Dominios euclídeos. Enteros de Gauss.

Transcripción

1 Tema 8.- Dominios euclídeos. Enteros de Gauss. 8.1 Dominios euclídeos. Recordamos la definición de dominio euclídeo que ya hemos visto. Definición Sea A un dominio de integridad. Diremos que A es un dominio euclídeo si existe una aplicación δ : A \{0} N tal que: 1. Si a, b A \{0} y a b, entonces δ(a) δ(b). 2. (División entera con resto respecto de δ) Dados D, d A, d 0,existen c, r A tales que D = dc + r y r =0obienδ(r) <δ(d). Proposición Sea (A, δ) un dominio euclídeo. 1. Si u es una unidad de A, δ(u) es el valor mínimo de δ. 2. Si a, b A \{0} son asociados, entonces δ(a) =δ(b). 3. Si a, b A \{0}, a b y δ(a) =δ(b), entonces a y b son asociados. 4. Un elemento a A \{0} es una unidad, si y sólo si δ(a) =δ(1). Prueba: La primera afirmación es consecuencia inmediata de que una unidad divide a todo elemento, y de la primera condición de dominio euclídeo. La segunda afirmación es trivial. Para la tercera afirmación, dividimos a por b: a = cb + r. Si r 0, entonces δ(r) <δ(b). Como a b, existea A tal que b = a a. Por tanto r = a cb = (1 ca )a, por lo que δ(a) δ(r), que contradice la hipótesis. Por ello r =0,yb a como queríamos. La última afirmación es consecuencia fácil de las anteriores. Un ejemplo de dominio es A = Z[ m] C, conm entero libre de cuadrados. En ellos podemos definir una aplicación norma, que verifica siempre la primera condición de dominio euclídeo, y en algunos casos también la segunda: N : A N, con N(a + b m)= (a + b m)(a b m) = a 2 mb 2. Proposición N verifica las siguientes propiedades: 1. N(xy) =N(x)N(y) paratodox, y Z[ m]. 2. Si u Z[ m], N(u) =1siysólo si u es una unidad. 3. Si x, y Z[ m], x y y N(x) =N(y), si y sólo si x e y son asociados. 4. Si x Z[ m]yn(x) esunnúmero primo, entonces x es irreducible. La demostración es un fácil ejercicio. Nota

2 1. Con las propiedades anteriores, es un ejercicio elemental probar que Z[ 3] no es DFU, puesto que 2 es un elemento irreducible, pero no primo, ya que divide a 4 = (1 + 3)(1 3), pero no divide a ningún factor. 2. El caso m = 1 es el del anillo de los enteros de Gauss, Z[i], que es dominio euclídeo, cuando definimos una división entera en él. Sean x, y Z[i], b 0. Entonces el cociente complejo de x y y es u + vi C, conu, v Q. Sean m, n Z unas aproximaciones enteras que redondean u, v, es decir tales que m u 1 2 y n v 1 2. Entonces r = x (m + ni)y Z[i]. Por la elección anterior, se tiene que r = y[(u m)+i(v n)], por lo que N(r) 1 2N(y) <N(y). Se tiene así que x =(m + ni)y + r, con N(r) <N(y), por lo que Z[i] queda dotado de estructura de dominio euclídeo, con la norma N como aplicación δ. 3. De un modo análogo se podría dotar a Z[ 2] de una estructura de dominio euclídeo. Definición Un dominio A se dice de ideales principales, (DIP), cuando todos sus ideales lo son. El resultado siguiente nos da una gran cantidad de ejemplos. Proposición Todo dominio euclídeo es un dominio de ideales principales. Prueba: Sea (A, δ) un dominio euclídeo, e I un ideal no nulo de A. Sea a I \{0} un elemento con δ(a) mínimo. Vamos a probar que I =(a). Una inclusión es clara. Recíprocamente, sea b I, que dividimos por a, obteniendo b = ca+r. Sir no es cero, como estáeni y δ(r) <δ(a), llegamos a contradicción con la elección de a. Portantor = 0, y se tiene lo deseado. No es cierto el recíproco. Hay dominios de ideales principales que no son euclídeos, como Z[ ], pero esta comprobación es bastante difícil. Z[X], con X una variable, es un ejemplo de un dominio que no es DIP. Para ello verifíquese que (2,X) no es un ideal principal en Z[X]. 8.2 Factorización. El resultado fundamental de esta sección es el siguiente: Teorema Todo DIP es un DFU. Definición Se dice que un anillo A verifica la condición de cadena ascendente para ideales (o, brevemente, la CCA) si toda cadena estrictamente creciente de ideales de A I 1 I 2 I

3 es finita. Equivalentemente, toda cadena ascendente infinita de ideales I 1 I 2 I 3... es estacionaria, es decir, existe un entero n>0talquei j = I n,paratodoj n. Proposición Sea A un DIP; entonces verifica la CCA. Prueba: Sea I 1 I 2 I 3... una cadena ascendente de ideales, y sea I = j 1 I j la unión de todos ellos; entonces I es un ideal. En efecto, sean a, b I, digamos a I j y b I k. Si, por ejemplo, k j, entonces a, b I k,luegoa b I k I. Si a I, digamos a I j,yx A, entonces ax I j I. Ahora bien, el ideal I es principal; escribamos I = Ad. Entonces d I n para un cierto n, luego I n = I. Así, para todo j n es I j = I = I n. Esto prueba la proposición. Proposición Sea A un DIP; entonces A verifica la condición (DFU1). Prueba: Sea a una no unidad distinta de cero. Tenemos que probar que a se descompone en producto finito de elementos irreducibles. Si a es irreducible, no hay nada que probar. Si a no es irreducible, se puede escribir a = bc donde b y c no son asociados de a, ni unidades. Así Aa Ab y Aa Ac. Repitiendo el razonamiento con b, por ejemplo, y así sucesivamente, la CCA implica que este proceso es finito, lo que nos lleva a que a debe tener un divisor irreducible p 1. Entonces Aa A a. p 1 Si a 1 = a/p 1 es irreducible, entonces a = a 1 p 1 es una descomposición factorial de a, y nuestra demostración habrá concluido. Supongamos que a 1 no es irreducible. Aplicando a a 1 = a/p 1 el mismo razonamiento, llegamos a la existencia de un divisor irreducible p 2 de a 1, y a una terna Aa Aa 1 Aa 2, con a 1 = p 2 a 2. Por CCA, este proceso debe tener un fin, es decir, debe existir un entero positivo n tal que a/(p 1 p n 1 ) = p n sea irreducible. Así a = p 1 p n 1 p n, lo que prueba la proposición. Proposición (Identidad de Bezout) SeaA un DIP, y sean a, b A dos elementos no nulos. Entonces existe un elemento d = αa + βb con α, β A, tal que d =mcd(a, b). 3

4 Prueba: Sea (a, b) el ideal engendrado por a, b; entonces existe d A tal que (a, b) =Ad. Como Aa Ad y Ab Ad, esd a y d b. El hecho de que d =mcd(a, b) viene, ahora, de que d es de la forma d = αa + βb. La demostración del teorema termina con la siguiente Proposición Sea A un DIP; entonces A verifica (DFU3). Prueba: Sea p A, irreducible, con p ab, y supongamos que p no divide a a. Entonces 1 = mcd(a, p) y, por la proposición anterior, 1 = αa + βp. Así, b = αab + βbp, de donde se deduce que p b. Estopruebalaproposición. Nota En el caso de un dominio euclídeo A, se puede generalizar el algoritmo de Euclides para Z, de cálculo del máximo común divisor de dos elementos a, b A \{0}: Se construye la sucesión r 0,r 1,r 2,...,r n, poniendo r 0 = a, r 1 = b, ypara cada j 2, r j es el resto de dividir r j 2 por r j 1. El proceso acaba alcanzando el cero en cierto r n. Entonces r n 1 =mcd(a, b). La validez del algoritmo se basa en dos cuestiones. Por una parte mcd(r i,r i+1 )=mcd(r i+1,r i+2 ), para cada i =0,...,n 3, y por otra que el algoritmo debe acabar puesto que δ va decreciendo en la sucesión creada. 8.3 Enteros de Gauss En esta sección vamos a estudiar el primer ejemplo no inmediato de divisibilidad. Definición El anillo de los enteros de Gauss es el subanillo Z[i] C definido por Z[i] ={a + bi C a, b Z} Queremos describir los elementos irreducibles de Z[i]. Ya sabemos que los enteros de Gauss de norma prima son irreducibles, pero queremos calcularlos todos. Vamos a ver un resultado previo que es de interés por sí mismo. Proposición Sea K un cuerpo. Todo subgrupo finito de K es cíclico. Prueba: Sea G K subgrupo finito. Elegimos x G de orden maximal a = o(x). Sea y G, deordenb. Entonces o(xy) =mcm(a, b) a. Entonces b divide a a. Esto significa que g a =1paracualquierg G. Sea G = m. Todo elemento de G es raíz del polinomio X a 1, por lo que m a. Por otro lado, para cada g G, elordendeg divide a m. Enparticular,a divide a m, y tenemos a = m. Proposición Sea p Z + primo. Las condiciones siguientes son equivalentes: 1. p no es irreducible en Z[i]. 2. p es suma de dos cuadrados. 4

5 3. p =2op 1( mod 4). Prueba: 1 2. Si p =(a + bi)(c + di), con ambos factores no unidades, se tiene que N(a + bi) > 1yN(c + di) > 1. Tomando normas al principio: p 2 = N(p) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). Como p es primo, se tiene que p = a 2 + b Se deduce de observar que, si a Z, a 2 0, 1( mod 4) Como 2 = (1 + i)(1 i), basta considerar el caso p 1( mod 4). Tenemos que (Z/Zp) es cíclico de orden 4k, por lo que contiene un subgrupo de orden 4 igual a {1,α,α 2,α 3 }.Como0=α 4 1=(α 2 1)(α 2 +1),resulta que la ecuación X 2 +1tienesolución en Z/Zp. Seau un representante de una solución. Entonces u 2 +1=(u + i)(u i) =kp para algún k Z. Si p fuese primo en Z[i], entonces p divide a u+i o p divide a u i. Si unificamos, llegamos aqueexistem, n Z tales que u ± i = p(m ++ni) y comparando las partes imaginarias nos queda pn = ±1, que contradice el carácter primo de p en Z. Por tanto, p divide a un producto en Z[i] perono divide a ninguno de sus factores. Corolario Un número primo p Z + es irreducible en Z[i] siysólo si p 3( mod 4). Veamos finalmente que ya hemos descrito todos los numeros irreducibles de Z[i]. Proposición Un entero de Gauss es irreducible si y sólo si es de una de las dos formas siguientes: 1. Es asociado de un número primo p>0, con p 3( mod 4), i.e. p, p,ip, ip. 2. Tiene norma prima. Prueba: Queda probar que si z = a + bi Z[i] es irreducible, entonces es de una de las formas enunciadas. Si a =0ob = 0, entonces z es asociado con p. Si a 0 y b 0, entonces N(z) = a 2 + b 2 = (a + bi)(a bi) es una descomposición en factores irreducibles. Por ser Z[i] undfu,n(z) debe ser un número primo, porque en otro caso una descomposición en Z sería distinta de la anterior. 8.4 Sumas de cuadrados. Enunciamos un problema de Diofanto (250 d.c.): cuándo un número entero es suma de dos cuadrados? de tres cuadrados? de cuatro cuadrados?... 5

6 Nota Para cada a, b, c, d Z se tiene que (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )=N(a+bi)N(c+di) =N((a+bi)(c+di)) = (ac bd) 2 +(ad+bc) 2. Teorema (Fermat-Euler 1749). Un entero positivo n es suma de dos cuadrados, si y sólo si sus factores primos congruentes con 3 módulo 4, aparecen en la factorización de n con exponentes pares. Prueba: Sea n = m 2 q,demodoquelosfactoresprimosdeq son 2 o congruentes con 1 módulo 4. Por la proposición y la nota anterior, se tiene que n es suma de dos cuadrados. Recíprocamente, supongamos que n = a 2 + b 2. La descomposición en Z[i] en factores irreducibles de a + bi será, por la proposición 8.3.5, a + bi = up 1 p r (c 1 + d 1 ) (c s + id s ), donde u es una unidad, p 1,...,p r Z son números primos, con p i 3( mod 4), para i = 1,...,r, y c j + id j Z[i] son elementos de norma c 2 j + d2 j, para j =1,...,s, que por la proposición no puede ser congruente con 3 módulo 4. Conjugando la expresión anterior, se obtiene una descomposición de a bi, y multiplicándolas, queda: n =(a + bi)(a bi) =p 2 1 p2 r (c2 1 + d2 1 ) (c2 s + d2 s ), que verifica lo enunciado. Enunciamos sin demostrar los siguientes teoremas. La demostración del primero puede verse en el libro de Delgado-Fuertes-Xambó varias veces citado. Teorema (Fermat-Lagrange 1770). Todoenteropositivoessumade cuatro cuadrados. Teorema (Waring-Hilbert 1909). Para cada número natural q existe otro w q tal que todo entero positivo n es suma de w q potencias q-ésimas: n = a q 1 + aq w q. Se sabe, por ejemplo que w 2 =4,w 3 =9oquew 4 = 19 (1986). 6