CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

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1 CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel es x 2 x 1 = x 1 x 2. Proposición 3. Ddos y b números reles culesquier, se tienen ls siguientes propieddes del vlor bsoluto: (i) 0. (ii) =. (iii) 2 = 2. (iv) b = b. (v) Si b 0, entonces = (vi). b b. (vii) Si b 0, entonces = b si y solo si = ±b. (viii) Si b > 0, entonces < b si y solo si b < < b. (ix) Si b > 0, entonces > b si y solo si > b o < b. (x) (Desiguldd tringulr) + b + b. Funciones y sus gráfics Definición 4. Un función f es un regl que sign cd elemento x de un conjunto X un único elemento y de un conjunto Y. El elemento y se llm l imgen de x por f y se denot por f(x) (se lee f de x). El conjunto X se llm el dominio de f (dom(f)) y el conjunto de tods ls imágenes de los elementos de X se llm l imgen o el rngo de f (im(f)). Definición 5. Dos funciones f y g son igules si y solo si tienen el mismo dominio y f(x) = g(x) pr todo x del dominio. Definición 6. Un función f se llm pr (impr) si f( x) = f(x) (f( x) = f(x)) pr todo x de su dominio. 1

2 Definición 7 (Composición de funciones). Se define l función compuest f g por l iguldd (f g)(x) = f(g(x)) pr cd x del dominio de g tl que g(x) está en el dominio de f. Definición 8. L gráfic de un función f es el conjunto de todos los puntos del plno de coordends (x, f(x)) pr todo x del dominio de f. Definición 9. L gráfic de l función y k = f(x h) se llm un trslción de l gráfic de f. L trslción es l derech si h > 0, l izquierd si h < 0, hci rrib si k > 0 o hci bjo si k < 0. L simétric con respecto l eje x (y) de l gráfic de f es l gráfic de y = f(x) (y = f( x)). Definición 10. Un función polinómic o polinomio es un función de l form f(x) = n x n + n 1 x n x x + 0 donde n N {0} y i R con i = 0, 1, 2,..., n. Si n 0, el entero n se llm el grdo del polinomio y n se llm el coeficiente principl. L constnte 0 se llm el término independiente. Un función rcionl es un cociente de dos polinomios. Funciones inverss Definición 11. Se f un función con dominio D e imgen I. Entonces l función f 1 con dominio I e imgen D es l invers de f si y solo si f 1 (f(x)) = x pr todo x de D y f(f 1 (x)) = x pr todo x de I. Observción 12. Si existe f 1, su gráfic se obtiene tomndo l simétric de l gráfic de f respecto de l rect y = x. Límites de funciones L notción lím f(x) = L se lee el límite de f(x) cundo x tiende c es L y signific que los vlores de f(x) se pueden proximr L cunto se quier, eligiendo x suficientemente próximo c, pero distinto de c. Definición 13. L firmción lím f(x) = L signific que pr cd ɛ > 0 existe δ > 0 tl que f(x) L < ɛ siempre que 0 < x c < δ. Teorem 14. Si existe lím f(x) = L y f(x) 0 pr todo x de un intervlo bierto que conteng c, entonces L 0. 2

3 Teorem 15 (Criterio del sndwich). Si g(x) f(x) h(x) pr todo x de un intervlo bierto que conteng c (excepto posiblemente pr c) y lím g(x) = lím h(x) = L, entonces lím f(x) = L. Propieddes de los límites Proposición 16. Si ls funciones f y g tienen límite en c, entonces: (i) lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x). (ii) lím (f(x)g(x)) = lím f(x) lím g(x). f(x) (iii) lím = lím f(x) g(x) lím (iv) lím (f(x)) n = g(x) si lím g(x) 0. ( lím f(x) ) n pr todo n Q si existe el límite de l derech. Definición 17 (Límites lterles). L firmción lím f(x) = L ( lím f(x) = L) + signific que pr cd ɛ > 0 existe δ > 0 tl que f(x) L < ɛ siempre que 0 < x c < δ (0 < c x < δ). Observción 18. Es evidente que lím f(x) = L si y solo si lím f(x) = lím f(x) = L. + Continuidd Definición 19. Un función f es continu en un punto x = c si: (i) f(c) está definido. (ii) Existe lím f(x). (iii) lím f(x) = f(c). Un función que no es continu en c se dice que tiene un discontinuidd en ese punto. Un función es continu en un intervlo si lo es en todos los puntos del mismo. Ejemplos 20. Los polinomios y ls funciones rcionles, potenciles y trigonométrics son continus en todos los puntos de sus dominios. Proposición 21. Si f y g son continus en c, entonces su sum, su producto, su cociente (si g(c) 0) y su composición f g (si f es continu en g(c)) son continus en c. f g Proposición 22. Si f es continu en L y lím g(x) = L, entonces lím f(g(x)) = f(l). Definición 23. L función f es continu por l derech (izquierd) en c si y solo si f(x) = f(c) ( lím f(x) = f(c)). + lím 3

4 Teorem 24 (Vlores intermedios). Si f es continu en [, b] y L es un número estrictmente comprendido entre f() y f(b), entonces existe c (, b) tl que f(c) = L. Teorem 25 (Bolzno). Si f es continu en [, b] y f() y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe c (, b) tl que f(c) = 0. Tngentes Definición 26. L derivd de f en x 0 es, si existe, f (x 0 ) = lím h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h = lím x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Si existe l derivd de f en x 0, se dice que f es derivble en x 0. Observción 27. Si f es derivble en x 0, l ecución de l tngente l gráfic de f en el punto (x 0, f(x 0 )) es y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Definición 28. L norml l gráfic de f en el punto P es l perpendiculr por P l tngente l gráfic en P. Definición 29. Se dice que l gráfic de f tiene tngente verticl en x = x 0 si f es continu en x 0 y lím x x0 f (x) =. Teorem 30. Si f es derivble en x 0, entonces es continu en x 0. Técnics de derivción Teorem 31. (i) Un función constnte f(x) = k tiene derivd f (x) = 0. (ii) Ddo n R, l derivd de l función potencil f(x) = x n es f (x) = nx n 1. (iii) (sen x) = cos x y (cos x) = sen x. Teorem 32. Si f y g son derivbles en x, entonces tmbién lo son f + g, fg y f g g(x) 0) y sus derivds son: (si (i) (f + g) (x) = f (x) + g (x). (ii) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). ( ) f (iii) g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). (g(x)) 2 Definición 33. A veces es necesrio derivr l derivd de un función. En este contexto, diremos que f es l derivd primer de f, y que l derivd de f es l derivd segund de f, l cul designremos por f. Se definen de mner nálog ls derivds de orden superior. Así, l derivd tercer de f es l derivd de f y se design por f. En generl, si n > 3, l derivd n-ésim de f se design por f (n). 4

5 L regl de l cden Teorem 34. Si f es derivble en x y g es derivble en f(x), entonces g f es derivble en x y (g f) (x) = g (f(x))f (x). Derivción implícit Supongmos que un ecución define y implícitmente como función derivble de x. Pr hllr y se derivn mbos miembros de l ecución con respecto x y se despej y de l ecución resultnte. Vlores extremos de un función continu Definición 35. Sen f un función con dominio X y c X. Entonces f(c) es el máximo (mínimo) bsoluto de f en X si f(c) f(x) (f(c) f(x)) pr todo x X. Los máximos y mínimos bsolutos se llmn conjuntmente extremos bsolutos. Teorem 36. Un función f continu en un intervlo cerrdo y cotdo [, b] lcnz en él un máximo y un mínimo bsolutos. Definición 37. Sen f un función con dominio X y c X. Entonces f tiene un máximo (mínimo) reltivo en c si f(c) f(x) (f(c) f(x)) pr todo x de un intervlo bierto que conteng c y contenido en X. Si hy un máximo (mínimo) reltivo en c, entonces f(c) es ese máximo (minimo). Los máximos y mínimos reltivos se llmn conjuntmente extremos reltivos. Definición 38. Si un función f está definid en c y, o bien f (c) = 0, o no existe f (c), entonces el número c se llm un vlor crítico de f y el punto (c, f(c)) un punto crítico. Teorem 39. Se f un función continu en un dominio X que contiene un intervlo bierto y se c un punto de ese intervlo. Si f tiene un extremo reltivo en c, entonces c es un vlor crítico. Pr hllr los extremos bsolutos de un función f continu en [, b] se clcul l imgen de f en sus vlores críticos, en y en b, comprándose todos estos resultdos. El myor (menor) de ellos es el máximo (mínimo) bsoluto de f en [, b]. El teorem del vlor medio Teorem 40 (Rolle). Se f un función continu en [, b] y derivble en (, b). Si f() = f(b), entonces existe c (, b) tl que f (c) = 0. 5

6 Teorem 41 (Vlor medio). Si f es un función continu en [, b] y derivble en (, b), entonces existe c (, b) tl que f(b) f() b = f (c). Teorem 42. Se f un función continu en [, b] y derivble en (, b). Si f (x) = 0 pr todo x (, b), entonces f es constnte en [, b]. Teorem 43. Sen f y g dos funciones continus en [, b] y derivbles en (, b). Si f (x) = g (x) pr todo x (, b), entonces existe un constnte C tl que f(x) = g(x)+c pr todo x [, b]. Crecimiento Definición 44. L función f es estrictmente creciente (estrictmente decreciente) en un intervlo I si f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) pr culesquier x 1, x 2 I tles que x 1 < x 2. Teorem 45. Si f es un función derivble en (, b), entonces f es estrictmente creciente (estrictmente decreciente) en (, b) si f (x) > 0 (f (x) < 0) pr todo x (, b). Proposición 46. Sen f un función continu y c un vlor crítico de f. Entonces f(c) es un máximo (mínimo) reltivo si f (x) > 0 (f (x) < 0) pr todo x de un intervlo (, c) y f (x) < 0 (f (x) > 0) pr todo x de un intervlo (c, b), y f(c) no es un extremo reltivo si f tiene el mismo signo en intervlos (, c) y (c, b). Convexidd Definición 47. Se dice que l función f es convex (cóncv) en un intervlo I si se verific que f (x) > 0 (f (x) < 0) pr todo x I. Definición 48. Se f un función con tngente (quizás verticl) en el punto P (c, f(c)). Se dice que P es un punto de inflexión de f si f es convex un ldo de P y cóncv l otro o vicevers. Proposición 49. Se f un función tl que f (c) = 0 y existe l derivd segund en un intervlo bierto que contiene c. Si f (c) > 0 (f (c) < 0), hy un mínimo (máximo) reltivo en c. Límites infinitos y síntots Definición 50. L notción lím f(x) = L ( lím f(x) = L) signific que pr cd x + x ɛ > 0 existe A R tl que f(x) L < ɛ pr todo x > A (x < A) del dominio de f. 6

7 Observción 51. Ls regls vists en l Proposición 16 son válids tmbién pr este tipo de límites. Proposición 52. Si n Q + y A 0, entonces lím x + Y si x n está definido pr x < 0, entonces lím x A x n = 0. A x n = 0. Definición 53. L notción lím f(x) = + (lím f(x) = ) signific que pr cd A R existe δ > 0 tl que f(x) > A (f(x) < A) siempre que 0 < x c < δ. Definición 54. L notción lím f(x) = + signific que pr cd A R existe x + B R tl que f(x) > A siempre que x > B. El resto de csos se definen nálogmente. Definición 55. L rect x = c es un síntot verticl de f si lím f(x) = ±. L rect y = L es un síntot horizontl de f si lím f(x) = ± o + lím f(x) = L o lím f(x) = L. x + x L rect y = mx+n es un síntot oblicu de f si lím o si f(x) lím = m y lím (f(x) mx) = n. x x x x + f(x) x = m y lím x + (f(x) mx) = n Dibujo de curvs Pr dibujr l gráfic de un función se debe estudir su dominio, simetrí (pr o impr), signo, crecimiento y extremos reltivos, convexidd y puntos de inflexión y síntots. Optimizción Los problems de optimizción no son más que csos prácticos de mximizción y minimizción de funciones. Regl de L Hôpitl Teorem 56. Sen f y g funciones derivbles en un intervlo bierto que contiene c f(x) (excepto posiblemente en c). Si lím produce un form indetermind 0 o, entonces g(x) 0 f(x) lím g(x) = lím f (x) g (x) siempre que exist el límite del miembro de l derech o se infinito. Est regl tmbién es válid cundo x ±. 7

8 Integrción inmedit Definición 57. Un primitiv de un función f es otr función F tl que F = f. Teorem 58. Si F es un primitiv de un función f, entonces culquier otr primitiv debe ser de l form G(x) = F (x) + C con C R. L notción f(x) dx = F (x) + C donde C es un constnte rbitrri signific que F es un primitiv de f. A l función F (x) + C se llm l integrl indefinid de f. Teorem 59. Se tienen ls siguientes regls básics de integrción: (i) (f(x) + b g(x)) dx = f(x) dx + b g(x) dx pr culesquier funciones f y g y constntes y b. (ii) 0 dx = C. (iii) x n dx = xn+1 n+1 + C pr n 1. (iv) sen x dx = cos x + C. (v) cos x dx = sen x + C. El áre como límite de un sum Definición 60. Dd un función f continu y no negtiv en [, b], el áre de l región bjo l gráfic de f y por encim del eje OX es donde x = b n. A = lím (f( + x) + f( + 2 x) + + f( + n x)) x x 0 Ls sums de Riemnn y l integrl definid Definición 61. Se f un función definid en [, b]. Ddos x 1 < x 2 < < x n 1 números de (, b), se dice que P = { = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, b = x n } es un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos. L norm de P se define como P = máx 1 k n {x k x k 1 }. 8

9 Se elige rbitrrimente un número x k en cd subintervlo, el cul se denomin representnte del intervlo k-ésimo de P. L sum de Riemnn socid f, P y los representntes se define como σ(f, x k P, x k) = n (x k x k 1 )f(x k). Definición 62. Se f un función definid en [, b]. Decimos que f es integrble en [, b] si existe n I = (x k x k 1 )f(x k). lím P 0 Este límite se llm l integrl definid de f de b y se design por Teorem 63. Si un función f es continu en [, b], entonces es integrble en [, b]. Proposición 64. Dd un función f continu y no negtiv en [, b], el áre de l región bjo l gráfic de f y por encim del eje OX es Teorem 65. Dds f y g funciones integrbles en [, b], se tiene que: (i) λf + µg es integrble en [, b] pr culesquier λ, µ R y (λf(x) + µg(x)) dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx. (ii) Si f(x) g(x) pr todo x [, b], entonces f(x) dx g(x) dx. (iii) Si < c < b, entonces f(x) dx = c f(x) dx + c El teorem fundmentl del Cálculo, integrción por cmbio de vrible Teorem 66 (Teorem fundmentl del Cálculo). Sen f un función continu en [, b] y G l función definid en [, b] por G(x) = x f(t) dt. Entonces G es un primitiv de f en [, b], es decir, G (x) = f(x) pr todo x [, b]. 9

10 Teorem 67 (Regl de Brrow). Si f es un función continu en [, b] y F es culquier primitiv de f, entonces f(x) dx = F (b) F (). Teorem 68 (Regl de Leibniz). Si u y v son funciones derivbles, entonces ( v(x) f(t) dt) = f(v(x))v (x) f(u(x))u (x). u(x) El teorem del vlor medio del cálculo integrl Teorem 69. Si f es un función continu en [, b], entonces existe c [, b] tl que f(x) dx = f(c)(b ). Áre comprendid entre dos curvs Proposición 70. Si f y g son funciones continus y verificn que f(x) g(x) en [, b], entonces el áre entre ls dos curvs y = f(x) e y = g(x) es A = (f(x) g(x)) dx. Volúmenes Proposición 71. Sen f y g funciones continus y no negtivs tles que f(x) g(x) en [, b]. El volumen del sólido de revolución engendrdo l girr lrededor del eje OX l región limitd por ls curvs y = f(x) e y = g(x) y ls rects verticles x = y x = b es V = π ((f(x)) 2 (g(x)) 2 ) dx. Proposición 72. El volumen del sólido de revolución engendrdo l girr lrededor del eje OY l región limitd por l curv y = f(x), el eje OX y ls rects verticles x = y x = b es V = 2π x Longitudes y áres Definición 73. Se f un función con derivd continu en [, b]. L longitud del rco de l gráfic de f(x) entre x = y x = b es L = 1 + (f (x)) 2 dx. 10

11 Definición 74. Se f un función con derivd continu en [, b]. El áre de l superficie de revolución engendrd l girr lrededor del eje OX el rco de curv y = f(x) entre x = y x = b es S = 2π Si el giro es lrededor del eje OY el áre es S = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. x 1 + (f (x)) 2 dx. Integrción por prtes Proposición 75. Dds dos funciones f y g se tiene que f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. El método de ls frcciones simples El método de ls frcciones simples se emple pr clculr l primitiv de un función rcionl. Se f(x) = P (x)/q(x) un función rcionl con Q(x) 0 pr todo x R y mbos polinomios sin fctores comunes. Si el grdo de P es myor o igul que el de Q, por división de polinomios obtenemos un cociente C(x) y un resto R(x), con lo que P (x)/q(x) = C(x) + R(x)/Q(x) siendo en est últim frcción el grdo del numerdor menor que el del denomindor. Y en est situción se fctoriz Q(x) como producto de fctores lineles y cudráticos irreducibles y, continución, se descompone l función en frcciones simples socindo cd fctor linel de multiplicidd n, (x x 0 ) n, un sum de frcciones simples de l form A 1 A 2 + x x 0 (x x 0 ) + + A n 2 (x x 0 ) n y cd fctor cudrático irreducible de multiplicidd m, (x 2 + bx + c) m, un sum de frcciones simples de l form M 1 x + N 1 x 2 + bx + c + M 2x + N 2 (x 2 + bx + c) + + M mx + N m 2 (x 2 + bx + c). m Un vez hllds tods ls constntes se procede clculr l primitiv de f como sum de ls primitivs de ls frcciones simples. 11

12 Integrles impropis Definición 76. Se R y supongmos que existe t f(x) dx pr todo t. Si existe f(x) dx, se define l integrl impropi lím t + t + f(x) dx = lím t + t Se dice que l integrl impropi converge si este límite es finito y, en cso contrrio, que diverge. Definición 77. Se b R y supongmos que existe f(x) dx pr todo t b. Si existe t b f(x) dx, se define l integrl impropi t lím t f(x) dx = lím t t Se dice que l integrl impropi converge si este límite es finito y, en cso contrrio, que diverge. Definición 78. Si ls dos integrles impropis f(x) dx y + f(x) dx convergen pr un mismo número, se define l integrl impropi de f(x) en tod l rect rel como + f(x) dx = f(x) dx + + Definición 79. Si l función f no está cotd cerc de y existe f(x) dx pr todo t t (, b], se define l integrl impropi f(x) dx = lím t + t Se dice que l integrl impropi converge si este límite es finito y, en cso contrrio, que diverge. Definición 80. Si l función f no está cotd cerc de b y existe t f(x) dx pr todo t [, b), se define l integrl impropi f(x) dx = lím t b t Se dice que l integrl impropi converge si este límite es finito y, en cso contrrio, que diverge. Definición 81. Si l función f no está cotd cerc de c (, b) y son convergentes ls integrles impropis c f(x) dx e f(x) dx, se define l integrl impropi c f(x) dx = c f(x) dx + c Se dice que l integrl impropi de l izquierd diverge si diverge culquier de ls dos de l derech. 12

13 Sucesiones y límites Definición 82. Un sucesión es un función con dominio N e imgen un subconjunto de R. Los vlores 1, 2,... de l función se llmn los términos de l sucesión y n se llm el término n-ésimo o término generl de l sucesión. Definición 83. L sucesión n converge l número L, y se escribe lím n = L, si pr todo ɛ > 0 existe n 0 N tl que n L < ɛ pr todo n n 0. Se dice entonces que L es el límite de l sucesión n. En cso contrrio se dice que l sucesión diverge. Proposición 84. Si lím n = L y lím b n = M, entonces se verific: (i) lím ( n + b n ) = L + M. (ii) lím ( n b n ) = LM. (iii) lím n bn = L M siempre que M 0. (iv) lím m n = m L siempre que ls ríces tengn sentido. Definición 85. L notción lím n = + ( lím n = ) signific que pr todo A R existe n 0 N tl que n > A ( n < A) pr todo n n 0. Teorem 86. Se f un función tl que n = f(n) pr todo n N. Si entonces l sucesión n converge L. Teorem 87. Si n b n c n pr todo n n 0 y lím n = lím lím b n = L. c n lím f(x) = L, x + = L, entonces Definición 88. Se dice que l sucesión n es creciente (estrictmente creciente) si se verific que n n+1 ( n < n+1 ) pr todo n N y decreciente (estrictmente decreciente) si n n+1 ( n > n+1 ) pr todo n N. Diremos que n es monóton (estrictmente monóton) si es creciente o decreciente (estrictmente creciente o estrictmente decreciente). Definición 89. Se dice que l sucesión n está cotd superiormente (inferiormente) por A si n A ( n A) pr todo n N. Diremos que n está cotd si lo está superior e inferiormente. Teorem 90. Un sucesión monóton tiene límite si y solo si está cotd. Si no lo está, tiende ±. Proposición 91. Si r < 1, entonces lím r n = 0. 13

14 Series Definición 92. Un serie es un sum infinit = k. L sum prcil n-ésim de l serie es S n = n = n k. Se dice que l serie es convergente con sum S si l sucesión de sums prciles converge S. En cso contrrio se dice que l serie diverge. Proposición 93. Si k y b k son series convergentes, tmbién lo es (α k + βb k ) pr culesquier α, β R y (α k + βb k ) = α k + β b k. Definición 94. Un serie geométric es un serie en l cul l rzón entre dos términos consecutivos es constnte. Si designmos por r est rzón, l serie tiene l form r k = + r + r 2 + r r n + k=0 con 0. Teorem 95. L serie geométric r k r < 1 con sum. 1 r k=0 con 0 diverge si r 1 y converge si El criterio de l integrl, p-series Teorem 96. Si l serie n converge, entonces n converge 0. Teorem 97. Un serie de términos no negtivos converge si y solo si su sucesión de sums prciles está cotd superiormente. Teorem 98 (Criterio de l integrl). Si n = f(n) pr todo n N siendo f(x) un función continu, positiv y decreciente pr x 1, entonces l serie n y l integrl 1 f(x) dx tienen el mismo crácter, es decir, mbs son convergentes o ningun lo es. 14

15 Observción 99. Pr plicr el criterio de l integrl es suficiente que f(x) se decreciente pr x x 0. Definición 100. Un p-serie es un serie de l form l serie rmónic. Teorem 101. Un p-serie es convergente si p > 1 y divergente si p 1. 1 n p con p > 0. Si p = 1 se tiene Criterios de comprción Teorem 102. Si 0 n b n pr todo n n 0 y b n es convergente, tmbién lo es n. Teorem 103. Sen n, b n > 0 pr todo n n 0 : (i) Si lím n bn crácter. (ii) Si lím n bn (iii) Si lím n bn = L con 0 < L < +, entonces ls series n y b n tienen el mismo = 0 y b n es convergente, tmbién lo es n. = + y b n es divergente, tmbién lo es n. Criterios del cociente y de l ríz Teorem 104 (Criterio del cociente). Dd l serie supongmos que lím n+1 n diverge. n de términos positivos, = L. Si L < 1, l serie converge y si L > 1 o L = +, l serie Teorem 105 (Criterio de l ríz). Dd l serie n de términos no negtivos, supongmos que lím n n = L. Si L < 1, l serie converge y si L > 1 o L = +, l serie diverge. Series lternds, convergenci condicionl y bsolut Teorem 106. Si n es un sucesión de números positivos estrictmente decreciente con lím n = 0, entonces ls dos series lternds ( 1) n n y ( 1) n+1 n convergen. Definición 107. L serie n se llm bsolutmente convergente si l serie n converge, y se llm condicionlmente convergente si converge y l serie n diverge. 15

16 Teorem 108. Tod serie bsolutmente convergente es convergente. Teorem 109 (Criterio generlizdo del cociente). Dd l serie n de términos no nulos, supongmos que lím n+1 n = L. Si L < 1, l serie es bsolutmente convergente y si L > 1 o L = +, l serie es divergente. Teorem 110. Se se verific: n=0 Series de potencis n (x c) n un serie de potencis tl que lím n+1 n = L. Entonces (i) Si L = +, l serie de potencis converge solo pr x = c. (ii) Si L = 0, l serie de potencis converge pr todo x R. (iii) Si 0 < L < +, l serie de potencis converge bsolutmente si x c < 1 y no L converge si x c > 1. A R = 1 se le llm rdio de convergenci de l serie de potencis L L y (c R, c + R) intervlo de convergenci. Observción 111. Se tiene el mismo resultdo nterior si L = lím n n. Series de Tylor y Mclurin Teorem 112. Se f un función infinitmente derivble que tiene un representción f(x) = n (x c) n n=0 por serie de potencis en el intervlo (c R, c+r). Entonces est representción es únic. Concretmente, los coeficientes n están determindos por pr todo n N {0}. n = f (n) (c) n! Teorem 113 (Teorem de Tylor). Si f es un función infinitmente derivble en un intervlo bierto I que contiene c, entonces pr cd x I se tiene f(x) = f(c) + f (c) 1! siendo el resto R n de l form donde z n está entre c y x. (x c) + f (c) 2! (x c) f (n) (c) (x c) n + R n (x) n! R n (x) = f (n+1) (z n ) (x c) n+1 (n + 1)! 16

17 Definición 114. En ls condiciones del Teorem de Tylor, l serie de potencis n=0 f (n) (c) (x c) n n! se le llm serie de Tylor de f en c o desrrollo de Tylor. Si c = 0, se le llm serie de Mclurin de f o desrrollo de Mclurin. Si clculmos los términos de l serie de Tylor (Mclurin) hst grdo k tendremos el polinomio de Tylor (Mclurin) de grdo k. 17

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