Matemática 4 tica m te a M

Transcripción

1 Mtemáti Terer Cilo de Eduión Generl Bási pr Adultos MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

2 Mtemáti Terer Cilo de Eduión Generl Bási pr Adultos MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

3 Ministro de Eduión de l Nión Prof. Dr. Hugo Osr Juri Seretrio de Eduión Bási Li. Andrés Delih Suseretrio de Eduión Bási Li. Gustvo Iies infope@me.gov.r Mteril elordo por los Equipos Ténios del Progrm de Aiones Compenstoris en Eduión del Ministerio de Eduión. Ministerio de Eduión de l Nión. Snt Fe 8. Buenos Aires. Heho el depósito que mr l ley.7. Liro de ediión rgentin. ISBN Primer Ediión. Primer Reimpresión.

4 Índie Introduión... Números rionles... Friones equivlentes... Comprión de friones... Operiones on friones... Sum y rest de friones on igul denomindos... Sum y rest de friones on distinto denomindor... Multipliión de friones... División de friones... Poteniión on se frionri... Cálulos on expresiones deimles Rdiión... 9 Cálulo proximdo... Notión ientífi... Geometrí: Triángulos... Propiedd de los ldos... Angulos interiores... Alturs... Introduión l estdísti... Universo o polión... Instrumentos... Vriles estdístis... Freuenis... Digrms... Prámetros estdístios... Clves de orreión Anexo...

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6 Introduión En el Liro nterior se menionó que los números pueden ser usdos pr ontr o pr medir. De uerdo on d situión se utilizn diferentes tipos de números: nturles, enteros o rionles. Usted y h estudido el onjunto de los números nturles y el de los enteros y ómo se oper on ellos. En l primer prte de este Liro nlizrá ls operiones que se relizn on los números rionles. En l segund prte ontinurá on geometrí. Se trj sore el triángulo y lguns de sus propieddes. En l prte finl del Liro enontrrá un nexo on el mteril que utilizrá en este tem. Por último omenzrá estudir spetos generles de estdísti. Atulmente, los medios de omuniión utilizn est rm de l mtemáti pr presentr grn prte de l informión que desrrolln. Aquí se propone el estudio de los oneptos ásios pr l letur y omprensión de diversos udros y digrms de uso orriente.

7 Números rionles Los números rionles pueden esriirse omo frión o en su expresión deiml. Comenzremos trjr on los números rionles en su expresión frionri. Oserve l pred representd en el diujo. Ls erámis utilizds pr revestirl fueron olods prolijmente en fils hst iert ltur. Cuánts fils de erámi revisten l pred? Cuánts erámis hy en d fil? Cuánts erámis hy en totl? Si l tortug tiene que reorrer desde A hst B qué prte del mino reorrió l tortug? Ests últims pregunts pueden ser ontestds on un número entero? No, pr ontestr ests pregunts es preiso utilizr friones; Hy erámis y por d fil Hy 8 erámis y en totl L tortug reorrió del mino. 6

8 , 8 y son números rionles expresdos on friones. Pr esriir un frión se utilizn dos números enteros, por lo tnto, el numerdor y el denomindor pueden ser números positivos, negtivos o el ero; l úni restriión es que el denomindor no puede ser ero. Numerdor Denomindor Revise en el Módulo, Liro pr repsr este tem si no lo reuerd. Reuerde que undo se quiere generlizr, por ejemplo l definiión de frión, deemos reemplzr los números por letrs. De est mner se indi que no nos referimos un so prtiulr; (por ejemplo ) y que si firmármos que l mner de esriir friones es estrímos diiendo que l úni form de esriir un frión es on un y on un. Llmremos " y " los números que formn l frión. De este modo referirnos de un modo generl, ulquier número "" o ulquier número ". Es el... e indi... Es el... e indi... Generlizndo Un frión tiene l form donde y son números enteros y 0 es el numerdor y el denomindor de l frión En l vid otidin utilizmos freuentemente expresiones frionris. Por ejemplo pr indir los ingredientes de un reet de oin: Ingredientes J litros de lehe pn de mnte tzs y de hrin kilogrmo de zúr Ministerio de Cultur y Eduión de l Nión 7

9 Tmién se utilizn friones en situiones omo ls siguientes: pr- Tres de ls utro persons de l ol son homres; es deir tes de quienes están en l ol son homres. Cutro de los diez utos son lnos; es deir 0 lnos. de los utos son 8 Es muy freuente referir l informión en relión on un totl de 00. Así, por ejemplo, se die 0 de d 00 persons de un rrio tienen uto propio". En friones esto se expres omo Tmién suele deirse el 0 % de...", que es un expresión equivlente. En síntesis, undo se utiliz l expresión "tnto por iento" -que se represent on el número seguido del símolo %- signifi que l informión está referid un frión on denomindor 00.

10 Atividd Nº Pr representr ls siguientes friones se hn utilizdo diferentes figurs: rrs, írulos, udrdos, que representn l unidd. Ls prtes en que se dividió d figur indin el denomindor (urtos, medios, terios, et.). El numerdor está expresdo en ls prtes somreds. Complete el numerdor, el denomindor o mos y los somredos orrespondientes, pr indir l frión representd. Represente en l ret numéri los números que hy otenido en l primer olumn. 0 9

11 d e f Entre qué números enteros están tods ls friones de l primer olumn? En todos estos sos ómo es el numerdor on respeto l denomindor? En l primer olumn todos los números son menores que. Los de l segund olumn son myores, menores o igules? Cómo son en estos sos el numerdor y el denomindor? Oserve ls friones que quedron esrits en l terer olumn. Cómo son el numerdor y el denomindor? Ests friones son menores, myores o igules? Antes de ontinur onsulte ls Clves de Correión. De uerdo on ls respuests de l Atividd Nº, ls friones de l segund olumn son myores que. Esto tmién lo podemos oservr si representmos dihos números en l ret numéri. Pr representr de mner más senill estos números podemos pensr d uno de ellos omo un número entero más un frión de un unidd, tl omo en los gráfios nteriores. Por ejemplo el primero de los números es, que es entero más 8 8 de l unidd, por lo que en l ret este número está entre y. Pr uirlo on preisión dividimos el segmento que está entre y en 8 prtes igules (otvos) y mrmos l terer de ells. 0

12 Un so prtiulr de friones Consideremos uniddes igules y que d un de ells esté dividid en prtes igules, es deir en urtos. Considere 8 de ess prtes, es deir 8. Result entones que se hn onsiderdo dos enteros pr otener los 8 es deir 8 = Considere otro so. Cd un de ls tres uniddes son igules y están dividids en terios, en totl hy nueve terios. Entones: 9 = Si d unidd, tods igules entre sí, está dividid en medios, tener oho mitdes de enteros igules equivle tener enteros. Entones 8 =. Como se oserv en los ejemplos nteriores, hy friones que equivlen números enteros, o lo que es lo mismo: todo número entero puede expresrse omo un frión. Atividd Nº Qué relión dee existir entre el numerdor y el denomindor pr que un frión positiv se: menor que myor que igul equivlente un número entero

13 En l foto hy mnzns enters más otr medi mnzn o se ó Ls friones myores que uno (omo ) pueden esriirse tmién seprndo ls uniddes que ontienen: es un expresión mixt. Es muy omún expresr ntiddes de est mner: L pelíul duró hors y urto" Un kilo y medio de pn ( ) ( ) Hst quí se h trjdo on números frionrios positivos, pero hemos diho que el numerdor y el denomindor son números enteros, por lo tnto uno o mos pueden ser negtivos. Reuerde que l úni restriión es que el denomindor no se ero. ó Si el numerdor es positivo (+) y el denomindor (-) uál es el signo de l frión? Y si mos números son negtivos? Teng presente l regl de signos estudid en el Liro nterior. Por ejemplo: Si el numerdor es y el denomindor es - deerímos esriir -. Si el numerdor es - y el denomindor - deerímos esriir -. - En lugr de esriir el signo de d uno de los números que formn l frión se olo un signo negtivo l ltur de l líne de frión, si es que sólo uno de los dos números es negtivo. No se olon los signos negtivos de d número si mos lo son. Es deir:

14 En lugr de esriir esriimos - - No esriimos - sino porque mos son negtivos y l dividir un - negtivo por un negtivo l frión result positiv. En l ret numéri, del mismo modo que en los enteros, ls friones negtivs se olon l izquierd del ero. Por ejemplo: - está entre - y - - está entre 0 y Los números enteros más ernos - son - y -. Atividd Nº Clule mentlmente uáles son los enteros más próximos entre los que están ls siguientes friones. 8 7 entre... y... entre... y entre... y... - entre... y... entre... y... entre... y... Qué relión dee existir entre el numerdor y el denomindor de un frión negtiv pr que se: menor que - myor que - igul - equivlente un entero negtivo

15 Friones equivlentes Piense en lgún migo o fmilir que teng uno o vrios sorenomres. Usted puede referirse es person de diferentes forms. Lo mismo suede on los números. Un mismo número puede ser expresdo de diferentes mners, pero siempre es el mismo número, porque ls expresiones son equivlentes. Atividd Nº Tods ls tirs diujds representn l unidd. Tods ells son igules. Somree ls prtes que orrespondn pr representr l frión indid en d so. Compre ls prtes del entero que somreó. En d so ómo son entre sí? Represente ls utro friones en l ret numéri. Primero trte de deduir qué ourrirá. Antes de ontinur onsulte ls Clves de Correión.

16 Tl omo hrá oservdo en l tividd nterior, es posile esriir on números distintos, friones que representn l mism ntidd. Ls friones, 6, 9, representn el mismo número rionl. Tienen diferente esritur, pero representn l mism nti- 8 6 dd. Es deir son friones equivlentes. Se puede esriir: = 6 = 9 8 = 6 En síntesis Ls friones que orresponden un mismo punto de l ret numéri son friones equivlentes. Este punto de l ret represent un número rionl. Este número puede expresrse trvés de ulquier de ls friones equivlentes o en su expresión deiml. En el ejemplo se presentron friones equivlentes. Pero uál es el proedimiento pr otener un frión equivlente otr? Ser equivlentes, es deir representr el mismo número, impli que si se modifi el numerdor de un frión dd (umentándolo o disminuyéndolo) se dee modifir tmién el denomindor de mner proporionl. Por ejemplo: Si l numerdor y l denomindor de l frión por l multiplimos x = x 6 8 otenemos 6 que es equivlente. 8

17 Si se multipli por tendrímos: x = 6 x otenemos que es equivlente. 6 Tmién podrímos her elegido omo ftor el número, x = 0 x otenemos que es equivlente. 0 Podrímos her elegido omo ftor: x = 7 00 x otenemos 7 que es equivlente 00. Como deiml se expres 0,7. En porentje: 7%. El proeso de hllr friones equivlentes un dd, multiplindo numerdor y denomindor por un mismo número se llm mplifiión. Atividd Nº Esri ls friones equivlentes d un de ls que se presentn ontinuión, respetndo el numerdor o denomindor indido. (Piense por qué número multiplir o dividir lgun de ls friones pr otener lo que quiere.) 8 6 = = = = 9 0 = = 7 80 = = = = = = 00 Pr d un de ls friones usted esriió otrs utro equivlentes. Son ls únis? Cuánts friones equivlentes tiene un frión dd? 6

18 Atividd Nº6 Trte de hllr mentlmente friones equivlentes pr d un de ls que se presentn quí: = = = 0 = Atividd Nº7 Pr d uno de los siguientes pres de friones hlle otro pr de friones que sen equivlentes ls dds, pero que tengn el mismo denomindor. 8 y y 6 y Ls friones equivlentes no sólo pueden hllrse por mplifiión. Cundo el numerdor y el denomindor pueden dividirse por un mismo número tmién se otienen friones equivlentes. En l frión 6 tnto el omo el 6 pueden dividirse por un mismo número, por ejemplo, por, entones: : = 6 8 : otenemos que es equivlente

19 Pero el y el 6 tmién son divisiles, es deir que se pueden dividir extmente, por : = 6 : 8 otenemos 8 que tmién es equivlente. 6 Atividd Nº8 Además del y el existen otros tres divisores omunes y 6. Enuéntrelos y oteng ls friones equivlentes orrespondientes. : 6 = : : 6 = : : 6 = : El proeso por el ul hllmos friones equivlentes un dd, dividiendo el numerdor y el denomindor por un mismo número, se llm simplifiión. Atividd Nº9 Cuánts friones equivlentes 6 pueden otenerse dividiendo el numerdor y el denomindor por un mismo número? Exprese ómo pueden hllrse friones equivlentes por mplifiión y por simplifiión. Vemos más ejemplos de simplifiión. 8 L frión 0 puede ser simplifid pues el numerdor y el denomindor son divisiles por un mismo número. En este so por o por. Conviene, en estos sos dividir por el myor de los números.

20 0 = : 0 : = entones 0 = Si no huiérmos dvertido que el myor número por el ul er posile dividir el numerdor y el denomindor er y huiésemos dividido por, l frión sí otenid 6 0 puede volver dividirse por oteniendo de igul form l frión. L frión 8 tmién dmite l posiilidd de ser simplifid por distintos números. Por, por y por 8. Como y se señló onviene simplifir por el myor de todos. En este so por 8: 8 = 8 : 8 : 8 = entones 8 = Igul que en el ejemplo nterior puede no herse dvertido que est frión se puede simplifir por 8. Supong que sólo dvierte que se puede simplifir por. 8 = 8 : : = L frión equivlente otenid dmite l posiilidd de volver ser simplifid, por ejemplo por. = : : = Al simplifir por y luego por otenemos el mismo resultdo que simplifindo diretmente por 8. Cundo un frión puede ser simplifid por diferentes números, si no lo hemos por el myor de ellos, l frión otenid dmite l posiilidd de ser nuevmente simplifid. Cundo y no es posile seguir simplifindo, l frión otenid se l denomin frión irreduile. es l frión equivlente irreduile de es l frión equivlente irreduile de 0 8 9

21 Muhs persons relizn l simplifiión thndo el numerdor y el denomindor de l frión y esriiendo en su lugr el resultdo de l división de numerdor y denomindor por un mismo número. Por ejemplo, si tenemos l frión 0 y no dvertimos 00 que puede simplifirse por 0, pero sí por 0 y luego por, proedemos de l siguiente mner: 0 00 = (dividiendo numerdor y denomindor por 0) = (dividiendo por ) entones = Otener ls friones irreduiles es útil pr operr on friones. Al simplifir se podrán expresr ls misms ntiddes dds on números menores en los numerdores y los denomindores, lo que filitrá l resoluión de operiones. Atividd Nº0 Indique si son o no equivlentes los siguientes pres de friones: 8 y 0 y y y 6 y 8 8 Explique ómo hizo pr reonoer uáles ern equivlentes y uáles no. Atividd Nº 0 Esri l frión irreduile equivlente : 00 7 = 8 = 6 = 8 0 = 0 0 = =

22 Atividd Nº Esri tres friones irreduiles que tengn: Numerdor Denomindor Numerdor Al iniir el tem se señló que un frión on denomindor 00 suele expresrse omo porentje: 0 = 0%. 00 En l vid otidin utilizmos muhs vees equivlenis entre friones y porentjes. Oserve lgunos ejemplos. Si se onsider, por mplifiión puede otenerse multiplindo numerdor y denomindor por 00. = 00 que es lo mismo que esriir %. Por ello l urt prte equivles %. = 0 00 que es lo mismo que esriir 0%. Así l mitd es el 0%. 0 = 0 00 que es lo mismo que esriir 0%. L déim prte es el 0%. Tmién es freuente utilizr expresiones deimles que equivlen friones irreduiles. Por ejemplo: Compré metro de tel equivle ompré 0, m de tel. Poner kg de hrin equivle poner 0,7 kg de hrin.

23 Atividd Nº Clule mentlmente qué porentjes equivlen ls siguientes friones (reuerde que dee enontrr friones equivlentes on denomindor 00). = = 9 0 = Comprión de friones En ls situiones nteriores se puede oservr que pr omprr friones es neesrio referirse l mismo entero. Al omprr dos números frionrios no siempre result senillo deir uál de ellos es myor. Trjremos en ls próxims tividdes sore distints situiones posiles:

24 un de ls friones es negtiv y l otr positiv; ms son positivs y tienen igul denomindor; ms son positivs y tienen numerdores igules; ms son positivs y tienen distintos numerdores y denomindores; ms son negtivs. Atividd Nº Un de ells es negtiv y l otr positiv. Por ejemplo - 6 y Si se ompr un número positivo y un número negtivo, uál estrá siempre más l izquierd? por qué? Si un número es negtivo y el otro positivo uál es el menor? por qué? Atividd Nº Ams son positivs y tienen igul denomindor. Por ejemplo y Mrque mos números en l ret. Complete on <, > o =... Exprese ómo reonoer uál es l menor de ls friones positivs si ésts tienen igul denomindor. Justifique l respuest.

25 Atividd Nº6 Ams friones son positivs y tienen distinto denomindor pero los numerdores son igules. Ejemplo : Ejemplo : y y Represente ls friones en l ret numéri o en gráfios (ómo le resulte más fáil) pr determinr en d uno de los ejemplos uál es l frión menor. Cuál es l frión menor si ls dos son positivs y tienen igul numerdor? por qué? Atividd Nº7 Ams friones son positivs y tiene distintos denomindores y numerdores. Pr nlizr este so ompremos dos pres. on on 0 Mrque en l ret mos pres de friones. Complete on <, > o = d e f Pr determinr el menor es sufiiente omprr los numerdores o los denomindores omo en los sos nteriores? Por qué? Se pueden otener friones equivlentes ls dds pero que tengn ms el mismo denomindor? Cuál es el menor denomindor omún que pueden tener ls friones y? Esri ls friones equivlentes ls dds, on igul denomindor y exprese uál de ells es myor.

26 g Relie el proeso nálogo pr omprr on 0 h Exprese ómo reonoer l myor de ls friones si tienen distintos numerdor y denomindor y son positivs. Atividd Nº8 Ams friones son negtivs. Repse el tem Comprión de números negtivos que y estudió en el Liro. Estlez uál es l myor. Fundmente su respuest. - y - - y - - y - Atividd Nº9 En un lnz de pltillos hy: en uno de los pltos 7 de kilogrmo y en el otro de kilogrmos. Cuál de los dos pltillos pes más? Un tuer mide de pulgds otr de pulgd. Cuál es 8 más grnde? En los siguientes pres de friones oloque <; = ó > según orrespond

27 Operiones on friones Hemos diho que l omprr friones es preiso nlizr si se refieren l mismo entero. A modo de ejemplo, no es lo mismo l mitd de l polión de l provini de L Rioj que l de l provini de Buenos Aires. Del mismo modo hrá que onsiderr que pr operr on friones ésts deen estr referids l mismo entero, pues no se puede operr si se refieren diferentes enteros. Sum y rest de friones on igul denomindor L rr de hoolte de l figur está dividid en 8 prtes de proximdmente el mismo tmño. Si primero se ome prtes, es deir, proximdmente 8 del hoolte y más trde se ome otrs tres, es deir proximdmente de l rr. Qué prte del 8 totl se omió? 8 Si primero omió y luego poriones, en totl omió poriones; o lo que es lo mismo = 8 6

28 Atividd Nº0 Por qué en l sum nterior se mntiene el denomindor 8? Esri un enunido sore ómo se sumn y restn friones de igul denomindor. Pr sumr o restr friones de igul denomindor Relie ls siguientes operiones. + =... + = =... - =... Sum y rest de friones on distinto denomindor Y se nlizó ómo se sumn o restn friones on igul denomindor. Este proedimiento se puede plir pr l sum o rest de friones on diferente denomindor? Anlie el siguiente ejemplo: Compré kg de pn y luego kg más. Cuánto ompré en totl? Es evidente que ompré kg. Fáilmente se puede onsiderr que el kg de l primer ompr equivle. Como hor se tiene un frión on igul denomindor que l segund ( ) se pueden sumr sin difiultd. Pr nlizr en generl l sum de friones de distinto denomindor, relie l siguiente tividd. 7

29 Atividd Nº Se quiere sumr Pr ello: Hlle series de friones equivlentes ls dds. Como son irreduiles en todos los sos deerá otenerls por mplifiión. A modo de ejemplo está resuelt l primer serie. = = 6 = 8 = = = = = = = = = = = = = 6 = = = = = = = = d e f Cd un de ls friones dds uánts equivlentes tiene? Reuerde que usted sólo hlló lguns. Compre ls friones equivlentes ; ; y 6. Es posile expresr d un de ls friones dds en otrs tres friones que tengn entre sí el mismo denomindor? Si se ontinú olondo friones equivlentes se hllrín más friones equivlentes ls dds on igul denomindor (denomindor omún)? Cuánts friones equivlentes ; y 6 tienen denomindor omún? Cuál es el resultdo de + + 6? Usted y h resuelto sums de friones on igul denomindor. Relizr l tividd nterior le permitió ompror que es posile reemplzr d frión por otr equivlente y hllr l sum utilizndo ls equivlentes que tengn entre sí igul denomindor. Anlie l siguiente sum: Pr ls friones y es posile hllr infinits friones que 6 tengn denomindores omunes, pero es onveniente utilizr el menor de ellos, pues es más senillo operr on números menores.

30 = 6 = 9 = = = = En este so el menor denomindor omún es. Si se onvierten ms friones en equivlentes de denomindor se otiene que: =. = 9 y =. = Entones sumr + es equivlente sumr + y por tener igul 9 6 denomindor se proede sumndo los numerdores. + = = Por lo tnto + = 6 Considere hor l sum +. Se horr tiempo si en lugr de esriir tods ls friones equivlentes se trt de hllr diretmente el menor denomindor omún en tods ls friones equivlentes. Si en ls friones y los denomindores son y. Los números que se otienen de multiplir d uno de ellos por,,... et, serán: pr pr A estos números se los llm múltiplos de (0,, 6, 9,... ) y múltiplos de (0,, 8,, 6...) El menor múltiplo omún de los números y es, omo se puede oservr en ls series, el. Preguntrse por el menor de los múltiplos omunes es preguntrse uál es el menor de los números que puede dividirse por y por oteniendo omo resto 0. L respuest es el menor denomindor omún de ls friones dds. Hlldo el omo el menor denomindor omún, pueden usrse ls friones equivlentes. A hy que expresrlo on denomindor, es deir hy que preguntrse por qué número multiplio (denomindor) pr lle- 9

31 gr? L respuest es. Por este mismo número hy que multiplir (numerdor) si se quiere otener un frión equivlente. x = 8 x Del mismo modo se proede on el frión. Como es el número por el que hy que multiplir pr otener se tiene: x = 9 x Así + = = 7 = Atividd Nº ; ; = 8 Considere ests tres friones: = 9 Cuál es el denomindor omún pr los denomindores, 0 y 6? Piense en el menor de todos los posiles denomindores omunes. Complete sore l líne de puntos ls onversiones ls friones equivlentes: =. = 9 = 9.. = 0 =. = Reemple d frión por l equivlente que hlló y resuelv: = + - = 0 6 En síntesis: Pr sumr o restr friones de igul denomindor, se sumn o restn los numerdores + = +. Pr sumr o restr friones de distinto denomindor, se reemplzn ls friones dds por friones equivlentes que tengn denomindor omún, y luego se sumn o restn. 0

32 Uso de l luldor pr operr on friones Ls luldors ientífis, en su grn myorí, tienen un tel que permite introduir friones y operr on ells. Generlmente l tel tiene el símolo que on ls letrs, y dispuests en es posiión representn un expresión frionri mixt, "" represent l prte enter y / l prte frionri. / Su uso es muy vrido, depende de l mr y el modelo de l luldor, pero no es difíil de utilizr. Consulte on su doente sore el uso de su luldor. Un modelo muy difundido se us del siguiente modo: Supong que quiere sumr Pr introduir l primer frión priet, luego l tel y ontinuión el, preerá en el visor: / Apriet l tel +" Introdue l segund frión de igul modo que l primer. Apriet " en el visor preerá 0 Introdue l terer frión Y por último priet =" y el resultdo es 60 Ést es l form en que l luldor indi el número mixto. 60 Como verá, se muestrn tres posiiones seprds por /. En el primer lugr l izquierd pree el entero; en el segundo lugr el numerdor y en el terero el denomindor. Entero/ numerdor/ denomindor/

33 Inv Si usted le interes otener el resultdo esrito omo frión y no omo número mixto tiene que pretr l seueni de tels y Inv / preerá en el visor 7 60 Es deir que el resultdo de es Est es l form más omún de operr on ls luldors ientífis, pero no l úni. Si l suy tiene otr form de operr on ls friones onsulte on el doente, quien lo yudrá utilizr orretmente l luldor. Sum de friones y enteros Supong que neesit sumr + (un frión y un entero). Todo número entero puede expresrse omo un frión, = = = 6 = 8 =... De tods ls friones equivlentes, onviene utilizr l que tiene denomindor (y que queremos sumr on ), o se 8, luego sumr + = + 8 = 9 Tmién puede relizr este álulo mentlmente, +, pensndo, por ejemplo, uántos urtos son equivlentes. L respuest es 8 más, totl 9.

34 Atividd Nº Resuelv mentlmente los álulos que figurn ontinuión. En primer lugr, estime el resultdo, diiendo más que... o lgo menos que... Luego resuélvlos por esrito y finlmente verifique on l luldor. d e f + = - = + = - = - 8 = + - = Atividd Nº Hg ls siguientes sums y rests. Exprese el resultdo omo frión irreduile. Verifique on l luldor. d e f = - 6 = = - + = - - = =

35 Multipliión de friones Pr nlizr l multipliión entre friones es neesrio onsiderr el signifido de l multipliión entre friones. Multipliión de un frión por un entero. El esmlte sintétio viene en lts de litro; si ompr lts de uánt pintur ompró? lts de litro d un + + = x. Cuántos litros de vino hy sore l mes si se hn olodo otells de litros d un? otells de litros d un = x Cundo utilizmos l expresión de lo que se quiere hllr es el produto. Si tenemos tres lts de litro d un, junts equivlen litros Comprmos + + = x = l de pintur.

36 Cd otell ontiene litros de vino d un, dos otells equivlen litros, ls utro hen un totl de litros = x = = Hy litros de vino. Pr multiplir un frión por un número entero, se dee multiplir el numerdor por el entero. De igul modo se dee proeder si lo que se us es un frión de un entero: L urt prte de un grupo de 8 migos son solteros, uántos solteros hy en el grupo?" L urt prte de 8. 8 = 8 = Cino otvos de los urent dís de viones fueron soledos, uántos dís de sol huo en ests viones?" Cino otvos de 0. 0 = 00 = 8 8 Ls tres quints prtes de un poste de doe metros están pintds de zul, uántos metros del poste están pintdos de zul?" Tres quintos de. = 6

37 Pr filitr ls uents se puede simplifir ntes de operr y sí trjr on números menores. Por ejemplo:. =. =. =. =. = quí no se puede simplifir Como se puede oservr es posile simplifir un numerdor on el denomindor de otr frión, pero est simplifiión sólo puede herse en l multipliión. Multipliión de dos friones L mitd ( ) de un lt de pintur se seó. De l mitd que quedó se usron ls prtes pr pintr el portón. Cuánt pintur, del totl de l lt, se usó pr pintr el portón. ( de ) Pr ser l ntidd de pintur que se usó en el portón es neesrio lulr de, es deir. Pr hllr l respuest nos yudremos on los siguientes gráfios: de El retángulo es l lt, l dividimos por l mitd Ahor dividimos d mitd en (pr otener urtos de es mitd. De l mitd somred tommos de ls prtes de 6

38 Como l pregunt que queremos ontestr es qué prte de l lt se usó pr pintr el portón, deemos oservr l prte de l lt que quedó somred. Vemos que de es, o lo que es lo mismo 8 x = 8 Atividd Nº Un mpo está semrdo en sus prtes, en de esos tienen semrdo trigo. Qué frión del mpo está semrd on trigo? de del mpo. Reuerde que del mpo se enuentrn semrdos y de est porión del mpo l mitd está semrd on trigo. Queremos ser, del totl del mpo, qué frión es l que orresponde l trigo. Pr resolver el prolem sig los psos siguientes: d e f El retángulo represent el mpo. Horizontlmente divídlo en quintos. Somree utro quintos ( ). Tre, vertilmente, un líne pr dividir d quinto por l mitd. Remrque un de ls mitdes que somreó. El mpo quedó udriuldo". Cd udro qué frión del mpo es? Cuántos udros son los que orresponden de? Antes de ontinur verifique on l lve de orreión. 7

39 En el gráfio vemos que x = 0 Si simplifimos el resultdo 0 dividiendo numerdor y denomindor por se otiene En este so se podrí simplifir ntes de her l uent:. = o. = =.. = Reuerde que puede herlo porque es un multipliión. Atividd Nº6 Explique ómo se otienen el numerdor y el denomindor en un multipliión de friones. Generlie, en form simóli, l definiión de multipliión de friones. Atividd Nº7 d e L soiedd de fomento del rrio tiene 0 miemros. Ls dos terers prtes de ellos son homres uántos homres hy? Hlle el produto de 8, on el resultdo de:. Esri el álulo omindo que expresen ests operiones. 0 de los litros del omustile de un moto es eite. Qué frión del totl de l mezl es eite? Ls prtes de los 80 enuestdos respondieron sí Cuántos ontestron firmtivmente? L terer prte de los televidentes omenzron ver un prtido de fútol, pero sólo ls prtes de ellos lo terminron de ver. Qué frión del totl de televidentes vio el finl del prtido? 8

40 Atividd Nº8 Resuelv mentlmente los siguientes prolems. Luego verifique sus respuests hiendo ls uents. Puede herlo on luldor. d Un jón de gseoss tiene otells; si se onsumen tres urts prtes uánts otells se tomron? Clule el 0 % de $ 80. Aproximdmente 0 (0 %) de l polión rgentin está en edd esolr. Suponiendo l polión en uántos rgentinos deerín ir l esuel? Ls prtes de los profesionles de un equipo de fútol tienen más de ños. Si en el equipo hy 0 profesionles uántos son los myores de edd? Atividd Nº9 Oteng el produto de ls siguientes multipliiones. No olvide simplifir el resultdo undo se posile. ). = e) (- )= i) = ) 7 8. = f).. = j). = ).. = g) = k). = d). = h) = l) 7. 7 = 9

41 Reuerde que undo un número es negtivo, si es el primero que pree en un álulo, no es neesrio enerrrlo entre préntesis. Pero undo pree en medio de un uent dee olorse el préntesis pr no onfundir su signo negtivo on l operión de restr. Cómo son entre sí ls friones que multiplió en los tres últimos sos? (ejeriios j, k, l) Ls friones que tienen ests rterístis se llmn friones inverss multiplitivs. d Exprese l ondiión que dee umplir un frión pr que se l invers de otr. Hlle l frión invers de d un de ls siguientes 7 8 e Oserve los resultdos de ls tres últims multipliiones. Siempre que se multipliquen friones inverss se podrán simplifir? Cuál será siempre el resultdo? División de friones Con un kilo y medio ( = ) de glletits uántos pquetitos de se pueden llenr? 0

42 Con un kg podemos llenr pquetes y on el medio restnte otros, en totl 6. Reprtir kilo y ( kilo) en pquetes de es equivlente dividir en grupos de kilo. Por el nálisis nterior vemos que : = 6 y tmién que. es igul 6. Tenemos entones que : = 6 (Oserve que es el inverso de.) Anlie estos ejemplos: Con un dmjun de litros ( = 9 ) podemos llenr 9 otells de litro, entones 9 : =9. Tmién es el mismo result- do que 9 x. Tenemos entones que 9 (Oserve que es el inverso de.) : = 9 x Uno de los tmños en que se vende fé es 8 de kilogrmo; si dividimos kg en pquetes de uántos pquetes otenemos? 8 Por d kg se otienen 8 pquetes on kg otenemos 6 pquetes, entones : = 6 que tmién es el mismo resultdo de O se que : 8 = x 8 (Oserve que es el inverso de 8.) 8 Oservndo los tres últimos ejemplos verá que l división entre dos friones d el mismo resultdo que multiplir l primer frión por l invers de l segund. Aunque no lo justifiquemos éste es el proedimiento pr dividir friones.

43 Pr dividir dos friones se multipli l primer frión pon l invers de l segund frión. Simólimente : = d. d. =. d. Ejemplos: 6 : =. = 9 0 : 6 =. = : = 7. = 7 8 Al multiplir friones negtivs y positivs reuerde l regl de los signos estudid en el Liro. Por ejemplo: x (- )= - 6 que simplifid es - Tmién se podrí her simplifido. (- )= - - : = - x = - - : (- ) = - x (- 9 9 ) = 9 6 si se huier simplifido ntes -. (- 9 ) = Atividd Nº0 si simplifimos otenemos Resuelv y exprese el resultdo omo frión irreduile ) : = ) : = e) - : = g) : 7 = ) 8 : = d) : = f) - : (- ) = g) - : 8 =

44 Poteniión on se frionri En el Liro nterior se trjó on poteniiones uys ses ern números enteros. Pr hllr l poteni de un número se multipli el número que está en l se por sí mismo, tnts vees omo lo indique el exponente. Por ejemplo =.. ( elevdo l terer, o l uo, es igul.. ) Si l se en lugr de ser enter es un frión, el onepto de poteniión no vrí: ( ) =.. Como multiplir friones es multiplir los numerdores y los denomindores entre sí, tenemos que: ( ) =.. = y omo..= y..= result que:.... ( ) =. =.. =... En síntesis: ( ) = Cundo un frión está elevd un iert poteni el resultdo se hll elevndo numerdor y denomindor dih poteni. En el ejemplo nterior quedó indid est uent, omo =7 y = 6, por lo tnto; l respuest es: ( ) = = 7 6 Con un rzonmiento semejnte omprorímos que: ( ) = = Otro ejemplo: ( ) = = 6

45 El pso intermedio no es neesrio esriirlo. Por ejemplo: ( ) = Pr hllr el resultdo mentlmente elevmos el dos l udrdo, que es y el l udrdo que es 9. Por eso l respuest es 9 En todos los ejemplos ls ses ern positivs. Vemos qué ourre si l se es negtiv. 9 Atividd Nº Resuelv: (- ) = (- ) = Rele (si lo neesit) el liro nterior Qué signo tiene l poteni undo l se es negtiv? De qué depende el signo del resultdo? Al igul que en ls potenis de se enter, si l se es negtiv (-) el signo del resultdo podrá ser positivo o negtivo. Será positivo (+) si el exponente es pr y será negtivo (-) si es impr. Por ejemplo: (- ) = 8 6 resultdo positivo por ser el exponente pr (); (- ) = l poteni result negtiv por ser el exponente impr (). Atividd Nº Resuelv : ) ( ) = ) ( ) = e) ( ) = g) (- ) = ) ( ) = d) (- ) = f) (- ) = h) ( ) =

46 Atividd Nº Enuentre el o los números fltntes en ls siguientes igulddes: d e ( ) = 8 7 ( )... = 9 ( 0)... = 9 ( ) = 6 ( ) = 00 9 Cundo el exponente es deimos,... l udrdo"; undo es se lee... l uo". Atividd Nº Resuelv ls siguientes operiones ominds. Reuerde que pr empezr hy que seprr en términos. Tiene un so resuelto. En álulos de poteniión elevr l udrdo y l uo es lo más omún, por lo que es onveniente que reuerde los udrdos y los uos de los primeros números. Reve l Atividd Nº 6 del Liro en l que se lulron ests potenis.. - ( ) + ( - ) = simplifindo el resultdo - + (- ) = = d e f : + ( ) = : 0 = -. (- ) + (- ) = 0 ( - ) : + ( ) = 8. ( ) : 0 = - 9.(- ) + (- ) + 7 = 0 8 g (- ) : + 9 ( + ) = 0 h (- ) : + : -. = i (+ - ) + (- ) = 6 Ministerio de Cultur y Eduión de l Nión

47 Cálulos on expresiones deimles Los números rionles pueden expresrse en form de frión o en su expresión deiml. El uso de un u otr depende de l situión l que se esté hiendo refereni. Atividd Nº Qué tipo de expresión utilizrí en d un de ls siguientes situiones? el peso del pn Situión Frión Deiml el sldo de un uent nri l durión de un prtido de fútol el importe de un ftur de luz Un número rionl dmite esriturs distints; no signifi que sen números distintos. =, porque = 0 = 0,7 porque es equivlente , = Puede onsultr el Liro, Módulo Nº dónde se desrroll este tem on myor detenimiento. Hitulmente on los números deimles se relizn operiones de sum, rest, multipliión y división. Pr reordr ests operiones nlie ls situiones siguientes. Pr festejr el umpleños de su hijo, Mrí ompr: 7 doens de sndwihes $,0 l doen; gseoss $,80 d un; un tort $ 0,0 (uest $ 8,0 el kg.). Además ontrtó un nimdor por, hors (un hor y medi) $,0 l hor. Cuánto gstó? Si pgó on $ 00, uánto le soró? 6

48 Clule: Sndwihes Gstó $,, x 7, Totl Sndwihes $,0 Gseoss $,60 Animdor $ 8,7 Tort $ 0,0 $ 7, Gseoss Gstó $,6,8 x 6 8,6 Animdor Gstó $ 8,7, x, 6 8,7 Si pgó on $ 00 le quedn 00-7,,6 Si queremos verigur uánto pes l tort, tenemos que dividir 0, on 8, (lo que pgó y lo que uest d kilo). Est división d el mismo resultdo que 0 : , 0 00 L tort pes, kg. Con los números deimles, los álulos mno se hen muho más lentos, es onveniente empler un luldor (no neesrimente ientífi) pr gnr tiempo. Cundo l utilizmos puede sueder que nos equivoquemos y pretemos un tel en lugr de otr; el resultdo será entones diferente l que deerímos her otenido. Si usmos l luldor de mner "meáni" posilemente no desurmos nuestro error. L mejor form de utilizrl es ntiipándose l resultdo, pensr proximdmente uál dee ser el resultdo. Por ejemplo: 0,986 x,; 7

49 est uent seguro que d lgo menos que. Se dio uent por qué? Oserve los números que queremos multiplir. El número 0,986 es muy erno si pensmos en un l uent relizr es x, que es,; pero omo el número es un menor que el resultdo será menor que,. Por lo tnto, si en el visor pree un número myor que seguro que se equivoó. En el ejemplo nterior podemos ntiipr que l respuest estrá por dejo de, pero es ovio que será myor que 0. Si el resultdo que otenemos es (que es inorreto), posilemente no nos demos uent que ometimos un error, pero en generl undo usmos ml un luldor los errores son muy evidentes. Aunque no siempre es fáil ntiiprse on muh preisión un resultdo, inténtelo. Si usted se ostumr, notrá que d vez lo he más rápido y mejor. Es un ejeriio que nos yud ometer menos errores y vle tnto pr undo usmos un luldor omo pr undo hemos ls uents mno. Atividd Nº6 Piense en l respuest proximd de los siguientes álulos y luego resuélvlos on un luldor. Compruee en d so uán er estuvo del resultdo orreto. Reuerde que en lugr de l om, que no existe en ls luldors, dee usr el punto. d e, x 0,0 =,6 : =, + 0,68 + 0, =, x,0 = 6,6 :,98 = 8

50 Rdiión Si un número elevdo l udrdo d 9 uál es ese número? x = 9 Si 8 es el uo de un ierto número x de qué número se trt? Simólimente x = 8 Pr resolver mos prolems usted tuvo que pensr en un álulo opuesto l poteniión, y que lo que tiene omo dto es el resultdo de un poteniión y lo que se us es el número que he de se en ese álulo. A est operión se l denomin rdiión. En el primer so x =9 Se us l ríz udrd de 9", es deir, qué número o números multiplido por sí mismo (o elevdo l udrdo) d por resultdo 9. En este so hy dos resultdos posiles: = 9 (-) = 9 En el segundo so x = 8 Se trt de hllr l ríz úi de 8" porque se us onoer que número o números multiplido por sí mismo vees d por resultdo 8. En este so =8 tiene un úni soluión y que (-) = -8 Prolem En l j de emlje de erámis pr piso se inform que ests son udrds y tienen un superfiie de 900 m d un. Cuál es el nho de d erámi? Prolem Se onstruye un tnque de gu on form úi (igul lrgo, nho y lto) de un volumen de 8 m Cuáles son ls dimensiones del tnque? 9

51 Anliemos el primer prolem L erámi es udrd, sus ldos son igules. Neesitmos onoer l medid de uno ulquier de ellos. Llmndo L l medid de uno de los ldos, reordemos que pr lulr l superfiie del udrdo se multipli ldo por ldo. L operión relizr es L X L o lo que es igul L porque los ldos son igules. Semos, demás, que est uent es igul 900 m. Luego, podemos esriir l siguiente euión: L = 900 Reuerde, tl omo se vio en funiones, en el Liro, que undo no onoemos el vlor de lgo que puede tomr diferentes vlores (vrile) l reemplzmos por un letr. Cundo tenemos un vrile formndo prte de l iguldd, dih expresión l llmmmos euión, y l vrile se llm inógnit. Resolver l euión signifi hllr el o los vlores que puede tener l vrile pr que se umpl l iguldd. Hlmos de número positivo pues l medid de l erámi no puede ser negtiv. Nos preguntmos entones: uál es el número positivo, que elevdo l udrdo d por resultdo 900? L respuest es: 0 pues 0 = 900 Oservmos que en l euión L = 900 onoemos el vlor de l poteni: 900 y su exponente, pero no onoemos l se: L de dih poteni. A l se L l definimos omo l ríz udrd de 900" y l indimos: L= 900 pues L = 900 En nuestro ejemplo: 0= 900 pues 0 = 900 0

52 Anlie el segundo prolem Como el tnque es un uo ls dimensiones lrgo, nho y lto son igules. Por lo tnto tods ls rists tmién lo son. Llmremos A l vlor de est rist. Si l fórmul pr lulr el volumen V del tnque, l igul que pr ulquier prism reto es lrgo por nho por ltur se puede esriir: V = A x A x A o V = A Semos que el volumen del tnque es de 8 m, luego: 8 = A En est euión deemos usr el número A que elevdo l uo dé omo resultdo 8. L respuest es: pues = 8. Definimos omo l ríz úi de 8" Simólimente: = 8 pues = 8 Podemos otener el nho del tnque sí: A = 8 pues A = 8 Finlmente, l respuest nuestro prolem es que el tnque mide m x m x m. Volviendo pensr en los ejemplos ddos y en l notión que utilizmos podemos definir est nuev operión: 8 se lee ríz terer de oho o ríz úi de oho y lo que usmos omo respuest es un número que umpl on l ondiión de que si lo elevmos l uo l respuest es 8. Ese número, en este so es, y que = 8. 8 = Si en lugr de referirnos un ejemplo generlizmos l situión, es deir, mimos los números por letrs que representn ulquier número, tendrímos lo siguiente:

53 n se lee ríz enésim de un número. Lo que se us es un número que l elevrlo l poteni n, permit otener el número. En símolos: n = si n = Por ejemplo 7 = pues = 7 - = - pues (-) = - Alguns lriones más: signo rdil índie n = ríz rdindo El índie de un ríz dee ser un número nturl myor o igul dos (n ). Cundo es no es neesrio esriirlo (est es un deisión onvenionl). Por ejemplo 9 = 9 en mos sos se lee ríz udrd de 9 Atividd Nº7 d Hlle ls ríes y justifique l respuest omo en el primero de los sos. = pues =

54 e 0,008 = f g h - Los resultdos nteriores son únios? Por qué? Qué signo tienen los resultdos otenidos? de qué depende? Tnto en los ejemplos omo en l Atividd Nº 7 tods los índies fueron números impres. Podemos sintetizr est situión de l siguiente mner: Si n es impr, n es positiv, si es positivo y es negtiv si es negtivo Que ourre si el índie es pr? Vemos lgunos ejemplos: = pr hllr l ríz udrd de deemos pensr qué número elevdo l udrdo d. es soluión este prolem y que = Pero tmién lo es el número -, pues (-) = (- ) x (- ) = En estos sos, undo un número dmite dos ríes, l úni difereni que hy entre ms soluiones es el signo, por eso lo podemos indir de est mner: =. Si l ríz es prte de un álulo omindo sólo onsidermos l soluión positiv. Y si el rdindo es negtivo? Por ejemplo -9. Ahor lo que usmos es un número uyo udrdo es - 9. Y por lo visto en el Liro ningún número rionl elevdo un exponente pr, d un número negtivo. Usted posilemente pensó en -, y esto no es orreto. Y que (-) x (-)=9 y no -9

55 En resumen: Si n es pr y positiv n = ± tiene dos soluiones; un positiv y otr negtiv pues (-) n = y (+) n =. Si n es pr y negtivo, no existe n. Atividd Nº8 Hlle ls siguientes ríes. No olvide indir l dole soluión y quells que no tienen ríz. 6 = = 6 = 9 = - = 8 = = 6 = - = 0,09 = - = 6 8 = 000 = Atividd Nº9 Cuáles son los números enteros que tienen ríz udrd enter entre 0 y 0? Esri todos los números enteros entre -0 y 0 que tengn ríz úi enter. Cuáles son los números frionrios menores que uyo denomindor se, que tienen ríz udrd ext?

56 Cálulo proximdo Si usted v enr on dos migos, gstn $0, y deiden pgr en prtes igules uánto deerá pgr d uno? Al dividir 0 por, el resultdo no d un número entero ,66 0 Tmpoo es posile otener resto ero, un si ontinumos hllndo más deimles en el oiente. De todos modos pr l situión que estmos plntendo, es sufiiente on lulr hst los entvos. Al her álulos on números rionles en su expresión deiml, puede ourrir que el resultdo o los números que deemos utilizr tengn muhs ifrs deimles. En lgunos so hy números rionles, omo, que tiene infinits ifrs deimles. En generl no es neesrio utilizr demsids ifrs deimles, es sufiiente on utilizr ls primers. Con uánts ifrs es neesrio trjr es lgo que se deide en funión de l preisión que se requier o el sentido del resultdo. En l situión de dividir los $ 0 del gsto de l en en, ree de sentido hllr deimles del orden de los milésimos o más, pues sólo se mnejn entvos. Al deidir tomr sólo lguns ifrs del número deiml lo que estmos hiendo es un álulo proximdo. Deimos que es proximdo y que si el número fuese,79 y nosotros tommos, desehndo el resto de ls ifrs deimles, el resultdo será muy erno l que otendrímos usndo el número ompleto, pero no es igul. Por ejemplo:,098.,89 = 7,696 Pero si en su lugr multiplimos:,09., otenemos 7,989 Que no es lo mismo, pero es muy proximdo.

57 Esto no sólo ourre on los números rionles. Existen otros que no lo son (no se pueden expresr omo l rzón entre dos enteros), omo es el so del número π, que se trjó en el Módulo y se utiliz pr resolver situiones tles omo l longitud de un irunfereni. Todos estos números tienen infinits ifrs deimles. El número π no es,; tmpoo es,; ni,9; ni es igul, ; pero ulquier de ests expresiones deimles es el vlor proximdo de π. Si queremos multiplir.π de uerdo l preisión que neesitemos, reemplzremos π por ulquier de los vlores proximdos. En el so del número π el deiml, es uno de los reemplzos proximdos posiles. Usulmente hy dos mners de proximr un número: Trunmiento: se suprimen ls ifrs deimles prtir de determindo lugr, por ejemplo =,. Redondeo: Si queremos trjr on ifrs deimles (diez milésimos), el vlor de l urt ifr dependerá de l quint. Si l quint ifr es menor que trunmos el número en l urt. Si l quint ifr es myor o igul umentmos un unidd l urt. Por ejemplo: en el número, omo l quint ifr es 9, el redondeo es =,6. Otros ejemplos on ifrs deimles (milésimos) 8 =, Por trunmiento 8 =,88 y por redondeo tmién (l urt ifr es un ). 6 = 0, Por trunmiento 6 99 = 0,6 y por redondeo =0,6 (l urt ifr es un 6). 6

58 Atividd Nº0 d e Usndo l luldor relie ls siguientes uents y luego esri el vlor proximdo trundo y redondedo on ifrs deimles (entésimos). = 8 : 0 = 6 =. = = f,7 +, 8 = Lo omún es que tengmos que relizr álulos on números deimles que podemos redonder en su segund (entésimos) o terer ifr (milésimos); pero no siempre es sí. Atividd Nº Un pred de,6 metros de lrgo, dee ser dividid en tres prtes igules pr rmr tres hitiones. Clule l medid de d un de ess prtes (por redondeo), teng en uent que l myor preisión que podemos tomr está en el orden de los milímetros. Cino migos omprten un deprtmento; este mes los gstos por serviios son de $ 6,. Si dividen los gstos en prtes igules uánto dee pgr d uno? (resuélvlo por trunmiento en los entvos). Un retángulo tiene, m de se y 6, m de ltur. Clule el áre del retángulo on un preisión del orden de los entésimos de m por redondeo. Reuerde que el áre se lul multiplindo l se por l ltur. Si l medid de un ojeto muy pequeño es 0, mm, no podremos redonder ni en l segund, ni en l terer, ni en l urt. En estos sos se trj on notión ientífi. 7

59 Notión ientífi L irunfereni proximd de l órit de l Tierr es de km. L ms de los oénos es de tonelds. Le en el Liro, Módulo Nº, en el prtdo Poteniión, ómo se esrien ntiddes omo sum de poteni de 0. L estrell más ern l tierr (fuer del sol) está proximdmente km. Atividd Nº Hlle ls siguientes potenis. 0 = 0 7 = 0 = 0 8 = 0 = 0 9 = 0 = 0 0 = 0 6 = Anlie el resultdo de ls potenis nteriores. Compre l ntidd de eros del resultdo on el exponente de es poteni de 0. Qué onlusión puede otener? Justifique su respuest. 8

60 Cuántos eros tiene el resultdo de d un de ls siguientes operiones? Por qué?,. 0 =,. 0 =,8. 0 = 0,. 0 = d Relie ls siguientes operiones y nlie los resultdos. Qué onlusión otiene?,. 0 =,8. 00 =, = e Por qué número dee multiplir los siguientes pr otener omo resultdo el menor entero?,. =,8. = 8 0,7. = 7 Cundo los números tienen muhs ifrs perdemos l noión de l verdder mgnitud que representn. Por ello, es onveniente utilizr lo que se denomin notión ientífi, los ejemplos nteriores se pueden esriir sí: L irunfereni proximd de l órit de l Tierr es de 9,9 x 0 8 km. L ms de los oénos es de, x 0 8 tonelds. L estrell más ern está proximdmente 9,6 x 0 km. Oserve los números ddos y su notión ientífi y trte de enontrr l justifiión de est esritur km = 9,9 x 0 8 km tonelds =, x 0 8 tonelds km = 9,6 x 0 km. 9

61 Reuerde que ls potenis de 0, es deir 0 elevd un ierto número entero y positivo, son equivlentes 0, 00,.000, l ntidd de eros oinide on el exponente: 0 = 0 0 = 00 0 =.000 Multiplir 9,6 x 0 signifi multiplir 9,6 por l unidd seguid de eros. Si 9,6 lo multiplimos por 0 se otiene 96, pero un flt multiplirlo vees más por 0, por lo tnto el resultdo será Hy números uyo vlor soluto está muy er del 0. Por ejemplo: Ls teris miden entre 0,00000 y 0,0000 m. Los virus más pequeños son iosédrios (polígonos de 0 ldos) que miden de 0, , m de nho. Los de myor tmño no suelen medir más de 0,00000m. Cundo se quiere expresr en notión ientífi números pequeños menores que que tienen un grn ntidd de ifrs se utilizn ls potenis de 0 on exponente negtivo. Qué signifi que un número esté elevdo un exponente negtivo? Por ejemplo, - =? Al trjr el tem división de friones se explió qué se llm inverso multiplitivo de un frión. Por ejemplo, el inverso multiplitivo de es ; el de es. Rele ese prtdo ntes de ontinur. Cundo un número está elevdo un exponente negtivo se hll l poteni indid (en positivo) del inverso multiplitivo de l se. En el ejemplo ddo: - = ( ) = 9 Si se trt de números enteros en l se ( - ; 0 - ) es equivlente : - = ( ) = 0 - = ( 0 ) =

62 Atividd Nº Hlle ls siguientes potenis = = = = Hlle 0 - = 0 - = 0 - = 0 - = Compre en los ejeriios y l ntidd de ifrs deimles de los resultdos on los respetivos vlores solutos de los exponentes. Qué onlusión puede extrer? Por qué? d Resuelv ls siguientes operiones. 0,. 0 - =,. 0 - =,. 0 - = 6, = Cuál es l primer ifr deiml signifitiv (distint de 0) en d resultdo. Por qué? Compre el lugr después de l om (o el punto) que oup es ifr on el exponente. Justifique su respuest. Considere nuevmente el tmño de los virus y ls teris. En notión ientífi se expresn: ls teris miden proximdmente entre x 0-6 y x 0 - los virus más pequeños miden de,8 x 0-8 x

63 Otr vez, intente enontrr l justifiión este tipo de esritur, oservndo el número ddo y su notión ientífi. Oserve que en todos los sos hy sólo un ifr enter. 0,00000 = x 0-6 m 0,0000 m = x 0 - m 0, =,8 x 0-8 m 0, m = x 0-8 m Resumiendo: Todo número r puede esriirse, si es onveniente, en l form r= x 0 n donde es un número entre y 0 y n es un entero n, x 0 = (si n = ) n, x 0-7 = 0, (si n = -7) Atividd Nº Esriir en notión ientífi los siguientes números: El diámetro de l tierr es de:.700 km El diámetro de un determindo tipo de virus es de 0, m. L glxi de Andrómed se enuentr proximdmente ños luz. d Un átomo de oxígeno pes 0, grmos. Glxi de Andrómed. 6

64 Atividd Nº Esri el número on tods sus ifrs. d Algunos protozoos miden x 0-7 milímetros Plutón se enuentr,9 x 0 9 km del sol El tmño medio de un me es de, x 0 - milímetros. Pr unir l tierr on l lun hrí que olor, x 0 montñs omo el Aongu un enim de l otr. Atividd Nº6 Ordene de menor myor los siguientes números.,7 x 0 -,6 x 0, x 0 -, x 0 x 0 -, x 0 8, x 0 9 Uso de l luldor Atulmente existe un grn vriedd de luldors ientífis que en todos los sos permiten operr on números en su notión ientífi o dn el resultdo de iertos álulos en este tipo de esritur. Si queremos her X , este álulo d Como tiene ifrs no entr en el visor de un luldor orriente. En ls más ntigus luldors pree l leyend de error; en ls tules en mio el resultdo figur utilizndo notión ientífi. 6

65 Si posee un luldor relie l operión. Según el modelo y l mr hrá otenido lguno de los siguientes resultdos:.. 0 Lo mismo ourre on números muy pequeños. Relie on l luldor 0,00008 : 00. Otendrá lguno de estos resultdos: Exp Muhs máquins tienen un tel uy funión Exp" permite introduir y operr on números en notión ientífi. Pr utilizr est funión se siguen los siguientes psos: Si queremos sumr, x x 0 7. Se esrie, y se oprime l tel Exp y en el visor pree, 00.. Se tele el exponente, en este so 8 y pree, 08.. Se oprime l tel de sum y se introdue el segundo número de igul modo.. Al pretr el igul preerá l leyend,7 08. Si tiene difiultdes on el uso de l luldor, onsulte on el doente. Teng en uent que el modelo de su luldor puede tener diferenis on lo meniondo más rri. 6

66 Triángulos En ls últims págins enontrrá vrills de ppel de diferentes tmños; reorte ls que miden 0 m y ls que miden 0 m. Arme on ess vrills udriláteros omo los de ls figurs de l dereh. Tods ls figurs que usted rmó son udriláteros uyos ldos miden 0, 0, 0 y 0 m d uno. Todos los udriláteros que usted rmó tienen ls misms medids en sus ldos pero son igules? Un ojeto, por ejemplo un udro, puede estr representdo on el primero de ellos (el retángulo). Si se presion en uno de los vérties, el mro se moverá deformándose hst quedr omo lguno de los otros dos udriláteros. Es deir, los udriláteros pueden deformrse y doptr diferentes forms mnteniendo ls misms medids en sus ldos. Psrá lo mismo on los triángulos? Arme on un de ls vrills de 0 m, otr de 0 m y un de m, un triángulo omo el de l figur. Pr poder rmr un triángulo on ldos de un medid previmente estleid, omo en este so 0, y 0 m, el proeso es el siguiente:. Tome uno de los ldos, por ejemplo el de 0 m.. Tome hor el de 0 m y póyelo en uno de los extremos de l vrill. Si mntiene unidos esos dos extremos, podrá mover el otro liremente desriiendo un ro omo el de l figur.. L terer vrill (l de m), poyd en el otro extremo, tmién podrá moverl liremente. Pero hy un únio punto en el que los dos extremos restntes oinidirán. Ministerio de Cultur y Eduión de l Nión 6

67 Moviendo ls vrills tl omo hizo on los udriláteros, trte de rmr otro triángulo que tmién teng 0, y 0 m de ldo. Como hrá podido oservr, el triángulo que se puede rmr on ess medids es únio. No es posile deformrlo" omo en el so de los udriláteros. Un triángulo qued determindo por sus tres ldos. Es por est rzón que los triángulos se utilizn en quells onstruiones donde ls fuerzs y presiones ls que están sometids podrín modifir su form y romperse o derrumrse. En edifiios en los que l estrutur no es visile igul están presentes los triángulos; en el interior de olumns y vigs los hierros están dispuestos de tl mner que formn triángulos entrelzdos entre sí. Propiedd de los ldos Es posile onstruir un triángulo que teng tres segmentos ulesquier por ldos? Por ejemplo, on un vrill de 0 m, un de 0 y l otr de 8 m. Intente rmr el triángulo on ls vrills de ests medids. Reién después ontinúe leyendo. Pudo herlo? El gráfio muestr lo que posilemente relizó usted on ls vrills. El ldo (0 m) ómo es on respeto l sum de los ldos (8 m) y (0 m)? Si olo ls vrills de 0 m y 8 m sore l de 0 m notrá que fltn m pr que puedn torse los extremos, por ello no pudo rmr el triángulo. 66

68 Atividd Nº7 Puede ser uno de los ldos myor que l sum de los otros dos? Cómo tiene que ser ulquier de los ldos on respeto l difereni de los otros dos? (Si uno es de 0 m y el otro de 8 m, l difereni es m.) De uerdo on sus respuests ls pregunts y, esri en un párrfo ómo dee ser l relión entre los ldos de un triángulo. Al rmr el triángulo usted hrá omprodo que los ldos no pueden tener ulquier medid. Pero no neesrimente los ldos tienen que tener medids diferentes entre sí. Dos o los tres ldos pueden medir lo mismo. Según tengn o no ldos igules, se otendrán los siguientes triángulos: Equilátero == Isóseles = Esleno == Alrión Si usted onsult diferentes textos donde se nliz l lsifiión de los triángulos on respeto los ldos, es posile que enuentre en muhos de ellos que sólo hy dos lses: los isóseles y los eslenos. Estos utores onsidern los equiláteros omo un so espeil de los isóseles, donde el terer ldo es igul. 67

69 Ángulos interiores Del mismo modo que podemos lsifir los triángulos según l medid de sus ldos, podemos herlo según sus ángulos interiores. Autángulo Los tres ángulos gudos Retángulo Un ángulo reto Otusángulo Un ángulo otuso Además de ls vrills, en ls últims hojs se hn inluido vrios triángulos designdos on un número pr identifirlos. Reórtelos. Atividd Nº8 Indique qué tipo de triángulo es d uno de ellos, tnto por l medid de los ldos omo por sus ángulos. Triángulo, es... y... Triángulo, es... y... Triángulo, es... y... Triángulo, es... y... Triángulo, es... y... Triángulo 6, es... y... 68

70 Atividd Nº9 Pr sumr los tres ángulos interiores de d triángulo, reorte los 6 triángulos. Reorte en d triángulo sus ángulos interiores, omo lo muestr el esquem. Luego uique los ángulos uno ontinuión del otro. Dee her oinidir vértie on vértie y l ldo de un ángulo on el ldo del otro. Cuánto mide l sum ( + + ) de los tres ángulos interiores de ulquier de los triángulos? d De uerdo on su respuest l pregunt, esri en un párrfo l propiedd de los ángulos interiores de todo triángulo. Est propiedd de los ángulos interiores es muy utilizd en diferentes situiones en ls que intervienen triángulos. Si dos de los ángulos son onoidos, el terero puede lulrse on est propiedd. Antes de ontinur onsulte ls Clves. Atividd Nº0 Clule el ángulo interior restnte. ) A=9º, B=9º e) C=A=6º 0' ) A=º, C=7º f) B=C y A=80º ) B=º 0', C=67º 0' g) ABC retángulo en C y 0º d) B=º, C=º ' h) A=B=C 69

71 Además de los ldos y los ángulos, usted reordrá que existen otros elementos en un triángulo que utilizmos, por ejemplo en fórmuls que nos permiten hllr l superfiie (Módulo ) o pr hllr puntos de importni de los triángulos. Por ejemplo: Alturs Cómo se determinn ls lturs de un triángulo? En d uno de estos triángulos el segmento BP es l Altur orrespondiente l ldo AC. El segmento BP tiene por extremos los puntos B, que es un vértie del triángulo, y el punto P, llmdo pie de ltur" sore el ldo AC o su prolongión. Como en el siguiente triángulo. Del mismo modo que determinmos l ltur on respeto l ldo AC, se puede determinr on los otros dos ldos. Altur es el segmento perpendiulr un ldo que tiene un extremo en el vértie opuesto y el otro en el ldo o su prolongión. 70

72 Atividd Nº Determine l ltur orrespondiente l ldo MN en d triángulo. Pr onstruir el segmento perpendiulr uyo extremo es el vértie utilie un esudr omo se muestr en l imgen. Al resolver l tividd hrá oservdo que l ltur on respeto uno ulquier de los ldos de un triángulo puede ser un segmento interior, exterior o oinidir on uno de los ldos. Atividd Nº Determine ls tres lturs del siguiente triángulo. 7

73 Introduión l estdísti A trvés de los distintos medios de omuniión, los dirios, l rdio, l televisión, el ine y ls revists es freuente esuhr o leer frses omo ls siguientes:. Nueve de d diez persons leen el dirio...". Se proó un vun que resultó efetiv en el 98 % de los sos.". "El % de los votntes se inlin por..." Atividd Nº Exprese l primer frse omo porentje. Qué signifin en el lenguje otidino los porentjes señldos en l segund y en l terer frse? Tmién hrá esuhdo o leído expresiones omo ésts:. De uerdo on ls estdístis...". Me so en ls estdístis que pulió el dirio...". Ls estdístis pruen que...". Estdístimente est vun es onfile en un 98%.". Es uestión de onsultr ls estdístis." 6. Según ls estdístis hoy h sido el dí más luroso del ño..." Atividd Nº En tods ls expresiones nteriores pree l plr estdísti. Explique on sus plrs qué signifi. 7

74 Ests informiones que se refieren l porentje o ntidd de vees que suede un heho o situión se denominn estdístis. Se dn onoer, en generl, omo dtos numérios uiddosmente otenidos. Es hitul que los dtos se ordenen y se presenten en form de udros, de gráfios, digrms, et. L estdísti es el onjunto de definiiones, regls, leyes, métodos y álulos que se utilizn pr: reopilr (otener l informión neesri pr el estudio que se quier relizr); lsifir (orgnizr l informión); nlizr (on el ojeto de extrer lgun onlusión que se válid luego de her otenido los dtos y deidir l form más deud de presentión); presentr (en orden, on lridd y por medio de udros, gráfios l informión que se reopiló); inferir (interpretr los dtos estdístios y sr onlusiones que permitn prever o predeir l mrh futur del fenómeno que se está estudindo trvés de los dtos disponiles). Atividd Nº Busque en un periódio de su lolidd tres rtíulos que inluyn gráfios estdístios. Por qué los reonoe omo gráfios estdístios? Qué informión se puede otener prtir de ellos? Cuál es l fuente de l informión? L estdísti se oup del estudio de omportmientos generles no individules. Por ejemplo: Estdístimente, est vun es onfile en el 98% de los sos" Nd se puede firmr sore el efeto que tuvo en un person o un so en prtiulr sino sore un onjunto. 7

75 Preismente, l informión generl sore un onjunto de sos que se puede otener medinte proedimientos estdístios es lo que motiv l grn pliión que hen ls empress pr l omerilizión de sus produtos; los polítios sore l intenión del voto de los iuddnos; los ientífios pr los resultdos de un medimento o de un vun; los strónomos sore lgun onlusión, luego de miles y miles de oserviones del ielo, er de un nuevo tipo de estrell; los soiólogos undo estudin lgún omportmiento de un soiedd en prtiulr; et. Aun de form muy senill, es omún que se reolete informión y se l proese pr tomr deisiones. Por ejemplo: el vendedor de lzdo neesit onoer uál es el número de zptos de más vent pr deidir qué ntidd de zptos por número dee tener en stok. Es deir, sore l se de l informión de que dispone (ntidd de pres de zptos por número que vende) puede deidir un ompr futur. Con informión muho más preis en su otenión y orgnizión los meteorólogos pueden pronostir el tiempo, los iólogos el omportmiento de los pees, ls utoriddes edutivs dónde onstruir un nuev esuel. S O C IED A D Clrín - 9 de Julio de E Estdístis en l provini de Buenos Aires L myor ntidd de delitos se omete los mrtes Según ifrs orrespondientes junio del Ministerio de Justii y Seguridd onerense l sol y se esondió. L gente sle de trjr o vuelve su s, mientrs los negoios empiezn jr ls persins on l reudión del dí en l j. En ess hors entre ls 9 y ls, se omete l myor ntidd de delitos en l provini de Buenos Aires. Y más un si se trt del noheer del mrtes, según estdístis difundids yer por el Ministerio de Justii y Seguridd onerense. El estudio ofiil se hizo durnte junio. En ese mes, los onerenses denuniron.790 delitos de todo tipo. De ellos, el, % ourrió entre ls 9 y ls. L siguiente frnj horri en el rnking es l que v desde ls 0 ls, undo se produjeron.900 delitos (el % del totl). De uerdo on l estdísti, el mrtes es el dí que más delitos ourren. El promedio dirio es de 80 denunis, mientrs que el de los mrtes es de 980, un % más. En el otro extremo se uin los domingos, undo los hehos denunidos jn un 0%. "Ls estdístis sirven pr no operr iegs. Con estos números diseñmos distints estrtegis pr tr mejor el delito. Conentrmos más ntidd de reursos en determindos horrios y lugres. Así l polií puede tur on myor efii", explió Clrín el suseretrio de Seguridd de l provini. Por hor en el Ministerio todví no determinron por qué hy más delitos los mrtes. El suseretrio rriesgó: "Ese dí l myorí de los negoios reien ls provisiones de merderí después de todo el fin de semn. Entones hy más proveedores que llevn dinero en l lle y myor movimiento de gente que v los nos":

76 Atividd Nº6 Busque en dirios o revists dos rtíulos que presenten informión estdísti que puedn servir pr tomr lgun deisión sore el tem del que trtn. Fundmente su respuest. Universo o polión Como y se h señldo, l estdísti rind informión generl sore un onjunto de sos. A todo onjunto que se ojeto de oservión on fines estdístios se lo llm universo o polión. Los elementos del universo o polión se denominn individuos. Ejemplos:. Tods ls persons que están en ondiiones de votr, es deir los iuddnos, onstituyen l polión de votntes.. Todos los lumnos entre 6 y ños que sisten l esuel, formn un polión.. Todos los peones de mpo onstituyen l polión que trj en el mpo.. Todos los pees de un lgun onstituyen l polión de es lgun.. Todos los utos que ingresron reprión son l polión que onsider el dueño del tller pr llevr un estdísti. Los individuos del mismo universo o polión pueden ser persons, nimles, ojetos, votos, ntiddes de lluvi íd, nevds, grnizo, sequís, reimiento de ríos, et. Los ensos, por ejemplo, son opertivos que se relizn pr otener dtos sore l totlidd de los elementos que omponen un universo de estudio. En l Argentin existe un orgnismo púlio, el Instituto Nionl de Estdísti y Censos (INDEC) enrgdo de 7

77 orientr y ejerer l direión de tods ls estdístis ofiiles que ser relizn en el territorio. Tmién oordin el Sistem Estdístio Nionl, integrdo por los serviios estdístios de los orgnismos nionles, proviniles y muniiples. El INDEC es el orgnismo enrgdo del enso nionl de polión, que se reliz pr otener informión sor ls priniples rterístis de ls persons, ls viviends, et. del pís. L informión que se otiene es muy importnte porque permite estimr ls neesiddes presentes y futurs de l polión y diseñr diferentes progrms soiles pr tenderls: lfetizión; urnizión; empleo, et. Conoer l ntidd de polión en d un de ls jurisdiiones del pís es indispensle pr estleer, entre otrs uestiones, l ntidd de diputdos que d un envirá l Congreso y los representntes nivel provinil y muniipl. L informión tmién result útil en ámitos privdos. Por ejemplo, ls empress pueden estimr l demnd de ienes y serviios de uerdo on l onentrión de l polión; deidir dónde instlr un fári en funión de l disponiilidd de l mno de or, et. Ls reomendiones internionles sugieren que el enso de polión se relie d diez ños, prourndo que oinid on los ños termindos en ero. Esto filit ls ompriones entre diferentes píses y que los ensos se hen en todos ellos. En el siguientes udro se pueden oservr lguns de ess ompriones. Dtos de Censos omprtivos entre píses Pís Superfiie (mil/km) Polión estimd (millones) 998 Polión urn (%) 99 Espernz de vid l ner (ños) 99 Ts de lfetizión dultos (%) 99 Línes de teléfono /000 persons - 99 Cndá Jpón Espñ Argentin Brsil Prguy Uruguy

78 Atividd Nº7 Otr de ls tividdes que reliz el INDEC es el Censo Nionl Agropeurio. Qué elementos ompondrán el universo o polión de este enso? Pr qué ree usted que puede servir l informión que se otiene medinte este enso? Trjr on todos los elementos de un universo, omo en el so de los ensos, es un proeso muy ostoso tnto en reursos eonómios omo en humnos. Le el siguiente rtíulo pr onoer ómo se está orgnizndo en el pís el enso del ño 000. Clrín - de Agosto de 999 S O C I E D A D A Cómo será Amli Eizyg el Censo del 000? fines de oture del 000, uns persons reorrerán todos los rinones del pís en us de los 7 millones de rgentinos que, según estimiones ofiiles, hitn el territorio. En el menor tiempo posile plnterán más de 00 pregunts en d hogr que quedrán reflejds en er de 0 millones de hojs. Con estos dtos, el Instituto Nionl de Estdístis y Censo (INDEC) elorrá el Censo Nionl de Polión, Hogres y Viviends del 000 que ostrá millones de pesos. Los ensists -en su myorí mestros que serán pitdos previmente- suirán erros inhóspitos, reorrern en totl si utro millones de kilómetros udrdos hst llegr los poldos perdidos y torán ls puerts en medio de rrios resideniles o de vills de emergeni. Ese dí, ún sin feh estleid, si no hrá tividd en el pís pr que l myor prte de l gente pued permneer en el hogr. Un de ls uestiones más novedoss que inluye el futuro enso es l úsqued de uerdos entre los píses del Merosur, demás de Chile y Bolivi. Ls utoriddes regionles intentn homologr los términos y ls vriles estdístis pr poder omprr l informión sore l mism se. Éste es el noveno enso que se llevrá delnte en el pís. El primero se hizo en 869, undo l Argentin tení,8 millones de hitntes. A ños de es feh, l polión se hrá multiplido más de 0 vees hst llegr los 7 millones de hoy, según el INDEC. * *En el ño 000 no se relizó el Censo Nionl de Polión, Hogres y Viviends. Su ejeuión está previst pr el ño

79 Como hrá notdo luego de leer l últim prte del rtíulo, trjr on todo el universo undo éste está ompuesto de muhos individuos, no siempre es ftile. El proeso es muy omplido y ostoso. Otrs vees, no result neesrio nlizr el totl de l polión o l informión que se us no requiere ser tn preis y puede ser estimd on un ierto mrgen de error. En esos sos no se trj on el totl de individuos o elementos sino on un muestr. Por ejemplo, hrá esuhdo muhs vees que, l finlizr un eleión pr presidente, goerndor o diputdos, los medios omienzn dr informión sore los resultdos ntes de que se hyn ontdo todos los votos. Est informión l otienen medinte lo que se denomin " o de urn" y onsiste en preguntrle l gente, después de que lo hiieron, por quién votó. Est pregunt no es posile hérsel todos los que votron sino que se elige lguns persons o muestr del totl de votntes. Cómo se elige l muestr o los elementos de un prue? L teorí die que un muestr, pr ser representtiv y onfile, dee ser letori. Se dee elegir l zr. L eleión de los individuos no dee seguir ningun norm prefijd. Cunto más letori se, mejor y más onfile será l onlusión que podrá extenderse tod l polión. Pr elegir l zr los individuos que se onsiderrán en l muestr primero es neesrio rterizr el universo de polión que se quiere estudir y estleer l ntidd de individuos que se inluirán en d so. Por ejemplo, un fári quiere onoer l eptión que tendrá un nuevo modelo de uto que están por sr l merdo. Primero rteriz el universo: segmento de l polión que puede llegr omprrlo por su poder dquisitivo; se nliz uántos son homres y uánts mujeres; se onsidern diferentes trmos de edd prtir de los ños. Sore l se de estos dtos se determin uánts persons que reúnn determindos requisitos se entrevistrán y se elige l interior de d so los individuos l zr. Con estos resultdos l empres utomotriz direionlizrá su mpñ puliitri. L seleión representtiv y onfile de l muestr es un tividd que requiere de onoimientos espeífios pr segurr que 78

80 los dtos que se otienen pueden plirse l totl de l polión. Est tre l relizn profesionles espeilizdos no sólo en estdísti, sino espeilmente en muestrs. En generl se los llm muestrists y en todos los sos indin el grdo de onfiilidd del resultdo otenido, expliitndo el porentje de error posile. Es hitul que est informión se presente en un "fih téni" que ompñ los resultdos de l indgión relizd, donde se desrien sintétimente ls rterístis de l muestr, los métodos utilizdos, el error posile, et. A modo de ejemplo inluimos un fih que form prte de un rtíulo del dirio Clrín sore los resultdos eletorles de 99. F ICH A T É C N ICA Empres ejeutor: CEOP (Centro de Estudios de Opinión Púli) Tipo de estudio: enuest en o de omiio. Tipo de pregunts: errds, lterntivs fijs y ierts. Alne de l muestr: nivel nionl. Tmño de l muestr: sumuestr espeil en o de omiio sore un totl de.60 sos on un error de + / -,9% (onfiilidd del 9.%). Feh de relizión: trjo de mpo: de myo de 99. Proesmiento y nálisis: l 9 de myo de 99. Atividd Nº8 Indique uáles de ls dos muestrs siguientes onsider usted que son representtivs del onjunto totl oservdo (polión), en este so del totl de lumnos de un esuel.. De l polión de lumnos de l EGB l ul v mi hijo se eligió un grupo de 0 lumnos de los quintos ños.. En l mism esuel, un mestr propuso poner todos los nomres de los hios en un urn y luego sr 0 l zr, omo en los sorteos de los onursos. Busque en dirios y revists lgún relevmiento estdístio que esté ompñdo de su fih téni. Qué informión proporion? 79

81 Instrumentos L reoleión de dtos pr produir informión estdísti se llev o utilizndo diferentes métodos y utilizndo diversos instrumentos. En los ensos de polión se utilizn plnills ensles; pr onoer l intenión de voto se utilizn enuests; pr registrr ls usenis de los lumnos, registros espeiles, et. Cundo se reoge informión el instrumento que se emplee es fundmentl. Su orret elorión permite que se utilizdo por distints persons sin que hy lugr diferentes interpretiones. Tmién permite registrr informión en el lugr deudo y de form tl que se fáilmente proesle. Esto es muy importnte undo se reogen dtos sore muhos sos y en su relevmiento intervienen muhs persons. Al diseñr el instrumento tmién se dee onsiderr l form en que l informión será proesd. Cundo los sos son muhos, en generl se reliz on el uxilio de omputdors, por lo que el diseñdor del instrumento dee onsiderr l mner en que el ingreso de los dtos se más rápido y l menor osto. Vriles estdístis Los dirios pulin menudo estdístis er de determinds rterístis de un polión. Por ejemplo: el enso nionl tiene en uent l edd de los individuos, ls ondiiones de l viviend; existen dtos sore el slrio según l profesión; l ntidd de gndo de un determind provini; el porentje de intenión de voto un determindo ndidto nte un futur eleión; et. 80 L edd, el slrio, l ntidd de gndo, tomrán diferentes vlores pr d uno de los individuos de l muestr. Por eso se llmn vriles. En estdísti interes ser uánts vees se repiten los diferentes vlores: de ls eddes, de los slrios, del gndo, et. Existen vriles ulittivs y vriles untittivs.

82 Ls vriles ulittivs son ls que no tomn vlores numérios. Por ejemplo: l vrile rrer que v estudir tom los vlores": mtemáti, físi, quími, músi, plásti, eduión físi, histori, geogrfí, iologí, litertur, et. En estos sos estdístimente se uent" uánts vees se repite d uno de los posiles vlores de l vrile ulittiv. Tods ls rterístis omunes de los individuos de un polión estudid en ls que se tomn vlores numérios (vlores que resultn de ontr o medir) se denominn vriles untittivs. Por ejemplo: l ntidd de hijos, ntidd de votos, et. Existen dos lses de vriles untittivs: ls que se soin l onteo que se llmn vriles disrets (sólo pueden tomr lgunos vlores enteros). ls que se soin l proeso de mediión que se llmn vriles ontinus (pueden tomr todos los vlores de un intervlo rionl). Ejemplos de vriles disrets:. Cntidd de vrones que onurren los distintos ños en l EGB.. Número de vees que slió el undo tirmos un ddo 00 vees.. Cntidd de prtíuls que emite un sustni rditiv en 0 minutos. Ejemplos de vriles ontinus:. Durión rel de los prtidos de fútol.. Altur promedio de los lumnos de un determindo ilo de EGB.. Consumo de eletriidd de 0 fáris durnte un mes en l provini de Córdo. 8

83 Atividd Nº9 Indique si ls siguientes vriles son ontinus o disrets d e f Cntidd de vees que slió r luego de revoler l moned 0 vees. Tempertur promedio, en un dí de verno elegido l zr, en l iudd de Ushui. Número de olills lns que se pueden extrer de un olillero que ontiene rojs y lns undo se extren olills. Número de hijos de un fmili. Vlor de ls moneds que iruln en l Argentin. L edd de ls persons. Atividd Nº60 d Si le informn que se está nlizndo l onjunto de estudintes que estudin EGB distni, uál será el universo o polión? Seleione utro vriles que puedn nlizrse sore est polión. Considere que por lo menos un de ells se ulittiv. Elore un enuest pr reoger l informión. Hg un tl pr volr l informión otenid. 8

84 Freuenis En estdísti se uent l ntidd de vees que se repite un heho. Por ejemplo, uántos niños en el pís tienen 8 ños? Est ntidd de vees" se llm freueni. Anlie el siguiente ejemplo: En l tl se presentn ls lifiiones de lumnos que hn rendido exmen. En este so l vrile es l not. L primer olumn ontiene ls nots ordends en form reiente; l segund, el número de lumnos que otuvo d lifiión. nots ntidd de lumnos 7 6 Atividd Nº6 d Cuántos lumnos fueron exmindos en totl? Cuántos lumnos otuvieron 9 o 0? Cuántos fueron plzdos? (Cutro se onsider prodo). Cuál fue l not que otuvo l myor ntidd de lumnos? Los números presentdos en l segund olumn se llmn freuenis soluts. Si oserv l tl verá que pr el so de l not 8 l freueni solut (ntidd de lumnos que otuvo es not) es. 8

85 Atividd Nº6 Cuál es l freueni solut pr l not 0? Cuál es l freueni solut de los plzdos? Cuál es l myor freueni solut? L myor freueni solut signifi que ese vlor es el que tiene l myor ntidd de sos sore el totl de l polión. En el ejemplo orresponde l not que fue l que sron 7 lumnos sore el totl de los que rindieron exmen. Al número que le orresponde l myor freueni se lo denomin mod o vlor modl. Cómo se puede presentr un oleión de dtos pr que resulte ómodo su nálisis? Un vez estleid l polión y ls vriles estdístis que se desen estudir, se hen ls oserviones o indgiones orrespondientes utilizndo el instrumento que se hy seleiondo. Los resultdos sí otenidos se onsignn en udros. Por ejemplo: Supong que se quiere onoer l edd de los lumnos de un grupo de Eduión Generl Bási distni. Se otienen ls siguientes eddes de 0 lumnos ordendos lfétimente por pellido: Así presentdos, estos dtos portn po informión quien h de nlizr este udro. Si los ordenmos de menor myor, se otiene: 8 8; 8; 9; 0; ; ; ; ; ; ; ; 9; ; ; 7; 0; ; ; ; 8

86 Aun sí result difíil de nlizr. Es onveniente en este so grupr los vlores. Cd uno de estos grupo se denominn intervlos y se utilizn pr presentr los vlores medinte un tl revid. edd y más freueni solut 8 0 Los intervlos presentn siempre un vlor inferior (el menor de los dos números esritos) y otro superior (el myor de los números esritos). Estos vlores se eligen dependiendo del nálisis que se quier her de los dtos. Anlie el siguiente ejemplo. En este so se onsidern dtos del Censo Nionl de Polión y Viviend de 99, on dtos suministrdos por el INDEC sore polión que nun sistió l esuel o que no ompletó el nivel primrio. Polión de 0 ños y más por ondiión de lfetismo según edd - Totl pís edd Totl y más polión totl de 0 ños y más nlfetos (nun sistieron l esuel) freuenis % soluts Condiión de lfetismo nivel primrio inompleto freuenis soluts % Fuente: Elorión relizd por Pln Soil Edutivo - Proyeto de Eduión Bási pr Adultos en se dtos del Censo Nionl de Polión y Viviend 99. INDEC. 8

87 Como usted puede oservr se onsidern ls freuenis soluts pero tmién qué porentje del totl de l polión de es frnj de edd orresponden ls ifrs. Si se die solmente que persons de 0 ños nun fueron l esuel no se puede dimensionr l mgnitud del prolem. Import onsiderr el totl de l polión es de ese trmo de edd. De los.0.67 persons de es edd nun sistieron l esuel. Hllr l relión de est freueni solut on respeto l totl es hllr el oiente entre estos números: = 0,0808 Por redondeo se onsider 0,08 que es l freueni reltiv, que expres l relión de sos que umplen on un determind ondiión en relión on el totl de sos. Tl omo pree en el udro l freueni reltiv se expres generlmente en porentje persons 00% persons El porentje orresponde l freueni reltiv multiplid por 00. Anlie este otro ejemplo Se reogen los dtos de l ltur de los lumnos de un urso de 8º ño de l EGB y se otienen los siguientes:,60m,8m,6m,6m,70m,m,6m,7m,7m,6m,7m,6m,80m,9m,78m,78m,68m,69m,6m,6m Orgnizdos en intervlos qued l siguiente tl: 86 esttur en m (se exluye el extremo superior del intervlo),0m...,60m,60m...,70m,70m...,80m,80m...,90m

88 Atividd Nº6 Complete ls freuenis soluts y ls reltivs en l segund y terer olumn. esttur en m (se exluye el extremo superior del intervlo),0m...,60m,60m...,70m,70m...,80m,80m...,90m Totles ntidd de lumnos (freueni solut) (freueni reltiv) Atividd Nº6 Teniendo en uent l tl de polión que en 99 no hí ompletdo l esolridd primri respond: En qué intervlo de edd es myor l freueni? Qué porentje de persons entre los y 9 ños no ompletó l primri, hy sistido o no? Qué porentje de persons entre y 9 ños ompletó l primri? 87

89 Digrms Además de tls, freuentemente l informión se present utilizndo digrms o gráfios que permiten visulizr de mner rápid y senill los resultdos otenidos. Si revis un periódio oservrá que existen muhs mners de representr l informión. Aquí le proponemos trjr on lguns de ellos. Atividd Nº6 Anlie el siguiente gráfio que se denomin pitogrm. Fuente: Goierno de l Ciudd Clrín 0/8/99. Qué instrumento se hrá utilizdo pr reoger l informión? Cuál es el universo de l muestr? Qué zon es l que más gust? d De dónde otuvo el dirio l informión pr elorr el pitogrm? 88

90 Atividd Nº66 En el siguiente mp estdístio se indi l ntidd de gndo existente en l Argentin en el ño 997. Anurio Clrín 98/99 Cuál es el totl de ezs de gndo? Qué porentje sore el totl le orresponde d tipo de gndo? Menione ls tres provinis que uentn on myor ntidd de ezs de gndo. 89

91 Atividd Nº67 Oserve el siguiente gráfio de línes. d e Qué vrile estdísti se indi en el eje de siss? Qué se mró en el eje de ordends? Piense por qué en el gráfio se omienz ordenr l informión por el ño 96. En qué ño fue myor el porentje de gente que votó? De dónde se otuvo l informión pr elorr el gráfio? 90

92 Atividd Nº68 Anlie el siguiente gráfio de rrs. LAS LEYES Desde el 0 de diiemre de 98 hst 987* 98 Proyetos de ley presentdos 69 Leyes snionds Clrín Anurio 98/99 Fuente : Cámr de Diputdos de l Nión. Direión de informión prlmentri. Estlez el porentje entre l ntidd de proyetos de ley presentdos y l ntidd de leyes snionds en d uno de los ños del período En qué ño fue myor l relión entre proyetos presentdos y leyes snionds? 9

93 Atividd Nº69 Se relizó un enuest entre 08 jóvenes de ños residentes en l Cpitl Federl y el Grn Buenos Aires. Los resultdos se presentn en el siguiente digrm irulr. Del totl de jóvenes enuestdos uántos piensn que l soiedd rgentin es: poo demoráti: muy demoráti: nd demoráti: Atividd Nº70 Se h relizdo un enuest entre dolesentes preguntándoles uántos hermnos tienen. Los resultdos fueron los siguientes:,,,,,,,,,,,,7,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,6,,,,,,,,. 9

94 d e f g h Ordene los dtos en un udro indindo l freueni solut y l reltiv. Determine los porentjes en d so. Cuál es l vrile estdísti onsiderd y qué vlores tom? Qué lse de vrile es? Cuántos lumnos fueron enuestdos? Cuántos lumnos tienen más de hermnos? Cuántos lumnos tienen entre y hermnos inluidos mos extremos? Represente l informión en un digrm de rrs. Prámetros estdístios Los prámetros estdístios son números que se emplen pr orgnizr y presentr l informión ontenid en un onjunto de dtos. Su finlidd es representr esos dtos en form reve y simple y de modo tl que se pued preir, proximdmente, de un solo golpe de vist l rterísti que identifi los restntes elementos del onjunto estudido. Si ien se pierde muh informión on est síntesis, se gn en simpliidd, en efii y en opertividd. Estudiremos los dos prámetros más usdos en estdísti: promedio o medi ritméti y desvío estándr. 9

95 Atividd Nº7 Mi hijo h trído el oletín on ls siguientes lifiiones: Mtemáti 6 Lengu 9 Eduión Físi 0 Músi Cienis Nturles 8 Cienis Soiles Mi hijo me die que só un promedio de 7 puntos. Signifi que se eximió en tods ls mteris? (l eximiión es on 7 puntos). Qué signifi promedio 7? I. Promedio o medi ritméti Hemos oído muhs vees est plr. Pero, uál es su signifido? ómo se determin un promedio? En el Módulo, Liro enontrrá myor informión sore ómo se otiene el promedio. Reupere es informión pr seguir trjndo el tem. Anlie ls siguientes situiones: Los jugdores del equipo Muruuyá tienen ls siguientes tlls (en m): 07; 06; 0; 0; 0; 9; 96; 99; 8; 8; 87; 89; 89; 88. Pr determinr l esttur promedio:.efetumos l sum de todos los vlores: = 70 9

96 .Dividimos est sum por el número totl de jugdores: 70 : = 9 m Este vlor es el promedio de ls tlls de los jugdores. Atividd Nº7 Ls tlls de los jugdores de un equipo de otr lolidd vein l nterior, llmdo Atlétio Junior, son ls siguientes: 80; 0; 0; 08; 0; 09; 8; 88; 86; 00; 9; 9; 9; 9; 9; 99; 98; 99; 90 Determine l esttur promedio de los jugdores de Atlétio Junior. Compre l esttur promedio del equipo Muruuyá on ls de este equipo. Qué puede deir luego de omprrlos? Pr generlizr se represent l vrile on un letr, en este so x y l número de sos que se onsidern se lo llmrá n. Se llm medi ritméti o promedio de n números l oiente entre l sum de los números ddos y l ntidd n de ellos. Se lo simoliz sí x- En lguns osiones, undo l ntidd de dtos es grnde y lgunos vlores se repiten, es posile hllr el promedio on los dtos grupdos en intervlos. Oserve el proedimiento on los dtos sore l tll de los lumnos de l tividd Nº 6. 9

97 Si los ordenmos de menor myor, se otiene:,m;,8m;,9m;,60m;,6m;,6m;,6m;,6m;,6m;,6m;,68m;,69m;,70m;,7m;,7m;,7m;,7m;,78m;,78m;,80m. El promedio pr este so se puede determinr de dos mners: L primer y l onoe (sum todos los vlores y l resultdo lo divide por el totl de oserviones o determiniones), +,8 +,9 +,60 +,6 +,6 +,6 +,6 +,6 +,6 +,68 +,69 +,70 +,7+,7 +,7 +,7 +,78 +,78 +,80 =,0,0 m : 0 Promedio =,67 m L segund permite revir un poo los álulos utilizndo l tl. esttur en m (se exluye el extremo superior del intervlo),0m...,60m,60m...,70m,70m...,80m,80m...,90m Totles ntidd de lumnos (freueni solut) Se us el promedio entre los extremos de d uno de los intervlos: (,0 +,60) : =, (,60 +,70) : =,6 (,70 +,80) : =,7 (,80 +,90) : =,8.Se multipli d uno de estos promedios priles por l respetiv freueni solut; se efetú l sum y l resultdo se lo divide por el número de dtos (en este so, 0) (,. +,6. 9 +,7. 7 +,8. ) : 0 =,60 : 0 =,68 96

98 El promedio no oinide on el nterior. Ello se dee que no hemos trjdo on ls mediiones exts otenids on d uno de los lumnos. No ostnte, l proximión será tnto mejor untos más dtos hy grupdos. Por eso, unque se onozn los vlores de l vrile, si el número de oserviones es muy grnde, result onveniente her los álulos prtir de l tl de dtos grupdos. Atividd Nº7 En un lse de mtemáti se pidió los lumnos que estimrn ojo" l longitud de l mes que utiliz el profesor. Ls respuests fueron (en m): 00; 0; 9; 80; 90; 0; 0; 00; 97; 99; 0; 00; 0; 9; 87; 00; 7; ; ; 00; 8; 77; 9; 9; 98; 0; 90; 9; 00; 00; 00; 7; ; ; 00; 99; 97; 00; 0; 0. Orgnie los dtos según un tl de freuenis soluts usndo los intervlos siguientes: Reuerde que el extremo inferior pertenee l intervlo mientrs que el extremo superior pertenee l intervlo siguiente. Hg un digrm. Determine el promedio de l longitud estimd de l mes. 97

99 Atividd Nº7 Se h lnzdo un ddo 0 vees y se hn reogido los resultdos otenidos en l siguiente tl: Vlor otenido 6 Freueni solut d Hg el gráfio orrespondiente. Determine el promedio de los vlores hlldos. Determine l freueni reltiv y su respetivo porentje. Cómo se distriuyen los vlores? II. Desvío estándr Atividd Nº7 Los integrntes de dos equipos de un lolidd hn sumdo lo lrgo del ño los siguientes puntjes (y ordendos en form reiente): Equipo Muruuyá: 8; 8; 87; 88; 89; 89; 9; 96; 99; 0; 0; 0; 06; 07. Equipo Atlétio Junior: 86; 86; 90; 9; 9; 9; 9; 96; 97; 98; 00; 0; 0; 0; 98

100 d Determine el promedio de los puntjes de d equipo. Hg el digrm de rrs tomndo intervlos de ino en ino, omenzndo desde 80 y terminndo en 0. Cómo hn resultdo los dos promedios? Cómo son los gráfios que h otenido? Como usted pudo preir l resolver l tividd, los promedio son igules pero ls distriuiones de los vlores en d gráfio es stnte diferente. Por lo tnto el promedio es insufiiente pr nlizr un serie de muestrs porque nd die si los vlores son ernos l promedio. Los puntjes de los integrntes del equipo Muruuyá son menos prejos que los del equipo Atlétio Junior y que en el primer equipo hy puntjes más extremos. Se neesit, demás del promedio (o medi), otro prámetro que mid ómo están dispersos los dtos on relión ese promedio. Ese prámetro se denomin desviión estándr. Se lo revi sí: o El desvío estándr permite estimr l vriión (o dispersión), es deir, en qué medid los dtos se diseminn o reprten lrededor del vlor medio. Es summente útil en estdísti y que indi, si su vlor es pequeño, que los dtos otenidos están muy ernos l promedio. Esto signifi que l polión estudid no present un grn dispersión. L utilizión del desvío estándr es muy omún undo se he un estudio estdístio er de un sueso soil, iológio, mtemátio, físio, et. Ls estturs orrespondientes tres equipos de fútol A, B y C se distriuyen según ls gráfis y on los prámetros que se dn ontinuión. A B C X

101 Equipo A Equipo B Equipo C Oserve que los tres equipos tienen igul medio o promedio de esttur, pero en el equipo B los vlores son más extremos que en los otros dos, l dispersión es lt. En el equipo C l myorí de los jugdores tienen tlls erns l promedio, l dispersión es j. Cómo lulr el desvío estándr? SD M+ o n Con l luldor: Si dispone de un luldor ientífi deerá pretr un tel o un seueni de textos pr que en l pntll prez "SD". Después de est operión ingrese los dtos que teng y d vez que prez uno de ellos en l pntll, deerá pretr l tel "M+". Un vez finlizd l entrd de todos los dtos, proed de est mner:. Pr onoer el promedio, priete l tel que tiene X. Pr onoer el desvío estándr, priete l tel que tiene o n De tods forms es onsejle onsultr el mnul de uso de l luldor y que l form de trjr on ells vrí según ls mrs. En síntesis, respeto del signifido de l desviión estándr, se puede firmr que unto myor es l desviión estándr, más dispersos están los dtos respeto del promedio o medi ritméti. 00

102 Atividd Nº76 Los siguientes gráfios se puliron en el dirio Clrín el 0//97. Anlie l informión y respond ls pregunts. Cuál es el porentje de reimiento de infetdos on HIV en el mundo entre los ños 96 y 97? Cuántos pientes pediátrios nuevos hy en el ño 997? Qué porentje de persons hy en el mundo on HIV uy infeión tiene origen desonoido? 0