GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES

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1 UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos D y C se expresa de la forma f: D C Consideremos un elemento x de A al cual le corresponde un elemento de B. Dicho elemento es la imagen de x y se expresa f(x) El dominio de una función es el conjunto de elementos del conjunto de partida que tienen imagen en el conjunto de llegada. Así, el dominio de esta función f es el conjunto formado por los elementos {x, a, 3} los cuales pertenecen al conjunto A y tienen imagen en el conjunto B. El codominio de una función es el conjunto de llegada. Por tanto, el codominio de esta función f es el conjunto B. El recorrido o rango de una función es el conjunto de elementos de B ( f(x) ) que son imagen de por lo menos un elemento de A. En nuestro caso para la función f, el codominio es el conjunto formado por los elementos {f(x), f(a) y f(3)} 1

2 GRÁFICA DE FUNCIONES Dominio y recorrido El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusión: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es: 2

3 Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica: Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces: 1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I. 3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. Ejemplos: 3

4 1. La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales. 2. La función g(x) = -x 3 es una función decreciente en los números reales. 3. La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales. 4

5 4. La función f(x) = x 2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito. Función constante Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}. Ejemplo: En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero. Función identidad La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. 5

6 Función lineal Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b). Ejemplo: En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica. Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen. 6

7 Función cuadrática Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax 2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Sia>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula: f(x) = x 2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x 2 es cóncava hacia arriba. f(x) = -x 2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x 2 es cóncava hacia abajo. Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y. 7

8 Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones: 1) f(x) = x 2-2x - 3 2) g(x) = -x 2-2x + 3 Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x 2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica. Función valor absoluto La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es: Función dominio partido Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo: 8

9 La gráfica de esta función es: El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-, 0) È (0, ). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre 1 y 1,esto es, (-, -1) È (1, ). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0. Función radical La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue: Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ). 9

10 Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo: Sea el conjunto A ={1, 2, 3} Le aplicamos la función: f(x) = x + 1 Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5} Es decir: A f(x) = x +1 B Al conjunto A se llama dominio de la función. Al conjunto B se llama codominio de la función. A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los mismos elementos). y = f (x): variable dependiente. x: variable independiente. NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es decir: A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4, 5} f = {(1,2), (2,3), (3,4)} FUNCIONES INYECTIVAS Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino. 10

11 Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,3)} Es decir, gráficamente queda: Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. ENTONCES ES INYECTIVA. Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,2)} (solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente queda: Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA. Ejemplo 3. Para la siguiente función: f(x) = y = x-1 A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen, por lo tanto ES INYECTIVA. FUNCIONES BIYECTIVAS Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Ejemplo: La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. FUNCIONES PARES Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x). Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(- x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que f(x)=f(-x). 11

12 FUNCIONES IMPARES Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x). Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan. Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares. Preguntas a resolver: Cuál es la diferencia entre una relación y una función? Es posible que el recorrido de una función tenga un único elemento? Es posible que el dominio de una función tenga un único elemento del conjunto de partida? 12

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