gráfica y algebraica Atracción de Punto a Cuadricula: desactivada (Opciones). 84

85 Paso a Paso Herramienta de Construcción 1. Cree un deslizador de nombre a Deslizador. Min: 0 Max:10 Incremento: dibuje un segmento AB con longitud a. Segmento de longitud fija. 3. compruebe que el deslizador está ampliando Elije y mueve la longitud del segmento AB y déjelo en 5 cm. 4. Trace una perpendicular por el punto A Recta Perpendicular. creando un punto C 5. Dibuje un triángulo sobre puntos ABC Polígono. 6. Compruebe que el triángulo es rectángulo, midiendo los ángulos internos del triángulo. Angulo. 7. Mida los lados del triángulo. Distancia o longitud. 8. Hallar el área del triángulo. Área 9. Oculte la perpendicular creada. Muestra/oculta objeto 10. Adicionar texto: en la caja escribir SUMA DE Insertar texto ANGULOS DEL TRIANGULO = 11. ADICIONAR ENTRADA: escribir el símbolo Entrada de los ángulos y sumarlos 12. Adicionar texto: en la caja ESCRIBIR Insertar texto A+B+C=SIMBOLO OBTENIDO EN LA SUMA DEL PUNTO GUARDAR EL DOCUMENTO ARCHIVO 2. Teniendo en cuenta la primera actividad, con la ayuda de Geogebra represente los triángulos rectángulos que se proponen a continuación, según sus lados, complete la siguiente tabla y deduzca la relación existente: 85

86 LADOS ÁREA DEL a b c TRIANGULO , , RELACION 3. Existe alguna relación entre los lados de un triángulo y su área? Describa sus conclusiones. 4. Teniendo en cuenta la primera actividad, con la ayuda de Geogebra. Represente los siguientes triángulos rectángulos que se proponen a continuación, y según sus ángulos complete la siguiente tabla, escribiendo la conclusión. ANGULOS A+B+C CONCLUSIÓN A B C

87 ANEXO E. Hoja de Trabajo Nº 3 DOCENTE: FECHA: Abril de 2013 GRADO: Séptimo UNIDAD: Figuras Geométricas TEMA: El Cuadrado SUBTEMA: Área de un Cuadrado MATERIALES: fotocopia de la hoja de trabajo 3, equipos de cómputo, programa Geogebra, Video Beam. PRE-REQUISITOS: conocimientos previos rectas y puntos notables, segmentos, tipos de rectas, medidas de longitud, perímetros, áreas, ángulos y teorema de Pitágoras. COMPETENCIAS A DESARROLLAR a. Comunicación: Diferenciar el cuadrado en un grupo de cuadriláteros describiendo las condiciones que debe cumplir para poder ser clasificado como cuadrado. b. Razonamiento: Construir con GeoGebra un cuadrado de tamaño variable sustentando la necesidad de utilizar cada herramienta y el orden en su utilización. c. Resolución: Expresar en lenguaje cotidiano y simbólico la fórmula para hallar el área de cualquier cuadrado y Calcular el lado y el área de cuadrados en situaciones y contextos diversos de la vida diaria y de las otras ciencias. SITUACIÓN PROBLEMA Construir con GeoGebra un cuadrado cuyo tamaño y posición pueda variarse a voluntad y en el cual se visualice el área correspondiente y el proceso para hallarla: 87

88 PREGUNTAS GENERADORAS 1. Cuándo dos rectas son perpendiculares? 2. Cuándo dos rectas son paralelas? 3. Qué es un cuadrilátero? 4. Qué es un cuadrado? 5. Qué es 1 cm², 1 dm², 1 m²? 6. Cuáles son los pasos que Usted llevaría a cabo para construir un cuadrado de 8 cm de lado? PROCEDIMIENTO 1. Abra el programa GeoGebra 4.0 y siga paso a paso el tutorial para construir un cuadrado. CON EL PROGRAMA GEOGEBRA - PREPARACIÓN DEL ESCENARIO Ejes: No Cuadrícula: si Vistas: Solo vista gráfica Atracción de Punto a Cuadricula: Fijado a Cuadricula (En Opciones). Paso a Paso Herramienta de Construcción 1. Dibujar segmento AB Segmento entre Dos Puntos 2. Trazar perpendicular por el punto A Recta Perpendicular. 3. Dibujar una circunferencia con centro en Circunferencia dado su Centro y uno de A y radio AB sus Puntos 4. Hallar la intersección de la perpendicular Intersección de Dos Objetos y la circunferencia 88

89 5. Trazar la perpendicular por el punto c de Recta Perpendicular intersección hallado. 6. Ocultar la circunferencia Muestra Objeto 7. Dibujar la perpendicular por el punto B Recta Perpendicular 8. Hallar la intersección entre las Intersección de Dos Objetos perpendiculares trazadas. 9. Redibujar el cuadrado ABEC Polígono 10. Ocultar las perpendiculares y punto D Expone/ oculta objeto. Distancia o longitud 11. Hacer visible el valor de uno de los lados del cuadrado. 12. Hallar el área del cuadrado. Área. Clic en el interior del cuadrado 13. Adicionar el texto: ÁREA DEL CUADRADO = LADO X LADO = Insertar Texto. Nota: la a se selecciona en la opción Objeto de la caja de dialogo AREA DEL CUADRADO = LADO X LADO = a x a = a*a 14. A continuación se busca en Objetos la letra a ( aparecerá en un recuadro) se escribe el signo X y después el objeto a de nuevo Insertar Texto. Nota: la a se selecciona en la opción Objeto de la caja de dialogo AREA DEL CUADRADO = LADO X LADO = a x a = a*a 15. Se escribe el signo igual, luego el objeto a y dentro del mismo recuadro se escribe a continuación de la a el * y nuevamente la a. Insertar Texto. Nota: la a se selecciona en la opción Objeto de la caja de dialogo AREA DEL CUADRADO = LADO X LADO = a x a = a*a 16. Dar formato al texto: tamaño, color, etc. Clic derecho sobre el texto Propiedades de Objeto 89

90 2. Verifique que se siguen conservando las condiciones del cuadrado sin importar su tamaño y posición. (Arrastre los vértices). 3. Cuando haya terminado la construcción del cuadrado en GeoGebra tendrá una figura como la que se muestra a continuación: 4. Arrastre con el mouse el punto A o el punto B y complete la siguiente tabla: Lado del Área del Cuadrado Cuadrado 1m 2m 9m² 4m 7m 9m 64m² 5. Existe alguna regularidad entre los lados del cuadrado y su área? escríbala en el siguiente espacio. 90

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