EXPLICACIÓN SOBRE EL MANEJO DE ESTA GUÍA

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1 1 EXPLICACIÓN SOBRE EL MANEJO DE ESTA GUÍA Esta guía comprede todos los temas del programa, de ahí que su estudio deba de ser de la primera a la última págia, si se desea u máximo de posibilidades de éxito e el exame extraordiario. Para resolverla o basta co leerla como se hace co textos de otro tipo, es ecesario participar resolviedo todos los ejercicios y problemas. SUGERENCIAS DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE TEÓRICO PRÁCTICAS Cómo estudiar esta guía? Hazlo relajado siempre, o bajo presió o urgecia, i co distractores. Matete e alerta para seguir al pie de la letra las istruccioes, compreder los coceptos y o equivocarte al cotestar. Cuado iicies el estudio de u tema, coclúyelo. Al estudiar aprovecha al máximo el tiempo, co cero iterrupcioes. Usa lápiz, sacaputas, goma y calculadora. Te dispoibles escuadras, trasportador, compás y ua computadora co impresora. El repaso es u hábito clave para el apredizaje y esta guía o es la excepció. Al realizar u estudio sosteido, co repasos diarios, estarás e el camio del apredizaje perdurable y sigificativo. Cómo repasar? 1º Comieza co ua lectura de todo lo visto ates. º Cuado aparezca problemas y ejercicios ya estudiados, e u cuadero aparte resuélvelos uevamete y sólo al termiar cosulta la solució. De hacer lo aterior, al fial adquirirás las competecias matemáticas previstas, obteer buea calificació y estar satisfecho del apredizaje logrado. E ocasioes se sugiere actividades de campo: por ejemplo ivestigar e qué cosiste el Teorema de Chebishev (Distribució ormal, ejercicios), obteer ua muestra aleatoria (El teorema cetral del límite, tabla V.3), etc. Esas actividades propicia el reforzamieto del apredizaje, por lo cual es ecesario realizarlas. FORMAS DE VERIFICAR EL APRENDIZAJE LOGRADO E cada tema, los ejercicios (alguos desarrollados y co sus respectivas respuestas) tiee el propósito de reforzar tu apredizaje. Su resolució es idispesable para comprobar tu ivel de compresió. No dejes de resolverlos y preseta esta Guía resuelta cuado presetes el exame. BIBLIOGRAFÍA Daiel W. W. Bioestadística. Ed. Limusa Wiley. México 007. Medehall W., Beaver R. J. y Beaver B. M. Itroducció a la probabilidad y Estadística. Ed. Thomso. México 00. Pagao R. R. Estadística para las ciecias del comportamieto. Ed. Thomso. México 006. Weimer R. C. Estadística. Ed. CECSA. México 1999.

2 ÍNDICE I. VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I II. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II III. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS III IV. EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS IV V-A ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE LA MEDIA ARITMÉTICA DE UNA POBLACIÓN EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V.I V-B ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE PROPORCIONES POBLACIONALES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS V.II VI. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS VI SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS APÉNDICES

3 3 UNIDAD I VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD COMPETENCIAS POR ADQUIRIR E u problema dado: Idetificar la variable aleatoria y calcular sus valores Calcular la variaza y la desviació estádar de la variable aleatoria Calcular los valores solicitados de la fució de probabilidad Calcular el valor esperado de la variable y su esperaza matemática Al estudiar u feómeo probabilístico se puede asociar los evetos del espacio muestral co u tipo especial de fució, coocida como variable aleatoria, la cual puede ser discreta o cotiua. E térmios de esa variable queda defiida otra fució muy importate: la fució de probabilidad o fució de desidad. Ambos coceptos, variable aleatoria y fució de probabilidad, además de la esperaza matemática y la desviació estádar, so el objeto de esta Uidad. TE ACUERDAS DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN?... Nombre Pedro Sergio Laura Edgar Domiio Apellidos patero Bautista Yáñez Pérez Cotradomiio Para los cietíficos ua fució es ua relació que se da etre los elemetos de u cojuto (llamado Domiio) y los de otro (llamado Cotradomiio), co la codició: de que a u elemeto determiado del Domiio le correspoda sólo uo del Cotradomiio (al cual se le llama image). La vida cotidiaa está plagada de fucioes. Por ejemplo, a cada trabajador e ua fábrica le correspode sólo u salario; legalmete a cada ombre de persoa le correspode sólo u apellido patero; al cotar los árboles de u huerto, a cada árbol le hacemos correspoder sólo u úmero atural... y así puedes hallar muchos casos más. E el diagrama, cuál es la image de Sergio?. APRÉNDETE ESTAS DOS FORMULAS Media poblacioal o esperaza matemática: µ = E(X) = i= X i P(X = X i) i=i (I.1) Variaza poblacioal: σ = i= i=1 i -µ) P(xi ) (x (I.)

4 4 Problema. Al realizar ua ivestigació acerca del uso del automóvil e carretera, se cotó el úmero de ocupates e cada uo de 1000 automóviles y se orgaizaro los datos e la tabla de la derecha. Cuátos ocupates e promedio iba e los automóviles? Cuáta dispersió tuvo la variable aleatoria X: ocupates e u automóvil? Utilizado la fórmula I.1 se tiee que: µ = E(X) = i= i=i X i P(X = X i) Ocupates e u automóvil (X) f i x i f i Total Tabla I.1 µ = 1(0.08) + (0.318) + 3(0.169) + 4(0.188) + 5(0.09) + 6(0.05) =.713 ocupates/automóvil La medida cuatitativa de la dispersió puede ser la desviació estádar o la variaza. Empleado la fórmula I.: Por lo tato: σ = i= i=1 (x i -µ) P(xi ) = ( 1.713) ( 0.08) + ( 0.713) (0.318) + (0.87) (0.169) + + (1.87) (0.188) + (.87) (0.09) + (3.87) (0.05) = (ocupates/automóvil) σ = = ocupates/automóvil. f i P(X) µ X Al elaborar la gráfica de la distribució de probabilidad de la variable aleatoria X, se puede apreciar la ubicació del valor esperado E(X) o media µ (izquierda). Cuátos valores de X queda compredidos e el itervalo que va de µ + σ a µ - σ?. Qué porcetaje so del total? %. Problema. Calcula el valor esperado del juego. U jugador laza u dado legal (que o está cargado). Si sale u úmero primo, gaa el mismo úmero de pesos pero si o sale u úmero primo, etoces pierde ese úmero de pesos. Los resultados posibles x i del juego co sus respectivas probabilidades P(x i ) so (completa la tabla co las fraccioes que falta, los úmeros egativos ocurre cuado o sale u úmero primo): x i P(x i ) 1 6

5 Problema. Rodolfo Moreo es veteriario y tiee cuatro gatos birmaos (b 1, b, b 3, b 4 ), dos siameses (s 1, s ) y dos de agora (a 1, a ). Para llevar a cabo u experimeto debe seleccioar dos gatos al azar, cómo puede determiar la variable aleatoria X: úmero de gatos siameses? (Nota: determiar la variable aleatoria sigifica defiir su domiio y su cotradomiio). Ates que ada, debe calcular cuátos evetos elemetales forma el domiio Ω de la variable aleatoria X. Puesto que de ocho gatos será seleccioados dos (completa): = Los valores posibles de X so 0, 1 y. Esto es así porque de los dos gatos seleccioados pudiera ser que iguo fuera siamés, o sólo uo, o ambos. C 8 X = 0 cuado: los gatos so birmaos (de 4): C 4 = 6 ó 1 gato es birmao (de 4) y 1 de agora (de ): C 4 1 C 1 = 8 ó dos gatos so de agora (de ): C = 1 Al sumar, resulta que 15 de los resultados posibles o icluye u gato siamés. X = 1, o u gato es siamés, cuado (escribe lo que falta): Uo de los gatos es birmao (de 4) y otro es siamés (de ): = C C = ó uo de los gatos es de agora (de ) y otro es siamés (de ): C C = Etoces, de los resultados posibles, cuátos icluye u gato siamés?. Fialmete, X =, o dos gatos so siameses, cuado: Los gatos so siameses (de ): C = Los resultados ateriores se orgaizaro e esta tabla: 5 EVENTOS ELEMENTALES DE Ω VALOR DE X (NÚM. DE GATOS SIAMESES) MANERA DE CALCULARLOS Si tomas como domiio a los evetos elemetales de Ω (primera columa de la tabla) y como imágees a los valores de X (seguda columa de la tabla), la relació etre ambos es la fució: variable aleatoria X. Cómo es X, discreta o cotiua?. A su vez, si las imágees de X, que so 0, 1, y, se toma como domiio de la fució de desidad P, ésta se defie así: P(X) 15 µ P: {0, 1, } 8 b 1 b, b 1 b 3, b 1 b 4, b b 3, b b 4, b 3 b 4 b 1 a 1, b 1 a, b a 1, b a, b 3 a 1, b 3 a, 0 b 4 a 1, b 4 a a 1 a b 1 s 1, b 1 s, b s 1,b s b 3 s 1, b 3 s, b 4 s 1, b 4 s 1 a 1 s 1, a 1 s, a s 1, a s s 1 s Dode (escribe lo que falta): 4 C + 4 C 1 C P(X) [ 0,1 ] 4 C 1 C + 1 C + 1 C 1 C 1 C

6 P(0) =, P(1) =, P() = Gráfica I. X Las fucioes X y P está relacioadas de esta maera: Ω X (x) {0, 1, } P(X) [ 0,1 ] La esperaza matemática del úmero de gatos siameses 15 se calcula empleado la igualdad I.1. E(X) = = = 0.5 E la gráfica I., por qué el valor de E(X) o se ecuetra e medio de la distribució, dode X = 1?. O sea, Rodolfo debe esperar que cuado seleccioe al azar dos gatos, uo o iguo sea siamés (puesto que el resultado o puede ser 0.5). Imagia: se seleccioa ua pareja de gatos u milló de veces (por supuesto reemplazado los gatos cada vez), cuátos gatos siameses tedría la mayoría de las parejas seleccioadas? (marca co ): Dos ( ) Uo ( ) Niguo ( ) Uo o iguo ( ) Calcula el valor de la variaza y de la desviació estádar de X: σ = i= = = = = σ = i=1 (X i -µ) P(Xi ) Sobre el eje X de la gráfica I. toma como puto de referecia a µ y marca σ uidades tato a la derecha como a la izquierda. Así se formó u itervalo (o ua fraja) de σ uidades de acho, cetrada e µ. Cuátos valores de X está e el itervalo?. Es decir, el %.

7 7 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS I 1. Completa la tabla: Feómeo o Experimeto Variable Aleatoria X Tipo de Variable Aleatoria Valores que puede tomar la Variable Aleatoria X Lazar la pelota 5 veces a la caasta e u juego de básquetbol. Comprar tres computadoras. Las mariposas moarca llegará a Michoacá el próximo año. Se mide la estatura de u adulto. Ecuestar a 100 persoas sobre su preferecia por u cadidato a la presidecia. Deportació a ilegales mexicaos e Estados Uidos de Norteamérica. Vacuar a 67 persoas cotra la Hepatitis B. Sorteo co 1 premios mayores de la Lotería Nacioal si se vediero todos los boletos. La pelota etra a la caasta. Computadora defectuosa. Número de mariposas moarca que morirá e Michoacá el próximo año. Proporció de la preferecia por u cadidato. Número de idocumetados mexicaos que deportará Estados Uidos el próximo mes. Número de casos de hepatitis B. Premios que otorgará la Lotería Nacioal. Discreta Cotiua X = 0, 1,, 3,... (1) Cualquier valor etre 50 y 300 cms. X = 0, 1,, 3,... (1) Los putos suspesivos idica que la umeració cotiúa hasta u úmero idetermiedo.. U cosorcio habitacioal decide emplear a tres de los seis arquitectos (A 1, A, A 3, A 4, A 5, A 6 ) que tiee cotratados. Cada uo tiee diseñadas la catidad de casas modelo que se idica e la siguiete tabla: ARQUITECTOS CASAS MODELO DISEÑADAS A, A 3, A 5 A 1, A 6 3 A 4 4 Se seleccioa los tres arquitectos al azar y se defie la variable aleatoria X: suma de casas modelo diseñadas por los tres arquitectos. a. Elabora ua tabla para idicar los valores posibles de X (1ª columa) y los respectivos valores elemetales del espacio muestral (ª columa).

8 8 b. Determia el valor de la probabilidad para cada valor de X. c. Calcula el valor de la esperaza de X. Catidad de efermos de hepatitis C Probabilidad A u hospital de Veezuela acude de 0 a 4 efermos de hepatitis C e u mes cualquiera. Empleado u registro histórico se obtuviero las probabilidades de que acudiera ua catidad de efermos determiada al mes (ver la tabla). a. Cuál es la catidad esperada de efermos de hepatitis C? b. Cuál es la desviació estádar? 4. U juego cosiste e lazar dos dados de distito color, de tal maera que: a. Si la suma de los úmeros es múltiplo de 3, gao $00.00 b. Si la suma es 7, gao $ c. Si la suma o es 7 i múltiplo de 3, pierdo $50.00 Debo esperar gaacia o pérdida?, cuáto?

9 5. Sea X: úmero de águilas obteidas al tirar tres moedas ideales. Obté el valor esperado de X Ua tieda de artículos electróicos vede cierto modelo de computadora portátil, del cual se tiee cuatro e existecia. El gerete se preguta cuál será la demada hoy para dicho modelo. El Departameto de Vetas le iforma que la distribució de probabilidad para X: demada diaria para la computadora portátil, es la siguiete: Determia la media, la variaza y la desviació estádar de X. X P(X) Cuál es la respuesta a la preguta que se hace el gerete? 7. Para u sorteo e beeficio del cuerpo de bomberos se vederá boletos, a $50.00 cada uo. Si el premio es u automóvil de $ y ua persoa compra dos boletos, a. cuál es su gaacia esperada? b. cuál es su gaacia esperada si compra tres boletos? 8. E la ciudad de Los Ageles, e Estados Uidos de Norteamérica, la probabilidad de que ua casa de cierto tipo quede destruida por u icedio e u año es Ua compañía de seguros le ofrece al propietario ua póliza de seguro cotra icedio por USD y a u año por ua prima de USD. a. Qué es ua póliza de seguro?

10 10 b. Qué es ua prima de seguro? Calcula la gaacia esperada de la compañía 9. Ua variable aleatoria X puede tomar cico valores: 0, 1,, 3, 4. Eseguida se muestra ua parte de la distribució de probabilidad, a) completa la tabla. X P(X) Calcula: b) La media, variaza y desviació estádar. c) La probabilidad de que X sea mayor que. d) La probabilidad de que X sea 3 o meor

11 11 UNIDAD II DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Idetificar u experimeto de Beroulli. Para u problema dado, a. Costruir la distribució de probabilidad de la variable aleatoria discreta ivolucrada. b. Calcular la probabilidad de ua variable aleatoria. c. Calcular la esperaza matemática de ua variable aleatoria biomial. Existe ua diversidad de distribucioes de variable discreta, etre las más importates está la distribució biomial, que es ua distribució de probabilidad del úmero de éxitos e ua secuecia de experimetos idepedietes. La fució de probabilidad P de ua variable aleatoria biomial es tal que: i = P(X = X i) = 1 i= 1 y P(x) = Cx p x q -x Recuerda siempre esta fórmula, co ella se calcula la probabilidad de obteer x éxitos e u úmero, fijo, de itetos, si se cooce la probabilidad de u éxito aislado. Lo aterior se cumple siempre y cuado se trate de u experimeto de Beroulli, como e el caso estudiado por Martí López. So cuatro las características de u experimeto de Beroulli: Sólo tiee dos resultados posibles: éxito y fracaso. Se puede repetir veces. Las repeticioes so idepedietes etre sí. La probabilidad de éxito es la misma e cada repetició. La vetaja de la fórmula 3.1 es que permite calcular las demás probabilidades (para = 4, = 5, etc.), si ecesidad de obteer los valores de Ω. Completa la tabla 3.6 empleado dicha fórmula. X

12 Tabla 3.6 Hay simetría e cada regló de la tabla 3.6?. Ua pareja de recié casados plaea teer 4 hijos ( = 4). Qué probabilidad tiee de que 3 sea varoes (X = 3)?. Si plaea teer 5 hijos, cuál es la probabilidad de que iguo sea varó?. Cuál es la probabilidad de que o 3 sea varoes?. La represetació gráfica de P(X) para cada valor de queda así (e cada ua se idica el área bajo la curva: 1 P(X) = 1 A = 0.5 X P(X) = A = X = 3 A = P(X) X P(X) = 4 A = X P(X) = 5 A = X La escala e el eje P de las probabilidades se formó co úmeros decimales porque so valores que o tiee más cifras e su parte decimal. Cuado el úmero de cifras e la parte decimal es ifiito, o es elevado, coviee trabajar co fraccioes para o perder exactitud. A partir de las gráficas ateriores, si aumeta, etoces el área bajo la curva, aumeta o dismiuye?. Si se hace cada vez más grade, a qué valor tiede el área bajo la curva?. Si se traza ua líea vertical por el cetro de cada ua de las gráficas, se hace más evidete su propiedad de ; lo cual sucede porque p = q. Cuado p q e el experimeto de Beroulli, se puede costruir la distribució de probabilidad como lo hizo Martí López. Por ejemplo, supó que q = 0.3 y p = 0.7 so las probabilidades de fracaso y éxito respectivamete. Escribe los valores de la probabilidad e la tabla que sigue, para calcularlos aplica la fórmula 3.1 de la distribució biomial, P(x) = C x p x q -x, dádole u valor a y a sus respectivos valores de x. X

13 Tabla 3.7 Hay simetría e cada regló de la tabla 3.7?.Cuado p y q so iguales, sí hay simetría, ahora e cada valor de (regloes e la tabla) se advierte que las probabilidades de la variable aleatoria o forma u arreglo simétrico. A cada valor de le correspode ua distribució de probabilidad y sus gráficas os permite visualizar de ua maera rápida el comportamieto de la fució de probabilidad. Termia las gráficas de abajo y calcula el área bajo la curva; para hacerlo es recomedable hacer divisioes e forma de triágulos y rectágulos. Ρ(X) = 1 A = 0.5 Ρ(Χ) = 4 A = Ρ(Χ) = 6 A = 0 1 X Χ Χ A qué valor tiede el área A cuado se hace más grade?. So simétricas las gráficas?. Esto sucede porque p q. TABLAS BINOMIALES DE PROBABILIDAD Observa la tabla 3.6. Esa tabla se costruyó para = 0, 1,, 3, 4, 5, 6 supoiedo p = q. E caso de que p q, depediedo de los valores de de p y de q, se puede hacer los cálculos y costruir la tabla correspodiete (es el caso de la tabla 3.7). Existe tablas más amplias que cotiee las probabilidades biomiales para diferetes valores de y de x (ver Apédice II-A y II-B), las cuales ahorra alguos cálculos. Las tablas biomiales de probabilidad se preseta e diferetes formas. Por ejemplo, localiza la tabla del Apédice II-A. Ésta idica que si se realiza 7 itetos, cada uo co ua probabilidad de éxito de 0.5, etoces la probabilidad de obteer 3 éxitos es P(x=3) = Cuál es la probabilidad de obteer éxitos e 10 itetos si la probabilidad p de éxito e cada iteto es de 0.7? (utiliza el último regló de la tabla). Para calcular, por ejemplo, la probabilidad de obteer 0, 1 ó éxitos e 10 itetos, co probabilidad de éxito 0.5, ormalmete se suma las probabilidades respectivas (completa cosultado el Apédice II-A) P(x =0, 1 ó ) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = )

14 = + + = Si embargo, existe tablas, como la del Apédice II-B, que de maera directa proporcioa el resultado acumulado de P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = ). Localiza el valor de la probabilidad e dicha tabla, tomado = 10, p = 0.5, k = ; cuáto es?. Coicide este valor co el resultado que obtuviste ates?. Ua probabilidad biomial se puede calcular por tres métodos: b) Por medio de la fórmula P(x) = Cx p x q -x. c) Utilizado las tablas biomiales. a) Empleado u programa de cómputo, por ejemplo, Miitab. Problema. U medicameto causa efectos secudarios e cico de cada cie pacietes. Si se elige al azar ocho pacietes que tomaro el medicameto, ecuetra: a. La probabilidad de que igú paciete muestre efectos secudarios (ecuetra la respuesta utilizado la tabla del Apédice II-A o la del Apédice II-B). P(X=0) = b. La probabilidad de que muestre efectos secudarios a lo más tres pacietes (ecuetra la respuesta de maera directa utilizado la tabla del Apédice II-B). P(x = 0, 1, ó 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = ) + P(x = 3) =. 14 Problema. El médico Jua Mauel Lozao es acuputurista y ha descubierto que u tratamieto para curar la obesidad ha dado resultado favorable e dos de cada tres de sus pacietes, quiees dismiuyero su peso hasta u valor adecuado a su estatura. Próximamete cuatro pacietes se someterá a su tratamieto y se iteresa por coocer la probabilidad de que: a. Se cure uo. b. Se cure dos. c. Se cure al meos tres. d. No se cure iguo. e. Tambié quiere saber el úmero más probable de pacietes que se curará. El Dr. Lozao advierte lo siguiete: = 4 (se somete al tratamieto 4 pacietes). X = 0, 1,, 3, 4 (úmero de pacietes que se cura). p = 3, q = 3 1 Se trata de u experimeto de Beroulli. Por lo tato, decide aplicar la fórmula de la distribució biomial: P(x) = Cx p x q - x a. La probabilidad de que se cure al meos tres pacietes sigifica que sucede x = 3 ó x = 4; por lo tato se suma las probabilidades: P(3) + P(4) = 3 16 = C C

15 15 48 = 81 b. La probabilidad de que se cure dos pacietes sigifica que sucede x = : P() = 4 C 4 = c. La probabilidad de que se cure u paciete sigifica que sucede x = : P(1) = = d. Para calcular la probabilidad de que o se cure paciete alguo se toma x = 0. Recordado que la suma de probabilidades de los evetos elemetales es : P(0) + P(1) + P() + P(3) + P(4) = Al despejar: P(0) = - [P(1) + P() + P(3) + P(4)] Los valores de las probabilidades que está detro de los corchetes ya se calcularo ates, por lo tato: P(0) = - [ ] P(0) = - = e. Cuado la variable aleatoria tiee ua distribució biomial de probabilidad, las ecuacioes geerales para calcular el valor esperado y la variaza se puede simplificar de tal maera que: E(x) = µ = p (dode µ es la media aritmética de la distribució biomial) Var (x) = σ = pq E el problema del Dr. Lozao, = 4, p =, q =, e cosecuecia: Co la fórmula geeral, cuál es el µ = =.66 3 resultado? j= X ip(x i ) = σ = 9 8 = 0.88 σ = j=0 = = Esto sigifica que, e promedio, el Dr. Lozao debiera esperar que co mayor probabilidad se cure pacietes. Problema. Ua distribuidora automotriz dispoe de 8 autos para demostració, 5 so rojos y 3 azules. A diferetes horas de cierto día se preseta 4 clietes y cada uo seleccioa al azar u auto de los 8 para maejarlo a prueba. Cuál es la probabilidad de que los clietes seleccioe meos de autos rojos?

16 Se trata de u experimeto aleatorio co reemplazo, puesto que todos y cada uo de los clietes tedrá a su disposició ocho autos para seleccioar uo. Siedo así, tiee las características de u experimeto de Beroulli, o sea: 1. Hay ua situació idética de ua acció a otra.. E cada experimeto so posibles dos resultados: el cliete seleccioa u auto rojo (éxito) y el cliete o seleccioa u auto rojo ( ). 3. La probabilidad de éxito y de fracaso o varía de u cliete a otro. 4. La decisió de elegir de u cliete es idepediete de la decisió del aterior. El éxito e este caso se daría cuado se seleccioara uo de los 5 autos rojos. Si X es el úmero de autos rojos que puede seleccioar los 4 clietes: X = 0, 1,, 3, y 4. Además, = 4, p = 8 5 La probabilidad que buscamos es P(X < ): P(X < ) = P(X = 0) + P(X = 1) = 4 C = = C Si los cuatro clietes llegara al mismo tiempo, el primero podría escoger el auto de etre 8 dispoibles, el segudo lo escogería de etre 7, el tercero de etre 6 y el cuarto de etre 5. E ese caso, dejaría de cumplirse las características de u experimeto de Beroulli?. Cuáles? Calcula la media aritmética (o esperaza matemática) de la distribució biomial: E(X) = Calcula la desviació estádar. σ = = = = 16 Problema. E u lote co 1,000 relojes de pulsera hay 10% defectuosos. Si se escoge al azar 7, cuál es la probabilidad de que haya más de 1 defectuoso? El úmero de experimetos es = 7 y la probabilidad de éxito es la probabilidad de que al tomar u reloj éste salga defectuoso: p = 0.1 Auque el muestreo se hace si reemplazo, puesto que la catidad de artículos que hay e el lote es mucho mayor comparada co los que se escoge, se puede supoer, si perder mucha exactitud, que so válidos los supuestos del experimeto de Beroulli. Si X es el úmero de artículos defectuosos, etoces: X = La probabilidad solicitada es:

17 17 P(X > 1) = P(X = 7) El cálculo de las 6 probabilidades de la igualdad resulta laborioso, pero otemos que: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)+ P(X = 6)+ P(X = 7) = Lo aterior es lo mismo que: Al despejar: P(X 1) + P(X > 1) = P(X > 1) = Al cosultar el Apédice II-B para = 7 y p = 0.10, se obtiee: P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = La media o valor esperado µ y la variaza sería: µ = p = = σ = pq = = EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS II 1. La erupció del volcá de Colima es u feómeo equivalete a u experimeto de Beroulli? Por qué?. De acuerdo a ua ecuesta del Istituto Mexicao de la Juvetud, alrededor del 40% de los jóvees mexicaos co edades etre 1 y 9 años se declara católico practicate. Se realiza ua selecció al azar de 7 jóvees co edades e ese rago: a. Por qué la selecció de u jove es u experimeto de Beroulli? b. Calcula la distribució de probabilidad (los valores de la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria co = 7) y costruye su gráfica. c. Calcula la probabilidad de que sea católicos practicates: a. Todos b. Niguo c. Al meos 5 d. Más de pero meos de 6

18 18 d. Costruye las gráficas y calcula las áreas bajo las curvas que correspode a = y = 7. Cuál de las áreas es mayor? e. Cuál es el valor de la esperaza matemática? 3. Si e ua població de habitates, 55 de cada 100 persoas so mujeres y 45 so varoes. E ua familia de tres hijos: a. Cuál es la probabilidad de que a lo más sea mujeres? b. Cuátas mujeres debiera esperar u matrimoio que plaea teer tres hijos? 4. Se extrae 4 caicas co reemplazo de ua ura que tiee 5 blacas y 3 egras. Cuál es la probabilidad de que salga meos de blacas? 5. El 10% de cierta població es daltóica. Si al azar se seleccioa ua muestra de 15 persoas, calcula la probabilidad de que sea daltóicos: a. Cuatro o meos. b. Cico o más. c. Etre tres y seis, iclusive. 6. De los botoes producidos por ua máquia, 95% o tiee defectos. Al tomar ua muestra al azar de 1 piezas, cuál es la probabilidad de que ueve o tega defectos? 7. Durate u largo tiempo se ha observado que u soldado da e el blaco, co u solo disparo, co probabilidad igual a Supó que dispara cuatro veces al blaco, calcula la probabilidad de que dé e el blaco: a. Dos veces b. Al meos ua vez

19 19 8. Se sabe que siete de cada 10 pacietes que toma cierta medicia se cura. De 30 que ha tomado la medicia, cuál es la probabilidad de que se cure 0? 9. E cierta ciudad la ecesidad de diero para comprar alimetos se establece como el motivo del 75% de los robos. Ecuetra la probabilidad de que etre los siguietes cico casos de robo: a) Dos resulte de la ecesidad de diero para comprar alimetos. b) Al meos tres resulte de la ecesidad de diero para comprar alimetos. c) Represeta esta distribució biomial por medio de ua gráfica. d) Calcula la media y la desviació estádar de esta distribució biomial.

20 0 UNIDAD III FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL COMPETENCIAS POR ADQUIRIR Expresar las propiedades de la curva ormal. Resolver problemas aplicado la teoría de la distribució ormal de probabilidad. Ua variable umérica puede ser discreta o cotiua. Cuado es cotiua, el modelo probabilístico más utilizado es la fució de distribució ormal, la cual provee ua descripció adecuada para la distribució de ua gama muy amplia de ese tipo de variables. Se dice que ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal (o gaussiaa), de parámetros µ y σ, si su fució de desidad es: 1 1 x µ ( ) f ( x ) = e σ x R σ π Campaa de Gauss Esto sigifica que, co valores dados de µ y σ, al darle valores a x, se obtiee que f(x) es ua campaa de Gauss cetrada e µ. Alguas propiedades de la distribució ormal Es simétrica co respecto a u eje que pasa por µ, su media aritmética. Se extiede desde hasta +. Es asitótica al eje x: uca lo toca por mucho que se extieda tato a la derecha como a la izquierda. La esperaza matemática de la variable aleatoria X coicide co el valor del parámetro µ, la media aritmética poblacioal, y la variaza de X es σ : E (X) = µ Var (X) = σ Figura 3.3 Distribucioes gaussiaas co distitas medias pero igual dispersió. Figura 3.4 Distribucioes gaussiaas co distitas dispersioes pero igual media.

21 La posició de la curva depede del valor de la media aritmética µ. Si se modifica µ, se desplaza pero matiee su forma (figura 3.3). Su forma depede de la desviació σ (parámetro de dispersió). Cuato meor sea σ, mayor probabilidad se cocetrará alrededor de la media (gráfica de f muy aputada cerca de µ), y cuato mayor sea σ más aplastada estará (figura 3.4). El valor de la media µ coicide co los valores de la mediaa y la moda. E u itervalo (a, b) sobre el eje x, el área bajo la curva represeta u valor de la probabilidad P(a < X < b). El área total equivale a ua probabilidad de 1. E ua distribució ormal, el valor z se defie así: z = x µ (Recuerda siempre esta defiició) σ o bie, zσ = x µ (z veces σ es igual a la separació etre x y µ, lo cual quiere decir que z es el úmero de desviacioes estádar que hay de diferecia etre x y µ). Si e f(x) se substituye z, se produce ua trasformació. Observa: 1 f(x) = σ 1 e π 1 x µ σ e z 1 - f( z) = dodeµ =0, σ =1 π Al hacer el cambio de variable (e vez de x utilizar z) se dice que se estadariza la variable aleatoria X. La fució f(z) se cooce como fució de desidad estadarizada y su gráfica es la curva ormal estadarizada, para la cual la media aritmética es 0 y la desviació estádar es uo. Abajo, dibuja la curva ormal para f(x) y la ormal estadarizada para f(z), ambas tiee forma de campaa y está cetradas alrededor de la media. f(x) f(z) µ = 34.1 µ = 0 Volvamos al asuto de los lobos, Jua se platea la preguta Cuál es la probabilidad de que al seleccioar u lobo al azar, de etre los 90, pese meos de 35 kilos? Hallar esa probabilidad equivale a calcular u área bajo la curva ormal estadarizada. Para ello coviee seguir estos tres pasos (recuérdalos siempre): µ Paso I. Estadarizar los valores x de iterés, lo cual se hace aplicado z = x. σ Jua sabe que x = 35 es el valor de iterés, σ = y µ = , por lo tato:

22 z = = Paso II. Dibujar u esbozo de las curvas ormales, tato de la gaussiaa f(x) como de la estadarizada f(z), y ubicar a x a la derecha o a la izquierda de µ, lo mismo que a z, (sombrea el área de iterés bajo la ormal estadarizada): µ = x = 35 µ = 0 z = Gaussiaa Estadarizada Paso III. Ecotrar el valor del área de iterés a partir de los valores z obteidos. Esto se hace utilizado tablas como la del Apédice III. E esa tabla, Jua determia que el área etre - y es Puesto que u área bajo la curva f(z) es ua probabilidad, el resultado es: P(X < 35) = (sigifica que al seleccioar u lobo mexicao al azar, la probabilidad de que pese meos de 35 kg es de ). Dicho de otra maera, % de los lobos que sea seleccioados al azar pesará meos de 35 Kg. La preguta: Cuál es la probabilidad de que u lobo seleccioado al azar tega u peso compredido etre 8 y 37 Kg? Jua la respode siguiedo los pasos vistos arriba (llea lo que hace falta e cada paso). µ Paso I. Estadariza los valores x de iterés por medio de z = x. σ Los valores de la desviació y de la media so σ = 3.85 y µ = Si x 1 = 8, etoces z 1 = ; si x = 37, etoces z = Paso II. Dibuja dos esbozos de las curvas ormales: uo de la gaussiaa f(x) dode marca los valores de x, y otro de la estadarizada f(z), dode marca los valores z, además sombrea las áreas de iterés (dibuja el otro esbozo): f(x) f(z) x=8 x=37 Paso III. Mediate la tabla del Apédice III se ecuetra el valor del área de iterés: Para z 1 = , el área e la cola izquierda os da P(X < 8) = Para z = , el área e la cola izquierda os da P(X < 37) =

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