RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

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1 UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x + y = 8 a b c 4x + y = 7x y = 5x + 9y = 60 Comprueba, en cada caso, la solución que obtengas. a x 5y = 7 4x + y = = = 6; x = = 56; Por tanto: x = = 6; y = = y = = 86; b 5x + 4y = 7x y = = = 8; x = = 45; Por tanto: x = = 5; y = = y = = 66; c 6x + y = 8 5x + 9y = = = 64; x = = 9; 9 0 Por tanto: x = = ; y = = y = = 0;

2 Extensión del resultado a sistemas Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas según la regla anterior? Pon las fórmulas correspondientes y aplícalas a la resolución de los sistemas siguientes: x y + z =0 x + y + z = a x + z =4 b x y + z = y z = 4 x y = Comprueba las soluciones. Si tenemos un sistema : a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a a a a a a a y llamamos: = ; c a a c a a c a a a c a a c a a c a a a c a a c a a c x = ; y = ; z = ; x y entonces: x =, y =, z = z siempre que 0. Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que: a x y + z = 0 x +z = 4 y z = = = x = = 50; y = = 0; z = = Por tanto: x = = 5; y = = ; z = = b x + y + z = x y + z = x y = 0 = = 0 0 x = = 8; y = = ; z = = Por tanto: x = = 4; y = = ; z = =

3 Página 0 Inversa de una matriz a x =, y =. Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Llegarás, así, a la siguiente conclusión: a z + a t = 0 a z + a t = a a = a a a 0 a a 0 a a a a z = = ; t = = Por tanto: a = a a a Comprueba, efectuando el producto, que: = I = = = = = = I plica la expresión anterior para calcular M 4 7 siendo: M = M /5 7/0 = = = M a a a a a a a a /5 /5 a a a a 0 0 a a + a a 6 Haz los productos M M y M M y comprueba que, en ambos casos, obtienes la matriz unidad. M M 4 7 = /5 7/0 0 = 6 /5 /5 0 M /5 7/0 4 7 M = = 0 /5 /5 6 0 Por qué crees que es necesario que 0 para que una matriz cuadrada sea regular tenga inversa? En su obtención, dividimos por. Es necesario que 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única.

4 Página 0. plica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x y = 5 4x + 5y = 7 x + y + z = 7 a x + y = b x y = 0 c x y + 4t = 7x + y = 4 x y = x y 4z + 4t = 6 a x y = 5 x + y = x y = 5 = ' = = 0 ran = ' = 0 ran ' = b c El sistema es compatible. 4x + 5y = 7 x y = 0 7x + y = = ' = 0 ' = 47 0 ran ' = ran = El sistema es incompatible. x + y + z = 7 x y + 4t = x y 4z + 4t = 6 Calculamos el rango de : = 0 4 ' = = 4 0; 0 = 0; Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible = 76 ran ' = ran = 0 ran = 4

5 . Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x + y z = x + y z = x + y + z = 7 a x + z = b x + z = c x y + 4t = y z = 5 y z = 0 x y 4z + 4t = a b c x + y z = x + z = y z = 0 Calculamos el rango de : 0 = 0 ' = 0 = 6 0 y = 0 ran = Calculamos el rango de ': 0 = 0 pues la -ª y la -ª columna son iguales ran ' = = ran 0 0 El sistema es compatible. Observación: Como la 4-ª columna de ' y la -ª son iguales, necesariamente ran ' = ran ; es decir, el sistema es compatible. x + y z = x + z = y z = 5 = 0 ' = 0 Sabemos que ran = ver apartado a de este ejercicio. Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible. x + y + z = 7 x y + 4t = x y 4z + 4t = = 0 0 ran ' = ran = 0 4 ' = 0 4 Sabemos que ran = ver apartado c del ejercicio anterior. Calculamos el rango de ': 7 El sistema es compatible = 0 ran ' = = ran

6 Página 04. Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a Si = a a a a a a Por tanto, el sistema es compatible. 0 ran = = ran ' x y z Su solución es: x =, y =, z =, siendo x la matriz que resulta de sustituir en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. nálogamente, y y z se obtienen sustituyendo en la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes.. Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema: x y + 5z = 4 x y + 4z = 8 x + y = 9 x y + 5z = 4 x y + 4z = 8 x + y = = = x = = 7; y = = ; z = = 5 Por tanto: x = 7, y =, z = Página 05. Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página. Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a, con = a a a 0 a a a 6

7 Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x. Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecuaciones, que llamamos,,, por los adjuntos de los coeficientes de la x: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes: El coeficiente de la x es: a + a + a = El coeficiente de la y es: a + a + a = 0 nálogamente, se ve que el coeficiente de z es cero. El término independiente es: c + c + c, que es el determinante de la matriz x que resulta al sustituor en la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes: c a a x = c a a c a a Recapitulamos: al efectuar la suma + +, obtenemos: x + 0y +0z = x Puesto que 0, podemos despejar la x, y obtenemos: x x = Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones,, por,,, respectivamente. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose: y y =, z = z Página 07. Halla los valores de las incógnitas en los siguientes sistemas de ecuaciones: x y + z = x y + z = a x y + z = b x y + z = y + 7z = 0 y + 7z = 0 7

8 a x y + z = x y + z = y + 7z = 0 = ' = b Calculamos el rango de : 0 = 0 y = 0 ran = Calculamos el rango de ': 0 0 = 0 la -ª y la -ª columna son iguales ran ' = El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x y + z = Solución: x = + λ, y = 7λ, z = λ x y + z = x y + z = y + 7z = 0 = ' = Sabemos, por el apartado a, que ran =. Calculamos el rango de ': y + 7z = El sistema es incompatible. x y = z y = 7z 0 7 z x = y + z = + 7z y = = 0 0 ran ' = ran Resuelve estos sistemas de ecuaciones: x + y = y + z = 5 a b x + z = 4 5x y + z = 6 a x + y = 0 y + z = 5 0 = ' = x + z = 4 0 5x y + z = 6 5 x + 4y = 4 x + 6y = x +y =

9 b 0 Como 0 0 = 0 ran = Calculamos el rango de ': ' = 0 ran ' = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer: x = = = ; y = = = ; z = = = Solución: x =, y =, z = x + 4y = 4 x + 6y = x +y = = 6 ' = 6 Como ' = 09 0, entonces ran ' = ran. El sistema es incompatible. Página 08. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y + z = 0 x y z = 0 a x y + z = 0 b x + y + z = 0 x + y = 0 x 5y 9z = 0 x + y 4z = 0 x + y + 5z = 0 x + 4y + z = 0 c d x y t = 0 x + y z = 0 x y + z t = 0 x 6y + 5z = 0 a x 5y + z = 0 x y + z = 0 x + y = = = 5 0 Por tanto, ran = = n-º incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 b x y z = 0 x + y + z = 0 x 5y 9z = 0 = =

10 Seleccionamos el menor = 0 ran = Podemos suprimir la -ª ecuación y pasar la z al segundo miembro: x y = z x + y = z x = z y = z Solución: x = λ, y = λ, z = λ c x +y 4z = 0 x + 4y + z = 0 x + y z = 0 x 6y + 5z = = 8 ran = = n-º de incógnitas d El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 x + y + 5z = 0 x y t = 0 x y + z t = = 0 = 4 0 ran = Para resolverlo, pasamos la t al -º miembro: x + y + 5z = 0 x y = t x y + z = t 0 5 t 0 t 7t t x = = = ; t 0 t 7t t t t 0 y = = = ; z = = = Solución: x = λ, y = λ, z = 0, t = λ. Resuelve: x y + z = 0 x + z = 0 y + z = 0 y t = 0 a b x y + z = 0 x + y + t = 0 x + 5y = 0 x + y + z + t = 0 a x y + z = 0 y + z = 0 x y + z = 0 x + 5y = 0 =

11 Calculamos el rango de : = 0; 0 = 0; 0 0 = Por tanto, ran =. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al -º miembro: x y = z y = z x = z + y = z z = 5z y = z b Solución: x = 5λ, y = λ, z = λ x + z = 0 y t = 0 x + y + t = 0 x + y + z + t = = ; = 0 0 = 0 ran = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al -º miembro: x z = 0 y = t x + y = t x t z = = = t y = t x = t y = t t = t Solución: x = λ, y = λ, z = λ, t = λ Página 0. Discute y resuelve: x + y + az = 0 x + y = k a ax y = b kx y = x + 4y +6z = 0 5x + y = 6 a x + y + az = 0 ax y = x + 4y + 6z = 0 a a 0 = a 0 ' = a = 4a 5 ± ± 5a 6 = 0 a = = = ± 8 a = a = 4

12 Si a =, queda: 0 ' = El sistema es incompatible. Si a = /4, queda: ' = /4 0 / /4 0 El sistema es incompatible. = 0 ran = = 0 ran ' = ran = 0 ran = 4 = 0 ran ' = ran Si a y a /4 ran = ran ' = n-º incógnitas =, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a 0 a 0 a a 0 6 a 6 x = = ; y = = ; 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 0 a 4 0 z = = 4a 5a 6 4a 5a / a a 6 Solución: x =, y =, z = 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 b x + y = k kx y = 5x + y = 6 k ' = k 5 6 ' = k ± 0 k + 0 = 0 k = = 6 ± 6 k = 5 k =

13 Si k =, queda: ' = = 0 ran = ran ' = = n-º incógnitas 5 6 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x + y = x y = Sumando: x = 5 x = 5; y = x = 5 = Solución: x = 5, y = Si k = 5/, queda: 5/ ' = 5/ 5/ = 0 ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: 5 x + y = 5 x y = Solución: x =, y = Sumando: x = x = = y = x = = 6 Si k y k 5/ ran ' = ran, el sistema es incompatible.. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: a x + y = 0 a x + a + y = 0 a x + y = 0 a x + a + y = 0 a = a a + = a a = 0 a + = a a + = a a = 0 a =

14 Si a = 0, queda: x + y = 0 x + y = 0 Solución: x = λ, y = λ Si a =, queda: y = 0 y = 0 Solución: x = λ, y = 0 y = x. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible indeterminado. Si a 0 y a ran = El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0 Página. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: = 0 B = 5 Calculamos la inversa de la matriz : = 0 existe α ij dj dj t dj t = Calculamos la inversa de la matriz B: B = 0 existe B α ij dj B dj B t dj B t B = B. Calcula la inversa de estas matrices: 0 0 = 0 B =

15 Calculamos la inversa de la matriz : = 8 0 existe α ij dj dj t dj t = Calculamos la inversa de la matriz B: B = 0 existe B α ij dj B dj B t dj B t B = B Página. Expresa en forma matricial y resuelve ten en cuenta el ejercicio de la página anterior: x y z = 6 a x + z = b x + 5y z = 0 a x y z = 6 x + z = x + 5y z = 0 x 6 0 y = 5 x y = 7 x y = X = B En el ejercicio de la página hemos calculado. z { 0 { 5

16 X = B X = B = 9 5 = 64 Solución: x = 06, y = 64, z = 6 b x y = 7 x = 7 x y = B X = C En el ejercicio de la página hemos calculado B. B X = C X = B C = 7 = = Solución: x =, y = 5 y 5 { { Expresa en forma matricial y resuelve: x y z t = 9 x + y = 5 y + z = y + z = a b y + z + t = 6 z + t = 4 x y + t = 5 t = a x y z t = 9 y + z = y + z + t = 6 x y + t = 5 0 Calculamos la inversa de la matriz : = 5 0 existe x y z t { = { X = B = X = B X = B = = = Solución: x = 5, y =, z =, t = = /5 68/5 08/5 6

17 b x + y = 5 y + z = z + t = 4 t = x y = z t { 5 4 { B X = C En el ejercicio de la página anterior hemos calculado B. 5 B X = C X = B 0 C = = Solución: x = 8, y =, z =, t = 8 Página 9 EJERCICIOS Y PROBLEMS PROPUESTOS PR PRCTICR Escribe en forma matricial los siguientes sistemas: x + y z = x y + z t = x + z = a b y + t = x y + z = x + y t = 0 y z = 0 a x 0 y = z 0 b 0 Escribe en la forma habitual estos sistemas: a x = b 4 y 4 x = 0 0 y z x y = z t 0 a x + y + z = 4 x y z = 0 b x + y = 4 x y = 0 x y = Estudia la compatibilidad de estos sistemas: x y = 6 x + y z = x + y z = a 4x + y = b x y z = c x 5y + z =0 x y z = 0 5x + y = 5 x + y z =6 7

18 x+ y + z = x y z = x+ y + z = x y 7z = 0 d x + y + z = e f x y z = y + z = x + z = x + y + z =5 x+ y = 0 a x y = 6 4x + y = 5x + y = 5 6 ' =. Como = 5 0 y ' = 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x y = 6 4x + y = Sumando: 5x = 5 x = y = 4x = 4 = 5 Solución:, 5 b c x + y z = x y z = x y z = 0 0 ' =. Tenemos que = 0 y que Como 0 Por tanto, el sistema es incompatible. x + y z = x 5y + z = 0 x + y z = 6 = 0 ran = = 0 ran ' = ran = ' = Como = 0 y = 7 0, tenemos que ran =. 5 demás, 5 0 = 0. Luego ran ' = = ran < n-º incógnitas. 6 El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x +y z = x 5y + z = 0 x z = y x + z = 5y Sumando: x = + y z = 5y + x = 5y + + y = + 7y Soluciones: x = + λ, y = λ, z = + 7λ 8

19 d x y z = x + y + z = x + z = ' = 0 Como = 0 y demás, 0 = 0, tenemos que ran =. 0 = 0. Luego, ran ' = = ran < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la primera ecuación: x + y + z = x + z = x + y = z x = z z z x = = 7z y = z x = Hacemos z = λ e Soluciones: x = λ, y = 7λ, z = λ x + y + z = x y 7z = 0 y + z = x + y = 0 Como 7 0 ' = = 5 0 y ' = 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la cuarta ecuación. plicamos la regla de Cramer: x = = = ; y = = = ; z = = = 5 5 Solución: x =, y =, z =

20 f x + y + z = x y z = x + y + z = 5 ' = 5 Como = 4 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x = = = 0; y = = = ; z = = = 4 4 Solución: x = 0, y =, z = 4 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer: x + y z = x y = 8x + 4y = a b x y + z = c x + y + z = 0 x 5y = x + y + z = y + z = x + y + z = x + y z + t = x y z + t = 4 d x y z = e x y t = f x + y + z t = x y + z = z t =0 a 8x + 4y = x 5y = 8 4 ' = 5 = x = = = ; y = = = b Solución: x =, y = x + y z = x y + z = x + y + z = ' = = 4 0 0

21 4 4 x = = = ; y = = = ; z = = = 4 4 Solución: x =, y =, z = c d x y = x + y + z = 0 y + z = ' = = x = = = ; y = = = 5; z = = = 7 Solución: x =, y = 5, z = 7 x + y + z = x y z = x y + z = ' = = 0 x = = = ; y = = = ; z = = = Solución: x =, y =, z =

22 e f x + y z + t = x y t = z t = 0 ' = 0. Tenemos que t t + t 0 + t 0 t 0 t + t 0 t + t x = = = ; y = = = t + t 0 0 t t + λ λ z = = = t. Soluciones:,, λ, λ x y z + t = 4 x + y + z t = x y = 4 + z t x + y = z + t = 0 = z t 4 + z t z + t 6 z + t z + t x = = = ; y = = = z + t Soluciones: x =, y = λ + µ, z = λ, t = µ t 5 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: 0 = 0 0 B = 0 0 = = 0 Existe α ij dj dj t = dj t = 0 0 B = 0 = 0 Existe B α ij dj B dj B t B = dj B t B 6 6 / / = B

23 6 Estudia y resuelve los sistemas, cuando sea posible: x + y z = 0 x y + z = a x + y + z = 0 b x + y + z = y z = x + y z = x + y + z =0 x + y = 5 x + 4y + z + t =0 x + z = 6 c d x + 7y + 7z + 4t =0 y + z = 7 x + z + t =0 x + y + z = a x + y z = 0 x + y + z = 0 y z = 0 ' = 0 0 Como = 6 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer x = = = ; y = = = ; z = = = 6 6 Solución: x =, y =, z = b x y + z = x + y + z = x + y z = ' = Como = y = 0, tenemos que ran =. demás, Por tanto, el sistema es incompatible. = 8 0. Luego, ran ' = ran =.

24 c d x +y + z = 0 x + 4y + z + t = 0 x + 7y + 7z + 4t = 0 x +z + t = ' = Es un sistema homogéneo. ' = 0 = 6 0 ran =. Es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al -º miembro. sí: 0 0 t 4 t 4t 7 7 6t t 4t 7 4t t x = = = ; y = = = t 6 7 4t 4t 7t 7 z = = =. Soluciones: λ, λ, λ, λ x + y = 5 x + z = 6 y + z = 7 x + y + z = ' = 0 Tenemos que ' = 0 y = 0. Luego, ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación: x = = = ; y = = = ; z = = = 4. Solución: x =, y =, z =

25 7 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos: 9x + y + z =0 x + y z = 0 x y + z =0 a x y z = 0 b 8x + y + 4z =0 x y + z = 0 x + y z =0 a x + y z = 0 x y z = 0 x y + z = 0 x + y z = 0 x y + z = 0 x y z = 0 = Como = 0 y = 0, entonces, ran =. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: x + y = z x y = z λ λ Soluciones:,, λ z z z z z z z x = = = ; y = = = z b 9x +y + z = 0 x y + z = 0 8x + y + 4z = 0 x + y z = 0 9 Como 8 4 = = 5 0, entonces: ran = = n-º incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 8 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x + y = x + y z = a y + z = 0 b x + y + z = x + y + z = x y z = a x + y = y + z = 0 x + y + z = 0 x 0 y = 0 z X = B { { 5

26 = 0 Existe. La calculamos: α ij dj dj t = dj t b 6 6 / / = 6 Luego: X = B X = B Por tanto: x =, y = 0, z = 0 x + y z = x + y + z = x y z = / / X = B = 0 = 0 6 x y = z X = B { 0 0 { 0 = 0 Existe. La calculamos: α ij dj dj t = dj t = Luego: X = B X = B 5 X = B = = 7 = Por tanto: x =, y =, z = Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible: x + y = 5 x + y = ax + y = x + y = 5 x + y = ax + y = 5 a ' = ; ' = 6 7a = 0 a = ; =

27 6 Si a =, ran = ran ' Sistema compatible. 7 6 Si a, ran ran ' Sistema incompatible. 7 Página 0 0 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posible: S a X 0 4 = 0 0 b 0 X = 0 0 c 0 X = a X 0 4 = Como = 7 0, existe y la ecuación tiene solución. X = I X = I X =. Hallamos : α ij dj dj t dj t = Por tanto: X = b 0 X = 0 B Como = 0, no existe. La ecuación no tiene solución. 0 c 0 X = B 7

28 Como = 4 0, existe y la ecuación tiene solución. X = B X = B X = B. Hallamos : α ij dj dj t dj t = 4 Luego: 0 5 X = = Por tanto: /4 5/4 X = 4 = / / /4 /4 4 PR RESOLVER Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices para aquellos valores de a que sea S posible: a a a 0 a b c a a = = a + 0 para cualquier valor de a. Luego, existe para cualquier valor de a. La calculamos: α ij dj dj t dj t a a a a a a a a a a a 0 a a a + a + = a a + a + b = = a 0 si a 0. Solo existe si a 0. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t 8

29 a a a a = a a c = = a a 0 si a 0 y a Existe solo cuando a 0 y a. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t 0 a 0 a 0 a 0 a = 0 a 0 a 0 a 0 a x 0 Consideramos la matriz siguiente: = 0 S a a 0 0 a a x a Halla los valores de x para los que tiene inversa. b Calcula, si es posible, para x =. a Existe solo cuando 0. x 0 0 x = = x 0 si x 0 Luego, existe para todo x 0. b Para x =, tenemos que = 0, luego existe en este caso. La calculamos: α ij dj dj t dj t 6 6 / / = Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m: S mx + y + z = 4 x+ y+ z= m a x + y + z = m b x+ y+ mz = m x y + mz = x+ my + z= 9

30 x + y + z = 0 x + my + z = 4 c x + my + z = 0 d x + y + z = 5 x + y +4z = mx + y + z = 4 x + z = +mx + y + z = x + y + z = e f x + +my + z = m y z = x + y + +mz = m x y + mz = 5 a mx + y + z = 4 x + y + z = m x y + mz = = m = 0 Si m =, queda: 4 m 4 ' = m Contradictorias Sistema incompatible. ' = Si m =, queda: 4 ' = Contradictorias Sistema incompatible. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. b x + y + z = m x + y + mz = m x + my + z = m = m = m m ' = m m m = m + m = 0 ± 9 8 m = = Si m =, queda: 0 ± ' = Contradictorias El sistema es incompatible. Si m =, queda: ' =. Las columnas -ª, -ª y 4-ª son iguales. m = m = 0

31 c d Como = 0 ran ' = ran = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. x + y +z = 0 x + my + z = 0 x + y +4z = 0 ' = m 0 = m + = 0 m = Si m =, queda: 0 0 ' =. Como 0 = y 0 4 = 0, entonces: ran = ran ' =. Sistema incompatible. Si m, queda: ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. x + my + z = 4 x + y + z = 5 mx + y + z = 4 m 4 ' = 5 = m 4 ± 6 4 ± 4 4m + = 0 m = = = Si m =, queda: m 4 4 ± Contradictorias Sistema incompatible. ' = m = m = Si m =, queda: 4 ' =. La -ª y la -ª fila son iguales. 5 4 demás, = 0. Luego, ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado.

32 e x + z = x + y + z = y z = x y + mz = 5 = ' = 0 0 = m m 8 = = -ª -ª = = 9 8 = 8 9 m 7 8 m 7 = 8 m = 0 m = 0 demás, m 5 FILS -ª -ª + -ª FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª -ª = 9 0 ran = m m 7 8 = 8 9 m + 7 = Si m = ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. = f Si m ran ' = 4 ran =. Sistema incompatible. + mx + y + z = x + + my + z = m x + y + + mz = m = m + m = m m + = 0 Si m = 0, queda: ' = m ' = + m m m = 0 m = + m m El sistema es incompatible. La -ª ecuación contradice las otras. Si m =, queda: ' = 9

33 Como = 0 ran = demás, 9 Luego el sistema es incompatible. = 0 ran ' = Si m 0 y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. 4 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a: S x y + z =0 x + y + z =0 a x + y z =0 b ax + z =0 x 4y az =0 x y + az =0 ax + y z = 0 x + y z = 0 c x + y + z = 0 d 4x + y az = 0 x + 0y + 4z = 0 x + 4y + 6z = 0 a x y + z = 0 x + y z = 0 x 4y az = 0 = 4 a b Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. = 5a 5 = 0 a = 5 El sistema es compatible indeterminado. Si a = 5 Como = 5 0 ran = ran ' = Si a 5 Solo tiene la solución trivial 0, 0, 0. x + y + z = 0 ax +z = 0 x y + az = 0 ' = a 0 a Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. = a ± + 4 ± 5 a + 6 = 0 a = = 0 El sistema es compatible indeterminado. a = a = Si a = o a = Como = 0 ran = ran ' = Si a y a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0.

34 c ax + y z = 0 x + y + z = 0 x + 0y + 4z = 0 a ' = 0 4 d Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. 5 = a 5 = 0 a = 5 Si a = Como = 0 ran = ran ' = El sistema es compatible indeterminado. 5 Si a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. x + y z = 0 4x + y + az = 0 x + 4y + 6z = 0 ' = 4 a 46 = a 46 = 0 a = 46 Si a = Como = 6 0 ran = ran ' = 4 El sistema es compatible indeterminado. 46 Si a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. 5 Determina los valores de m para los cuales son incompatibles estos sistemas: S mx y z = m m + x + y + z = a x y + mz = m b x + y + mz = 4 x + y + z = x + my + z = x + y z = m 4 c m 6 y + z = 0 m + x + y = a mx y z = m x y + mz = m x + y + z = m m ' = m m = m m = m + = 0 m = Si m =, queda: 4 6 ' = Contradictorias. El sistema es incompatible. 4

35 b c Si m, es compatible determinado, pues ran = ran ' =. Por tanto, solo es incompatible para m =. m + x + y + z = x + y + mz = 4 x + my + z = m m = 0 = m m + 6m = mm m + = 0 m = m = Si m = 0, queda: ' = Como 0 = y 4 = 0, 0 0 entonces: ran = ran ' = Compatible indeterminado. Si m =, queda: ' = 4 Contradictorias Sistema incompatible. Si m =, queda: ' = Como = 5 y 4 = 45, entonces: ran = ran ' = Sistema incompatible. Si m 0, m y m Sistema compatible determinado, pues ran =ran ' =. Por tanto, es incompatible para m = y para m =. m + ' = m 4 x + y z = m 4 m 6y +z = 0 m + x + y = m + 0 = m ± ± 8 m = 5 m 5 = 0 m = = m = Si m = 5, queda: ' =. Como 0 0 = 0 y = 0, entonces ran = ran ' = ; el sistema es compatible indeterminado. m 4 ' = 0 m 6 0 5

36 Si m =, queda: entonces ran = ran ' =. El sistema es incompatible. ' =. Como = 8 y = 7, Si m 5 y m Sistema compatible determinado, pues ran =ran ' =. Por tanto, es incompatible solo para m =. 6 Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones? S x y z = x + y + z = a a + x + y + z = a + a x+ ay 5z = 4 b x + y + az = a c ax + y = a x + ay + z = x + y+ z = ax + y + z = a + a b x y z = x + ay 5z = 4 x + y + z = = 9a + 7 = 0 a = Si a =, queda: ' = 5 4 ' = a 5 4 Como = 5 y 4 ran = ran ' = = 0, entonces: El sistema es incompatible. Si a = ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones. x + y + z = a x + y+az= a x + ay + z = a ' = a a a = a ± a = 0 a = = ± a = a = 6

37 Si a =, queda: ' = Contradictorias. El sistema es incompatible. Si a =, queda: ' =. Las columnas -ª, -ª y 4-ª son iguales, y = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a =. c a + x + y + z = a + ax + y = a ax + y + z = a + = a + = 0 a = a + a + ' = a 0 a Si a =, queda: 0 ' = 0. La primera fila es la tercera menos la segunda. 0 0 = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. a a + Si a ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a =. 7 Discute y resuelve según los valores de m: S mx + y = m x + my = m m m ' = m m mx + y = m x + my = m = m = 0 m = m = 7

38 Si m =, queda: 0 ' = El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos: 0 x + y = 0 y = x. Soluciones: x = λ, y = λ Si m =, queda: 4 ' = Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: m m m m m x = = m + m + = = m m m + m m m + m m m m + m m + y = = m + m = = m m m + m m + m m + Solución: x = ; y = m + m + 8 Resuelve la ecuación X B = C siendo: S 4 = B = C = Multiplica C por por la izquierda y por B por la derecha. XB = C X B B = C B X = C B Calculamos y B = y B = existen y B : α ij dj dj t dj t 4 4 = α ij dj B dj B t dj B t B = B Por tanto: X = C B = = =

39 Página 9 Dada =, halla una matriz X tal que X =. S Multiplica dos veces por, una vez por la izquierda y otra por la derecha. Calculamos = 0 existe : α ij dj dj t dj t = Por tanto: X = X = = = 4 7 = = 5 0 Dadas las matrices: = 0 9 B = 0 C = D = 5 4 halla la matriz X que verifica B + CX = D. 8 7 B + CX = D CX = D B X = C D B Calculamos C C = 0 existe C : α ij dj C dj C t dj C t C = C Calculamos B: Por tanto: B = 0 = X = [ ] = = / / 8 7 / / 0 0 / /

40 0 0 Halla X tal que X = B, siendo: = 0, B = 0 X = B X = B Calculamos = 0 existe : α ij dj dj t dj t = Por tanto: / / 0 X = 0 = 0 = / / x 4 Resuelve la ecuación: y + = S 0 5 x 7 y = Calculamos = 6 0 existe : X = B α ij dj dj t dj t = 5 9 Por tanto: 0 X = B X = B = 7 9 = 6 = 6 6 x Luego, y = z z 5 9 { { 0 ; es decir: x =, y =, z = z / /

41 Discute y resuelve, según los diferentes valores del parámetro a, estos sistemas de ecuaciones: S ax + 7y + 0z = x + y + z = a ax + 8y + z = b ax = x az = ay + z = 0 a ax + 7y + 0z = ax + 8y + z = x az = a 7 0 a 8 0 a ' = = a = 0 a = a = Si a =, queda: 7 0 ' = 8. Observamos que la -ª y la -ª columna son iguales. 0 8 demás, 0 = 8 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación: x +8y = z x = + z Soluciones: + λ, λ, λ Si a =, queda: 8y = z z = 4z y = z ' =. Como 8 8 = 8 0 y Luego, ran = ran ' =. El sistema es incompatible. = 0. Si a y a ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a a x = = = a a + a + a a 0 a a a y = = a = = a a a + a + a 4

42 b a 7 a 8 0 a a z = = = = a a + a a + a + a Solución: x =, y =, z = + a + a + a x + y + z = ax = ay + z = 0 = a a = 0 ' = a 0 0 Si a = 0, queda: ' = Sistema incompatible la -ª ecuación es imposible Si a =, queda: ' = 0 0. La -ª y la -ª columna son iguales. 0 0 demás, 0 = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación: x + y + z = x = x = y = x z = z Soluciones:, λ, λ Si a 0 y a ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 0 a 0 0 a a 0 0 a x = = = ; y = = = a a a a a a a a a a 0 0 a 0 a a z = = = ; Solución: x =, y =, z = a a a a a a 0 a 0 a = 0 a = a 4

43 4 Discute el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro S a y resuélvelo en el caso a = : ax + y + 6z = 0 x + ay + 4z = x + ay + 6z = a ax +y + 6z = 0 x + ay + 4z = x + ay + 6z = a = a 8 = 0 a 6 0 ' = a 4 a = a = a 6 a Si a =, queda: 6 0 ' = 4. La -ª y la -ª fila son iguales. 6 0 demás, 6 0; luego, ran = ran ' = < n-º incógnitas. 4 El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la -ª ecuación puesto que es igual que la -ª: x + y + 6z = 0 x + y + 4z = = x x x x x y = = = x; z = = = Soluciones: x = λ, y = λ, z = Si a =, queda: 6 0 ' = Como = 0 y El sistema es incompatible. x + y + z = 0 x + y + z = y + z = x y + z = x = 8 0, entonces ran = ran ' =. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas. El sistema es compatible determinado. 4

44 5 verigua los valores de α para los cuales admiten infinitas soluciones los S sistemas siguientes. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamente los resultados obtenidos: x + y + z = a x + y + αz = 5 b x + y z = 4 a b x + y +z = x + y + αz = 5 x + y z = 4 Si α = 9, queda: α 5 4 ' = = α 9 = 0 α = 9 ' =. Como 9 5 = y = 0, entonces: ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: x + y = z x + y = 5 9z z z 5 9z 5 9z x = = + 5z; y = = 7z Soluciones: x = + 5λ, y = 7λ, z = λ Geométricamente, son tres planos que se cortan en una recta. Si α 9 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 5 α 5 α 4 α 9 4 α 8 α 9 x = = = ; y = = = = α 9 α 9 α 9 α 9 α z = = = 0. Solución: x =, y =, z = 0 α 9 α 9 Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto,, 0. αx y = x αy = α = α + = 0 α ' = α α α = α = αx y = x αy = α 44

45 Si α =, queda: ' =. Compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y = x = + y. Soluciones: x = + λ, y = λ. Geométricamente son rectas coincidentes se trata de la misma recta. Si α =, queda: ' =. Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Geométricamente, son dos rectas paralelas. Si α y α ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: α α α α x = = = = α α + α α + α + α α α α α + y = = = α α + α α α + α Solución: x = ; y = + α α + Geométricamente son dos rectas que se cortan en un punto. 6 Discute la compatibilidad del siguiente sistema según los diversos valores de S λ y resuélvelo para λ = y para λ = : x + λy +z = λ x + λy z = λx y +z = λ x + λy + z = λ x + λy z = λx y + z = λ λ λ ' = λ λ λ = λ 6λ = λ + = 0 λ = Si λ =, queda: ' =. La -ª y la -ª ecuación son iguales. 45

46 Como = 0, entonces ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: y = + z x = + z z = z Soluciones: x = + λ, y = λ, z = λ Sumando: x = + z x = + z Si λ ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos para el caso en que λ = : 8 8 x = = = ; y = = = z = = = ; Solución: x =, y =, z = Halla, en función de a, el rango de la matriz = 0 a S x y = z x y = + z x + y = + z x y = + z 4 a existe, la matriz inversa en los casos a = y a =. y calcula, si 0 0 a 4 a = = a + 4a + = 0 4 ± 6 4 ± 4 a = = = 4 ± a = a = 0 = 0 a 0 = 0 4 a Por tanto: Si a = o a = ran = Si a y a ran = sí, si a =, como = 0, no existe. Para a =, = 8 0, sí existe. La calculamos en este caso: 0 =

47 α ij dj dj t dj t = 8 Considera la matriz =. S a 0 b 4 4 a Cuándo el determinante de es el seno de algún número real? b Calcula cuando exista. c Determina todos los pares a, b para los que coincide con su inversa. a = b será el seno de algún número real cuando b. b Existirá cuando 0, es decir, cuando b 0. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t b 0 a b 0 a b b 0 0 b 0 0 b = a 0 b c = = a/b 0 /b a 0 a/b 0 /b a a = ab + a =0 ab +=0 b b = a = 0 b = b = b b = a Á a = 0 y b = 0, cuando b = y a cualquier número real a, 9 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices y B no son S invertibles y calcula: a si t = b B si t = t = 0 t 4 B = 0 t t 0 a = t 4 ± ± t = 0 t = = = no es invertible para t = ni para t = 6. 4 ± 8 t = t = 6 47

48 Calculamos para t = : = = 7 α ij dj dj t dj t = 4 4 b B = t t = = 0 t = B no es invertible para t = ni para t =. Calculamos B para t = : B = B = α ij dj B dj B t dj B t B = B 0 Dadas las matrices = λ y B = λ 0 S donde λ es cualquier número real: 0 a Encuentra los valores de λ para los que B es invertible. b Determina los valores de λ para los que B es invertible. c Dados a y b, números reales cualesquiera, puede ser el siguiente sistema compatible determinado? = a y a B= λ = + λ + λ λ λ B = λ ± ± 5 + λ = 0 λ = = = 4 4 x z b 0 48

49 = ± 5 4 λ = λ = B es invertible cuando λ y λ. b B = 4 λ λ λ 0 = λ λ λ B = 0 B no es invertible. λ a b El sistema es compatible indeterminado, para cualquier valor de a y b. Por tanto, no puede ser compatible determinado. c ' = ; = ran = ran ' = < n-º incógnitas. 0 Página En el supuesto de que exista, calcula una matriz X tal que X = B en los siguientes S casos: 0 0 a = 0 y B = b = y B = a = 4 0 Existe. Luego: X = B X = B X = B Calculamos : α ij dj dj t dj t = 6 Por tanto: 9 X = = b Para poder efectuar el producto X = B, X debería ser si existiera de dimensión. x y z Sea X = a b c

50 Entonces: X = x + a y + b z + c 0 x y z = x + a y + b z + c = 0 a b c 0 a b c 5 x + a = 5 x = = x + a = 5 x = = x = a = 5 5 a = No tiene solución. Luego no existe X tal que X = B. x y + α + βz = α Dado el sistema: S: x + z = β S x z = α β a Demuestra que es compatible determinado para cualquier valor de α y β. b Resuélvelo para α = β =. a x y +α + βz = α x + z = β x z = α β 0 α β α + β = = 0 = 0 0 ran = ran ' = El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β. α + β α ' = 0 β b Si α = β =, queda: ' = 0, con =. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x = = = ; y = = = 0 0 z = = =. Solución: x =, y =, z = 50

51 x+ ay + z = a + a Discute, en función de a, el siguiente sistema: x + y + az = a + ax + y + z = a b Resuelve el sistema anterior para el caso a =. a x + ay + z = a + x + y + az = a + ax + y + z = a = a a + = a a + = 0 a a + ' = a + Si a =, queda: ' =. El sistema es incompatible. 4 Si a =, queda: 0 a a a a = a = ' =. Como = y = 0, entonces ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. 0 b Para a =, queda: ' = 0 y sabemos que = 4. El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer: 0 0 x = = = ; y = = = z = = 0 = 0. Solución: x =, y =, z =

52 CUESTIONES TEÓRICS 4 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a S las siguientes preguntas: a Puede ser compatible? b Puede tener solución única? c Se puede aplicar la regla de Cramer? a Sí, podría ser compatible indeterminado si ran = ran ' < n-º incógnitas. b No, pues al ser ran < n-º incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado. c Sí, si es compatible, pasando al -º miembro las incógnitas que sea necesario. 5 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro S ecuaciones y tres incógnitas es igual a. Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta. l ser el sistema homogéneo con incógnitas, tenemos que ran = ran ' = = n-º incógnitas =. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial 0, 0, 0. 6 Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa? La condición necesaria y suficiente para que una matriz,, cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, 0. 7 Sean y B inversas una de otra. Si = 4, cuánto vale B? Si y B son inversas una de otra, entonces B = I. sí: B = B = I = B = = 4 8 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con S tres incógnitas es igual a. Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango. 9 Existe algún valor de a para el cual la matriz no tenga inversa? a a = a a + = 0 para cualquier valor de a. a a a a Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa. 5

53 x y + z = 5 40 Dadas estas ecuaciones: S x y + z = 4 a ñade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b ñade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación. a Por ejemplo, x y + z = contradice la -ª ecuación; luego, si añadimos esta ecuación, el sistema obtenido sería incompatible. b Por ejemplo, si añadimos la ecuación y = 0, como = 0 0 = 0, el sistema sería compatible determinado. 4 Representa matricialmente los sistemas: S x + y = x + y = 0 s: s': x + 4y = 0 x + 4y = Resuélvelos y averigua si existe alguna relación entre las soluciones obtenidas y la inversa de la matriz. Justifica la relación obtenida. 4 SISTEM S SISTEM S' x x 0 = = 4 y 0 4 y Calculamos la inversa de = = 0: 4 α ij dj dj t dj t = SOLUCIÓN DEL SISTEM S SOLUCIÓN DEL SISTEM S' x 4 4 x 4 0 = = = = y 0 Las soluciones obtenidas son cada una de las columnas de la matriz inversa. Observamos que las matrices de los términos independientes de los dos sistemas son las columnas de la matriz identidad. Por tanto, las incógnitas que hallamos son los elementos de la matriz inversa. y 4 Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema no S tenga solución: x + y + z = x + y + z = 5 x + my + z = 7 5

54 x + y + z = x + y + z = 5 x + my + z = 7 ' = 5 m 7 = 4 m = 0 m = 4 Si m = 4, queda: ' = La 4-ª columna se obtiene sumando la -ª y la -ª. Luego, ran = ran '. El sistema es compatible. En este caso sería compatible indeterminado, pues 0 ran = ran ' =. Si m 4 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución. 4 Si el rango de la matriz de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas S es dos y el de la matriz ampliada tres, qué interpretaciones geométricas podemos dar a ese sistema? Pon un ejemplo de un sistema de esas características y su interpretación geométrica. Si ran = ran ' =, el sistema es incompatible. Interpretaciones geométricas posibles: Dos planos paralelos y otro que los corta: Tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres: Un ejemplo de cada uno de los dos casos sería: x + y + z = x + y = x + y + z = x + y + z = x + y = x + y + z = 5 54

55 Página 44 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, X = B y S X = B', tienen una misma matriz de coeficientes, puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado? No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran = ran ' = 4. Por tanto, si es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro será ran = 4. Luego, los dos serían compatibles determinados. 45 Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga solución? Puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razona las respuestas. S Un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial 0, 0, 0. demás, ran = ran '; luego, siempre es compatible. Si ran = n-º incógnitas, entonces solo tendría la solución trivial; y, si ran < n-º incógnitas, sería compatible indeterminado, es decir, tendría infinitas soluciones. 46 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones S con tres incógnitas es. Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, cuántas soluciones tendrá el sistema? La matriz ampliada, ', podría tener rango o rango 4. Si ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema sería compatible determinado, es decir, con una sola solución. Si ran = ran ' = 4 El sistema sería incompatible, sin ninguna solución. 47 Determina una matriz para que el sistema homogéneo X = 0 sea equivalente a la ecuación matricial: S x y z = 0, 0 La ecuación matricial dada, la podemos escribir así: x + y + z = 0 x + y + z = 0 entonces: X = 0. Si llamamos = x y X = y Por tanto, la matriz que buscamos es =. PR PROFUNDIZR 48 a Para qué valor de a este sistema es compatible determinado? x y = y + z = a x z = y z = z 55

56 b Puede ser compatible indeterminado? x y = a y + z = a x z = y z = ' = ' = = 0 ran = = n-º incógnitas = 0 a a = 4 FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª = 0 a = a 4 = 0 a Si a = 4 ran = ran ' = Compatible determinado Por tanto, Si a 4 ran = ran ' = 4 Incompatible b No, por lo que hemos visto en el apartado anterior. x y = x z = y z= y + z = a 49 Estudia y resuelve cuando sea posible: x + y +t = x y + z t = a b 5x y + z 4t = a x + y + z + t = a x + y + t = x y + z t = 5x y + z 4t = a x + y + z + t = 0 = 0 y ' = = 0 ran = La 4-ª columna depende linealmente de las tres primeras. 0 5 a FILS -ª -ª + -ª -ª + -ª = FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª -ª a a ax + z + t = ay + z t = ay + z t = az t =0 0 0 = 0 a = a + = 0 a = = a 56

57 Si a = ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al º miembro: x + y = t x y + z = + t x + y + z = t t 0 t 0 + t + t t t 5 5 t t 4t 4 x = = = ; y = = = 4 4t t + t t 8 5t z = = = 8 + 5t b 5 λ 4 4λ 8 + 5λ Soluciones: x =, y =, z =, t = λ Si a ran = ran ' = 4. El sistema es incompatible. ax + z + t = ay + z t = ay + z t = az t = 0 = a 0 0 a 0 a = 0 0 a a 0 a ' = a = -ª -ª a = = a = a a = a = 0 a = 0 Si a = 0, queda: z = ' = Incompatible 0 0 z = t = 0 Si a 0 ran = ran ' = n-º incógnitas = 4. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a a 0 0 a x = = a + a = a + a a 0 0 a 0 a 0 0 a 0 a a 0 a a FILS -ª -ª a a a 57

58 a a y = = a = a a a a 0 0 a 0 a z = = a = a a a a 0 0 a 0 a 0 0 a 0 t = = a = a Soluciones: x = a +, y =, z =, t = a 50 Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros que contienen: x y + z = x + y + z = a a x+ y z = 8 b x+ y + az = a 4x + y + az = b x + ay + z = b x y + z = a ax + y z = b c x z = b d x + ay = b + x + z = c x + z = b a x y + z = x + y z = 8 4x + y + az = b = 5a = 0 a = 0 Si a = 0, queda: a ' = 8 4 a b ' = ; 8 = 5 0; b 4 b a a = 5b + 0 = 0 b = 4 Si a = 0 y b = 4 ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a = 0 y b 4 ran = ran ' =. El sistema es incompatible. 58

59 b Si a 0 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b. x + y + z = a x + y + az = a x + ay + z = b = a a = 0 Si a =, queda: 0 b a ' = a a ' = Contradictorias, a no ser que b = 0. Si a = y b 0 Sistema incompatible. Si a = y b = 0, queda: 0 ' = Si a =, queda: b. La primera fila y la tercera son iguales. 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. ' = La primera y la tercera columnas son iguales. b 0 0 ran = a b a = a = = b = 0 b = Si a = y b ran = ran ' = Sistema incompatible. Si a = y b = ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 59

60 c x y + z = a x z = b x + z = c a ' = 0 b 0 c d = 6 0 ran = ran ' = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c. ax + y z = b x + ay = b + x + z = b = a a = 0 Si a =, queda: b ' = 0 b + a b ' = a 0 b + 0 ran = b b + = b = 0 b = 0 0 b Si a = y b 0 ran = ran ' = Sistema incompatible. Si a = y b = 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a =, queda: b ' = 0 b + 0 b 0 b a = a = 0 ran = 0 b b b + = b = 0 b = 0 b Si a = y b ran = ran ' = Sistema incompatible. 60

61 Si a = y b = ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 5 Calcula los valores de a y b para los cuales este sistema tiene infinitas soluciones. Resuélvelo para esos valores: ax + y + z = a x + ay + z = b b x + y + az = a ax + y + z = x + ay + z = b x + y + az = a ' = a b = a a + = a a + = 0 Si a =, queda: ' = b Si a = y b = ran = ran ' = Compatible indeterminado. x + y + z = x = y z. Soluciones: x = λ µ; y = λ; z = µ Si a = y b Incompatible. Si a =, queda: ' = b a ax + y + z = 4 x + y + z = b x ay + z = b a = a = = ran = b = b + 6 = 0 b = Si a = y b = ran = ran ' = Compatible indeterminado. x + y = z x y = z 6

62 z z z z z z + z + x = = = z; y = = = = + z Soluciones: x = λ, y = + λ, z = λ Si a = y b ran = ran ' = Incompatible. Si a y a ran ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. b ax + y + z = 4 x + y + z = b x ay + z = b = a + a = 0 Si a =, queda: 4 a 4 ' = b ' = b Contradictorias a no ser que b = b b = 0 b Si a = y b 0 Sistema incompatible. Si a = y b = 0, queda: 4 ' =. La -ª y -ª filas son iguales. 0 0 a b a = a = 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas Sistema compatible indeterminado. x + y + z = 4 x + y + z = 0 x + y = 4 z x + y = z Sumando las dos ecuaciones: y = z y = 4 z x = z y = z + z = Soluciones: x =, y = λ, z = λ Si a =, queda: 4 b b Contradictorias a no ser que b = 4 b = 4 ' = 6

63 Si a = y b 4 Sistema incompatible. Si a = y b = 4, queda: 4 ' = La primera y segunda filas son iguales ran = ran ' = < n-º incógnitas Sistema compatible indeterminado. x + y + z = 4 x y + z = 4 x + y = 4 z x y = 4 z Sumando las dos ecuaciones: x = z x = z y = 4 z x = 4 z + z = 4 Soluciones: x = λ, y = 4, z = λ Si a y a ran = ran ' = n-º incógnitas Sistema compatible determinado para cualquier valor de b. 5 Discute en función de λ y µ: S λ +x + y + λz = x +λ +y + z = µ λx + y + λz = = λ 4 = 0 Si λ =, queda: ' = µ λ = λ = λ + x + y + λz = x + λ + y +z = µ λx + y + λz = λ + λ ' = λ + µ λ λ = 0 ran = ; µ = µ + 4 = 0 µ = Si λ = y µ = ran = ran ' =. Compatible indeterminado. Si λ = y µ ran = ran ' =. Incompatible. 6

64 Si λ =, queda: ' = µ = 8 0 ran = µ = 4µ 8 = 0 µ = Si λ = y µ = ran = ran ' =. Compatible indeterminado. Si λ = y µ ran = ran ' =. Incompatible. Si λ y λ ran = ran ' =. Compatible determinado, cualquiera que sea el valor de µ. PR PENSR UN POCO MÁS 0 5 Dada la matriz: = a ij = 0 4 a Halla la matriz ij formada por los adjuntos de los elementos de. b Calcula = a ij y ij y halla una relación entre ellos a ij = b = a ij = ij = 69 = = 54 En general, qué relación existe entre el determinante de una matriz, de orden, y el determinante de la matriz formada por sus adjuntos? Para demostrarlo, ten en cuenta que: B = B y la expresión de. Sabemos que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: ij = ji. Por otra parte, tenemos que suponemos que existe : = ji = ji = ij = También sabemos que: = I = I = = 64

65 Uniendo las dos igualdades obtenidas, tenemos que: = ij ij = de orden 55 Si es una matriz cuadrada n n, da el valor de ij en función de. Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos a que si es n n: = ij n = ij = n 65

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