3. ONDAS SONORAS. 3.1 Ondas sonoras

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1 3. ONDAS SONORAS Alguas de las odas discutidas e el capítulo aterior está detro de la categoría de odas elásticas e las cuales la perturbació del medio, sea ésta ua deformació, ua presió ó u desplaamieto de u volume, se propaga co ua velocidad que depede de las propiedades elásticas del medio, Estas odas elásticas so tambié llamadas odas sooras ó soido. E leguaje popular, el soido está relacioado co la sesació auditiva. Siempre que ua oda elástica que se propaga a través de u gas, líquido ó sólido alcaa uestro oído, produce vibracioes e la membraa auditiva y el proceso se cooce como audició. Nuestra sistema ervioso produce sesació auditiva solo para frecuecias compredidas etre 6-. H. Fuera de estos límites, el soido o es audible, auque a las odas elásticas correspodietes se les sigue llamado soido. La física de las odas elásticas de frecuecia por ecima de KH se deomia ultrasóica. La ciecia que se ocupa de los métodos de geeració, recepció y propagació del soido se llama acústica. Utiliado el aparato físico-matemático desarrollado e capítulos ateriores para los feómeos odulatorios, os cetraremos e éste e el aálisis de las odas sooras coceptuadas como odas de presió e u gas. 3. Odas sooras A cotiuació estudiaremos las odas elásticas que se produce e u gas debido a las variacioes de presió. El soido es el ejemplo más importate de este tipo de odas. Sea p y ρ o la presió y la desidad del gas e codicioes de equilibrio, iguales e todo el volume del mismo. Si la presió del gas se modifica, u volume elemetal Ad, figura 3., se poe e movimieto debido a ua fuera eta o ula. E cosecuecia la secció A se desplaa ua distacia ξ, al coicidir el desplaamieto co la direcció de propagació tedremos odas logitudiales, y A se desplaa ξ de modo que el espesor del volume Figura 3.. Oda de presió e ua columa de gas elemetal después de la deformació es d+(ξ -ξ)d+dξ de forma aáloga al caso de las odas elásticas e ua barra. Si embargo, debido al cambio de volume, la desidad del gas cambia porque éste es más compresible. La masa del volume elemetal e equilibrio es ρ Ad y la masa del volume perturbado es ρa(d+ξ). El pricipio de coservació de la masa requiere que ambas masas sea iguales, es decir ρ ( d + dξ ) ρ Ad [3.] y despejado ρ A 3-

2 ρ ρ [3.] ξ + Como e geeral potecias queda ξ es pequeño y utiliado el desarrollo e serie de ξ ρ ρ ( ) [3.3] La presió p está relacioada co la desidad ρ por la ecuació de estado ρ ρ p p + κ [3.4] ρ dode κ recibe el ombre de módulo de compresibilidad. Usado [3.3] para elimiar ρ-ρ teemos p ξ p κ [3.5] ecuació que relacioa la presió e cualquier puto del gas co la deformació logitudial e dicho puto. Necesitamos ahora la ecuació de movimieto del volume elemetal; la masa es ρ Ad y su aceleració ξ. La fuera eta t resultate es (p-p )A-Adp co lo que la ecuació del movimieto es p ξ ρ [3.6] t que juto a la ecuació [3.5] coduce a ξ κ ξ t ρ [3.7] co lo que el desplaamieto cumple la ecuació de odas y la velocidad del desplaamieto producido por la perturbació de la presió del gas es igual a κ v [3.8] ρ 3-

3 De la teoría ciética de gases se deduce que κ γrt dode γ es ua ρ M costate que depede del gas que para el aire toma u valor de.4, R es la costate uiversal de los gases R8,34 J/mol.K y M es la masa molar del gas que para el aire vale M9-3 kg/mol. Por tato la velocidad de propagació de las odas sooras úicamete depede de la T absoluta segú la ecuació γrt v [3.9] M Combiado las ecuacioes [3.5] y [3.6] podemos verificar que la presió p del gas tambié verifica la ecuació de odas p t κ ρ p [3.] Esta es la raó por la cual a las odas elásticas e u gas se les llama odas de presió. El soido es simplemete ua oda de presió que a su ve cosistete e ua oda elástica logitudial e u gas. La velocidad de propagació del soido e el aire a ºC es aproimadamete igual a 33 m/s. U raoamieto aálogo al epuesto lleva a que la velocidad de las odas sooras e u líquido viee dada por la ecuació [3.] dode Q es el módulo de compresibilidad del líquido y ρ su desidad. E el agua a ºC la velocidad de propagació es alrededor de 5 m/s Q v [3.] ρ 3.. Odas sooras armóicas: Ua posible solució de las ecuacioes [3.7] ó [3.] es ua oda soora armóica geerada por ejemplo por u diapasó ó por u altavo que vibra co movimieto armóico simple. La fuete vibrate hace que las moléculas de aire próimas oscile co MAS alrededor de sus posicioes de equilibrio. Estas moléculas choca co otras próimas haciédolas oscilar, y por tato propagado la oda soora. El desplaamieto de las moléculas de su posició de equilibrio viee dado por ξ ξse( k wt) [3.] Estos desplaamietos se verifica a lo largo de la direcció de movimieto de la oda y da lugar a variacioes de desidad y presió de aire, compresioes y erarecimietos, tal y como se muestra e la figura 3.. Los gráficos muestra como 3-3

4 la presió está desfasada 9º respecto al desplaamieto; allá dode el desplaamieto es cero el cambio de desidad, y por tato presió, es u máimo ó u míimo. La oda de presió viee dada, a partir de [3.5] y [3.], por p pse( k ωt π ) [3.3] dode p represeta el cambio de presió y p es el valor máimo de este cambio. A partir de las ecuacioes ateriores puede deducirse que el máimo cambio de presió p, está relacioada co la máima amplitud de desplaamieto ξ o por la ecuació p [3.4] κξ k ρωvξ Figura 3.. Oda soora armóica mostrado: a) desplaamieto de las moléculas de aire respecto al equilibrio, b) y c) posicioes de moléculas ates y co la oda soora, d) desidad del aire y e) cambio de presió proporcioal a la desidad E el leguaje popular el soido está relacioado co la sesació auditiva. Siempre que ua oda elástica que se propaga a través de u gas, u líquido ó u sólido alcace uestro oído, produce vibracioes e la membraa auditiva; estas vibracioes provoca ua reacció del ervio auditivo y el proceso se cooce como audició. Nuestro sistema auditivo produce sesació solo para frecuecias compredidas etre 6 H y. H recibiedo el ombre de ultrasoidos por ecima de esta frecuecia. 3. Itesidad de las odas sooras E el capítulo vimos como epresar la desidad de eergía del movimieto odulatorio e fució de la amplitud del desplaamieto, ecuació [.3]. Particulariado para odas sooras obteemos que p u [3.5] v ρ y por tato la itesidad de la oda soora, que es igual a la desidad de eergía multiplicada por la velocidad, será igual a 3-4

5 I p [3.6] vρ Recuerdese que por defiició, la itesidad es la eergía que atraviesa por segudo la uidad de superficie colocada de forma ormal a la direcció de propagació y es medida e Wm -. El producto desidad ρ por velocidad de propagació v recibe el ombre de impedacia ó resistecia acústica Z, midiédose e ohmios acústicos Z ρ v [3.7] de tal forma que la ecuació [3.4] queda igual a p [3.8] ωz ξ Evidetemete y segú [3.7] la impedacia acústica depede del medio y así, por ejemplo es del orde de 4 veces mayor e el agua que e el aire. Para ua misma ecitació p recibida, al aumetar Z, la amplitud del desplaamieto ξ se hace meor. 3.. Itesidad de odas esféricas e u fluido. Cosideremos ua oda de presió e u fluido homogéeo e isótropo. Observemos como mietras la oda esférica se propaga, figura 3.3, el frete de odas se etiede cotiuamete creciedo co r. Esto sugiere que la amplitud de la oda de presió debe dismiuir a medida que la distacia a la fuete aumeta, ya que actúa sobre u área mayor. Este resultado está Figura 3.3. Oda de presió esférica cofirmado eperimetal y teóricamete y arroja, si el fluido es isótropo, para la oda de presió la ecuació p p f ( r vt) [3.9] r dode aparece el factor geométrico r, que o aparecía e ua oda plaa, y que eplica que la presió dismiuye co la distacia a la fuete. La velocidad de propagació viee dada por la misma epresió obteida para las odas plaas. U caso particularmete iteresate es el de ua oda armóica esférica de presió epresada por 3-5

6 p p se( kr ωt) [3.] r La amplitud de la oda de presió es p r y dismiuye co la distacia a la fuete. Cosiderado este hecho calculemos la itesidad de la oda esférica. A partir de la ecuació [3.5] la desidad de eergía viee dada por u ρ ω ξ p [3.] r v ρr que dismiuye co r. Este resultado es compatible co la coservació de la eergía ya que si la eergía que fluye a través de cada superficie esférica debe ser la misma, y el área de la esfera varía co r, esto implica que la desidad de eergía debe variar co r -. La itesidad de ua oda esférica, promedio de eergía que atraviesa la uidad de área e la uidad de tiempo, es igual a I p vu [3.] P vρr 4πr co π p P potecia media del foco igual a la eergía emitida por el foco ρ v sooro por segudo y e todas las direccioes. Es decir, e ua oda esférica la itesidad es iversamete proporcioal al cuadrado de la distacia a la fuete, resultado que ecuetra muchas aplicacioes tato e acústica como e óptica. 3.. Absorció de odas sooras. Otros factores que motiva la dismiució de la itesidad de las odas sooras al propagarse por u medio so la disipació de eergía e forma de calor debido a la viscosidad del medio, ó la perdida de eergía por difusió al aparecer feómeos de refleió de odas e partículas e suspesió e el medio tales como ieve ó lluvia e el aire. Todos estos feómeos provoca ua ateuació de la itesidad de la oda segú la ecuació I I ep( α) [3.3] dode α recibe el ombre de coeficiete de absorció. Para medios co u coeficiete de viscosidad η, el coeficiete de absorció α depede de la frecuecia f de la oda soora de la forma 6π f η α [3.4] 3 3ρv 3-6

7 3.3 Odas sooras estacioarias U tubo de orgao es u ejemplo familiar de odas estacioarias e columas de aire dode al soplar a través de la boquilla se produce, para ciertas frecuecias aturales de resoacia, odas sooras estacioarias debido a la refleió e el otro etremo. E u tubo de orgao abierto, la presió e ambos etremos es igual a la presió atmosférica y o varía. Por tato, eiste u odo de presió e los dos etremos del tubo que como vimos e el capítulo correspode a u atiodo de desplaamieto, como se muestra e la figura 3.4.a, al estar ambas odas desplaadas 9º. Nuestras codicioes de cotoro correspodietes a atiodos so ξmáimo ó ξ para y L. Itroduciedo estas codicioes e la ecuació de odas geeral de ua oda armóica estacioaria ξ (, t) ( Asek + B cos k) sewt queda ξ k( A cosk Bsek) sewt [3.5] Haciedo y L ξ ξ ( ) kaseωt ( L) kbseklsewt t, implica que A t, implica klπ y por tato llegamos a L λ [3.6] y las frecuecias de las odas estacioarias v ν f λ L f, f,3 f,... [3.7] y por tato las frecuecias posibles comprede todos los armóicos correspodietes al too fudametal de frecuecia f v L. E la figura 3.4.a se muestra e líeas de traos la distribució de amplitud para los tres primeros armóicos. 3-7

8 Aalicemos ahora el caso de u tubo de orgao co el etremo opuesto al de la boquilla cerrado, figura 3.4.b. Ahora e el etremo cerrado debemos teer u odo e el desplaamieto, ξ para L. Aplicado estas codicioes de cotoro obteemos ξ ( L, t) B cos klsewt t, y esto implica coskl, es decir π kl ( + ) (pasado a logitud de oda) 4L λ [3.8] + co la frecuecia correspodiete v f ( + ) f,3 f,5 f,... [3.9] 4L Los modos de vibració so ahora los armóicos impares de fudametal f v 4L. Por tato, para logitudes iguales, la frecuecia fudametal de u tubo cerrado es la mitad de la de u tubo abierto. (a) (b) Figura 3.4.a) Oda de desplaamieto estacioaria e ua columa de aire abierta e uo de sus etremos. b) Oda de desplaamieto estacioaria e ua columa de aire cerrada 3-8

9 E geeral, los istrumetos musicales so mucho más complicados que u simple tubo. Esto provoca que, cuado por ejemplo u oboe y u clariete toca la misma ota, por ejemplo Sol, suee de forma muy diferete. Ambas otas tiee el mismo too, que es ua sesació fisiológica de la altura de la ota, muy correlacioada co su frecuecia. Si embargo, las otas difiere e lo que se deomia cualidad del too ó timbre. La raó fudametal para la diferecia del timbre es que, auque el oboe y el clariete está produciedo vibracioes co la Figura 3.5. Odas de presió para u diapasó, misma frecuecia fudametal, cada uo clariete y oboe, todos co la misma frecuecia de ellos está tambié produciedo fudametal, 44 H, y la misma itesidad armóicos cuyas itesidades relativas aproimada depede del istrumeto y de la forma e que se toque. E la figura 3.5 se muestra los gráficos de las variacioes de presió e fució del tiempo para u diapasó, u clariete y u oboe que toca la misma ota. La forma de oda para u diapasó es prácticamete ua oda siusoidal pura, lo cual o ocurre para los istrumetos. Las formas de oda puede aaliarse descompoiédolas e los armóicos. Dicho aálisis recibe el ombre de aálisis armóico ó de Fourier. La figura 3.6 muestra ua represetació de las itesidades relativas de los armóicos de las formas de oda de la figura 3.5. Figura 3.6. Itesidades relativas de los armóicos de las formas de oda de la figura aterior 3-9

10 Odas sooras estacioarias e ua caja. Aalicemos ahora el caso de ua oda soora cofiada e ua caja rectagular de dimesioes L, L y y L. Sabemos que la presió del aire detro de la caja debe cumplir la ecuació de odas ), ( ), ( t r p v t t r p r r [3.3] y que las codicioes de cotoro impuestas por el problema obliga a que el desplaamietos e las paredes de la caja sea cero, es decir, dado el desfase de π/ etre desplaamieto y presió, los cambios de presió e las paredes debe ser máimos L p y y Ly y p L p [3.3] Co estas codicioes de cotoro, la solució a la ecuació de odas e forma de oda soora armóica estacioaria toma la forma L y L L Ae t r p y y t i π π π ω cos cos cos ), ( r [3.3] co, y y úmeros eteros y dode las compoetes del vector de odas k r so y y L L L k π π π,, r [3.33] Utiliado la relació que liga frecuecia co vector de odas, ωvk, llegamos a que las frecuetas f permitidas detro de la caja so aquella que cumple la ecuació ),, ( + + y y y L L L v f [3.34] De uevo llegamos a ua ecuació que muestra que so solo posibles ciertas frecuecias de oscilació de las odas sooras detro de la caja, deomiadas frecuecias aturales de oscilació, y que depede básicamete de las dimesioes de la caja y que está caracteriadas por tres úmeros eteros (, y, ). Tambié se observa como estas frecuecias permitidas o so múltiplos uas

11 de otras. El hecho de que las frecuecias aturales está relacioadas armóicamete o es cierta e tres dimesioes. Las codicioes de cotoro dadas por [3.3] cosidera que la caja es perfectamete rígida, hecho que o se cumple e las cavidades reales dode es posible u cierto desplaamieto de las partículas de la pared respecto a su posició de equilibrio y caracteriado por u térmio de amortiguamieto. Este hecho colleva u cierto relajamieto e las posibles frecuecias detro de la caja que a cotiuació pasamos a estimar. Cosideremos la eistecia e la caja de ua fuera etera F cosωt que provoca odas sooras armóicas, por ejemplo u altavo, y que las paredes o so perfectamete rígidas eistiedo u témio de disipació de eergía. Si las paredes fuese perfectamete rígidas, solo cuado la frecuecia de la fuera etera coicidiese co ua de las frecuecia aturales de la caja tedríamos resoacia y la oda soora podría propagarse. Si embargo, e las paredes de la caja y debido a esta fuera etera, la presió respoderá a u movimieto oscilatorio armóico co u térmio de amortiguamieto dado por la ecuació diferecial. d p dp m + b + ω p F cos( wt) [3.35] dt dt Este problema ya lo hemos tratado e el capítulo y sabemos que e este caso teemos ua oscilació armóica forada amortiguada co ua solució e el estado estacioario dada por F p ( t) m se( wt + β ) [3.36] [( ω ω ) + 4γ ω ] Cada ve que el altavo emita co ua frecuecia ω coicidete co ua de las frecuecias aturales ω tedremos resoacia e la caja y el soido se propagará. Por otro lado, y dada la o rigide de las paredes, e u itervalo alrededor de la frecuecia de resoacia es posible la eistecia de odas sooras co ua amplitud que decae segú os alejamos de la resoacia. Este itervalo viee caracteriado por la achura ω a mitad del pico de resoacia, situado e ω, y cumpliédose que ω Q ω ω γ [3.37] 3-

12 3.4 Propagació del soido Las odas sooras puede reflejarse y refractarse siguiedo las leyes geerales que ya vimos e el capítulo aterior y dado lugar a feómeos curiosos al propagarse e la atmósfera debidos al hecho de que el aire o está e reposo, i su temperatura es costate. E otras palabras, el aire o puede cosiderarse u medio homogeeo. Todos estos feómeos se eplica teiedo e cueta la ley de la refracció que poe de maifiesto que los rayos sooros se curva siempre hacia el medio e que es meor la velocidad de propagació. Fijemos la ateció primeramete e lo que sucede cuado ua oda soora marcha a favor ó e cotra del vieto. Cabe pesar e u simple arrastre de las odas sooras por el vieto, pero geeralmete el efecto sobre el alcace del soido es mucho más cosiderable de lo que el arrastre puede justificar. Ello se debe a que la velocidad del vieto, e geeral, aumeta co la altura, y por cosiguiete, si la oda avaa a favor de vieto, figura 3.7.a, resulta que el rayo sooro, ormal a las superficies de oda esféricas, se curva hacia abajo adquiriedo ua trayectoria descedete y aumetado su alcace. U efecto cotrario ocurre cuado la oda soora va cotra el vieto, figura 3.7.b. Por otro lado, hemos demostrado que la velocidad de la oda soora aumeta proporcioalmete a la rai cuadrada de la temperatura. Por lo tato, e la atmósfera dode, e geeral, la temperatura va dismiuyedo co la altura ocurrira lo mismo co la velocidad de propagació del soido y los rayos sooros se desviará ordiariamete hacia capas altas, figura 3.7.c. Los rayos sooros ascedetes puede ecotrar iversioes térmicas, figura 3.7.d, e cuyo caso ivierte su curvatura siedo devueltos hacia el suelo y justificado la eistecia de amplias oas de silecio etre el foco y el observador. Figura 3.7. Refracció de ua oda soora propagádose e la atmósfera e diferetes situacioes: a) y b) a favor y e cotra del vieto, c) y d) co diferetes situacioes térmicas 3-

13 Al icidir la oda soora sobre la superficie de limitació de dos medios vimos e el capítulo aterior como parte de la oda será reflejada y parte trasmitida. El coocido feómeo del eco es fácilmete eplicado aplicado la refleió de las odas sooras e las superficies de separació de medios. Debe teerse e cueta que el oido o separa soidos recibidos co itervalos iferiores a, segudo, de modo que la míima distacia a que debe estar colocado u obstáculo para dar lugar a la percepció del eco es l vt 333., y l 7 m. E cuato a la eergía trasmitida de la oda soora, y siguiedo el raoamieto descrito e el apartado.9, los coeficietes de tramisió y refleió al icidir la oda sobre la superficie de separació de dos medios de impedacia acústica Z y Z viee dados, para icidecia ormal, por las ecuacioes T Z Z Z R Z + Z Z + Z [3.38] Debe recordarse que estos coeficietes relacioaba la amplitud icidete co la trasmitida y la reflejada. Geeralmete estamos más iteresados e aaliar las itesidades trasmitidas y reflejadas que las amplitudes. Esto lleva a la defiició de los factores de trasmisió t, raó de la itesidad trasmitida e icidete y refleió r, raó de la itesidad reflejada e icidete, como t I I t i Ir r I i [3.39] Recordado que la itesidad se relacioa co la desidad de eergía y amplitud segú I uv ρω vξ podemos escribir los factores de trasmisió t y refleió r e fució de las impedacias acústicas de los medios Z y Z como 4s t ( + s) 4s r ( + s) [3.4] dode s es la raó de impedacias s Z Z. Por tato si s es casí igual a la uidad (Z Z ), la eergía icidete pasa casi itegramete al segudo medio, mietras que 3-3

14 si s es muy grade (Z >>Z ) ó muy pequeño (Z <<Z ) casi toda la itesidad será reflejada e la superficie de separació y devuelta al medio icidete. Así, por ejemplo, cuado ua oda soora procedete del aire, Z 4 ohmios acústicos, peetra e el agua, Z 6 5 ohmios acústicos, s388 y el factor de trasmisió t,. Úicamete la milésima parte de la eergía soora icidete procedete del aire peetrará e el agua y el 99,9% será reflejada. 3.5 Pulsacioes ó batidos Cosideremos la iterferecia etre dos odas sooras armóicas co igual amplitud de presió p y de frecuecia ligeramete distitas ω y ω. E u puto del espacio, por ejemplo uestro oído, a igual distacia de las fuetes, la oda resultate vedrá dada por 3-4 p seω t + p se t [3.4] p ω ω e itroduciedo la frecuecia media + ω ω m y la diferecia de frecuecias ω ω ω, y utiliado idetidades trigoométricas llegamos a p p cos( ω t) seωmt [3.4] Figura 3.8. Pulsacioes geeradas por la iterferecia de dos odas sooras de frecuecias cercaas y su represetació gráfica se muestra e la figura 3.8. El oído percibe ua frecuecia agular media ω m co ua amplitud que oscila co frecuecia ω dado lugar a uos batidos ó pulsacioes e el soido. Puesto que la itesidad del soido es proporcioal al cuadrado de la amplitud, el soido será fuerte siempre que haya amplitud máima ó míima co lo que la frecuecia agular del batido ó pulsació será ω y la frecuecia del mismo f ω/(π). El oido puede detectar hasta 5- batidos por segudo; por ecima de estas frecuecias las fluctuacioes de la itesidad so demasiado rápidas para ser detectadas por el oido humao. El feómeo descrito se utilia a meudo para comparar ua frecuecia descoocida co otra coocida, como cuado se utilia u diapasó para afiar la cuerda de u piao. Los piaos se afia haciedo soar al mismo tiempo el diapasó y la ota del piao y actuado sobre la cuerda hasta que las pulsacioes desaparece, mometo e el que la diferecia e frecuecia de los dos geeradores de soido es muy pequeña.

15 3.6 El efecto Doppler Cuado la fuete de odas y el observador está e movimieto relativo co respecto al medio material e el cual la oda de propaga, la frecuecia de las odas observadas es diferete de la frecuecia de las odas emitidas por la fuete. Este feómeo se costata fácilmete e odas sooras, caso de la sirea de u coche ó del silbato de u tre pasado cerca de u observador. Supogamos que teemos ua fuete de odas moviédose hacia la derecha co velocidad v s a través de u medio e reposo tal y como se esquematia e la figura 3.9. Estudiado la fuete e varias posicioes,,3, 4,, otamos que después de u tiempo t, cotado a partir de que la fuete estaba e la posició, las odas emitidas e las varias posicioes ocupa las esferas,, 3, 4,, las cuales o so cocétricas. La separació etre las odas es meor del lado e el cual el cuerpo se está moviedo y mayor del lado opuesto. Para u observador e reposo a cualquier lado, esto correspode respectivamete a ua meor y a ua mayor logitud de oda efectiva o a ua mayor y ua meor frecuecia. Si además el observador está e movimieto co velocidad v o, las odas lo alcaará co diferete velocidad observado ua logitud de oda aú meor si se acerca por la derecha ya que va al ecuetro de las odas. Figura 3.9.a) Fuete de odas sooras e movimieto respecto al medio. b) Efecto Doppler e la superficie de u líquido Para obteer la relació etre la frecuecia f de las odas producidas por la fuete y la frecuecia f registrada por el observador hagamos el siguiete raoamieto basado e la figura 3. e dode fuete y observador se desplaa Figura 3.. Efecto Doppler co fuete y observador e movimieto relativo sobre la misma recta. Supogamos que e el istate t, cuado la distacia etre fuete y observador es l, la fuete 3-5

16 emite ua oda que llega al observador e u tiempo t; durate ese tiempo el observador ha recorrido la distacia v o t y la distacia total recorrida por la oda e el tiempo t es l+v o t; si v es la velocidad de propagació de la oda e el medio, está distacia es tambié vt co lo que vt l + v t t l v v o o [3.43] E tτ la fuete está e A y la oda emitida e aquel istate alcaará al observador e el tiempo t medido desde el mismo orige de tiempos que el primero. La distacia total recorrida por la oda desde el tiempo e que fue emitida e A hasta que fue captada por el observador es (l-v s τ)+v o t. El tiempo real de viaje de la oda es t -τ y la distacia recorrida es v(t -τ) co lo que v( t τ ) l v τ l + ( v v t v v o s s ) τ + v t o [3.44] El itervalo de tiempo registrado por el observador etre las odas emitidas por la fuete e A y e A es v vs τ t t τ [3.45] v v o Ahora bie, si f es la frecuecia de la fuete, el úmero de odas emitido por ella e el tiempo τ es fτ. Estas odas las recibe el observador e el tiempo τ y por tato la frecuecia que el observa es f f τ τ f v v v v o s [3.46] relació que liga la frecuecia f de la fuete y la f medida por el observador cuado ambos se está moviedo segú la direcció de propagació. Cabe putualiar los sigos de las velocidades e la ecuació [3.46] remarcado etoces que cuado el emisor se acerca al receptor v s es egativa y si el emisor se aleja del receptor v s estará co sigo positivo. E cuato a la velocidad del receptor, si este se aleja del emisor v estará co sigo egativo y si se acerca al receptor v será de sigo positivo e la ecuació. 3-6

17 3.6. Oda de Match. U caso especial se preseta cuado el observador está e reposo pero la fuete se mueve co ua velocidad mayor que la velocidad de propagació e el medio v. Etoces, e u tiempo dado la fuete avaa más rápido que el frete de odas; por ejemplo, si e u tiempo t la fuete se mueve desde A hasta B, tal y como se idica e la figura 3., su oda emitida e A ha viajado hasta A. La superficie tagete a todas las sucesivas odas es u coo cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuete y cuya apertura, águlo de Match, está dada por v se α [3.47] v s El movimieto odulatorio resultate es etoces ua oda cóica que se propaga como se idica e la figura 3., deomiada oda de Mach ú oda de choque, y trasporta ua gra catidad de eergía, grades variacioes de presió, cocetrada e la superficie del coo. Figura 3.. Oda cóica ó de Match causada cuado la velocidad de la fuete es mayor que la velocidad de propagació de la oda Para ver más claramete como e dos dimesioes el lugar geométrico de las odas circulares para v s >v actúa como u frete de odas recto cocetrado, cosideremos los istates de llegada de las odas circulares sucesivas a u puto P alejado de la fuete móvil. Supogamos que ua oda parte de S, figura 3., 3-7

18 cuado t y que sucesivas odas parte de S para tt. Los tiempos de llegada de estas odas a P viee dados por r t v r t T + v [3.48] v s Luego S θ S t r r t T [3.49] v Dado que la fuete está alejada del observador asumimos que el águlo S PS es muy pequeño y podemos hacer r -r cosθ Tv s cosθ. Co esta aproimació t v s cosθ t T [3.5] v Evidetemete si v s <v, t es siempre mayor que t, es decir las odas llega e el mismo orde e que se emitiero. Pero si v s >v, la secuecia de tiempos depede de θ. E particular eiste u valor de θ para el que todos los fretes de oda llega a P e el mismo istate. Llamado a este águlo θ teemos v cosθ [3.5] r Figura 3. Odas que llega a u puto distate P procedetes de u v s r foco que se mueve de S a S P Este valor de águlo θ es el complemetario del águlo de Match α y defie la direcció perpedicular al frete de odas recto a lo largo de la cual viaja esta regió de cocetració de los elemetos de las odas circulares E estos térmios puede etederse la oda de choque resposable del soido repetio y violeto que escuchamos cuado u avió supersóico pasa cerca de osotros, deomiada estampido sóico. Supogamos que u avió se está moviedo a ua velocidad mayor que la del soido y teemos a u observador e el puto P, figura 3.3. Traamos ua líea desde P formado u águlo θ o co la direcció de movimieto del avió que itersectará a la misma e S. U tiempo r /v después de que el avió pase por S, P recibirá repetiamete la acumulació de los elemetos de oda que ha sido geerados por el avió e ua distacia corta 3-8

19 desde S e adelate pero que alcaa a P simultáeamete. E este istate el avió ha recorrido ua distacia v s r /v más allá de S. Posteriormete a que la acumulació de odas sooras pasa por P, eistirá ua llegada cotiua de odas ormales que puede ser demasiado débiles para apreciarse. Estas odas tambié se observa e la estela que deja los botes que se mueve co mayor velocidad que la de las odas superficiales sobre el agua como se aprecia e la figura 3.4. v s S S θ α r θ α P Figura 3.3. E la direcció θ se acumula odas procedetes del foco S e el puto de observació P Figura 3.4. Odas e ua cubeta eperimetal producidas por u foco que se mueve a mayor velocidad que la de la propagació de las odas e el agua. La evolvete de los fretes de oda forma u coo co el foco e su vértice 3-9

20 Problemas. A ua frecuecia de 4 H, el soido más débil que se puede escuchar correspode a ua amplitud de presió de 8-5 Nm -. Ecotrar la correspodiete amplitud de desplaamieto. (Desidad del aire,9 kg/m 3 ). Graficar co estos valores las correspodietes odas de desplaamieto y presió.. Ua oda soora plaa que se propaga e el aire a º C viee dada por la epresió ξ 6 se(9, 6 πt). Calcular la velocidad de trasmisió del soido, la impedacia acústica del medio, la oda de presió asociada y la itesidad de la oda soora. 3. El diafragma de u altavo de 3 cm de diámetro vibra co ua frecuecia de kh y ua amplitud de, mm. Supoiedo que las moléculas de aire próimas al diafragma tiee ésta misma amplitud de vibració, determiar la amplitud de presió justo efrete del diafragma, la itesidad soora e esta posició y la potecia acústica irradiada. Si el soido se irradia uiformemete e la semiesfera aterior, determiar la itesidad a 5 m del altavo 4. U alfiler de, g de masa cae desde ua altura de m. Asumiedo que el,5 % de su eergía se covierte e u pulso sooro de duració, s estimar cual es la distacia máima e la que puede oirse la caida del alfiler. Tomar como itesidad soora míima audible -8 W/m. 5. Determiar que logitud debería teer el tubo más corto y el más largo de u órgao capa de geerar todo el rago de soidos audibles supoiedo que los tubos estuviera abiertos por u etremo. 6. Dos altavoces efretados etre si a ua distacia de 9 cm está accioados por u oscilador comú de audio a 68 H. Localiar los putos etre los altavoces a lo largo de la líea que los ue para los cuales la itesidad del soido es máima y míima. 7. Ua fuete soora está situada e el puto A de coordeadas (,) y otra e B (,,4 m) y ambas emite a igual frecuecia y e fase. U observador situado e P (4,) ota que al camiar a lo largo del eje y y cualquiera que sea el setido que tome, la itesidad del soido dismiuye. Cúal es la frecuecia míima y máima de emisió que justifica este hecho? 8. Cuado se golpea u diapasó de 44 H al mismo tiempo que se pulsa la cuerda de ua guitarra que debe dar la ota Sol, se escucha 3 pulsacioes por segudo. Después de que la cuerda de la guitarra se tesa u poco más para aumetar su frecuecia, las pulsacioes aumeta a 6 por segudo. Cuál es la frecuecia de la cuerda de la guitarra co la tesió fial? 9. Demostrar las ecuacioes 3.8 y 3.3 para los coeficietes y factores de trasmisió y refleió e odas sooras. Teer e cueta que e la superficie de separació de los dos medios debe haber cotiuidad e la presió. 3-

21 . La frecuecia de la bocia de u coche parado es 4 H. Determiar la frecuecia y logitud de oda observada por u receptor estacioario si el coche se mueve co ua velocidad de km/h.. La relació etre la frecuecia de ua ota y la frecuecia del semitoo por ecima de ella e la escala diatóica es 5:6. Qúe velocidad tiee u coche si su bocia dismiuye e u semitoo al pasar frete a u observador parado?. Dos alumos co diapasoes vibrates de 44 H pasea alejádose uo del otro co la misma velocidad. Co qué rapide deberá adar para oír ua frecuecia de batido de H, cosecuecia de la superposició de las odas de los dos diapasoes?. 3. U alumo se mueve a lo largo de u pasillo llevado u diapasó que vibra a 5 H. El soido se refleja e la pared del pasillo efrete del alumo, de maera que éste oye 4 batidos por segudo. Co qué velocidad se está moviedo el alumo? 4. E u tiempo t, u avió supersóico se ecuetra sobre u puto P volado hacia el este a ua altura de 5 km. El estampido sóico se oye e el puto P cuado el avió está a km al este de dicho puto. Cuál es la velocidad del avió supersóico? 5. U radar emite microodas co ua frecuecia de GH. Cuado las odas so reflejadas por u coche e movimieto, la frecuecia del paquete de odas debido a la superposició de la oda que emite el radar y la reflejada por el coche es de 93 pulsacioes por segudo. Calcule la velocidad del coche. 6. Ua soda de efecto Doppler emite odas sooras co ua frecuecia de MH que se tramite co ua velocidad e el cuerpo humao de 54 m/s. Sabiedo que la desidad de la sagre es.6 veces la de la grasa, calcular que porcetaje de la itesidad de la oda se refleja e ua superficie etre grasa y sagre. Si la sagre se aleja co ua velocidad radial de, m/s, qué cambio e la frecuecia se medirá? 3-