Duración, Convexidad e Inmunización de Portafolios de Inversiones

Transcripción

1 Deparameo de Esudios Especiales y Valoració de Riesgo Noa écica N 1 NT Duració, Covexidad e Imuizació de Porafolios de Iversioes Rodrigo Maarria Veegas Abril del 2001 Clasificació JEL: G10 Clave: Admiisració Iversioes, Riesgos fiacieros Las ideas represeadas e ese documeo so resposabilidad de los auores y o ecesariamee represea la opiió de la Superiedecia de Pesioes.

2 DURACIÓN, CONVEXIDAD E INMUNIZACIÓN DE PORTAFOLIOS DE INVERSIONES 1. El riesgo de variació e las asas de ierés presea u reo para odo admiisrador de u porafolio de iversioes; e paricular la ecesidad de geerar coberura irísecas que le permia miimizar el impaco de cambios o deseados e los redimieos de su carera de iversioes. Las variacioes e las asas de ierés de mercado va a esar geerado dos ipos de cambios e el esceario empleado por u admiisrador de carera. Por ua pare, se va a esar viedo alerados los valores acuales de los acivos fiacieros que coforma el porafolio y, por oro lado, se va a esar viedo modificadas las posibilidades de reiversió de los flujos que so liberados por los acivos que coforma el porafolio. De esa maera, ua variació e las asas de ierés va a esar geerado ua aleració e el valor acual de la carera de iversioes e forma iversa al movimieo de las asas de ierés; de forma que, si las asas de ierés que se uiliza para descoar los flujos sube, el valor acual de las iversioes caerá. Pero, e forma simuláea, ae la misma elevació de las asas de ierés, la posibilidades de reiversió de los flujos se va a ver icremeadas, lo que geera u cambio e seido corario ae u mismo eveo: si sube las asas, decae el valor acual de las iversioes y aumea las posibilidades de reiversió de los flujos, lo que permie a u hábil admiisrador, compesar ales efecos corapuesos que geera la variació e las asas de ierés. 2. Es posible deermiar el impaco que se espera e el valor acual de u acivo ae la variació e las asas de descueo. Pariedo de que: VA = f ( i, VF,, r) = = 1 (1 + r) FC [1] Dode, i: Tasa de ierés facial; VF: Valor Facial de la iversió : iempo; y, r: asa de descueo De maera que puede aproximarse el cambio e el valor acual ae cambios e la asa de descueo de la siguiee forma: 2

3 f ' r f = FC i VF r r 1,,, ) = 1 (1+ ) = = = r r ( 1 ( + r) r FC [2] f r = = 1 (1 + r) ( + 1) FC < 0; VF, i, [3] O, lo que es lo mismo: f r = 1 (1 + r) = 1 (1 + r) FC [4] De maera que el cambio porceual e el valor acual sería: % VA = 1 FC (1 + r) = 1 (1 + r) FC (1 + r) = 1 = D* [5] Que correspode al cálculo de la Duració. La Duració viee a ser, eoces, ua medida del cambio proporcioal que se espera e el Valor Acual ae el cambio de u 1% e las asas de descueo 1. Ese cocepo de duració puede ser ierpreado de dos maeras: 1 Es el período medio de recuperació e érmios de valor acual 2. 2 Es ua medida del grado de sesibilidad o respuesa que iee el precio de u acivo fiaciero ae cambios e las asas de descueo empleadas Esa formulació correspode al cocepo de la duració modificada o sesibilidad o volailidad del precio de u acivo fiaciero ae cambios e la asa de descueo. E cocepo primario de la duració o cosidera el ajuse por [1/(1+r)]. E ese seido es imporae señalar que ese cocepo difiere del comúmee empleado Período de Recuperació de la Iversió (PRI), e dode se corasa la suma de los flujos acumulados por u proyeco co la iversió iicial para deermiar e qué momeo se recobra la iversió hecha. E el seido que aquí se emplea, la suma que se hace es la de los flujos descoados, es decir, raídos a valor presee. Eso o es ora cosa que ua elasicidad del valor acual a la asa de descueo. 3

4 E cualquiera de los casos ua ala duració se visualiza como u idicador de riesgo: ya sea que se arde mucho e lograr ua recuperació de la iversió e érmios de valor acual o que se vea como ua ala sesibilidad del valor acual ae variacioes e la asa de descueo. Tal como lo defiió F. Macaulay (1938) 4, "...la duració es u úmero úico para cada boo que resume odos los facores que afeca la sesibilidad del precio del boo ae cambios e la asa de ierés...". La duració depede de res variables fudameales: Tiempo hasa el vecimieo. La asa de cupó. Redimieo al vecimieo. Para agregar las duracioes de los acivos (calculadas como e [4] o [5]), debe realizarse u proceso previo. Y es que las duracioes así calculadas o esá exeas de la frecuecia e que se verifica los flujos. El resulado obeido e [4] y e [5] será u úmero de períodos, los cuales se verá afecados por la frecuecia e que se verifique los pagos; e dado caso, debe aualizarse para luego poder agregarse y obeer ua duració de la carera. Para aualizar la duració de u acivo se divide la duració de al acivo ere la frecuecia (periodicidad) de pago: D Dode p es la periodicidad. aualiz = Di. [6] p Obeidas las periodicidades de los acivos que coforma la carera, ales puede sumarse, e forma poderada para obeer la duració promedio del porafolio: D Poraf. = wi Di [7] i= 1 Por ora pare, dado que la duració es ua medida de elasicidad, puede uilizarse para aproximar el cambio absoluo e el valor de u acivo fiaciero (o de ua carera de iversioes) si ecesidad de recalcular uevamee dicho valor acual ae el cambio e las asas de descueo. La ecuació de duració calcula el valor acual de cada uo de los flujos de efecivo y podera cada uo por el iempo hasa que se reciba. Todos esos flujos de efecivo poderados se suma y la suma se divide ere el precio o valor acual del boo. Exise ora maera de expresar el cocepo de duració como el egaivo de la elasicidad-precio del boo co relació a u cambio e el facor de descueo (1+r). Así, se edría la siguiee expresió: 4 Some Theoreical Problems Suggesed by he Movemes of Ieres Raes, Bod Yields, ad Sock Prices i he Uied Saes Sice 1856, (New York: Naioal Bureau of Ecoomic Research, 1938). Ciado por Cascae,

5 VM D = VM (1 + r) [8] (1 + r) Siedo fudamealmee ua medida de elasicidad, la duració da ua medida secilla de la forma e la cual el precio del boo varía por u cambio e el facor de descueo (1+r). Replaeado la ecuació aerior se iee que: VM = D VM (1 + r) (1 + r) [9] Gra pare de la imporacia de la duració proviee del hecho de que brida ua medida sumaria coveiee de las res variables fudameales que deermia los movimieos e el precio del boo: la asa de cupó, el vecimieo del boo y el ivel de asas de ierés. Eso sigifica que los iversioisas e boos puede comparar la sesibilidad al movimieo de los precios de diferees boos simplemee comparado sus duracioes. Para ver más claramee lo aerior se puede aalizar el siguiee ejemplo, que ha sido omado de Cascae (1996). Ejemplo Supogamos la exisecia de los boos A y B, que iee las siguiees caracerísicas. Supogamos, además, que la asa de redimieo de mercado es del 8%. BONO A BONO B Valor Facial $ 1000 $ 1000 Vecimieo 10 años 10 años Tasa Facial 4% 8% E el siguiee cuadro, se calcula los resulados de la duració de cada boo de acuerdo co los daos del problema. 5

6 BONO A- CUADRO 1 CÁLCULO DE LA DURACIÓN PARA LOS BONOS A Y B (1) (2) (3) (4) (5) (6) AÑO Valor Presee Valor Presee Valor Flujo de al 8% de los Flujos Presee (% Caja del Precio) (1) (5) 1 $ 40 0,9259 $ 37,04 0,0506 0, $ 40 0, ,29 0,0469 0, $ 40 0, ,75 0,0434 0, $ 40 0, ,40 0,0402 0, $ 40 0, ,22 0,0372 0, $ 40 0, ,21 0,0345 0, $ 40 0, ,34 0,0319 0, $ 40 0, ,61 0,0295 0, $ 40 0, ,01 0,0274 0, $ , ,73 0,6585 6,5850 SUMA $ 731,58 1,0000 8,1193 a a Duració = 8,12 años. BONO B- (1) (2) (3) (4) (5) (6) AÑO Valor Presee Valor Presee Valor Flujo de al 8% de los Flujos Presee (% Caja del Precio) (1) (5) 1 $ 80 0, ,07 0,0741 0, $ 80 0, ,59 0,0686 0, $ 80 0, ,50 0,0635 0, $ 80 0, ,80 0,0588 0, $ 80 0, ,44 0,0544 0, $ 80 0, ,42 0,0504 0, $ 80 0, ,68 0,0467 0, $ 80 0, ,22 0,0432 0, $ 80 0, ,02 0,0400 0, $ , ,26 0,5003 5,0030 SUMA $ 1000,00 1,0000 7,2470 b a Duració = 7,25 años. 6

7 Observado ese ejemplo, se puede ecorar alguas caracerísicas de la duració 5 : Cuado u boo iee cupoes, la duració iede a ser meor que el plazo de maduració ya que la duració es u promedio poderado de iempo e la recuperació de pricipal e iereses. Se observa que los boos co asas faciales mayores iee duracioes meores debido al efeco de los moos de los cupoes e el cálculo de ese idicador. U boo que o ega cupoes (boo de descueo puro) iee ua duració igual al plazo de vecimieo, debido a que sólo exise u úico flujo al fial del período de iversió. Exise geeralmee ua relació posiiva ere el plazo de maduració y la duració de u boo. Si embargo, odo depede de la asa facial y el redimieo vigee e el mercado. Ere mayor sea el redimieo de mercado, meor será la duració del boo. El cálculo de la Duració segú supoe la ecuació [8] o cosidera el ajuse de [1/(1+r)], coeido e la ecuació [5]. Cuado se hace ese ajuse se deomia al cálculo la deermiació de la duració modificada o sesibilidad ; eso por cuao, la relació iversa ere el valor acual y la variació de las asas de ierés o es, ecesariamee, lieal. Por ejemplo, si las asas de ierés iee ua variació de r, el valor acual eo (VAN) descederá e VAN, al pasar del puo a al puo b. La duració, al como se ha expueso calcula esa variació por medio agee de la reca ab, es decir el cociee de VAN/ r. VAN a VAN b r TIR r Si embargo, la verdadera sesibilidad debe ser calculada e forma margial, es decir, la agee de la pediee e el puo a (la reca ); para ello se esima ua aproximació por medio de la fórmula:[5] Tomado de Cascae (1996) Se dice que se aproxima porque se pare de ua fució discrea, como la defiida e [1]. 7

8 3. 7 Tao e el caso de la duració, como de la duració modificada o volailidad, el resulado supoe u cambio lieal, cuado e realidad, el comporamieo del valor acual co respeco a las asas de descueo iede a ser descrio por la curva covexa que aparece e la gráfica. E oras palabras, el cambio e el valor acual eo o es igual si sube o si baja la asa de ierés de descueo. Para corregir ese problema se ha esablecido ua medida de covexidad y u correspodiee facor de correcció. La covexidad vedría dada por: Cx = 1 = 2 = 1 FC (1 + r) FC (1 + r) [10] Ese valor debe ser ajusado para poder icorporar el cambio e las asas de descueo de maera que pueda calcularse el cambio e el valor acual de las iversioes cosideradas; para ello se emplea u coeficiee de correcció de la covexidad que viee dado por: CCC = 1 Cx ( % r) [11] De maera que el efeco fial e el precio será el cambio calculado por medio de la duració más el coeficiee de correcció por covexidad: PF = P + CCC [12] Ejemplo. Supogamos la exisecia de u boo cuyo valor facial es de $100, su asa de ierés omial es de 10%; el plazo de iversió es de 10 años y e el mercado la asa de descueo es de 10%, pero aumea e dos puos porceuales (2%). La siguiee abla recoge los resulados del cálculo del valor acual, la duració, volailidad y covexidad: 7 Tomado de Maarria (2000) 8

9 CUADRO 2 CÁLCULO DE VALOR ACTUAL, DURACIÓN, VOLATILIDAD Y CONVEXIDAD Período Flujo de Caja Flujo de Caja Descoado Cálculo de Duració Cálculo de Covexidad , Valor Acual Duració 6.76 Volailidad 6.14 Covexidad Al aumear las asas de descueo de 10% a 12%; aplicado la fórmula [15], se edría que el cambio esperado e el precio sería de 12.29, pues: (0.02) P = = Ese cambio de $12.29 se habría regisrado, idepedieemee si la asa sube o baja; si embargo, como se ha viso, la exisecia de covexidad e la curva del valor acual obliga a cosiderar que o es lo mismo si las asas sube o baja. E ese caso el coeficiee de correcció por covexidad será de: CCC = (1/2) x x (2%) 2 x 100 = $1.14 De esa maera, si las asas de ierés sube el cambio fial e el precio será -$ $1.14 = -$11.15; si las asas de ierés baja el cambio e el precio sería de $ $1.14 = $ Alguos iversioisas, lejos de preferir maximizar el reoro de u porafolio de boos a ravés de cambios e la duració del mismo, prefiere asegurarse ua reabilidad específica para u período de iversió predeermiado. Por ejemplo, puede que u iversioisa esé deseoso de obeer u reoro del 10% aual por los próximos 5 años. Cuado se presea esa siuació, se dice que uesro 9

10 iversioisa desea imuizar su porafolio. E ese seido, el iversioisa esá dispueso a imuizar su porafolio de cambios e la asa de ierés. Del aparado aerior, se observa que si se presea icremeos e el ivel de mercado de las asas de ierés, por u lado se iee que el precio al fial se ecuere por debajo de las expecaivas que se eía origialmee, pero ahora los flujos de caja proveiees de cupoes puede ser ahora reiveridos a asas de ierés más alas. Es decir, e el caso de ua subida e las asas de ierés por el lado del riesgo de precio se edría ua riqueza meor, pero por el lado del riesgo de reiversió de cupoes, la riqueza fial iede a ser mayor. Lo corario se presea cuado las asas de ierés iede a caer. Por lo ao, el admiisrador de ua carera de boos ederá a elimiar esos dos riesgos derivados de cambios e las asas de ierés. La elimiació de esos dos riesgos es lo que se cooce como imuizació 8. El supueso esecial para poder imuizar u porafolio de boos es que si las asas de ierés cambia, el cambio referido debe ser el mismo para odas las asas fuuras. Dicho de ua maera más écica, si las asas de ierés "forward" cambia, odas las asas debe cambiar e la misma cuaía. Fisher y Weil (1971) maifiesa que, dado el cumplimieo de ese supueso, u porafolio de boos esará imuizado del riesgo de la asa de ierés si la duració del porafolio es igual al horizoe deseado de iversió. Así, por ejemplo, si el período deseado de eecia de u porafolio de boos es de 8 años, para imuizar el porafolio, la duració de dicha carera debe ser de 8 años. Debe desacarse que e años poseriores se demosró que e ua carera imuizada los riesgos de reiversió de cupoes y el riesgo de precio iee la misma magiud, pero co sigo corario 9. Para ello debe cosiderarse que el horizoe de iversió (H) debe ser igual al promedio poderado de las duracioes de los acivos del porafolio por el peso relaivo que iee dero de la carera, de la siguiee maera: H = D P = j= 1 w j D j [13] Aquí D j es la duració del acivo j, expresada e érmios auales. E el ejemplo preseado aeriormee, se ha supueso que las asas de ierés cambiaro e la misma caidad para los disios vecimieos. Ese supueso o ecesariamee se cumple e la realidad, por lo que la imuizació variará cosaemee e la admiisració de ua carera. 8 9 Los primeros auores e uilizar el cocepo de imuizació fuero Lawrece Fisher y Roma Weil e su arículo famoso, "Copig wih Risk of Ieres Rae Flucuaios: Reurs o Bod-holders from Naive ad Opimal Sraegies", Joural of Busiess 44, N 4 (Ocubre 1971), págs Ciado por Cascae (1996) Esas verificacioes se puede ecorar e G.O. Bierwag y G. Kaufma, "Copig wih he Risk of Ieres Rae Flucuaios: A Noe", e Joural of Busiess 50, No. 3 (Julio 1977), págs y G.O. Bierwag, "Immuizaio, Duraio ad he Term Srucure of Ieres Raes", e Joural of Fiacial ad Quaiaive Aalysis 12, No. 5 (Diciembre 1977), págs Ciado por Cascae (1996). 10

11 La medida de duració uilizada a lo largo del aálisis se cooce como duració Macauley. Hay oras medidas de duració más complicadas que puede imuizar ua carera cuado las curvas de redimieo cambia de forma o paralela. No obsae, para cualquier medida de duració e paricular, exise algú posible cambio e la curva de redimieo que ierferirá co la imuizació 10. El ejercicio de imuizació fiaciera se ha plaeado, hasa aquí como la igualació ere el horizoe de iversió y la duració promedio del porafolio, lo cual asegurará que el porafolio o será afeco a los riesgos proveiees de las variacioes e las asas de ierés. Si embargo esa es ua esraegia que podríamos deomiar pasiva. El admiisrador podría, además de eer corol de la composició de la carera de iversioes, eer corol de la forma de fiaciamieo, es decir de la carera de pasivos. Si esos pasivos so sesibles a las variacioes e las asas de ierés; el riesgo proveiee de la variació de esas e el mercado o solamee afecará la carera de iversioes, sio ambié la de pasivos, lo que podría deveir e cambios e la posició parimoial, oda vez que cambios e las asas de ierés icida posiivamee e los pasivos (haciédolos crecer) y egaivamee e los acivos (haciédolos decrecer). Por ejemplo, e la siguiee gráfica (a la izquierda) se muesra el comporamieo de los valores acuales eos de los pasivos y los acivos de ua empresa. Como se aprecia, cuado las asas de mercado so relaivamee bajas, el valor acual de los acivos iede a crecer e ao que el de los acivos decrece, hasa llegar a ua asa (R*) e dode se muesra e ivel míimo de gaacias. A parir de ese puo si la asa de ierés de mercado coiua aumeado, el valor acual de los pasivos crecerá a u rimo mayor que el de los acivos y la empresa icurrirá e pérdidas. Desde ese puo de visa, lo que debería procurar el admiisrador es la posibilidad de esablecer ua relació como la que muesra la gráfica de la derecha, e dode, idepedieemee del ivel de las asas de ierés que se regisre e el mercado, la compañía o verá afecada su posició parimoial por efeco de las variacioes e las asas de ierés. VAN VAN Ac. VAN VAN Ac. VAN Pas. R* r VAN Ac. VAN Pas. VAN Pas. r 10 Para más iformació sobre la duració se puede cosular, "Copig wih he Risk of Ieres Rae Flucuaios: A Noe", de G.O. Bierwag y G. Kafma, e Joural of Busiess, julio de 1977, págs y "Measures of Duraio", de G.O. Bierwag, e Ecoomic Iquiry, ocubre de 1978, págs Ciado por Cascae (1996). 11

12 Para lograr esa siuació de imuizació fiaciera (que las variacioes e las asas de ierés o afece la posició parimoial) debe esablecerse la siguiee ecuació de balace: D VA = D VA [14] ACT ACT PAS PAS de dode se puede derivar ua serie de codicioes que le puede permiir al admiisrador esablecer esraegias de admiisració e virud de la variable de mayor flexibilidad de que dispoga, por ejemplo: VA D ACT PAS = DPAS VA [14.a.] ACT VA D PAS = D ACT VA ACT PAS [14.b.] Jusamee, ua aplicació de la aerior esraegia se ecuera e la ueva defiició del modelo para juzgar la siuació fiaciera que aplicará la SUGEF a los iermediarios, por medio del modelo deomiado CAMELS (Capial, Acivos, Maejo, Evaluació de redimieos, Liquidez y Sesibilidad ae variables de mercado). E el úlimo de los aspecos a esudiarse, la sesibilidad ae los riesgos de variació e las asas de ierés se medirá de la siguiee forma: δ = D ASTI D + PSTJI 1 TBP6 m PSTI ASTI ˆ τ [15] Dode δ es la medició del riesgo de variació e las asas de ierés, D ASTI es la duració de los acivos sesibles a variacioes de las asas de ierés, D PSTI, es la duració de los pasivos sesibles a las variacioes de las asas de ierés; TBP 6m es la asa básica pasiva a seis meses y τ es la asa de variació máxima poecial esperada de la asa básica pasiva. Obsérvese que e caso de cumplirse lo propueso e la ecuació [14], el valor absoluo compredido e el umerador de la ecuació [15] sería cero y por ao δ = 0, lo que daría ua excelee calificació de riesgo al iermediario e ese idicador. 12

13 Referecias Bibliográficas Cascae, Javier (1996); Valoració de Acivos de Rea Fija. Maerial didácico para el curso homóimo e el Programa Profesioal e Mercado de Valores. FUNDEPOS. Sa José, Cosa Rica. Mimeo. Maarria, Rodrigo (2000); Admiisració de Recursos Fiacieros. Maerial de apoyo para u semiario homóimo promovido por Deloie & Touche. Mimeo. 13

14 ANEXO 1 Ejemplo del Cálculo de Duració para u Porafolio Ficicio Redimieo Duració N Tíulo Plazo Moo w i Tasa Facial Periodicidad de Mercado Duració Aualizada ,90 24,0 4 20,5 4,48 1, ,53 27,5 3 25,0 10,59 3, ,76 20,0 2 12,5 1,00 0, ,67 26,0 4 27,5 34,08 8, ,84 28,0 4 22,8 5,81 1, ,92 31,5 2 23,8 3,89 1, ,38 20,5 3 15,3 1,00 0,25 Suma ,00 2,21 14

15 ANEXO 2 Cálculo de Duració para los acivos e forma idividual Moo Plazo 390 Tasa Facial 0,24 Periodicidad 4 Red. Mercd. 0,205 TEA 0, Tíulo 1 Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , , , , , , , , , , , , , ,40 SUMA , ,87 Duració 4,48 D.Aualizada 1,12 15

16 Tíulo 2 Moo Plazo 390 Tasa Facial 0,275 Periodicidad 3 Red. Mercd. 0,25 TEA 0, Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,43 SUMA , ,52 Duració 10,59 D.Aualizada 3,53 16

17 Moo Plazo 25 Tasa Facial 0,2 Periodicidad 2 14,4 Red. Mercd. 0,125 TEA 0, Tíulo 3 Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , ,35 SUMA , ,35 Duració 1,00 D.Aualizada 0,07 17

18 Tíulo 4 Moo Plazo Tasa Facial 0,26 Periodicidad 4 Red. Mercd. 0,275 TEA 0, Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,66 SUMA , ,46 Duració 34,08 D.Aualizada 8,52 18

19 Tíulo 5 Moo Plazo 560 Tasa Facial 0,28 Periodicidad 4 Red. Mercd. 0,228 TEA 0, Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,60 SUMA , ,94 Duració 5,81 D.Aualizada 1,45 19

20 Tíulo 6 Moo Plazo 732 Tasa Facial 0,315 Periodicidad 2 Red. Mercd. 0,2375 TEA 0, Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , , , , , , , , , , , , , ,73 SUMA , ,99 Duració 3,89 D.Aualizada 1,94 20

21 Moo Plazo 89 Tasa Facial 0,205 Periodicidad 3 4, Red. Mercd. 0,1525 TEA 0, Tíulo 7 Días al Moo del Facor de Flujo Cálculo de N Flujos Vecimieo Flujo Descueo Descoado Duració , , ,19 SUMA , ,19 Duració 1,00 D.Aualizada 0,25 21