RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES"

Transcripción

1 UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x + y = 8 a b c 4x + y = 7x y = 5x + 9y = 60 Comprueba, en cada caso, la solución que obtengas. a x 5y = 7 4x + y = = = 6; x = = 56; Por tanto: x = = 6; y = = y = = 86; b 5x + 4y = 7x y = = = 8; x = = 45; Por tanto: x = = 5; y = = y = = 66; c 6x + y = 8 5x + 9y = = = 64; x = = 9; 9 0 Por tanto: x = = ; y = = y = = 0;

2 Extensión del resultado a sistemas Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas según la regla anterior? Pon las fórmulas correspondientes y aplícalas a la resolución de los sistemas siguientes: x y + z =0 x + y + z = a x + z =4 b x y + z = y z = 4 x y = Comprueba las soluciones. Si tenemos un sistema : a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a a a a a a a y llamamos: = ; c a a c a a c a a a c a a c a a c a a a c a a c a a c x = ; y = ; z = ; x y entonces: x =, y =, z = z siempre que 0. Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que: a x y + z = 0 x +z = 4 y z = = = x = = 50; y = = 0; z = = Por tanto: x = = 5; y = = ; z = = b x + y + z = x y + z = x y = 0 = = 0 0 x = = 8; y = = ; z = = Por tanto: x = = 4; y = = ; z = =

3 Página 0 Inversa de una matriz a x =, y =. Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Llegarás, así, a la siguiente conclusión: a z + a t = 0 a z + a t = a a = a a a 0 a a 0 a a a a z = = ; t = = Por tanto: a = a a a Comprueba, efectuando el producto, que: = I = = = = = = I plica la expresión anterior para calcular M 4 7 siendo: M = M /5 7/0 = = = M a a a a a a a a /5 /5 a a a a 0 0 a a + a a 6 Haz los productos M M y M M y comprueba que, en ambos casos, obtienes la matriz unidad. M M 4 7 = /5 7/0 0 = 6 /5 /5 0 M /5 7/0 4 7 M = = 0 /5 /5 6 0 Por qué crees que es necesario que 0 para que una matriz cuadrada sea regular tenga inversa? En su obtención, dividimos por. Es necesario que 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única.

4 Página 0. plica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x y = 5 4x + 5y = 7 x + y + z = 7 a x + y = b x y = 0 c x y + 4t = 7x + y = 4 x y = x y 4z + 4t = 6 a x y = 5 x + y = x y = 5 = ' = = 0 ran = ' = 0 ran ' = b c El sistema es compatible. 4x + 5y = 7 x y = 0 7x + y = = ' = 0 ' = 47 0 ran ' = ran = El sistema es incompatible. x + y + z = 7 x y + 4t = x y 4z + 4t = 6 Calculamos el rango de : = 0 4 ' = = 4 0; 0 = 0; Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible = 76 ran ' = ran = 0 ran = 4

5 . Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x + y z = x + y z = x + y + z = 7 a x + z = b x + z = c x y + 4t = y z = 5 y z = 0 x y 4z + 4t = a b c x + y z = x + z = y z = 0 Calculamos el rango de : 0 = 0 ' = 0 = 6 0 y = 0 ran = Calculamos el rango de ': 0 = 0 pues la -ª y la -ª columna son iguales ran ' = = ran 0 0 El sistema es compatible. Observación: Como la 4-ª columna de ' y la -ª son iguales, necesariamente ran ' = ran ; es decir, el sistema es compatible. x + y z = x + z = y z = 5 = 0 ' = 0 Sabemos que ran = ver apartado a de este ejercicio. Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible. x + y + z = 7 x y + 4t = x y 4z + 4t = = 0 0 ran ' = ran = 0 4 ' = 0 4 Sabemos que ran = ver apartado c del ejercicio anterior. Calculamos el rango de ': 7 El sistema es compatible = 0 ran ' = = ran

6 Página 04. Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a Si = a a a a a a Por tanto, el sistema es compatible. 0 ran = = ran ' x y z Su solución es: x =, y =, z =, siendo x la matriz que resulta de sustituir en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. nálogamente, y y z se obtienen sustituyendo en la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes.. Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema: x y + 5z = 4 x y + 4z = 8 x + y = 9 x y + 5z = 4 x y + 4z = 8 x + y = = = x = = 7; y = = ; z = = 5 Por tanto: x = 7, y =, z = Página 05. Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página. Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a a a, con = a a a 0 a a a 6

7 Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x. Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecuaciones, que llamamos,,, por los adjuntos de los coeficientes de la x: a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c a x + a y + a z = c Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes: El coeficiente de la x es: a + a + a = El coeficiente de la y es: a + a + a = 0 nálogamente, se ve que el coeficiente de z es cero. El término independiente es: c + c + c, que es el determinante de la matriz x que resulta al sustituor en la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes: c a a x = c a a c a a Recapitulamos: al efectuar la suma + +, obtenemos: x + 0y +0z = x Puesto que 0, podemos despejar la x, y obtenemos: x x = Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones,, por,,, respectivamente. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose: y y =, z = z Página 07. Halla los valores de las incógnitas en los siguientes sistemas de ecuaciones: x y + z = x y + z = a x y + z = b x y + z = y + 7z = 0 y + 7z = 0 7

8 a x y + z = x y + z = y + 7z = 0 = ' = b Calculamos el rango de : 0 = 0 y = 0 ran = Calculamos el rango de ': 0 0 = 0 la -ª y la -ª columna son iguales ran ' = El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x y + z = Solución: x = + λ, y = 7λ, z = λ x y + z = x y + z = y + 7z = 0 = ' = Sabemos, por el apartado a, que ran =. Calculamos el rango de ': y + 7z = El sistema es incompatible. x y = z y = 7z 0 7 z x = y + z = + 7z y = = 0 0 ran ' = ran Resuelve estos sistemas de ecuaciones: x + y = y + z = 5 a b x + z = 4 5x y + z = 6 a x + y = 0 y + z = 5 0 = ' = x + z = 4 0 5x y + z = 6 5 x + 4y = 4 x + 6y = x +y =

9 b 0 Como 0 0 = 0 ran = Calculamos el rango de ': ' = 0 ran ' = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer: x = = = ; y = = = ; z = = = Solución: x =, y =, z = x + 4y = 4 x + 6y = x +y = = 6 ' = 6 Como ' = 09 0, entonces ran ' = ran. El sistema es incompatible. Página 08. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y + z = 0 x y z = 0 a x y + z = 0 b x + y + z = 0 x + y = 0 x 5y 9z = 0 x + y 4z = 0 x + y + 5z = 0 x + 4y + z = 0 c d x y t = 0 x + y z = 0 x y + z t = 0 x 6y + 5z = 0 a x 5y + z = 0 x y + z = 0 x + y = = = 5 0 Por tanto, ran = = n-º incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 b x y z = 0 x + y + z = 0 x 5y 9z = 0 = =

10 Seleccionamos el menor = 0 ran = Podemos suprimir la -ª ecuación y pasar la z al segundo miembro: x y = z x + y = z x = z y = z Solución: x = λ, y = λ, z = λ c x +y 4z = 0 x + 4y + z = 0 x + y z = 0 x 6y + 5z = = 8 ran = = n-º de incógnitas d El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 x + y + 5z = 0 x y t = 0 x y + z t = = 0 = 4 0 ran = Para resolverlo, pasamos la t al -º miembro: x + y + 5z = 0 x y = t x y + z = t 0 5 t 0 t 7t t x = = = ; t 0 t 7t t t t 0 y = = = ; z = = = Solución: x = λ, y = λ, z = 0, t = λ. Resuelve: x y + z = 0 x + z = 0 y + z = 0 y t = 0 a b x y + z = 0 x + y + t = 0 x + 5y = 0 x + y + z + t = 0 a x y + z = 0 y + z = 0 x y + z = 0 x + 5y = 0 =

11 Calculamos el rango de : = 0; 0 = 0; 0 0 = Por tanto, ran =. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al -º miembro: x y = z y = z x = z + y = z z = 5z y = z b Solución: x = 5λ, y = λ, z = λ x + z = 0 y t = 0 x + y + t = 0 x + y + z + t = = ; = 0 0 = 0 ran = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al -º miembro: x z = 0 y = t x + y = t x t z = = = t y = t x = t y = t t = t Solución: x = λ, y = λ, z = λ, t = λ Página 0. Discute y resuelve: x + y + az = 0 x + y = k a ax y = b kx y = x + 4y +6z = 0 5x + y = 6 a x + y + az = 0 ax y = x + 4y + 6z = 0 a a 0 = a 0 ' = a = 4a 5 ± ± 5a 6 = 0 a = = = ± 8 a = a = 4

12 Si a =, queda: 0 ' = El sistema es incompatible. Si a = /4, queda: ' = /4 0 / /4 0 El sistema es incompatible. = 0 ran = = 0 ran ' = ran = 0 ran = 4 = 0 ran ' = ran Si a y a /4 ran = ran ' = n-º incógnitas =, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a 0 a 0 a a 0 6 a 6 x = = ; y = = ; 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 0 a 4 0 z = = 4a 5a 6 4a 5a / a a 6 Solución: x =, y =, z = 4a 5a 6 4a 5a 6 4a 5a 6 b x + y = k kx y = 5x + y = 6 k ' = k 5 6 ' = k ± 0 k + 0 = 0 k = = 6 ± 6 k = 5 k =

13 Si k =, queda: ' = = 0 ran = ran ' = = n-º incógnitas 5 6 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x + y = x y = Sumando: x = 5 x = 5; y = x = 5 = Solución: x = 5, y = Si k = 5/, queda: 5/ ' = 5/ 5/ = 0 ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: 5 x + y = 5 x y = Solución: x =, y = Sumando: x = x = = y = x = = 6 Si k y k 5/ ran ' = ran, el sistema es incompatible.. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: a x + y = 0 a x + a + y = 0 a x + y = 0 a x + a + y = 0 a = a a + = a a = 0 a + = a a + = a a = 0 a =

14 Si a = 0, queda: x + y = 0 x + y = 0 Solución: x = λ, y = λ Si a =, queda: y = 0 y = 0 Solución: x = λ, y = 0 y = x. Sistema compatible indeterminado. Sistema compatible indeterminado. Si a 0 y a ran = El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0 Página. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: = 0 B = 5 Calculamos la inversa de la matriz : = 0 existe α ij dj dj t dj t = Calculamos la inversa de la matriz B: B = 0 existe B α ij dj B dj B t dj B t B = B. Calcula la inversa de estas matrices: 0 0 = 0 B =

15 Calculamos la inversa de la matriz : = 8 0 existe α ij dj dj t dj t = Calculamos la inversa de la matriz B: B = 0 existe B α ij dj B dj B t dj B t B = B Página. Expresa en forma matricial y resuelve ten en cuenta el ejercicio de la página anterior: x y z = 6 a x + z = b x + 5y z = 0 a x y z = 6 x + z = x + 5y z = 0 x 6 0 y = 5 x y = 7 x y = X = B En el ejercicio de la página hemos calculado. z { 0 { 5

16 X = B X = B = 9 5 = 64 Solución: x = 06, y = 64, z = 6 b x y = 7 x = 7 x y = B X = C En el ejercicio de la página hemos calculado B. B X = C X = B C = 7 = = Solución: x =, y = 5 y 5 { { Expresa en forma matricial y resuelve: x y z t = 9 x + y = 5 y + z = y + z = a b y + z + t = 6 z + t = 4 x y + t = 5 t = a x y z t = 9 y + z = y + z + t = 6 x y + t = 5 0 Calculamos la inversa de la matriz : = 5 0 existe x y z t { = { X = B = X = B X = B = = = Solución: x = 5, y =, z =, t = = /5 68/5 08/5 6

17 b x + y = 5 y + z = z + t = 4 t = x y = z t { 5 4 { B X = C En el ejercicio de la página anterior hemos calculado B. 5 B X = C X = B 0 C = = Solución: x = 8, y =, z =, t = 8 Página 9 EJERCICIOS Y PROBLEMS PROPUESTOS PR PRCTICR Escribe en forma matricial los siguientes sistemas: x + y z = x y + z t = x + z = a b y + t = x y + z = x + y t = 0 y z = 0 a x 0 y = z 0 b 0 Escribe en la forma habitual estos sistemas: a x = b 4 y 4 x = 0 0 y z x y = z t 0 a x + y + z = 4 x y z = 0 b x + y = 4 x y = 0 x y = Estudia la compatibilidad de estos sistemas: x y = 6 x + y z = x + y z = a 4x + y = b x y z = c x 5y + z =0 x y z = 0 5x + y = 5 x + y z =6 7

18 x+ y + z = x y z = x+ y + z = x y 7z = 0 d x + y + z = e f x y z = y + z = x + z = x + y + z =5 x+ y = 0 a x y = 6 4x + y = 5x + y = 5 6 ' =. Como = 5 0 y ' = 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x y = 6 4x + y = Sumando: 5x = 5 x = y = 4x = 4 = 5 Solución:, 5 b c x + y z = x y z = x y z = 0 0 ' =. Tenemos que = 0 y que Como 0 Por tanto, el sistema es incompatible. x + y z = x 5y + z = 0 x + y z = 6 = 0 ran = = 0 ran ' = ran = ' = Como = 0 y = 7 0, tenemos que ran =. 5 demás, 5 0 = 0. Luego ran ' = = ran < n-º incógnitas. 6 El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x +y z = x 5y + z = 0 x z = y x + z = 5y Sumando: x = + y z = 5y + x = 5y + + y = + 7y Soluciones: x = + λ, y = λ, z = + 7λ 8

19 d x y z = x + y + z = x + z = ' = 0 Como = 0 y demás, 0 = 0, tenemos que ran =. 0 = 0. Luego, ran ' = = ran < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la primera ecuación: x + y + z = x + z = x + y = z x = z z z x = = 7z y = z x = Hacemos z = λ e Soluciones: x = λ, y = 7λ, z = λ x + y + z = x y 7z = 0 y + z = x + y = 0 Como 7 0 ' = = 5 0 y ' = 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la cuarta ecuación. plicamos la regla de Cramer: x = = = ; y = = = ; z = = = 5 5 Solución: x =, y =, z =

20 f x + y + z = x y z = x + y + z = 5 ' = 5 Como = 4 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas = El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x = = = 0; y = = = ; z = = = 4 4 Solución: x = 0, y =, z = 4 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer: x + y z = x y = 8x + 4y = a b x y + z = c x + y + z = 0 x 5y = x + y + z = y + z = x + y + z = x + y z + t = x y z + t = 4 d x y z = e x y t = f x + y + z t = x y + z = z t =0 a 8x + 4y = x 5y = 8 4 ' = 5 = x = = = ; y = = = b Solución: x =, y = x + y z = x y + z = x + y + z = ' = = 4 0 0

21 4 4 x = = = ; y = = = ; z = = = 4 4 Solución: x =, y =, z = c d x y = x + y + z = 0 y + z = ' = = x = = = ; y = = = 5; z = = = 7 Solución: x =, y = 5, z = 7 x + y + z = x y z = x y + z = ' = = 0 x = = = ; y = = = ; z = = = Solución: x =, y =, z =

22 e f x + y z + t = x y t = z t = 0 ' = 0. Tenemos que t t + t 0 + t 0 t 0 t + t 0 t + t x = = = ; y = = = t + t 0 0 t t + λ λ z = = = t. Soluciones:,, λ, λ x y z + t = 4 x + y + z t = x y = 4 + z t x + y = z + t = 0 = z t 4 + z t z + t 6 z + t z + t x = = = ; y = = = z + t Soluciones: x =, y = λ + µ, z = λ, t = µ t 5 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: 0 = 0 0 B = 0 0 = = 0 Existe α ij dj dj t = dj t = 0 0 B = 0 = 0 Existe B α ij dj B dj B t B = dj B t B 6 6 / / = B

23 6 Estudia y resuelve los sistemas, cuando sea posible: x + y z = 0 x y + z = a x + y + z = 0 b x + y + z = y z = x + y z = x + y + z =0 x + y = 5 x + 4y + z + t =0 x + z = 6 c d x + 7y + 7z + 4t =0 y + z = 7 x + z + t =0 x + y + z = a x + y z = 0 x + y + z = 0 y z = 0 ' = 0 0 Como = 6 0, tenemos que: ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer x = = = ; y = = = ; z = = = 6 6 Solución: x =, y =, z = b x y + z = x + y + z = x + y z = ' = Como = y = 0, tenemos que ran =. demás, Por tanto, el sistema es incompatible. = 8 0. Luego, ran ' = ran =.

24 c d x +y + z = 0 x + 4y + z + t = 0 x + 7y + 7z + 4t = 0 x +z + t = ' = Es un sistema homogéneo. ' = 0 = 6 0 ran =. Es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al -º miembro. sí: 0 0 t 4 t 4t 7 7 6t t 4t 7 4t t x = = = ; y = = = t 6 7 4t 4t 7t 7 z = = =. Soluciones: λ, λ, λ, λ x + y = 5 x + z = 6 y + z = 7 x + y + z = ' = 0 Tenemos que ' = 0 y = 0. Luego, ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación: x = = = ; y = = = ; z = = = 4. Solución: x =, y =, z =

25 7 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos: 9x + y + z =0 x + y z = 0 x y + z =0 a x y z = 0 b 8x + y + 4z =0 x y + z = 0 x + y z =0 a x + y z = 0 x y z = 0 x y + z = 0 x + y z = 0 x y + z = 0 x y z = 0 = Como = 0 y = 0, entonces, ran =. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: x + y = z x y = z λ λ Soluciones:,, λ z z z z z z z x = = = ; y = = = z b 9x +y + z = 0 x y + z = 0 8x + y + 4z = 0 x + y z = 0 9 Como 8 4 = = 5 0, entonces: ran = = n-º incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 8 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x + y = x + y z = a y + z = 0 b x + y + z = x + y + z = x y z = a x + y = y + z = 0 x + y + z = 0 x 0 y = 0 z X = B { { 5

26 = 0 Existe. La calculamos: α ij dj dj t = dj t b 6 6 / / = 6 Luego: X = B X = B Por tanto: x =, y = 0, z = 0 x + y z = x + y + z = x y z = / / X = B = 0 = 0 6 x y = z X = B { 0 0 { 0 = 0 Existe. La calculamos: α ij dj dj t = dj t = Luego: X = B X = B 5 X = B = = 7 = Por tanto: x =, y =, z = Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible: x + y = 5 x + y = ax + y = x + y = 5 x + y = ax + y = 5 a ' = ; ' = 6 7a = 0 a = ; =

27 6 Si a =, ran = ran ' Sistema compatible. 7 6 Si a, ran ran ' Sistema incompatible. 7 Página 0 0 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posible: S a X 0 4 = 0 0 b 0 X = 0 0 c 0 X = a X 0 4 = Como = 7 0, existe y la ecuación tiene solución. X = I X = I X =. Hallamos : α ij dj dj t dj t = Por tanto: X = b 0 X = 0 B Como = 0, no existe. La ecuación no tiene solución. 0 c 0 X = B 7

28 Como = 4 0, existe y la ecuación tiene solución. X = B X = B X = B. Hallamos : α ij dj dj t dj t = 4 Luego: 0 5 X = = Por tanto: /4 5/4 X = 4 = / / /4 /4 4 PR RESOLVER Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices para aquellos valores de a que sea S posible: a a a 0 a b c a a = = a + 0 para cualquier valor de a. Luego, existe para cualquier valor de a. La calculamos: α ij dj dj t dj t a a a a a a a a a a a 0 a a a + a + = a a + a + b = = a 0 si a 0. Solo existe si a 0. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t 8

29 a a a a = a a c = = a a 0 si a 0 y a Existe solo cuando a 0 y a. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t 0 a 0 a 0 a 0 a = 0 a 0 a 0 a 0 a x 0 Consideramos la matriz siguiente: = 0 S a a 0 0 a a x a Halla los valores de x para los que tiene inversa. b Calcula, si es posible, para x =. a Existe solo cuando 0. x 0 0 x = = x 0 si x 0 Luego, existe para todo x 0. b Para x =, tenemos que = 0, luego existe en este caso. La calculamos: α ij dj dj t dj t 6 6 / / = Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m: S mx + y + z = 4 x+ y+ z= m a x + y + z = m b x+ y+ mz = m x y + mz = x+ my + z= 9

30 x + y + z = 0 x + my + z = 4 c x + my + z = 0 d x + y + z = 5 x + y +4z = mx + y + z = 4 x + z = +mx + y + z = x + y + z = e f x + +my + z = m y z = x + y + +mz = m x y + mz = 5 a mx + y + z = 4 x + y + z = m x y + mz = = m = 0 Si m =, queda: 4 m 4 ' = m Contradictorias Sistema incompatible. ' = Si m =, queda: 4 ' = Contradictorias Sistema incompatible. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. b x + y + z = m x + y + mz = m x + my + z = m = m = m m ' = m m m = m + m = 0 ± 9 8 m = = Si m =, queda: 0 ± ' = Contradictorias El sistema es incompatible. Si m =, queda: ' =. Las columnas -ª, -ª y 4-ª son iguales. m = m = 0

31 c d Como = 0 ran ' = ran = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. x + y +z = 0 x + my + z = 0 x + y +4z = 0 ' = m 0 = m + = 0 m = Si m =, queda: 0 0 ' =. Como 0 = y 0 4 = 0, entonces: ran = ran ' =. Sistema incompatible. Si m, queda: ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado. x + my + z = 4 x + y + z = 5 mx + y + z = 4 m 4 ' = 5 = m 4 ± 6 4 ± 4 4m + = 0 m = = = Si m =, queda: m 4 4 ± Contradictorias Sistema incompatible. ' = m = m = Si m =, queda: 4 ' =. La -ª y la -ª fila son iguales. 5 4 demás, = 0. Luego, ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. Sistema compatible determinado.

32 e x + z = x + y + z = y z = x y + mz = 5 = ' = 0 0 = m m 8 = = -ª -ª = = 9 8 = 8 9 m 7 8 m 7 = 8 m = 0 m = 0 demás, m 5 FILS -ª -ª + -ª FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª -ª = 9 0 ran = m m 7 8 = 8 9 m + 7 = Si m = ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. = f Si m ran ' = 4 ran =. Sistema incompatible. + mx + y + z = x + + my + z = m x + y + + mz = m = m + m = m m + = 0 Si m = 0, queda: ' = m ' = + m m m = 0 m = + m m El sistema es incompatible. La -ª ecuación contradice las otras. Si m =, queda: ' = 9

33 Como = 0 ran = demás, 9 Luego el sistema es incompatible. = 0 ran ' = Si m 0 y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. 4 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a: S x y + z =0 x + y + z =0 a x + y z =0 b ax + z =0 x 4y az =0 x y + az =0 ax + y z = 0 x + y z = 0 c x + y + z = 0 d 4x + y az = 0 x + 0y + 4z = 0 x + 4y + 6z = 0 a x y + z = 0 x + y z = 0 x 4y az = 0 = 4 a b Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. = 5a 5 = 0 a = 5 El sistema es compatible indeterminado. Si a = 5 Como = 5 0 ran = ran ' = Si a 5 Solo tiene la solución trivial 0, 0, 0. x + y + z = 0 ax +z = 0 x y + az = 0 ' = a 0 a Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. = a ± + 4 ± 5 a + 6 = 0 a = = 0 El sistema es compatible indeterminado. a = a = Si a = o a = Como = 0 ran = ran ' = Si a y a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0.

34 c ax + y z = 0 x + y + z = 0 x + 0y + 4z = 0 a ' = 0 4 d Como es homogéneo, sabemos que ran = ran '. 5 = a 5 = 0 a = 5 Si a = Como = 0 ran = ran ' = El sistema es compatible indeterminado. 5 Si a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. x + y z = 0 4x + y + az = 0 x + 4y + 6z = 0 ' = 4 a 46 = a 46 = 0 a = 46 Si a = Como = 6 0 ran = ran ' = 4 El sistema es compatible indeterminado. 46 Si a ran = ran ' =. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. 5 Determina los valores de m para los cuales son incompatibles estos sistemas: S mx y z = m m + x + y + z = a x y + mz = m b x + y + mz = 4 x + y + z = x + my + z = x + y z = m 4 c m 6 y + z = 0 m + x + y = a mx y z = m x y + mz = m x + y + z = m m ' = m m = m m = m + = 0 m = Si m =, queda: 4 6 ' = Contradictorias. El sistema es incompatible. 4

35 b c Si m, es compatible determinado, pues ran = ran ' =. Por tanto, solo es incompatible para m =. m + x + y + z = x + y + mz = 4 x + my + z = m m = 0 = m m + 6m = mm m + = 0 m = m = Si m = 0, queda: ' = Como 0 = y 4 = 0, 0 0 entonces: ran = ran ' = Compatible indeterminado. Si m =, queda: ' = 4 Contradictorias Sistema incompatible. Si m =, queda: ' = Como = 5 y 4 = 45, entonces: ran = ran ' = Sistema incompatible. Si m 0, m y m Sistema compatible determinado, pues ran =ran ' =. Por tanto, es incompatible para m = y para m =. m + ' = m 4 x + y z = m 4 m 6y +z = 0 m + x + y = m + 0 = m ± ± 8 m = 5 m 5 = 0 m = = m = Si m = 5, queda: ' =. Como 0 0 = 0 y = 0, entonces ran = ran ' = ; el sistema es compatible indeterminado. m 4 ' = 0 m 6 0 5

36 Si m =, queda: entonces ran = ran ' =. El sistema es incompatible. ' =. Como = 8 y = 7, Si m 5 y m Sistema compatible determinado, pues ran =ran ' =. Por tanto, es incompatible solo para m =. 6 Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones? S x y z = x + y + z = a a + x + y + z = a + a x+ ay 5z = 4 b x + y + az = a c ax + y = a x + ay + z = x + y+ z = ax + y + z = a + a b x y z = x + ay 5z = 4 x + y + z = = 9a + 7 = 0 a = Si a =, queda: ' = 5 4 ' = a 5 4 Como = 5 y 4 ran = ran ' = = 0, entonces: El sistema es incompatible. Si a = ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones. x + y + z = a x + y+az= a x + ay + z = a ' = a a a = a ± a = 0 a = = ± a = a = 6

37 Si a =, queda: ' = Contradictorias. El sistema es incompatible. Si a =, queda: ' =. Las columnas -ª, -ª y 4-ª son iguales, y = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a =. c a + x + y + z = a + ax + y = a ax + y + z = a + = a + = 0 a = a + a + ' = a 0 a Si a =, queda: 0 ' = 0. La primera fila es la tercera menos la segunda. 0 0 = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. a a + Si a ran = ran ' = Compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a =. 7 Discute y resuelve según los valores de m: S mx + y = m x + my = m m m ' = m m mx + y = m x + my = m = m = 0 m = m = 7

38 Si m =, queda: 0 ' = El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos: 0 x + y = 0 y = x. Soluciones: x = λ, y = λ Si m =, queda: 4 ' = Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Si m y m ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: m m m m m x = = m + m + = = m m m + m m m + m m m m + m m + y = = m + m = = m m m + m m + m m + Solución: x = ; y = m + m + 8 Resuelve la ecuación X B = C siendo: S 4 = B = C = Multiplica C por por la izquierda y por B por la derecha. XB = C X B B = C B X = C B Calculamos y B = y B = existen y B : α ij dj dj t dj t 4 4 = α ij dj B dj B t dj B t B = B Por tanto: X = C B = = =

39 Página 9 Dada =, halla una matriz X tal que X =. S Multiplica dos veces por, una vez por la izquierda y otra por la derecha. Calculamos = 0 existe : α ij dj dj t dj t = Por tanto: X = X = = = 4 7 = = 5 0 Dadas las matrices: = 0 9 B = 0 C = D = 5 4 halla la matriz X que verifica B + CX = D. 8 7 B + CX = D CX = D B X = C D B Calculamos C C = 0 existe C : α ij dj C dj C t dj C t C = C Calculamos B: Por tanto: B = 0 = X = [ ] = = / / 8 7 / / 0 0 / /

40 0 0 Halla X tal que X = B, siendo: = 0, B = 0 X = B X = B Calculamos = 0 existe : α ij dj dj t dj t = Por tanto: / / 0 X = 0 = 0 = / / x 4 Resuelve la ecuación: y + = S 0 5 x 7 y = Calculamos = 6 0 existe : X = B α ij dj dj t dj t = 5 9 Por tanto: 0 X = B X = B = 7 9 = 6 = 6 6 x Luego, y = z z 5 9 { { 0 ; es decir: x =, y =, z = z / /

41 Discute y resuelve, según los diferentes valores del parámetro a, estos sistemas de ecuaciones: S ax + 7y + 0z = x + y + z = a ax + 8y + z = b ax = x az = ay + z = 0 a ax + 7y + 0z = ax + 8y + z = x az = a 7 0 a 8 0 a ' = = a = 0 a = a = Si a =, queda: 7 0 ' = 8. Observamos que la -ª y la -ª columna son iguales. 0 8 demás, 0 = 8 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación: x +8y = z x = + z Soluciones: + λ, λ, λ Si a =, queda: 8y = z z = 4z y = z ' =. Como 8 8 = 8 0 y Luego, ran = ran ' =. El sistema es incompatible. = 0. Si a y a ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a a x = = = a a + a + a a 0 a a a y = = a = = a a a + a + a 4

42 b a 7 a 8 0 a a z = = = = a a + a a + a + a Solución: x =, y =, z = + a + a + a x + y + z = ax = ay + z = 0 = a a = 0 ' = a 0 0 Si a = 0, queda: ' = Sistema incompatible la -ª ecuación es imposible Si a =, queda: ' = 0 0. La -ª y la -ª columna son iguales. 0 0 demás, 0 = 0; luego, ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación: x + y + z = x = x = y = x z = z Soluciones:, λ, λ Si a 0 y a ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 0 a 0 0 a a 0 0 a x = = = ; y = = = a a a a a a a a a a 0 0 a 0 a a z = = = ; Solución: x =, y =, z = a a a a a a 0 a 0 a = 0 a = a 4

43 4 Discute el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro S a y resuélvelo en el caso a = : ax + y + 6z = 0 x + ay + 4z = x + ay + 6z = a ax +y + 6z = 0 x + ay + 4z = x + ay + 6z = a = a 8 = 0 a 6 0 ' = a 4 a = a = a 6 a Si a =, queda: 6 0 ' = 4. La -ª y la -ª fila son iguales. 6 0 demás, 6 0; luego, ran = ran ' = < n-º incógnitas. 4 El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la -ª ecuación puesto que es igual que la -ª: x + y + 6z = 0 x + y + 4z = = x x x x x y = = = x; z = = = Soluciones: x = λ, y = λ, z = Si a =, queda: 6 0 ' = Como = 0 y El sistema es incompatible. x + y + z = 0 x + y + z = y + z = x y + z = x = 8 0, entonces ran = ran ' =. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas. El sistema es compatible determinado. 4

44 5 verigua los valores de α para los cuales admiten infinitas soluciones los S sistemas siguientes. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamente los resultados obtenidos: x + y + z = a x + y + αz = 5 b x + y z = 4 a b x + y +z = x + y + αz = 5 x + y z = 4 Si α = 9, queda: α 5 4 ' = = α 9 = 0 α = 9 ' =. Como 9 5 = y = 0, entonces: ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: x + y = z x + y = 5 9z z z 5 9z 5 9z x = = + 5z; y = = 7z Soluciones: x = + 5λ, y = 7λ, z = λ Geométricamente, son tres planos que se cortan en una recta. Si α 9 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 5 α 5 α 4 α 9 4 α 8 α 9 x = = = ; y = = = = α 9 α 9 α 9 α 9 α z = = = 0. Solución: x =, y =, z = 0 α 9 α 9 Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto,, 0. αx y = x αy = α = α + = 0 α ' = α α α = α = αx y = x αy = α 44

45 Si α =, queda: ' =. Compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y = x = + y. Soluciones: x = + λ, y = λ. Geométricamente son rectas coincidentes se trata de la misma recta. Si α =, queda: ' =. Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Geométricamente, son dos rectas paralelas. Si α y α ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: α α α α x = = = = α α + α α + α + α α α α α + y = = = α α + α α α + α Solución: x = ; y = + α α + Geométricamente son dos rectas que se cortan en un punto. 6 Discute la compatibilidad del siguiente sistema según los diversos valores de S λ y resuélvelo para λ = y para λ = : x + λy +z = λ x + λy z = λx y +z = λ x + λy + z = λ x + λy z = λx y + z = λ λ λ ' = λ λ λ = λ 6λ = λ + = 0 λ = Si λ =, queda: ' =. La -ª y la -ª ecuación son iguales. 45

46 Como = 0, entonces ran = ran ' =. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: y = + z x = + z z = z Soluciones: x = + λ, y = λ, z = λ Sumando: x = + z x = + z Si λ ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos para el caso en que λ = : 8 8 x = = = ; y = = = z = = = ; Solución: x =, y =, z = Halla, en función de a, el rango de la matriz = 0 a S x y = z x y = + z x + y = + z x y = + z 4 a existe, la matriz inversa en los casos a = y a =. y calcula, si 0 0 a 4 a = = a + 4a + = 0 4 ± 6 4 ± 4 a = = = 4 ± a = a = 0 = 0 a 0 = 0 4 a Por tanto: Si a = o a = ran = Si a y a ran = sí, si a =, como = 0, no existe. Para a =, = 8 0, sí existe. La calculamos en este caso: 0 =

47 α ij dj dj t dj t = 8 Considera la matriz =. S a 0 b 4 4 a Cuándo el determinante de es el seno de algún número real? b Calcula cuando exista. c Determina todos los pares a, b para los que coincide con su inversa. a = b será el seno de algún número real cuando b. b Existirá cuando 0, es decir, cuando b 0. La calculamos en este caso: α ij dj dj t dj t b 0 a b 0 a b b 0 0 b 0 0 b = a 0 b c = = a/b 0 /b a 0 a/b 0 /b a a = ab + a =0 ab +=0 b b = a = 0 b = b = b b = a Á a = 0 y b = 0, cuando b = y a cualquier número real a, 9 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices y B no son S invertibles y calcula: a si t = b B si t = t = 0 t 4 B = 0 t t 0 a = t 4 ± ± t = 0 t = = = no es invertible para t = ni para t = 6. 4 ± 8 t = t = 6 47

48 Calculamos para t = : = = 7 α ij dj dj t dj t = 4 4 b B = t t = = 0 t = B no es invertible para t = ni para t =. Calculamos B para t = : B = B = α ij dj B dj B t dj B t B = B 0 Dadas las matrices = λ y B = λ 0 S donde λ es cualquier número real: 0 a Encuentra los valores de λ para los que B es invertible. b Determina los valores de λ para los que B es invertible. c Dados a y b, números reales cualesquiera, puede ser el siguiente sistema compatible determinado? = a y a B= λ = + λ + λ λ λ B = λ ± ± 5 + λ = 0 λ = = = 4 4 x z b 0 48

49 = ± 5 4 λ = λ = B es invertible cuando λ y λ. b B = 4 λ λ λ 0 = λ λ λ B = 0 B no es invertible. λ a b El sistema es compatible indeterminado, para cualquier valor de a y b. Por tanto, no puede ser compatible determinado. c ' = ; = ran = ran ' = < n-º incógnitas. 0 Página En el supuesto de que exista, calcula una matriz X tal que X = B en los siguientes S casos: 0 0 a = 0 y B = b = y B = a = 4 0 Existe. Luego: X = B X = B X = B Calculamos : α ij dj dj t dj t = 6 Por tanto: 9 X = = b Para poder efectuar el producto X = B, X debería ser si existiera de dimensión. x y z Sea X = a b c

50 Entonces: X = x + a y + b z + c 0 x y z = x + a y + b z + c = 0 a b c 0 a b c 5 x + a = 5 x = = x + a = 5 x = = x = a = 5 5 a = No tiene solución. Luego no existe X tal que X = B. x y + α + βz = α Dado el sistema: S: x + z = β S x z = α β a Demuestra que es compatible determinado para cualquier valor de α y β. b Resuélvelo para α = β =. a x y +α + βz = α x + z = β x z = α β 0 α β α + β = = 0 = 0 0 ran = ran ' = El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β. α + β α ' = 0 β b Si α = β =, queda: ' = 0, con =. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x = = = ; y = = = 0 0 z = = =. Solución: x =, y =, z = 50

51 x+ ay + z = a + a Discute, en función de a, el siguiente sistema: x + y + az = a + ax + y + z = a b Resuelve el sistema anterior para el caso a =. a x + ay + z = a + x + y + az = a + ax + y + z = a = a a + = a a + = 0 a a + ' = a + Si a =, queda: ' =. El sistema es incompatible. 4 Si a =, queda: 0 a a a a = a = ' =. Como = y = 0, entonces ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. 0 b Para a =, queda: ' = 0 y sabemos que = 4. El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer: 0 0 x = = = ; y = = = z = = 0 = 0. Solución: x =, y =, z =

52 CUESTIONES TEÓRICS 4 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a S las siguientes preguntas: a Puede ser compatible? b Puede tener solución única? c Se puede aplicar la regla de Cramer? a Sí, podría ser compatible indeterminado si ran = ran ' < n-º incógnitas. b No, pues al ser ran < n-º incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado. c Sí, si es compatible, pasando al -º miembro las incógnitas que sea necesario. 5 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro S ecuaciones y tres incógnitas es igual a. Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta. l ser el sistema homogéneo con incógnitas, tenemos que ran = ran ' = = n-º incógnitas =. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial 0, 0, 0. 6 Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa? La condición necesaria y suficiente para que una matriz,, cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, 0. 7 Sean y B inversas una de otra. Si = 4, cuánto vale B? Si y B son inversas una de otra, entonces B = I. sí: B = B = I = B = = 4 8 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con S tres incógnitas es igual a. Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango. 9 Existe algún valor de a para el cual la matriz no tenga inversa? a a = a a + = 0 para cualquier valor de a. a a a a Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa. 5

53 x y + z = 5 40 Dadas estas ecuaciones: S x y + z = 4 a ñade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b ñade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación. a Por ejemplo, x y + z = contradice la -ª ecuación; luego, si añadimos esta ecuación, el sistema obtenido sería incompatible. b Por ejemplo, si añadimos la ecuación y = 0, como = 0 0 = 0, el sistema sería compatible determinado. 4 Representa matricialmente los sistemas: S x + y = x + y = 0 s: s': x + 4y = 0 x + 4y = Resuélvelos y averigua si existe alguna relación entre las soluciones obtenidas y la inversa de la matriz. Justifica la relación obtenida. 4 SISTEM S SISTEM S' x x 0 = = 4 y 0 4 y Calculamos la inversa de = = 0: 4 α ij dj dj t dj t = SOLUCIÓN DEL SISTEM S SOLUCIÓN DEL SISTEM S' x 4 4 x 4 0 = = = = y 0 Las soluciones obtenidas son cada una de las columnas de la matriz inversa. Observamos que las matrices de los términos independientes de los dos sistemas son las columnas de la matriz identidad. Por tanto, las incógnitas que hallamos son los elementos de la matriz inversa. y 4 Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema no S tenga solución: x + y + z = x + y + z = 5 x + my + z = 7 5

54 x + y + z = x + y + z = 5 x + my + z = 7 ' = 5 m 7 = 4 m = 0 m = 4 Si m = 4, queda: ' = La 4-ª columna se obtiene sumando la -ª y la -ª. Luego, ran = ran '. El sistema es compatible. En este caso sería compatible indeterminado, pues 0 ran = ran ' =. Si m 4 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución. 4 Si el rango de la matriz de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas S es dos y el de la matriz ampliada tres, qué interpretaciones geométricas podemos dar a ese sistema? Pon un ejemplo de un sistema de esas características y su interpretación geométrica. Si ran = ran ' =, el sistema es incompatible. Interpretaciones geométricas posibles: Dos planos paralelos y otro que los corta: Tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres: Un ejemplo de cada uno de los dos casos sería: x + y + z = x + y = x + y + z = x + y + z = x + y = x + y + z = 5 54

55 Página 44 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, X = B y S X = B', tienen una misma matriz de coeficientes, puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado? No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran = ran ' = 4. Por tanto, si es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro será ran = 4. Luego, los dos serían compatibles determinados. 45 Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga solución? Puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razona las respuestas. S Un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial 0, 0, 0. demás, ran = ran '; luego, siempre es compatible. Si ran = n-º incógnitas, entonces solo tendría la solución trivial; y, si ran < n-º incógnitas, sería compatible indeterminado, es decir, tendría infinitas soluciones. 46 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones S con tres incógnitas es. Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, cuántas soluciones tendrá el sistema? La matriz ampliada, ', podría tener rango o rango 4. Si ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema sería compatible determinado, es decir, con una sola solución. Si ran = ran ' = 4 El sistema sería incompatible, sin ninguna solución. 47 Determina una matriz para que el sistema homogéneo X = 0 sea equivalente a la ecuación matricial: S x y z = 0, 0 La ecuación matricial dada, la podemos escribir así: x + y + z = 0 x + y + z = 0 entonces: X = 0. Si llamamos = x y X = y Por tanto, la matriz que buscamos es =. PR PROFUNDIZR 48 a Para qué valor de a este sistema es compatible determinado? x y = y + z = a x z = y z = z 55

56 b Puede ser compatible indeterminado? x y = a y + z = a x z = y z = ' = ' = = 0 ran = = n-º incógnitas = 0 a a = 4 FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª = 0 a = a 4 = 0 a Si a = 4 ran = ran ' = Compatible determinado Por tanto, Si a 4 ran = ran ' = 4 Incompatible b No, por lo que hemos visto en el apartado anterior. x y = x z = y z= y + z = a 49 Estudia y resuelve cuando sea posible: x + y +t = x y + z t = a b 5x y + z 4t = a x + y + z + t = a x + y + t = x y + z t = 5x y + z 4t = a x + y + z + t = 0 = 0 y ' = = 0 ran = La 4-ª columna depende linealmente de las tres primeras. 0 5 a FILS -ª -ª + -ª -ª + -ª = FILS -ª -ª -ª -ª 4-ª -ª a a ax + z + t = ay + z t = ay + z t = az t =0 0 0 = 0 a = a + = 0 a = = a 56

57 Si a = ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al º miembro: x + y = t x y + z = + t x + y + z = t t 0 t 0 + t + t t t 5 5 t t 4t 4 x = = = ; y = = = 4 4t t + t t 8 5t z = = = 8 + 5t b 5 λ 4 4λ 8 + 5λ Soluciones: x =, y =, z =, t = λ Si a ran = ran ' = 4. El sistema es incompatible. ax + z + t = ay + z t = ay + z t = az t = 0 = a 0 0 a 0 a = 0 0 a a 0 a ' = a = -ª -ª a = = a = a a = a = 0 a = 0 Si a = 0, queda: z = ' = Incompatible 0 0 z = t = 0 Si a 0 ran = ran ' = n-º incógnitas = 4. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a a 0 0 a x = = a + a = a + a a 0 0 a 0 a 0 0 a 0 a a 0 a a FILS -ª -ª a a a 57

58 a a y = = a = a a a a 0 0 a 0 a z = = a = a a a a 0 0 a 0 a 0 0 a 0 t = = a = a Soluciones: x = a +, y =, z =, t = a 50 Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros que contienen: x y + z = x + y + z = a a x+ y z = 8 b x+ y + az = a 4x + y + az = b x + ay + z = b x y + z = a ax + y z = b c x z = b d x + ay = b + x + z = c x + z = b a x y + z = x + y z = 8 4x + y + az = b = 5a = 0 a = 0 Si a = 0, queda: a ' = 8 4 a b ' = ; 8 = 5 0; b 4 b a a = 5b + 0 = 0 b = 4 Si a = 0 y b = 4 ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a = 0 y b 4 ran = ran ' =. El sistema es incompatible. 58

59 b Si a 0 ran = ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b. x + y + z = a x + y + az = a x + ay + z = b = a a = 0 Si a =, queda: 0 b a ' = a a ' = Contradictorias, a no ser que b = 0. Si a = y b 0 Sistema incompatible. Si a = y b = 0, queda: 0 ' = Si a =, queda: b. La primera fila y la tercera son iguales. 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. ' = La primera y la tercera columnas son iguales. b 0 0 ran = a b a = a = = b = 0 b = Si a = y b ran = ran ' = Sistema incompatible. Si a = y b = ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 59

60 c x y + z = a x z = b x + z = c a ' = 0 b 0 c d = 6 0 ran = ran ' = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c. ax + y z = b x + ay = b + x + z = b = a a = 0 Si a =, queda: b ' = 0 b + a b ' = a 0 b + 0 ran = b b + = b = 0 b = 0 0 b Si a = y b 0 ran = ran ' = Sistema incompatible. Si a = y b = 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a =, queda: b ' = 0 b + 0 b 0 b a = a = 0 ran = 0 b b b + = b = 0 b = 0 b Si a = y b ran = ran ' = Sistema incompatible. 60

61 Si a = y b = ran = ran ' = < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si a y a ran = ran ' = = n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 5 Calcula los valores de a y b para los cuales este sistema tiene infinitas soluciones. Resuélvelo para esos valores: ax + y + z = a x + ay + z = b b x + y + az = a ax + y + z = x + ay + z = b x + y + az = a ' = a b = a a + = a a + = 0 Si a =, queda: ' = b Si a = y b = ran = ran ' = Compatible indeterminado. x + y + z = x = y z. Soluciones: x = λ µ; y = λ; z = µ Si a = y b Incompatible. Si a =, queda: ' = b a ax + y + z = 4 x + y + z = b x ay + z = b a = a = = ran = b = b + 6 = 0 b = Si a = y b = ran = ran ' = Compatible indeterminado. x + y = z x y = z 6

62 z z z z z z + z + x = = = z; y = = = = + z Soluciones: x = λ, y = + λ, z = λ Si a = y b ran = ran ' = Incompatible. Si a y a ran ran ' = n-º incógnitas =. El sistema es compatible determinado. b ax + y + z = 4 x + y + z = b x ay + z = b = a + a = 0 Si a =, queda: 4 a 4 ' = b ' = b Contradictorias a no ser que b = b b = 0 b Si a = y b 0 Sistema incompatible. Si a = y b = 0, queda: 4 ' =. La -ª y -ª filas son iguales. 0 0 a b a = a = 0 ran = ran ' = < n-º incógnitas Sistema compatible indeterminado. x + y + z = 4 x + y + z = 0 x + y = 4 z x + y = z Sumando las dos ecuaciones: y = z y = 4 z x = z y = z + z = Soluciones: x =, y = λ, z = λ Si a =, queda: 4 b b Contradictorias a no ser que b = 4 b = 4 ' = 6

63 Si a = y b 4 Sistema incompatible. Si a = y b = 4, queda: 4 ' = La primera y segunda filas son iguales ran = ran ' = < n-º incógnitas Sistema compatible indeterminado. x + y + z = 4 x y + z = 4 x + y = 4 z x y = 4 z Sumando las dos ecuaciones: x = z x = z y = 4 z x = 4 z + z = 4 Soluciones: x = λ, y = 4, z = λ Si a y a ran = ran ' = n-º incógnitas Sistema compatible determinado para cualquier valor de b. 5 Discute en función de λ y µ: S λ +x + y + λz = x +λ +y + z = µ λx + y + λz = = λ 4 = 0 Si λ =, queda: ' = µ λ = λ = λ + x + y + λz = x + λ + y +z = µ λx + y + λz = λ + λ ' = λ + µ λ λ = 0 ran = ; µ = µ + 4 = 0 µ = Si λ = y µ = ran = ran ' =. Compatible indeterminado. Si λ = y µ ran = ran ' =. Incompatible. 6

64 Si λ =, queda: ' = µ = 8 0 ran = µ = 4µ 8 = 0 µ = Si λ = y µ = ran = ran ' =. Compatible indeterminado. Si λ = y µ ran = ran ' =. Incompatible. Si λ y λ ran = ran ' =. Compatible determinado, cualquiera que sea el valor de µ. PR PENSR UN POCO MÁS 0 5 Dada la matriz: = a ij = 0 4 a Halla la matriz ij formada por los adjuntos de los elementos de. b Calcula = a ij y ij y halla una relación entre ellos a ij = b = a ij = ij = 69 = = 54 En general, qué relación existe entre el determinante de una matriz, de orden, y el determinante de la matriz formada por sus adjuntos? Para demostrarlo, ten en cuenta que: B = B y la expresión de. Sabemos que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: ij = ji. Por otra parte, tenemos que suponemos que existe : = ji = ji = ij = También sabemos que: = I = I = = 64

65 Uniendo las dos igualdades obtenidas, tenemos que: = ij ij = de orden 55 Si es una matriz cuadrada n n, da el valor de ij en función de. Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos a que si es n n: = ij n = ij = n 65

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES REFLEXIONA Y RESUELVE Resolución de sistemas 2 Ò 2 mediante determinantes A A y Resuelve, aplicando x = x e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: A A

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDAD 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

Más detalles

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas

Más detalles

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008.

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1

Más detalles

EJERCICIOS DE DETERMINANTES

EJERCICIOS DE DETERMINANTES EJERCICIOS DE 1) Si m n = 5, cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? Justifica las p q respuestas: 2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3) Calcula el valor de estos determinantes: 4) Halla

Más detalles

Sistemas lineales con parámetros

Sistemas lineales con parámetros 4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes

Más detalles

Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. El sistema no tiene solución. Representa tres rectas que se cortan dos a dos. FILAS (1.

Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. El sistema no tiene solución. Representa tres rectas que se cortan dos a dos. FILAS (1. Pág. 1 de 7 1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas: x + 3y 5 y + z 2x 0 a 2x y 3 b x + z 2y 0 x + y 2 x + y 2z 0 x + 3y 5 a 2x y 3 Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones

Más detalles

BLOQUE I ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

BLOQUE I ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA BLOQUE ARTMÉTCA Y ÁLGEBRA Página 12 1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas: x + 3y 5 y + z 2x 0 a 2x y 3 b x + z 2y 0 x + y 2 x + y 2z 0 a x + 3y 5 2x y 3 x + y 2 Resolvemos el

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 007 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva,

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma: TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Apuntes Tema 11 Sistemas de ecuaciones 11.1 Definiciones Def.: Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades dadas de la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21

Más detalles

Discusión de sistemas

Discusión de sistemas Discusión de s 3x + y z = 1 1. Discutir según los valores del parámetro k el x y + z = 3 kx + 5y 4z = 1 x + my + z = m +. Discutir según los valores del parámetro m el x + y + mz = (m + 1) mx + y + z =

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 1. Estudiar el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro a. ax + y + z = a x y + z = a 1 x + (a 1)y + az = a + 3 Resolverlo (si es posible) para a = 1. (Junio

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DEL COLEGIO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA DE MATEMÁTICAS II CURSO

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DEL COLEGIO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA DE MATEMÁTICAS II CURSO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DEL COLEGIO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA DE MATEMÁTICAS II CURSO 013-014 1 0 Ejercicio 1º.- Dada la matriz: A 1 1 a) (1,5 puntos) Determina los valores de λ para los

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de expresiones de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 + +

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO ) D = ( 4 2

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO ) D = ( 4 2 EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO 2016-17 Opción A 1.- Considera las matrices A = ( 1 2 1 0 0 2 1 ), B = ( 2 1 0) y C = ( 1 0 0 1 5 0 ) 3 2 1 a)

Más detalles

Problemas de Álgebra 2 o de Bachillerato

Problemas de Álgebra 2 o de Bachillerato Problemas de Álgebra 2 o de Bachillerato Problema 1 Calcular los productos de matrices A A, A B, B A y B B, siempre que sea posible, donde: 2 1 3 1 2 1. A = y B = 1 0 2 1 1 1 2 2. A = 1 1 0 2 y B = 3.

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Sistemas de ecuaciones P.A.U. 1. Considerar el sistema de ecuaciones: 2x 2y z = 4 x + 2y 2z = 1 x z = 1 a) Existe una solución del mismo en la que y = 0? b) Resolver el sistema homogéneo asociado al sistema

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A Reserva

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2008 Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f(x) = x 2 -(x + 1) + ax + b y g(x) = ce Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( 1,

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B =

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B = S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 8 - IV 4 CURSO 03-4 a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 24 de diciembre de 2017

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 24 de diciembre de 2017 Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 4 de diciembre de 017 Índice general 1. Álgebra 5 1.1. Año 000............................. 5 1.. Año 001.............................

Más detalles

- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)

- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x) EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 7-X-4 CURSO 4- Opción A.- a) [ punto] Si A y B son dos matrices cuadradas y del mismo orden, es cierta en general la relación

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO ) D = ( 4 2

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO ) D = ( 4 2 EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO 2015-16 Opción A 1.- Considera las matrices A = ( 1 2 2 1 ), B = ( 2 1 0) y C = ( 1 5 0 ) a) [1,5 puntos]

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Universidad de Granada Máster de Profesorado U. D. SISTEMAS DE ECUACIONES Director del trabajo : D. Antonio López Megías SISTEMAS DE ECUACIONES Pilar FERNÁNDEZ CARDENETE Granada,

Más detalles

Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008

Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008 Ejercicios de Matrices, determinantes sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 8 - Dado el sistema de ecuaciones lineales 5 (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [ punto] Resuélvelo

Más detalles

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 05 de abril de 2018 1 hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Dadas las matrices A ( 2 1 1 2 ), B ( 0 1 ) e I la matriz identidad de

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva,

Más detalles

Tema 3 o - Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tema 3 o - Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema 3 o - Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición de Sistema y de Solución 2 Clasificación de los Sistemas atendiendo al n o de Soluciones 3 Sistemas de Cramer FÓRMULS DE CRMER 4 Teorema de Rouchée

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva,

Más detalles

Álgebra lineal. Noviembre 2018

Álgebra lineal. Noviembre 2018 Álgebra lineal. Noviembre 08 Opción A Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4ax + 4ay + z = a ax + y az = a, se pide: 4ax + 4ay + az = 4 (,5 puntos)

Más detalles

La regla de Cramer. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x

La regla de Cramer. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como el siguiente: a 11 x 1 + a 1 x +. + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x +. + a n x n b... a n1 x 1 + a n x +. + a nn x n b n La matriz de los

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden

Más detalles

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE A 2 1 0

ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE A 2 1 0 ÁLGEBRA (Selectividad 017) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE ÁLGEBRA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 017 1 Andalucía, junio 17 0 x Ejercicio 3- Considera las matrices

Más detalles

5 0-5, C = [2014] [EXT-B] Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas x+y = 1 x-y = 3.

5 0-5, C = [2014] [EXT-B] Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas x+y = 1 x-y = 3. MasMatescom 1 [214] [EXT-A] Considere las matrices B = a) Calcule la matriz A = 3B 2 -C b) Halle la inversa A -1 de A -1 -, C = 5-5 -5-1 5 2 [214] [EXT-B] Considere el sistema compatible determinado de

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 47 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L

ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L JUNIO 2004 1. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES Sistemas de ecuaciones lineales MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES o Definición: Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales que

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

DETERMINANTES. Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE. Determinantes de orden 2

DETERMINANTES. Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE. Determinantes de orden 2 DETERMINANTES Página 77 REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2 Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + y = 29 5x y = 8 a b x y = 5 0x + 6y

Más detalles

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 [2 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm 2 de texto Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva,

Más detalles

Rango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n.

Rango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n. En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz A, ra), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz:

Más detalles

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata

Más detalles

EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO 2016-17 1 2 Ejercicio 1º.- Considera las matrices A 1 1 y B 0 1 1 0 a) (1,25 puntos) Encuentra las matrices X e Y tales que X Y = A T y 2X Y = B. b)

Más detalles

Tema 3 Resolución de sistemas mediante determinantes

Tema 3 Resolución de sistemas mediante determinantes Tema Resolución de sistemas mediante determinantes. Calcula los siguientes determinantes: a) b) Resolvemos las actividades propuestas: a) hora resolveremos el problema con Wiris:. Esto es tan sencillo

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) 2a 2c 2b 2u 2w 2v. a b c. u v w. p q r. a b c.

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) 2a 2c 2b 2u 2w 2v. a b c. u v w. p q r. a b c. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) - Calcular los siguientes determinantes: 3 3 a) b) 3 5 5 3 4 5 Hoja : Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

DETERMINANTES. Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + 3y = x + 6y = 16.

DETERMINANTES. Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + 3y = x + 6y = 16. DETERMINANTES REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2 Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: 2x + y = 29 5x y = 8 a b x y = 5 10x + 6y = 16 4x

Más detalles

Sistem as de ecuaciones lineales

Sistem as de ecuaciones lineales Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a

Más detalles

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas 1.- CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ECUACIÓN MATRICIAL Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, x 3y 2z 2 3x 4z 2x 2y 3z 1 es un sistema

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: + 2y + 3z = 1 y + z = 0 4) Resolver

Más detalles

Departamento de matemáticas

Departamento de matemáticas Álgebra y análisis hasta el estudio de continuidad, con solución. (50 ejercicios para que repaséis, con solución) Problema 1: Se considera el sistema de ecuaciones lineales a) Discute el sistema según

Más detalles

ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L

ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L JUNIO 2004 1. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son

Más detalles

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN ÍNDICE 11SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 219 111 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL 219 112 DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN 220 113 EQUIVALENCIA Y COMPATIBILIDAD 220 11 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Álgebra Problema 1: Se consideran las matrices: donde m es un número real. Encuentra los valores de m para los que A B tiene inversa. Problema 2: Discute el sistema de ecuaciones lineales Según los valores

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Página 9 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 1. Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos datos distintos? No es cierto que la

Más detalles

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 7 de abril de 08 hora y 5 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real

Más detalles

Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal Las ecuaciones siguientes son lineales: 2x 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x 3y + z 5t =

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : (0,+ ) R la función definida por f(x) = 3x + 1 x. (a) [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

PRUEBA ESCRITA. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 2º BACHILLERATO A. 24 de noviembre de 2008.

PRUEBA ESCRITA. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 2º BACHILLERATO A. 24 de noviembre de 2008. PRUEBA ESCRITA. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 2º BACHILLERATO A. 24 de noviembre de 2008. Ejercicio 1. 1 1 1 2 Sean A= t 1 0 y B = 3. 6 0 1 5 a) Halle el rango de A en función del valor

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A Reserva

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES Sistemas de ecuaciones lineales MTEMÁTICS II 1 1 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. CONCEPTOS GENERLES Definición: Se llama ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2, x 3,., x n a toda ecuación que puede escribirse

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS UNIDAD 1 SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Página 30 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 1. Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos datos distintos? No es cierto

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 013 Capítulo 10 Año 009 10.1. Modelo 009 - Opción A Problema 10.1.1 (3 puntos) Dados el plano π

Más detalles

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONCEPTO Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2.........................

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones de la forma: ax + a2x 2 +... + an xn = b a2x + a22x 2 +... + a2nxn = b2... amx + am2x 2

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Página 0 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos datos distintos? No es cierto que

Más detalles

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. JUN05, P1A Calcular los valores x 1, x 2, x 3, x 4, y 1, y 2, y 3, y 4 que satisfacen las siguientes ecuaciones: 2AX 3AY B AX AY C

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. JUN05, P1A Calcular los valores x 1, x 2, x 3, x 4, y 1, y 2, y 3, y 4 que satisfacen las siguientes ecuaciones: 2AX 3AY B AX AY C IES nº ASPE ENRIQUE CANTÓ ABAD EJER ALGEBRA SELECTIVIDAD MAT II Curso 11/1 BLOQUE 1: ÁLGEBRA JUN05, P1A Calcular los valores x 1, x, x 3, x 4, y 1, y, y 3, y 4 que satisfacen las siguientes ecuaciones:

Más detalles

1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones Sea M n m = M n m (R) el espacio vectorial de las matrices reales con n ilas y m columnas.

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices Dpto de MATEMÁTICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES Sección departamental en la ETSI de Montes Algebra Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Sistemas lineales Solución de un sistema lineal Sistemas

Más detalles

Seis problemas resueltos de geometría

Seis problemas resueltos de geometría Problema 1 a) Dados los puntos P(4, 2, 3) y Q(2, 0, 5), da la ecuación implícita del plano π de modo que el punto simétrico de P respecto a π es Q. b) Calcula el valor del parámetro λ R para que el plano

Más detalles

Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: ; A b = m 1 m 1

Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: ; A b = m 1 m 1 Problema 1 Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: π 1 x + y + z = m + 1 π 2 mx + y + ) z = m π 3 x + my + z = 1 Si vemos los tres planos como un sistema

Más detalles

Matemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales

Matemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales Matemáticas Empresariales II Lección 4 Sistemas de Ecuaciones lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34 Sistema de ecuaciones lineales

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. MATRICES Y DETERMINANTES 0 - Considera las matrices 0 y. Determina, si existe, la 2 3 matriz X que verifica AX+B=A 2. Andalucía - Junio 204 Opción B - Oficial 2- Sabiendo que el determinante de la matriz

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales Grado en Óptica y Optometría Curso 00-0 Hoja de ejercicios n o Matrices, determinantes y sistemas lineales 0. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule A + B, A B, AB, BA, AA, BB. 0 0 A = 3 0 0 B =

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 2 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 2 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 2 de 2003 En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (-3, 3) y que es simétrica respecto al

Más detalles

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76 UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.

a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede. Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva

Más detalles

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO 014-015 1 m Ejercicio 1º.- Sea I la matriz identidad de orden A 1 1 a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de m para los cuales se

Más detalles

Sistema de ecuaciones Parte II

Sistema de ecuaciones Parte II Regla de Cramer Sistema de ecuaciones Parte II La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 2 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO 201-2016 1 2 Ejercicio 1º.- Considera las matrices A 1 1 0 1 B 1 0 a) (1,2 puntos) Encuentra las matrices X e Y tales que X Y = A

Más detalles