4 TEMAS DE ÓPTICA. Francisco Javier Gil Chica

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1 4 TEMAS DE ÓPTICA Francisco Javier Gil Chica febrero, 2009

2 ii

3 Índice general Sobre estos temas V. Transferencia de Radiación.. Introducción Definiciones Absorción Emisión Ecuación de la transferencia de radiación Solución aproximada para atmósfera plana Óptica Matricial 2.. Introducción Formulación matricial Traslación Refracción en superficie plana Refracción en superficie esférica Matriz del sistema Interpretación Conclusión Polarización Introducción Formalización Grado de polarización Matrices de Mueller Difracción Introducción La difracción en 9 pasos sencillos Paso. Flujo iii

4 iv ÍNDICE GENERAL Paso 2. Divergencia Paso 3. Teorema de la divergencia Paso 4. Definición de gradiente Paso 5. Una aplicación del resultado anterior Paso 6. Identidad de Green Paso 7. Ecuación de ondas Paso 8. Teorema integral de Kirchoff Paso 9. Integral de Kirchoff-Fresnel Cálculo de la integral de Kirchoff-Fresnel La pantalla La abertura Método de Montecarlo

5 Sobre estos temas Estos temas de Óptica tienen su origen en la asignatura Periféricos que vengo impartiendo desde hace quince años en las licenciaturas y diplomaturas de informática en la Escuela Politécnica Superior en la Universidad de Alicante. A lo largo de estos años, la asignatura ha cambiado profundamente, lo cual no es extraño dada la velocidad a la que se mueve la tecnología, y dado que la creciente complejidad de los sistemas informáticos, con su acumulación de capas y el aislamiento entre la máquina y el usuario, ha ido reduciendo los contenidos relacionados con la programación del sistema e incrementando los contenidos relacionados con los fundamentos físicos de los dispositivos periféricos, así como el análisis matemático, en especial de los dispositivos de almacenamiento. Así, en un momento dado fue evidente la necesidad de dar unas nociones de Óptica. Porque si bien los sistemas informáticos están lejos de fundamentarse en la computación óptica, hay subsistemas basados en fenómenos ópticos: conexiones de fibra óptica, almacenamiento óptico y magneto-óptico, pantallas planas, lentes simples o sistemas de lentes, almacenamiento holográfico, etc. El problema que se plantea aquí entonces no consiste en ofrecer una asignatura de óptica aplicada a la informática, ni ofrecer una panorámica que aunque incompleta sea lógicamente consistente, ni recorrer el camino que va desde los mismos fundamentos físicos al dispositivo concreto que se estudie. Más bien, hemos buscado unos pocos temas estratégicos y la formulación más compacta posible. En principio, eran tres los temas elegidos: óptica geométrica (sistemas paraxiales, fibra óptica), difracción (lectura/escritura en dispositivos ópticos, visualización) y polarización (pantallas planas, lectura en dispositivos magneto-ópticos). En cuanto a la óptica geométrica, la formulación matricial es a la vez sencilla, compacta y general. En cuanto a la difracción, hemos elegido una formulación matemática compacta que evita la distinción entre difracción de Fresnel y Fraunhoffer y propone, una vez formulada la integral v

6 vi 0. Sobre estos temas general, un método de Montecarlo para obtener numéricamente las figuras de difracción. Por lo que respecta a la polarización, hemos adoptado la descripción a través de los parámetros de Stokes. Circunstancialmente, hemos añadido un tema sobre transferencia de radiación. Este tema es ajeno a la asignatura de Periféricos y tiene su origen en una pequeña charla sobre fenómenos ópticos atmosféricos impartida este año a alumnos de Meteorología. Siendo así, los cuatro tiene un rasgo en común: que en ningún caso se acude a la naturaleza electromagnética de la luz, aunque sí a su naturaleza ondulatoria. Pero como esta naturaleza ondulatoria puede advertirse mediante experimentos sencillos, resultan una serie de temas que podrían denominarse óptica empírica, óptica macroscópica, o, dado que estas denominaciones no terminan de satisfacernos, óptica no electromagnética.

7 Capítulo Transferencia de Radiación.. Introducción Se presentan en este tema los fundamentos de la transferencia de radiación. Se adopta aquí un punto de vista fenomenológico donde la radiación es considerada como energía que se propaga en un medio material, sin considerarnicualeslanaturalezadeestaenergíanidequéforma,porquémecanismos, es absorbida, desviada o producida por la materia. El material que sigue está tomado de Radiative Transfer, de S. Chandrasekhar y es una exposición resumida de los principios generales..2. Definiciones Dada una superficie dσ, la cantidad de energía en forma de radiación que la atraviesa por unidad de tiempo, intervalo de frecuencia y ángulo sólido dω subtendido por la superficie dσ en una dirección que forma un ángulo θ con la normal (Figura ), se expresa como: de ν dtdσdνdω = I ν cosθ (.) Engeneral,I ν dependedecadapuntoydeladirecciónrelativaalanormal expresada por los cosenos directores (l, m, n), de forma que funcionalmente es I ν (x,y,z,l,m,n,t). Cuando es I ν (x,y,z,t) se habla de medios isótropos. Cuando es I ν (l,m,n,t) se habla de medios homogéneos. Algunos casos aún más restrictivos son de interés. En un medio estratificado como puede ser una atmósferaplanaesi ν (z,φ,θ,t).siademásexistesimetríaaxialserái ν (z,θ,t). En un medio estratificado esférico es I ν (r,φ,θ,t).

8 2. Transferencia de Radiación dω θ dσ Figura El campo de radiación viene entonces determinado por la función I ν, a la que habría que añadir el estado de polarización de la luz. Integrando para todas las direcciones posibles, obtendríamos la cantidad de energía total de frecuencia ν que atravesaría la superficie dσ por unidad de tiempo. Ladensidadderadiaciónu ν enunpuntoeslacantidaddeenergíaradiante de frecuencia ν por unidad de volumen que atraviesa un entorno pequeño alrededor del punto. Sea P este punto, contenido en un pequeño volumen V limitado por una superficie Σ. Dado un entorno de P contenido en V y limitado por una superficie σ, es claro que todo rayo que incide en σ proviene de algún punto de la superficie Σ (Figura 2). Sean los elementos de superficie dσ y dσ. La energía por unidad de tiempo y frecuencia que atraviesa dσ en el elemento de ángulo sólido dω subtendido por dσ según se ve desde dσ es o bien de ν dtdνdσdω = I ν cosθ (.2) Ahora bien, luego de ν dt = I ν cosθdνdσdω (.3) dω = dσcosθ r 2 (.4) de ν cosθcosθdνdσdσ = I ν (.5) dt r 2 Cuandoelpincelderadicaciónenelángulosólidodω atraviesav,recorre una distancia l en un tiempo l/c, de forma que

9 .2. Definiciones 3 dσ Θ θ dσ Figura 2 Pero de ν = I ν cosθcosθdνdσdσ r 2 l c (.6) dω = dσcosθ r 2 (.7) es el ángulo sólido subtendido por dσ según se ve desde dσ, luego de ν = I ν cosθdωdνdσ l c (.8) Teniendo ahora en cuenta que dv = lcosθdσ (.9) es el volumen diferencial interceptado por el pincel de radiación que procede de dσ y atraviesa dσ, tenemos que de ν dv = c I νdωdν (.0) Si integramos para todo el volumen y todas las frecuencias y consideramos los rayos provenientes de todas las direcciones, tenemos la energía total contenida en el entorno de P, y de ahí la densidad buscada: u = E V = c ω ν I ν dνdω = u ν dν (.) ν

10 4. Transferencia de Radiación donde hemos introducido u ν = I ν dω (.2) c ω Definiendo la intensidad media como es claro que J ν = I ν dω (.3) 4π ω u ν = 4π c J ν (.4).3. Absorción Cuandounpincelderadicaciónsepropagaenunmedio,sufreunaatenuación cuyo valor relativo es proporcional a la densidad de ese medio y a la distancia recorrida: di ν I ν = k ν ρds (.5) A k ν se le llama coeficiente de absorción, ds es esa distancia recorrida y ρ la densidad del medio. Esta atenuación puede deberse a varias causas. En primer lugar, puede que parte de la energía simplemente cambie de dirección. No disminuye entonces el total de energía radiante en el medio sino que se modifica su distribución. En ese caso se habla de dispersión. O puede suceder que la energía sea efectivamente absorbida por la materia y transformada en otras formas de energía, lo que incluye su re-emisión con una frecuencia distinta y en general en una dirección distinta. Se habla entonces de verdadera absorción. Consideremos el proceso de dispersión (Figura 3). La energía dispersada en todas direcciones cuando el pincel atraviesa una distancia ds en el medio es k ν ρdsi ν cosθdνdσdω (.6) Como el diferencial de masa atravesado cuando la radiación recorre un ds es dm = ρdσcosθds (.7) Traducimos el término scattering, usado de forma tan general como innecesaria

11 .3. Absorción 5 θ dσ ds Figura 3 dω θ dσ Θ ds Figura 4 se puede escribir k ν I ν dmdνdω (.8) Ahora bien, la descripción completa exige conocer qué fracción de esa radiación dispersada lo hace en cada dirección dada por cada elemento de ángulo sólido dω (Figura 4). Esta fracción puede escribirse como p(cosθ) dω (.9) 4π A la función p(cosθ) se le llama función de fase. La energía dispersada en todas direcciones es p(cosθ) k ν I ν dmdνdω dω (.20) ω 4π que comparada con muestra que ha de ser k ν I ν dmdνdω (.2) p(cosθ) = dω (.22) ω 4π Ahora bien, cuando hay verdadera absorción

12 6. Transferencia de Radiación ω p(cosθ) 4π dω = ω 0 <= (.23) En el caso más simple posible p(cosθ) = ω 0. Otras formas de interés son la llamada función de fase de Rayleigh p(cosθ) = 3 4 (+cos2 Θ) y una función usada en estudios sobre iluminación planetaria: p(cosθ) = ω 0 (+xcosθ), con <= x <=. En general, podemos suponer que la función de fase se puede desarrollar como una serie de polinomios de Legendre: p(cosθ) = l ω l P(cosΘ) (.24).4. Emisión Un campo de radiación no sólo puede ser modificado mediante absorción y dispersión por la materia, sino que ésta puede contribuir al campo total emitiendo a su vez, como es obvio en, por ejemplo, las atmósferas estelares. La cantidad de energía emitida en el conjunto de direcciones contenidas en dω enuntiempodtporunelementodemasadmenelintervalodefrecuencias dν es: j ν dmdtdνdω (.25) donde j ν es el coeficiente de emisión. Ahora bien, esta radiación puede ser emitida efectivamente por dm o puede haber sido dispersada en la dirección dω desde otras direcciones. Así, un pincel de radiación que incide sobre dm desde la dirección (φ,θ ) contribuye a la radiación emitida desde dm en la dirección (φ,θ) con una energía por unidad de tiempo: siendo k ν dmdνdωi ν (φ,θ )p(φ,θ,φ,θ) dω 4π (.26) dω = senθ dθ dφ (.27) y donde p(φ,θ,φ,θ) es función del ángulo formado por las direcciones (φ,θ ) y (φ,θ). Así pues, la radiación emitida puede provenir de dm o haber sido dispersada desde otra dirección por dm. Entonces, el ritmo al que se emite la energía radiante se puede escribir: j ν dmdνdω = (j (d) ν +j (e) ν )dmdνdω (.28)

13 .5. Ecuación de la transferencia de radiación 7 Comparando esta expresión con que nos da el ritmo de emisión de radiación según la dirección de dω proveniente de la dispersión desde la dirección dω, es claro que j ν (d) = k π 2π ν I ν (φ,θ )p(φ,θ,φ,θ)senθ dθ dφ (.29) 4π 0 0 Un medio es puramente dispersivo cuando j ν = j (d) ν. Nótese que un medio puramente dispersivo no equivale a un medio donde la dispersión sea completa (ω 0 = ). En otras palabras, que toda la radiación emitida por dm provenga de la dispersión desde todas las direcciones no implica que toda la radiación que alcanza a dm sea dispersada: parte puede ser absorbida. En un medio en equilibrio termodinámico, donde en cada punto se puede definir una temperatura T, se cumple la Ley de Kirchoff: donde B ν (T) es la función de Planck: j ν = k ν B ν (T) (.30) B ν (T) = 2hν3 c 2 e hν/kt Se define la función fuente, F ν como (.3) F ν = j ν k ν (.32) En el caso de un medio puramente dispersivo: π 2π F ν = p(φ,θ,φ,θ )I ν (φ,θ )senθ dθ dφ (.33) 4π 0 0 En un medio en equilibrio termodinámico F ν = B ν (T) (.34).5. Ecuación de la transferencia de radiación Consideremos (Figura 5) un cilindro de sección normal dσ y longitud ds y la radiación que atraviesa normalmente sus dos caras. De la definición de intensidad, la cantidad de energía radiante que atraviesa una de las caras que tomamos como origen es mientras que en la cara opuesta de (0) ν = I ν dtdνdσdω (.35)

14 8. Transferencia de Radiación dω dσ ds Figura 5 dω de manera que de (ds) ν = (I ν + di ν ds)dtdνdσdω (.36) ds de ν (ds) de ν (0) = di ν dsdtdνdσdω (.37) ds Esta diferencia provendrá de la existente entre emisión y absorción. La cantidad de radiación absorbida es La cantidad emitida es De manera que k ν I ν dmdνdtdω = k ν I ν ρdσdsdνdtdω (.38) j ν dmdνdtdω = j ν ρdσdsdνdtdω (.39) di ν k ν ρ ds = F ν I ν (.40) En el segundo miembro, el primer término es la función fuente, que incluye la dispersión desde todas las direcciones en la dirección de dω, y que depende de I ν. El segundo da cuenta de la absorción. Tenemos por tanto una ecuación integro-diferencial. En coordenadas cartesianas esta ecuación se escribe ( l k ν ρ x +l y +l ) I(x,y,z,l,m,n) = I(x,y,z,l,m,n) z F(x,y,z,l,m,n) (.4) Es de especial interés el de un medio estratificado plano, como ocurre en las atmósferas planetarias y estelares. En ese caso la intensidad es función de z y θ, suponiendo como es lógico simetría axial en torno al eje z. La ecuación fundamental se reduce entonces a

15 .6. Solución aproximada para atmósfera plana 9 k ν ρ cosθ d 2π π I(z,θ) = I(z,θ) p(cosθ)i(z,θ)senθ dθ dφ dz 4π 0 π (.42) En el caso más sencillo, p(cosθ) =. Con los cambios de variable µ = cosθ y τ = z k ν ρdz (.43) transformamos la ecuación en la forma en que se acostumbra a trabajar con ella: µ di(τ,µ) dz = I(τ,µ) 2 I(τ,µ )dµ (.44).6. Solución aproximada para atmósfera plana Existe un método aproximado de resolución propuesto por Schuster(905) y Schwarszchild (906) que se inspira en la teoría cinética de los gases y que puede ser generalizado fácilmente. En efecto, es común en el contexto de la teoría cinética considerar un número de moléculas encerradas en un cubo y chocando elásticamente contra sus paredes. Se recurre al artificio de considerar que un tercio de ese número se mueve según la dirección de cada uno de los ejes, en los dos sentidos. Inspirado en esta idea, el método supone que la intensidad está limitada a un flujo dirigido hacia arriba (µ = ) y un flujo dirigido hacia abajo (µ = ). De esta forma, I(τ,µ) = I + (τ)+i (τ) y la función fuente es F = 2 [ 0 I (τ)dµ + 0 I + (τ)dµ ] = 2 [I +(τ)+i (τ)] (.45) Schuster y Schwarszchild sustituyeron la ecuación original por el par de ecuaciones di + 2 dτ di 2 dτ = I + 2 [I + +I ] = I 2 [I + +I ] (.46)

16 0. Transferencia de Radiación donde el factor ± de la izquierda da cuenta de la inclinación media 2 de los rayos salientes y entrantes. Éste es un sistema lineal homogéneo de solución inmediata. La generalización de la idea anterior supone que en lugar de sólo una dirección existen n direcciones y que la radiación fluye sólo en esas direcciones, en un sentido o en otro. Si µ i son los cosenos directores de esasdirecciones,coni = ±,±2,...,±neI i lasintensidadescorrespondientes, la ecuación fundamental se sustituye por el sistema lineal: µ i di i dτ = I i j a j I j (.47) donde las a j son los pesos de la integración gaussiana de F, de tal forma que I(τ,µ )dµ j a j I j (τ,µ j ) (.48) Los valores de los a j se encuentran tabulados en los textos de análisis numérico. Una revisión de la construcción de fórmulas gaussianas de cuadratura se encuentra en la obra citada Radiative Transfer, así como tablas de coeficientes a j.

17 Capítulo 2 Óptica Matricial 2.. Introducción Este capítulo está dedicado a la teoría elemental de los sistemas ópticos. Un sistema óptico, en el contexto de la presente explicación, es un conjunto de superficies que separan medios de propiedades ópticas diferentes. Aquí, haremos una interpretación muy restrictiva, pues la única propiedad óptica que va a determinar cada medio es el índice de refracción n, que se define como la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio. Así pues, es siempre n >=. Respecto a la luz, experimentos sencillos nos convencerán de que se propaga en línea recta en los medios homogéneos, es decir, en aquellos en los que el índice de refracción es una constante. El principio básico que permite formalizar matemáticamente nuestra experiencia empírica con la propagación de la luz es éste: la luz se propaga de tal modo que para ir de un punto a otro lo hace siempre en el tiempo mínimo posible. Es decir, que si un elemento de camino es ds, la luz invierte un tiempo ds/v en recorrerlo, y si v = c/n, entonces la trayectoria de la luz es tal que la integral entre el punto de partida y el de llegada: c nds (2.) es mínima. El cálculo de variaciones permite calcular las trayectorias que sigue la luz, tanto en medios homogéneos como en medio no homogéneos. No entraremos en este formalismo. Indicaremos sólo que permite demostrar (entreotrasmuchascosas)que:a)enlosmedioshomogéneoslaluzsepropaga en línea recta y b) cuando la luz cambia de un medio de índice de refracción n a un medio de índice n 2, se cumple la relación

18 2 2. Óptica Matricial θ n θ 2 n 2 Figura n senθ = n 2 senθ 2 (2.2) donde θ es el ángulo que forma el rayo con la normal a la superficie de separación en el punto de ésta donde incide y θ 2 el ángulo que forma el rayo refractado con la misma normal, de acuerdo con la Figura. Todavía, dado el carácter elemental de esta exposición, hemos de introducir más restricciones: a) cuando un rayo toca una superficie que es la separación entre dos medios, el ángulo que forma con la normal a la superficie en el punto de contacto es tan pequeño que siempre se puede tomar senθ θ; b) Nos limitamos a superficies de separación o bien planas o bien esféricas. Los centros de todas las superficies esféricas se encuentran sobre una línea recta. Las normales a las superficies planas coinciden con la misma recta. A estos sistemas se les llama sistemas ópticos centrados. A la línea que contiene a los centros de las superficies se le llama eje óptico. En lo que sigue, consideraremos que la luz se propaga de izquierda a derecha, formando ángulos pequeños con el eje óptico Formulación matricial Puesto que las superficies en los sistemas que estamos considerando separan medios homogéneos, en los cuales la luz se propaga en línea recta, la acción de un sistema óptico sobre un rayo entrante consistirá en alterar su dirección en cada superficie, de forma que la trayectoria total del rayo será una línea quebrada. El conocimiento completo de la trayectoria incluye entonces, para cada coordenada x del eje ópitco, la altura y del rayo y el ángulo θ que forma con el eje (Figura 2).

19 2.2. Formulación matricial 3 y y θ Figura 2 x π π 2 θ 2 y θ y 2 d Figura 3 El rayo entonces experimenta dos tipos de transformaciones: desplazarse de una superficie a la siguiente y cambiar de dirección en cada superficie. Consideremos a continuación las distintas formas en que el rayo se ve afectado Traslación Consideremos la traslación de un rayo en un medio homogéneo entre dos planos de referencia π y π 2 separados entre sí una distancia d. En π el rayo viene especificado por valores (y,θ ) y en π 2 por valores (y 2,θ 2 ) (Figura 3). Es claro que mientras que θ 2 = θ (2.3) o y 2 y d = tanθ θ (2.4) y 2 y = dθ (2.5)

20 4 2. Óptica Matricial n n 2 θ θ 2 y = y 2 Figura 4 Combinando ambas condiciones podemos escribir, en formato matricial: [ y2 θ 2 ] = [ d 0 ][ y 2.3. Refracción en superficie plana θ ] (2.6) Consideremos ahora un rayo que toca una superficie plana que es la separación de dos medios de índice n y n 2 (Figura 4). Estamos interesados en los valores de y 2 y θ 2 tras sufrir la refracción. Es evidente que y 2 = y. En cuanto a los ángulos, n θ = n 2 θ 2, o es decir: [ y2 θ 2 ] = θ 2 = n n 2 θ (2.7) [ 0 0 n n 2 ][ y θ ] (2.8) Si asignamos convencionalmente signo positivo a los ángulos de los rayos que se alejan del eje en el sentido de las y > 0, vemos que, siendo n /n 2 > 0, θ 2 y θ tienen el mismo signo. Por contra, si indicamos con el signo negativo el ángulo de los rayos que desde y > 0 se acercan al eje, vemos que si θ < 0 también θ 2 < 0. Por tanto, la expresión matricial anterior es general, válida tanto para ángulos positivos como para negativos Refracción en superficie esférica En relación con la Figura 5, se representa una superficie esférica de centro O y radio R que separa dos medios de índices n y n 2. Sobre esta superfi-

21 2.4. Refracción en superficie esférica 5 N θ 2 i θ n y n i 2 2 α O R Figura 5 cie incide un rayo (y,θ ) en un punto cuya normal es ON con ángulo de incidencia i y ángulo de refracción i 2. En la aproximación de ángulos pequeños: n i = n 2 i 2 (2.9) Ahora bien, se ve que i = α+θ y que i 2 = α+θ 2. Al mismo tiempo, el ángulo α puede aproximarse por su tangente, que es y/r (y = y = y 2 ), con lo que de donde n ( y R +θ ) = n 2 ( y 2 R +θ 2) (2.0) que junto con y 2 = y permiten escribir: [ y2 θ 2 θ 2 = n 2 n n 2 y R + n n 2 θ (2.) ] = [ 0 n 2 n n 2 R n n 2 ][ y θ ] (2.2) Podemos, y debemos, preguntarnos por la generalidad de la expresión anterior. Al fin y al cabo, hemos elegido una geometría en la que θ > 0 y θ 2 > 0 ( y si no es así) y hemos supuesto que n 2 > n ( y si no es así?). Además, suponemos que la superficie es convexa ( y si fuese cóncava?). Es preciso entonces asegurarse de que la expresión encontrada tiene la generalidad necesaria, y para eso es preciso analizar exhaustivamente todos los casos posibles. No es difícil hacer tal análisis pero, en lugar de omitirlo, como hace la mayoría de los textos, o de presentarlo completo, como no hace ninguno

22 6 2. Óptica Matricial N i θ n y R α n 2 i 2 O θ 2 Figura 6 de ellos, lo haremos parcialmente (el análisis completo queda a la voluntad del lector). En primer lugar, consideremos el caso en que los rayos incidente y refractado tienen ángulos negativos, tal y como se muestra en la Figura 6. Razonando sobre los valores absolutos de los ángulos, con i = α θ e i 2 = α θ 2, de donde n i = n 2 i 2 (2.3) θ 2 = n n 2 θ n n 2 n 2 R y (2.4) y como θ = θ y θ 2 = θ 2, vemos que la expresión que habíamos encontrado es más general del caso que consideramos en primer lugar, pues también es válida cuando los dos ángulos son negativos. Consideremos a continuación qué ocurre cuando la superficie de separación es cóncava, de acuerdo con la Figura 7. De n i = n 2 i 2, ahora con i = α θ e i 2 = α θ 2 se sigue θ 2 = n 2 n n 2 R y + n n 2 θ (2.5) Vemos que esta ecuación difiere de (2.) en el signo del primer término del segundo miembro. Podríamos pues tener dos expresiones distintas, según que la luz incida sobre una superficie cóncava o sobre una superficie convexa. En lugar de ello se introduce la siguiente regla: El radio de una superficie se toma como positivo si la superficie es convexa, y como negativo si la superficie es cóncava. La ecuación (2.) junto con esta regla es consistente con la recién obtenida (2.5). Podríamos continuar examinando casos particulares,

23 2.5. Matriz del sistema 7 i 2 N θ θ 2 2 i y α n O R n Figura 7 pero, como dijimos anteriormente, queda del cuidado del lector interesado y nosotros damos por generalmente válida la citada expresión (2.) Matriz del sistema Recapitulemos brevemente las matrices encontradas hasta ahora. Para la traslación de un rayo una distancia d: T = [ d 0 Para su refracción en una superficie plana: R = [ 0 0 n n 2 Y para la refracción en una superficie esférica: S = [ ] ] 0 n 2 n n 2 R n n 2 ] (2.6) (2.7) (2.8) Consideremos ahora un sistema óptico que contenga los dos tipos de superficies y una traslación. Este sistema puede ser una lente convexo-plana. La luz incide en la superficie convexa, donde se refracta. Después, el rayo recorre una distancia en línea recta igual al grosor de la lente. Finalmente, se refracta en la superficie plana posterior de la lente, Figura 8.

24 8 2. Óptica Matricial 2 34 d Figura 8 Denotemos por ū el rayo ū = [ y θ ] (2.9) y usemos los subíndice y 2 para indicar los valores inmediatamente antes y después de la refracción en la superficie esférica. Con los subíndices 3 y 4 indicamos los valores inmediatamente anterior y posterior a la refracción en la superficie plana posterior. Es claro que pero y a su vez Es decir: ū 4 = Rū 3 (2.20) ū 3 = Tū 2 (2.2) ū 2 = Sū (2.22) ū 4 = (RTS)ū = Mū (2.23) La acción total de la lente viene dada por la matriz M, que obtenemos multiplicando de atrás adelante las distintas transformaciones que sufre el rayo. Es también evidente que si las matrices elementales son matrices 2 2 la matriz resultante será también una matriz 2 2. De la misma forma se ve que si en lugar de las tres transformaciones que introduce la lente convexo-plana tuviésemos un número arbitrario de transformaciones n cada una de las cuales viniese representada por su matriz M n,

25 2.6. Interpretación 9 y denotando mediante el subíndice i el valor del rayo tras su transformación i, entonces sería: de donde ū n = M n ū n ū n = M n ū n 2 ū n 2 = M n 2 ū n 3 = ū = M ū 0 (2.24) ū n = (M n M n M n 2 M 2 M )ū 0 (2.25) El sistema completo entonces se puede representar mediante una única matriz 2 2: M = M n M n M n 2 M 2 M (2.26) En el caso concreto de la lente con que abríamos esta sección, si su índice de refracción es n y se encuentra rodeada de aire, cuyo índice podemos tomar como n =, su grosor es d y el radio de la superficie convexa es R, tenemos que M = [ 0 0 n ][ d 0 ][ 0 n nr n ] = [ + d( n) d nr n n R ] (2.27) 2.6. Interpretación Supongamos que, conocidas las superficies que forman un sistema óptico y todos los datos pertinentes, como la separación entre ellas, los índices de refracción y los radios de curvatura, hemos calculado la matriz total del sistema por simple multiplicación de las matrices individuales, obteniendo: M = [ A B C D ] (2.28) Cualeselsignificadodecadaunodeloselementos?Pararesponderaesta pregunta, hagamos cero cada uno de ellos sucesivamente. Representaremos al sistema, que puede contener un número arbitrario de elementos, mediante dos líneas verticales gruesas. Con los subíndices e y s indicamos los rayos de entrada y de salida al sistema.

26 20 2. Óptica Matricial A=0 Figura 9 B=0 Figura 0 Cuando A = 0, y s = Bθ e. y s depende sólo de θ e, no de y e. Por tanto, todos los rayos que entran con el mismo ángulo al sistema salen con el mismo y s, tal y como se refleja en la Figura 9. La condición A = 0 determina por tanto un foco. Si B = 0, y s = Ay e. Es decir, y s no depende del ángulo de entrada y depende sólo de y e. La condición B = 0 determina una correspondencia entre los planos focales. Los puntos y e e y s son respectivamente objeto e imagen y A = y s /y e es el aumento del sistema. Figura 0. SiC = 0,θ s = Dθ e,esdecir,elángulodesalidadependesólodelángulode entrada: todo haz de rayos paralelos que entra al sistema emerge de él como haz paralelo, Figura. A este tipo de sistemas se les llama telescópicos y a la razón D = θ s /θ e aumento angular del sistema. Finalmente, si D = 0, θ s = Cy e, es decir, el ángulo de salida no depende del ángulo de entrada, como se muestra en la Figura 2

27 2.6. Interpretación 2 C=0 Figura D=0 Figura 2

28 22 2. Óptica Matricial 2.7. Conclusión Hemos dado una idea general de los sistemas ópticos centrados paraxiales. No entraremos en su ampliación a sistemas donde pueden encontrarse superficies reflectantes, ni entraremos en la discusión de los llamados puntos cardinales de los sistemas, que por otra parte pueden extraerse fácilmente a partir de la matriz M del sistema. El lector interesado puede encontrar la teoría complementaria, junto a una buena colección de ejercicios resueltos, en Matrix methods in optics, de A. Gerrard y J.M. Burch. Dover, New York. ISBN

29 Capítulo 3 Polarización 3.. Introducción En el siglo XVII, un monje llamado Erasmus Bartholinus descubrió una propiedad relativa a un mineral llamado espato de Islandia. El espato de Islandia es una variedad de calcita fácilmente exfoliable en láminas transparentes. Lo que descubrió Bartholinus fue que una lámina de calcita daba imágenes dobles cuando se miraba a través de ella, es decir, que la luz se refractaba de dos formas distintas simultáneamente. La explicación del fenómeno la dio Christian Huygens poco después, al tiempo que descubrió el fenómeno de la polarización. Consiste éste en que si se miran ciertas fuentes de luz a través de una lámina de espato de Islandia, al girar la lámina en un plano perpendicular a la línea de visión la intensidad de la imagen varía, pasando por un par de máximos y mínimos. Esto ocurre con algunas fuentes de luz, mientras que no ocurre con otras, y es independiente el fenómeno tanto de la intensidad de la fuente como de su color. Por consiguiente, la luz, aparte de intensidad y color tiene otra propiedad que se llamó polarización. Se pueden hacer algunos experimentos adicionales. Si a través de un segundo cristal de espato se observa la luz emergente de un primero, se observa que la luz de este primero está polarizada siempre. De ahí se deduce que el cristal de espato polariza la luz, que en principio puede provenir de una fuente no polarizada. La polarización se hace evidente al observar el primer cristal a través del segundo. A partir de ahí, hay un experimento obvio, que consiste en observar la luz polarizada por el primer cristal a través del segundo. Al girar este segundo cristal en su plano se observan los máximos y mínimos de intensidad y puede construirse una gráfica polar representando la intensidad emergente del se- 23

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