OPCIÓN A. La empresa A (x) tiene 30 trabajadores, la B (y) 20 trabajadores y la C (z) 13 trabajadores.

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA EL ALUMNADO DE BACHILLERATO. 159 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. JUNIO 16 EXAMEN RESUELTO POR JAVIER SUÁREZ CABALLERO OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá elegir una opción A o B y responder a todas las cuestiones de esa opción. Nunca podrá mezclar cuestiones de la opción A con cuestiones de la opción B. En cada cuestión se indica su puntuación. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables. OPCIÓN A CUESTIÓN A1. En una empresa trabajan empleados de las categorías A, B y C. El salario mensual de cada trabajador es de 1, 17 y euros, según que pertenezca a la categoría A, B y C, respectivamente. Todos los trabajadores destinan el 5% de su salario a un plan de pensiones, lo que asciende en un mes a un total de 493 euros. El número de trabajadores de la categoría A es el 15% de los de la categoría B. El número de trabajadores de la categoría B más el de la C supera en 3 al número de trabajadores de la categoría A. Hallar el número de trabajadores de cada categoría que tiene la empresa. (,5 puntos). Sea x el número de trabajadores de la empresa A, y el número de trabajadores de la empresa B y z el número de trabajadores de la empresa C. Así, el sistema queda de la siguiente manera: x + y + z = 493 { x = 1,5y y + z = x + 3 6x + 85y + 11z = 493 ordenando: { x 1,5y = x + y + z = 3 Pasamos a forma matricial y resolvemos: ( 1 1, ) 6F + F 1 6F 3 + F 1 ( ) 175F 3 145F ( ) z = 1794 z = y = 493 y = 6x = 493 x = 3 La empresa A (x) tiene 3 trabajadores, la B (y) trabajadores y la C (z) 13 trabajadores.

2 CUESTIÓN A. Dada la función f(x) = ax b x +1 donde a, b R: a) Hallar el dominio de f(x). (,5 puntos) b) Hallar a y b para que la función tenga una asíntota horizontal en y = y pase por el punto (, 4). (,75 puntos). c) Para a = 1 y b = 1 hallar f (x). (,75 puntos) a) x + 1 = x = 1 Dom f(x) = (, + ) b) Que la función tenga una asíntota horizontal en y = significa que: ax b lim x x + 1 = ax x = a = Si pasa por el punto (, 4), tenemos que: 4 = b = b 4 = b b = 4 1 c) f(x) = x x +1 f (x) = x(x + 1) (x )x (x + 1) CUESTIÓN A3. Se considera la función definida por: = x3 + x x 3 + 4x 6x (x + 1) = (x + 1) x + 3 si x < f(x) = { x + x + 3 si x a) Representar gráficamente la función f. (,75 puntos) b) Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX. (1,5 puntos) a) Es una función definida a trozos. El primer trozo es una función lineal, que se representa haciendo una tabla de valores y dándole a x valores menores que (incluyendo el ). El segundo trozo es una parábola cóncava que se representa, igualmente, asignando valores iguales o mayores que.

3 b) El recinto acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX comprende dos áreas diferenciadas. Llamando A1 a la región comprendida entre la recta y el eje OX y A a la comprendida entre la parábola y el eje OX, el recinto acotado será la suma de las áreas parciales. Mediante integrales definidas y aplicando la regla de Barrow, calculamos: A 1 = (x + 3) dx = [ x + 3x] = ( 9 9) = 9 3 u 3 3 A = ( x + x + 3) dx = [ x3 3 + x + 3x] = = = 9 u 3 A TOTAL = = 7 u CUESTIÓN A4. En una universidad, el 65% de sus miembros son estudiantes, el 5% son profesores y el 1% personal de administración y servicios. Son mujeres el 6% de los estudiantes, el 47% de los profesores y el 5% del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al azar un integrante de esa universidad: a) Determinar la probabilidad de que sea mujer. (1 punto) b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, hallar la probabilidad de que sea estudiante. (1 punto) Hacemos un diagrama en árbol para tener una visión global del problema:

4 a) P(mujer) =,6,65 +,47,5 +,5,1 =,5595 E P(E Hombre),65,4 b) P ( ) = = Hombre P(Hombre) 1,5595 =,59 CUESTIÓN A5. En una población el tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de trabajo sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos. Tras realizar una encuesta a una muestra aleatoria de 6 trabajadores se ha encontrado que el tiempo medio de desplazamiento es de 45 minutos. Hallar un intervalo de confianza al 9% para el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los individuos de la población. (1,5 puntos) Ponemos los datos que nos da el problema: σ = 15 n = 6 μ = 45 Nivel confianza = 9% P (z z ) = 1 +,9 P (z z ) =,95 El valor crítico que se corresponde con,95 es z = 1,645 (mirando en las tablas) Intervalo de confianza = (μ Error, μ + Error) = (μ z σ n, μ + z σ n ) (45 1, , ,645 ) = (41,81; 48,49) 6 6

5 OPCIÓN B CUESTIÓN B1. Un supermercado necesita, al menos, 8 docenas de huevos de tamaño pequeño, 1 docenas de tamaño mediano y 9 docenas de tamaño grande. Se abastece en dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 1 docenas de medianos y docenas de grandes, y el coste de cada lote es de 6. La granja B proporciona lotes de docenas de huevos pequeños, docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 por lote. Además, la granja A puede suministrar, como máximo, 5 lotes y la granja B puede suministrar, como máximo, 6 lotes. Hallar el número de lotes que debe comprar a cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste. [3 puntos] Llamando x a los lotes producidos por la granja A e y a los producidos por la granja B, resumimos la información que nos proporciona el enunciado en una tabla: Huevos tamaño Huevos tamaño Huevos tamaño Coste por lote pequeño (docenas) mediano (docenas) grande (docenas) Lotes granja A (x) Lotes granja B (y) 6 4 Condiciones Como mínimo 8 Como mínimo 1 Como mínimo 9 La función que habrá que minimizar será: F(x, y) = 6x + 4y Planteamos las restricciones (inecuaciones) del problema: 4x + y 8 1x + y 1 x + 6y 9 x 5 y 6 x { y Dibujamos todas estas inecuaciones en la misma gráfica y definimos la región factible: Sustituimos los vértices en la función que hemos planteado anteriormente: F(15, 1) = 13 F(, 6) = 4 F(5, 6) = 54 F(45, ) = 7 F(5, ) = 3 F(5, 3) = 15

6 En conclusión, para minimizar el coste, el supermercado deberá comprar 15 lotes a la granja A y 1 lotes a la granja B. Este coste es de 13. CUESTIÓN B. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = e x x + 1 (1 punto) b) g(x) = x3 x x + (,75 puntos) a) f (x) = (e x x) x e x 1 x + 1 = (xex ) x x e x + 1 b) g (x) = (3x 1)(x + ) (x 3 x) x (x + ) = 3x4 + 6x x x 4 + x (x + ) = x4 + 7x (x + ) CUESTIÓN B3. La siguiente gráfica corresponde a la función f(x) = x + x + a, donde a pertenece al conjunto de los números reales. Sabiendo que el área encerrada por el recinto acotado que limita la curva con el eje OX vale 9/, utilizar esta información para hallar el valor del parámetro a. (1,75 puntos) Planteamos una integral definida y aplicamos Barrow, para obtener finalmente una ecuación en la que habrá que despejar a.

7 ( x + x + a) dx = 9 1 ( x + x + a) dx = [ x x + ax] = ( a) ( a) = 1 = ( a) a = a a = 3a 3 3a 3 = 9 3a = a = 6 a = CUESTIÓN B4. Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es,3, la de que no llueva en la ciudad B es,6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es,5. a) Calcular la probabilidad de que no llueva en ninguna de las dos ciudades. [,5 puntos] b) Calcular la probabilidad de que llueva en las dos. Son independientes los sucesos llueve en la ciudad A y llueve en la ciudad B? [1 punto] Llamando A al suceso llueve en ciudad A y B al suceso llueve en ciudad B, tenemos: P (A) =,3 P (B) =,4 P (B ) =,6 P(A B) =,5 P (A ) =,7 a) Nos piden P(A B ), o lo que es lo mismo, P(A ) B Según la ley de Morgan, P(A ) B = P(A B ) = 1 P(A B) = 1,5 =,5 b) Nos piden P(A B) Sabiendo que P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), sustituimos y despejamos P(A B),5 =,3 +,4 P(A B) P(A B) =,3 +,4,5 =, Dos sucesos son independientes si se cumple P(A B) = P(A) P(B) Como,,3,4, los sucesos NO son independientes.

8 CUESTIÓN B5. Según un estudio, el porcentaje de adultos de la Unión Europea (UE) que hablan una lengua extranjera es del 64%. En una muestra aleatoria tomada en España de 5 adultos se ha obtenido que 18 hablan una lengua extranjera. A partir de estos datos, plantear un contraste de hipótesis para determinar si se puede aceptar que el porcentaje de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la UE frente a la alternativa de que es menor, como parecen indicar los datos. A qué conclusión se llega con un nivel de significación de,1? ( puntos) El 64% de los adultos de la UE hablan lengua extranjera; por tanto, p =,64 La proporción de españoles que hablan lengua extranjera es p = 18 5 =,51 Plantemos el contraste de hipótesis: H : p =,64 H 1 : p <,64 Es un contraste unilateral, cuyo intervalo de confianza es (z, + ) = (,33, + ) El valor crítico, z, que se corresponde con un nivel de significación de,1 es,33. Tipificamos el estadístico z y comprobamos si se encuentra dentro del intervalo: z = p p p(1 p) n,51,64 =,64,36 5 =,18,916 = 4,16 Como 4,16 no pertenece a (,33, + ), rechazamos la hipótesis de que el porcentaje de adultos que hablan lengua extranjera en España es menor que en Europa.

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