OPTIMIZACIÓN EXPERIMENTAL. Ing. José Luis Zamorano E.

Transcripción

1 OPTIMIZACIÓN EXPERIMENTAL Ing. José Luis Zamorano E.

2 Introducción n a la metodología de superficies de respuesta EXPERIMENTACIÓN: Significa variar deliberadamente las condiciones habituales de trabajo para encontrar mejores maneras de proceder, y ganar al mismo tiempo un conocimiento más profundo sobre el comportamiento de productos y/o procesos.

3 ESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACIÓN EFICIENTE: Experimentación Diseño Experimental Objetivo Análisis de Resultados Modelos

4 LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas útiles para modelar y analizar problemas en los cuales una respuesta de interés es influida por varias variables, y su objetivo es optimizar esta respuesta

5 LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA Necesidad de un modelo: - La capacidad de predecir o explicar el valor de cierta respuesta Y una vez conocidos los valores de otras variables x i s. - El hecho de poder seleccionar aquellas condiciones de los factores x i`s que permitan optimizar una la respuesta Y.

6 Superficie de respuesta Temperatura ºC x x 2 Tiempo min. Reactor Cantidad gr. y Y = f(x,x 2 )

7 Superficie de respuesta DESIGN-EXPERT Plot Actual Factors: X = Tiempo Y = Temperatura Cantidad Temperatura Tiempo

8 Estrategias de la metodología a de superficie de respuesta Estrategia de primer orden: Diseño 2 k - Estimación de un modelo lineal por mínimos cuadrados Uso de mapas de contornos ó curvas de nivel Camino de la máxima pendiente (steepest ascent)

9 ESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN (-,+) (+,+) (,) (-,,-) ) (+, +,-) ) x' i = xi x x i io

10 Variable Temperatura Nivel inferior 6ºC Nivel Superior 8ºC Codificación n de variables - + = = 6ºC 7ºC 8ºC X i x' i = xi x x i io

11 Variables Diseño o de primer orden x x 2 x x 2 y x - x x 2 - x y x + x x 2 - x y 2 x - x x 2 - x y 3 x + x x 2 - x y 4 x x 2 y 5 x x 2 y 6 x x 2 Matriz de diseño Respuestas y 7

12 ESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN Modelo de primer orden yˆ + = b bx i i Región n Superficie ajustada Trayectoria máxima pendiente Y=35 Y=55 Y=25

13 ESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN ESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN Pendiente Normalizada Pendiente Normalizada 2 / 2 2 ˆ... ˆ ˆ ˆ ˆ + + = i x y x y x y y y δ

14 DESIGN-EXPERT Plot Busqueda del óptimo Cantidad Actual Factors: X = Tiempo 248 Y = Temperatura Temperatura Tiempo

15 ESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN Objetivo SELECCIÓN HIPÓTESIS Aproximación Lineal MAXIMA PENDIENTE Experimentos a lo largo del camino Si Diseño Ajusta? No Modelo Primer Orden HIPOTESIS Aproximación Cuadrática

16 ANALISIS DE REGRESIÓN Qué entendemos por análisis de Regresión? Análisis de regresión es la aplicación de métodos matemáticos y estadísticos para el análisis de datos experimentales, y el ajuste de estos modelos matemáticos a los datos mediante la estimación de parámetros desconocidos de los modelos.

17 ANALISIS DE REGRESI ANALISIS DE REGRESIÓN Modelos lineales 2 2 ˆ x b x b b y + + = ) exp( 2 ˆ x b x b b y + + = Modelos no lineales ) 2 exp( ˆ x b b b y + =

18 ANALISIS DE REGRESIÓN Mínimos cuadrados: es la suma de cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los valores estimados por el modelo: φ n 2 n = e ( y y ) 2 = i i i i= i= Y ˆ = X * b

19 ANALISIS DE REGRESIÓN T ( ) T ˆ ( ˆ ) Θ = e e = Y Y Y Y T T ( ) ( ) Θ = e e = Y Xb Y Xb Θ b = ( ) T X ( Y Xb ) 2 =

20 ANALISIS DE REGRESIÓN ( ) ( ) X T Y = X T Xb b = ( ) ( ) X T X X T Y

21 Ajuste de modelos (Regresión) x o Matriz de diseño x x b = (X T X) - (X T Y) Respuestas y y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7

22 Distribución n de varianzas en regresión p i n _ n _ ( yij Y ) = py i( i Y ) + py i( i yi ) + ( yij yi ) SCT SCR SC(Aj) SCE

23 Análisis de varianza para regresión Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados Libertad Cuadrado Medio F o Experim Debido a la Regresión SSR q SSR MSR= q Error Falta de Ajuste SS(Aj) n-q- SS(Aj) MSAB= (n-q-) MS(Aj) F Aj = MSE Error Puro SS(E) Σp i -n SS(E) MSA= Σp i -n Se acepta el modelo si : F Aj < F crit q=# de parámetros del modelo sin el término independiente n=# de puntos experimentales p i =# de repeticiones por punto

24 Estrategias de la metodología a de superficie de respuesta Estrategia de Segundo orden: Diseño 2 k + Diseño Estrella + Puntos centrales - Estimación de un modelo de segundo orden por mínimos cuadrados Uso de mapas de contornos ó curvas de nivel Análisis Canónico

25 α=2 k/4 Diseños experimentales para modelos de segundo orden (,+,+α) (-,+) (+,+) (-α,) (,) (+α,) (-,,-) ) (+,,-) ) (,-α)

26 Diseño o Rotable Compuesto Central Variables Matriz de diseño Respuestas x x 2 x x 2 Y x - x x 2 - x Y x + x x 2 - x Y 2 x - x x 2 - x Y 3 x + x x 2 - x Y 4 -α Y 5 +α Y 6 -α Y 7 +α Y 8 x x 2 Y 9 x x 2 Y x x 2 y

27 Modelo de Segundo Orden yˆ + bx + i i = b bxx ij i j

28 Ajuste de un modelo de segundo orden Matriz de diseño Respuestas x o x x 2 (x )2 (x 2 )2 x x 2 Y Y Y Y 3 Y 4 b = (X T X) - (X T Y) -α α 2 Y 5 +α α 2 Y 6 -α α 2 Y 7 +α α 2 Y 8 Y 9 Y y

29 Superficie de respuesta Y=b +b x +b 2 x 2 +b x 2 +b 22 x 22 +b 2 x x 2 DESIGN-EXPERT Plot Actual Factors: X = Tiempo Y = Temperatura Cantidad Temperatura Tiempo

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34 BIBLIOGRAFIA Diseño y análisis de experimentos, MONTGÓMERY; Biblioteca Carrera Ing. Química Process Análysis by statistical methods; HIMMELBLAU. Biblioteca Particular. Quality by experimental design, BARKER. Biblioteca particular. Principios de optimización de procesos, DIAZ MATA; Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia) Métodos estadísticos, control y mejora de la calidad, BARTES. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia). Planificación experimental y optimización, ZAMORANO. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia). Probabilidad y estadística para ingenieros; WALPOLE. Biblioteca Carrera Ing. Química.