Aplicaciones del programa CHAPKOL para la resolución de. ecuaciones Fokker-Planck en N variables

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1 744 ISSN X Aplicaciones del programa HAPKOL para la resolución de ecuaciones Fokker-Planck en N variables Muñoz Roldan, A. Área de Desarrollo informático Aplicaciones ientíficas Garcia-Olivares R, A. Instituto de Medio Ambiente IEMAT ENTRO DE INVESTIGAIONES ENERGÉTIAS, MEDIOAMBIENTALES Y TENOLÓGIAS MADRID, 1994

2 LASIFIAIÓN DOE Y DESRIPTORES: FOKKER-PLANK EQUATION NUMERIAL SOLUTION MANY-DIMENSIONAL ALULATIONS OMPUTER ODES HAPMAN-KOLMOGOROV EQUATION FORTRAN PROGRAMMING

3 Toda correspondencia en relación con este trabajo debe dirigirse al Servicio de Información y Documentación, entro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas, iudad Universitaria, MADRID, ESPAÑA. Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a este mismo Servicio. Los descriptores se han seleccionado del Thesauro del DOE para describir las materias que contiene este informe con vistas a su recuperación. La catalogación se ha hecho utilizando el documento DOE/TI-4602 (Rev. 1) Descriptive ataloguing On- Line, y la clasificación de acuerdo con el documento DOE/TI.4584-R7 Subject ategories and Scope publicados por el Office of Scientific and Technical Information del Departamento de Energía de los Estados Unidos. Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en esta publicación. Depósito Legal n M ISBN X ISSN X ÑIPO IMPRIME IEMAT

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5 índice 1. La librería HAPKOL para la resolución de la ecuación de Fokker-Planck 1 2. La ecuación de Fokker-Planck La ecuación de Fokker-Planck en procesos de nacimiento/muerte La ecuación de Fokker-Planck en procesos de difusión La ecuación tridimensional de advección-difusión con fuentes y sumideros Método numérico de resolución de la ecuación de Fokker-Planck Modo de uso del programa HAPKOL Proceso Wiener Procesos de tipo Ornstein-Uhlenbeck Sistema determinista como caso, límite de un sistema estocástico Potenciales con varios atractores Resolución de la ecuación de difusión Resolución de la ecuación del calor References 52

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7 1 La librería HAPKOL para la resolución de la ecuación de Fokker-Planck \S V En una publicación previa describimos el contexto teórico en el que surge la ecuación de Fokker-Planck así como sus principales aplicaciones en distintos campos de la ciencia. La librería HAPKOL es un conjunto de programas FORTRAN-77 que resuelve una ecuación de Fokker-Planck en 1, 2, 3, 4, y 5 dimensiones, mediante el método descrito en [García-Olivares,A y Muñoz, A. 1992]. En esta monografía tan sólo esbozaremos los aspectos más teóricos y pasaremos rápidamente a describir un conjunto de problemas físicos que han sido abordados con la citada librería, sirviendo muchos de ellos de casos prueba de los algoritmos utilizados. Se espera que estos casos sirvan de ejemplo del modo de uso de la librería a la hora de resolver distintos problemas físicos o matemáticos. Tras la lectura de estos ejemplos es de esperar que cualquier usuario estará en condiciones de plantear y resolver por sus propios medios cualquier problema particular de tipo Fokker-Planck que sea de su interés. 2 La ecuación de Fokker-Planck Desde los trabajos pioneros del premio Nobel Ilya Prigogine ha quedado claro que las descripciones mediante ecuaciones deterministas tienen un campo de aplicabilidad limitado a unos pocos sistemas de interés académico, pero son claramente inútiles, por simplistas, a la hora de representar los sistemas reales, todos ellos con una intrínseca variabilidad natural. [. El origen de la variabilidad natural, es por un lado la intrínseca inestabilidad de la dinámica determinista de los sistemas que poseen retroacciones no-lineales, que son los más en el mundo real. El comportamiento caótico de muchos sistemas deterministas ilustra este fenómeno. De otro lado, los sistemas reales pueden amplificar o transformar las perturbaciones externas y fluctuaciones internas, respondiendo con un output ruidoso a estímulos también ruidosos. Si además, la dinámica determinista del sistema (el sistema de ecuaciones que representa los cambios de estado

8 de sus variables) posee una dinámica caótica entonces la amplificación de las pequeñas perturbaciones y fluctuaciones puede ser multiplicativa, dando lugar a un comportamiento aparentemente aleatorio del sistema, donde no hay tal. Toda genuina descripción determinista de la dinámica caótica requiere infinita precisión en la elección de las condiciones iniciales y por este motivo, es un objetivo científicamente inalcanzable [Prigogine, From Being to Becomingj. Por ello, el caos introduce una incertidumbre fundamental que, como mostró I. Prigogine, es más general que la incertidumbre de Heisenberg en mecánica uántica: Esta se refiere también a la dinámica macroscópica y restringe la información que proporciona cada variable, mientras que la incertidumbre mecánico-cuántica afecta sólo a pares canónicamente conjugados de variables. La dinámica no-lineal, que es la regla y no la excepción en la naturaleza, obliga pues a intentar aproximaciones nuevas para la modelización realista del comportamiento de los sistemas reales. El modelo debe tener explícitamente en cuenta las incertidumbres inevitables por medio de un formalismo matemático apropiado y debe tratar de incorporar en la descripción a la vez la cinética determinista (las "true laws" del movimiento de las variables si existen) y también las varias fuentes de estocasticidad. Una herramienta matemática adecuada a tales exigencias existe en principio: casi cualquier sistema dinámico real que evoluciona en el tiempo puede ser apropiadamente descrito mediante una ecuación de tipo master [P. Schuster, 1984, Introductory Remarks, en "Stochastic Phenomena and haotic Behaviour in omplex Systems", P. Schuster (Ed.) Springer, Series in Synergetics]. La importancia teórica de la ecuación de Fokker-Planck deriva de que la dinámica de muchos sistemas descritos mediante ecuaciones master se reduce a una ecuación Fokker-Planck. Además, a partir de un sistema dinámico determinista, e.g. un sistema de ecuaciones diferenciales, es muy sencillo introducir las perturbaciones estocásticas externas añadiendo un término de "ruido" a cada ecuación del sistema. Obtenemos así una ecuación de tipo Langevin. Pues bien, hay una traducción inmediata unívoca entre esta ecuación de Langevin y su ecuación de Fokker-Planck correspondiente. [García-Olivares

9 et al, 1992]. Lefever y Horsthenke [Lefever,R. &; Horsthenke, W. 1984, "Nonequilibrium Transitions Induced by External Noise", en Pacault, A. y Vidal, : Synergetics: Far from Equilibrium, p ] han demostrado, utilizando la ecuación de Fokker-Planck, que la incorporación de ruido externo en una descripción fenomenológica del tipo dx/dt == a + x(l 6x) /3rr~ no es simplemente un refinamiento cuantitativo de la dinámica determinista. Por el contrario, provoca la aparición de comportamientos cualitativamente nuevos. En particular, la incorporación de un ruido gaussiano cuya varianza depende del valor de la variable x, genera distribuciones estacionarias que unas veces son unimodales, otras veces son bimodales y aún otras son quasiuniformes, dependiendo de la intensidad del ruido presente. La importancia práctica de la ecuación de Fokker-Planck deriva a veces no sólo de su aplicabilidad a la descripción estocástica-probabilista de sistemas reales, sino de que tiene la misma estructura que la ecuación de adveccióndifusión en N dimensiones. Por ello, y tras el cambio de significado de la variable dependiente de "probabilidad" a "distribución", la misma ecuación y por tanto la librería de programas, pueden ser aplicadas a la resolución del transporte espacial de una sustancia o de una propiedad genérica. La demostración basada en argumentos físicos y matemáticos puede encontrarse en [García-Olivares et al 1992]. En esa referencia la ecuación de Fokker-Planck era deducida de la ecuación Master asociada a un problema estocastico mediante argumentos intuitivos. Aquí vamos a seguir aquella deducción pero partiendo de dos ejemplos concretos: (i) procesos de creación/destrucción (o nacimientos/muerte) en ecología; (ii) la difusión de un gas de nucleidos de un compartimento a otro. 2.1 La ecuación de Fokker-Planck en procesos de nacimiento /muerte Aquí vamos a deducir la ecuación de Fokker-Planck para un problema estocastico concreto de nacimientos/muertes en ecología, la versión estocastica del clásico problema de Volterra [1926] y Lotka [1934]. En el problema clásico de Volterra-Lotka hay dos poblaciones de individuos, "depredadores" y "presas", con poblaciones respectivas y y x.

10 uando ambas especies permanecen separadas, la tasa de crecimiento de la población de presas es b x cuando la población es pequeña, y cero cuando la población se acerca a un nivel límite de X = TV. La capacidad de sustentación se relaciona con la producción primaria neta anual del ecosistema que nutre a la población de presas, que es siempre finito. Ello fija una cantidad máxima de alimento que puede ser consumido al año por la población de presas, lo cual a su vez fija un número máximo N de individuos que pueden habitar permanentemente el ecosistema. Por ello, la tasa de crecimiento es una función de la propia población, == que suele aproximarse mediante la siguiente función analítica: r x = ~y~dt Esto implica una aportación al crecimiento de las presas del tipo: [dx/dtu = b x x(i - ) Nótese que este término puede ser interpretado bien como frenado de la tasa de natalidad o bien como un aumento de la tasa de mortalidad al aumentar X. Ambas interpretaciones conducen a la misma estructura del modelo. La tasa de mortalidad de la población de depredadores es m y. Por definición pues: (i) [dy/dt^ = -m y Y (2) Al juntar ambas especies, la primera experimentará una mortalidad proporcional a la densidad de la segunda, s x = m x Y, por lo cual habrá que añadir la aportación: [dx/dt} 2 = m x XY (3) Además, en los depredadores el crecimiento es estimulado cuando aumenta el número de presas, y tiende a cero cuando éstas desaparecen. Por ello, debe haber una relación funcional similar a la siguiente: r y = b y X, por lo cual tendremos la aportación: [dy/dt} 2 = b y YX (4) De esta forma se obtiene el clásico modelo de Volterra-Lotka:

11 í dx/dt = b x X(l - )~ \ dy/dt = b y XY - m y Y m x XY Pasemos ahora de este modelo determinista a su contrapartida probabilista. El problema es bidimensional. Un estado del sistema es representado por una dupla de números: (X, Y). Dado que el estado del sistema no es en general conocido, debemos de representarlo mediante una distribución de probabilidad fí(x, Y). Llamaremos espacio de fases al espacio de los estados accesibles al sistema. Supongamos que el sistema está en (X, Y) en el instante í, y queremos analizar dónde estará en el instante t + dt. Hay tres posibles evoluciones para la variable X resultantes de las siguientes posibilidades: Nace una presa, no nace una presa, muere una presa, no muere una presa; asimismo, hay tres posibles evoluciones para la variable Y, resultantes de las siguientes posibilidades: nace un predador, no nace un predador, muere una predador, no muere un predador. onsideraremos que la probabilidad de que nazcan o mueran más de una presa o más de un predador es despreciable frente a la probabilidad de que nazca (muera) una sola presa o predador. Ello siempre es posible si el intervalo dt es suficientemente pequeño. Las probabilidades de estos sucesos elementales vienen dadas por: Probabilidad de que nazca un individuo tipo "X": { } <4 = KX(1 - ) (6) f Probabilidad de que no nazca un individuo tipo "X": ) (7) Probabilidad de que muera un individuo tipo "X": o;" = m x XY (8) e Probabilidad de que no muera un individuo tipo "X": 1 - w" = 1 - m x XY (9)

12 «Probabilidad de que nazca un individuo tipo "Y": 9 Probabilidad de que no nazca un individuo tipo "Y": 1-^^l-byYX (11) Probabilidad de que muera un individuo tipo "Y": «; = m y Y (12) Probabilidad de que no muera un individuo tipo "Y": 1 _ u- = i _ mj/y (13) Los sucesos elementales de nacimiento o muerte se suponen independientes estadísticamente. En efecto, el hecho de que se produzca en el tiempo dt el nacimiento de un predador no altera la probabilidad de que se produzca en ese dt el nacimiento de una presa, ni la probabilidad de que se produzca en ese dt la muerte de una presa, ni la probabilidad de que se produzca en ese dt la muerte de un predador. Obsérvese cómo el que dos variables estocásticas tengan probabilidades que dependen del estado del sistema (Á r, Y) a través de una misma función f(x,y) no significa que haya correlación entre ellas. Se trata de dos conceptos distintos. Por el mismo motivo, la probabilidad de obtener "1" al tirar un dado blanco es 1/6, igual que la probabilidad de obtener "1" al tirar un dado negro; sin embargo, haber obtenido "1" tras tirar el dado blanco no altera la probabilidad de que salga también tras tirar el dado negro. Por qué hablamos ahora de "probabilidad" de sucesos elementales si las funciones que hemos utilizado para definirlas (véase 6 a 13) no eran mas que "tasas de cambio de la población" observadas por unidad de tiempo (ecuaciones (1) a (4))? Detengámonos a analizar cómo hemos pasado de este último concepto al concepto de probabilidad.

13 Toda probabilidad, en su interpretación frecuentista, debe ser un número entre cero y uno, cociente entre unos casos favorables y el total de los casos posibles. Hay tres supuestos implícitos en el paso de un concepto experimental como "tasa de nacimientos observada en una población" al concepto de "probabilidad de un nacimiento en el lapso dt". En primer lugar, se supone que la transición o se produce o no se produce, en el lapso dt. En segundo lugar, la probabilidad de una transición en el lapso dt disminuye con el tamaño del lapso dt, linealmente para lapsos cada vez más pequeños, de modo que existe el límite cuando A > 0 del cociente entre la :~?s; probabilidad de transición en dt y el propio di, siendo ésta la causa última de la tasa de acontecimientos observada. Por ejemplo, no sólo hemos observado una tasa de nacimientos del 3% anual, en una población de N individuos, sino que además esperamos observar un nacimiento cada cuatrimestre, en promedio, estando esta esperanza fundada en evidencias del pasado inducidas a ley, o bien en argumentos teóricos. En tercer lugar, tenemos razones para esperar que de poder estar un millón de veces en esa misma situación (con una población X=N), en unas ocasiones aproximadamente (o sea, aproximadamente un 1% de las veces) observaríamos, tras esperar un cuatrimestre, que la transición (el nacimiento) se ha producido. Ello implica también una tasa del 3% anual promedio. Esta última condición garantiza que nuestro suceso elemental es efectivamente una probabilidad de interpretación frecuentista. En la citada declaración de principios frecuentista hemos empleado el término "aproximadamente". En realidad la frecuencia nunca puede coincidir v,. con la probabilidad sino en el límite cuando el número de situaciones de observación tendiera a infinito. En la práctica, unos cuatrimestres observaríamos realización del suceso pero otros no, y aún otros observaríamos la realización de dos sucesos o más en el mismo cuatrimestre. Ello se debe a que la realización de cero sucesos y la de dos sucesos, tres sucesos, etc, tienen una probabilidad pequeña pero no nula, que viene dada por la distribución de Poisson, si la realización de un suceso es independiente de la realización de otro. Demostrar ésto puede ser interesante para fijar los conceptos discutidos.

14 Supongamos que efectivamente hay una probabilidad por unidad de tiempo de que un suceso (como un nacimiento o una muerte) ocurra LO, y que la realización de un suceso está incorrelacionada con la realización de otro, y todos los sucesos elementales obedecen a la misma distribución de probabilidad: LO la probabilidad por unidad de tiempo de que tenga lugar y 1 LO la probabilidad por unidad de tiempo de que no tenga lugar. Preguntémonos cual es la probabilidad de un suceso, dos sucesos,..., m sucesos en el intervalo t de tiempo. Para responder, dividimos el intervalo t en M subintervalos "Ai" ó "dt", tan pequeños como se desee. omo estos Ai son muy pequeños, la probabilidad de que se realice un suceso en uno de ellos es p = a;ai. La probabilidad de que se dé un suceso en Ai y no se dé en el siguiente Ai es el producto de las probabilidades: p(l p). La probabilidad de que se realicen dos sucesos en un tiempo igual a tres Ai sucesivos es: pp(l p) + (1 p)pp + p(l p)p. Obsérvese que hay que contar con todas las combinaciones de sucesos elementales que conducen al mismo resultado compuesto: 2 sucesos en un intervalo 3Aí. La probabilidad de que se den n sucesos en un intervalo t es por tanto, la suma, de las probabilidades de las diferentes cadenas de sucesos que conducen a n sucesos en el intervalo i: que es la distribución binomial. Representa siempre la probabilidad de que un suceso elemental de probabilidad p ocurra n veces en M experimentos. Ahora bien, en nuestro caso p << 1. Esto significa que f(n) se hace muy pequeña cuando n > oo, dado que el factor p n se hace ínfimo para n,m grandes. omo p «1, ln(l ~ p) «-p, de donde: (1 - p) M ~ n s» e- M?. Además, es fácil demostrar 1. que i M _' n y ~ M n n 2 M n ~ 1. salvo términos de orden 1 En efecto: {M M J n), = M{M - 1)(M - 2)...(M - (n - 1)) = M n - M n - 1 [{n- 1) + (n - 2) ] + M n ~ 2 [{n - l)(n - 2) + (n - l)(n - 3) + (n - l){n - 4) (n - 3) ] + M n - Z [(n - l)(n - 2)(n - 3) + ] % m n - ^M"" , si n«m

15 que, A^S n \, ~ M n salvo términos de orden n 2 M n 1. Reescribamos ahora (14): /(B) = ni -e- wt (15) de donde se deduce que la probabilidad de n sucesos simples en el intervalo de tiempo t viene dado por una distribución de Poisson de media u>t. En particular, cuando t tiende a un único dt, reencontramos: En cambio, las probabilidades de dos sucesos, tres sucesos, etc, son proporcionales a Ai 2, A 3, etc, respectivamente. Es posible interpretar los valores de las poblaciones observadas N (y sus tasas de cambio) como medias temporales macroscópicas de las poblaciones reales N(T) (y sus tasas de cambio) existentes en tiempos microscópicos: (16) (17) El rango temporal Ai, que hemos llamado "dt", define la escala meso, que conecta la escala micro con la escala macro de los acontecimientos. Si además de todo lo anterior resulta que el valor medio del número de transiciones observadas cada cuatrimestre, promediado a lo largo del tiempo (media móvil cuatrimestral) coincide con el número medio de transiciones observadas en un cuatrimestre en el conjunto de un millón de situaciones idénticas hipotéticas, o sea, u> ^ < >(t), en ese caso el sistema se dice estacionario y ergódico. Los sucesos elementales que hemos analizado implican nueve distintas posibilidades de evolución del sistema durante el lapso dt en el instante t, con probabilidades de transición por unidad de tiempo "dt", dadas por las expresiones siguientes: 9

16 W[{X, Y)^(X- 1,Y)} = m x XY(l - b y YX){l - m y Y) W[{X, Y)^{X + 1, y)] = b x X{l - i)(l - b y YX)(l - m y Y) W[(X, Y) - (X, y - 1)] = [1 - b x X(l - )][ (1 - m x XY){myY) W[(X, Y) ^(X,Y + 1)] = [1 - b t X{l - )]{1 - m x XY)(b y YX) W[(X,Y) -> (X - l,y - 1)] = («1,171(^7) (19) ) -»(x - i,y +1)] =, y) -> (x +1, y -1)] = W[(X, Y) - (X + 1, y + 1)] = b x X(l - f )(b y YX) W[(X, Y) -. (X, y)] = [1- b x X(l - )}(! - m x XY)(l - b y YX)(l - m y Y) Nótese que todas las probabilidades u> son mucho menores que uno. A continuación obtendremos la ecuación Master del sistema presas-depredadores. Esta ecuación nos da la evolución en el tiempo de la distribución ÍÍ(X, Y"). La forma general de la ecuación es [García-Olivares et al 1992]: j + M) " W^x + k( Mx, i) (20) dt k En nuestro caso, x es (X,Y) y el vector k es alguno de los siguientes vectores: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), (1,1), (-1,1), (1,-1), (-1,-1) ó (0,0). Sólo se consideran transiciones hasta los vecinos más próximos dado que el incremento temporal dt es suficientemente pequeño como para que sea despreciable la probabilidad de transiciones más distantes. En consecuencia, la ecuación se convierte en: k 10

17 U W[(X-l,Y)-*(X,Y)]p(X-l,Y;t) + +w[(x, Y -1) - (x, Y)] P (X, r -1; t)+ +w{(x + i, y) - (x, Y)] P (X +1, y ; Í)+ +w[(x, y +1) -*(x, y)mx,y +1; t)+ +w{{x +1, y +1) - (x, y)] P (x +1, y +1 ; *)+ +w[(x - i, y -1)->(x, y)] P (x -1, Y -1; 0+ +1, y -1)- (x, Y)\p(x +1, y -1; t)+ - 1, Y + 1) -> (X,y)]p(X - 1, Y + l;í)+ f21) v ; ;í)+ -w[{x,y) - (x,y - ~W[(X,Y) ^ (X + l,y)}p(x,y;t)+, y) -, (x, y + i)] P (x, y ; master (20) hay una serie de términos (8) que representan flujos de probabil- idad desde el nodo central hasta los ocho vecinos más próximos, y otros ocho términos que representan flujos de probabilidad entrante desde esos ocho vecinos hasta el nodo central (X, Y). Respecto al nodo central (X,Y), los ocho vecinos podemos decir que están situados en las direcciones N, S, E, O, NE, SE, NO y SO. Pues bien, cambiemos de signo miembro a miembro la ecuación (20) y, en el segundo miembro, agrupemos por parejas cada flujo de probabilidad que sale del nodo central en una dirección con el flujo de probabilidad que entra en el nodo central apuntando en la misma dirección. v.^' -W[(X,Y) -> (X - 1,Y - l)]p(x,y;í)+ -w[(x, y) -* (x +1, y + i)] P (x, Y ; t) Todas las probabilidades de transición a vecinos más próximos han sido ya calculadas en (19). Sustituyendo (19) en (20) se obtiene la ecuación master para el problema, sin mayores dificultades. Resolviendo esta ecuación, Alien [Alien, P.M. 1988] ha obtenido interesantes resultados sobre la dinámica de poblaciones ecológicas en competenciacooperación. Sin embargo, lo que aquí nos interesa es obtener la forma Fokker-Planck de la ecuación master. Por ello, antes de sustituir, agrupemos los términos de probabilidad salientes y entrantes del siguiente modo: Observemos en primer lugar que en el segundo miembro de la ecuación 11

18 Obtendremos parejas de diferencias. A saber: W[(X - 1, Y) - (X, Y))y{X - 1, Y; t) - W{(X, Y) - (X + 1, y )]p(x, Y; i) W[(X + 1,y) - (A",y)]p(X + 1,Y;í) - W[(X,Y) -> (X - 1, Y)]p(X,Y;t) w[(x, y -1) - (x, Y)]P(.Y, y -1; Í) - w[(x, Y) - (x, y + i)] P (x, Y-, Í), y +1) - (x, Y)] P (x, y +1; Í) - w[(x, y) - (x, y - i)]p(x, y ; t) +1,y +1) - (x, y)] P (x +1, y +1; ) _ py[(x, y) - (x - i, y - i)] P (x, y ; ) _ i, y _ i) -»(x, y)]p(x _ i, y _ i;i) _ ^[(x, y) - (x +1, y + i)] P (x, y ; Í) -1, y +1) - (x, Y)] P (x -1, y +1; Í) _ w[(x, y) -»(x +1, Y - i)] P (x, y ; t) w[(x +1, y -1) -»(x, y)]p(x +1, y -1 ; *) - w[(x, y) - (x -1, y + i)] P (x, Y- t) Si las probabilidades de transición y sus primeras derivadas espaciales varían analíticamente al ir pasando de un nodo a otro, es posible desarrollar en serie de Taylor cada una de estas parejas, hasta el segundo orden de aproximación. La interpretación de los ocho términos anteriores pasa a ser ahora: incremento del flujo de probabilidad en cada una de las ocho direcciones, al pasar de un nodo al más próximo en esa dirección. Obtenemos así términos de este tipo: w[(x - i,y) - (X,Y)] P (X - i,y í) - W[{X,Y) -. (x + i,y)] P (x,y-,t) = -(^^ + ^^) W[(X + l,y)-> {X,Y)]p(X + l,y;t) - W[(X,Y) -*(X - i,y)]p(x,y;t) = -(^^ + ^g'*) W[(X,Y ~l)-> (X,Y)]p(X,Y -l;t)- W[(X,Y)-> (X,Y + l)]p(x,y;t)= -(^^ + l^^2) W[(X,Y + I)-* (x,y)]p(a r,y + i;í)-^[(a r,y)-*(ar > y-i)]p(a r,y;t) = -(^^ + ^ ^ ) i,y +1) ->(x,y))p(x - i,y + i;t) - iv[(a",y) (x + i,y - i)] P (A',y;t) =... i,y -1) -* (A',y)]p(A' + i,y - i;t) que al ser sumados dan lugar a la ecuación de Fokker-Planck del problema. /-= La forma final puede obtenerse de modo más rápido y elegante partiendo directamente de la ecuación (20) y teniendo en cuenta que todas las parejas son del tipo: W(n + k -> n)p(n + k) - W(n -» n + k) (22) Ahora bien, el primero de éstos términos puede escribirse así: W(n + k -> n)p(n + k) = H^(n -* n - k)p(n) + k V n W(n -» n - k)p(n) (23) 12

19 Al sumar para todas las parejas el primero de los términos de la ecuación anterior y el segundo de los términos de la pareja (eq. (22)), se anulan mutuamente, pues son formas ligeramente distintas de expresar la suma de todas las probabilidades salientes. Por tanto, sumando para toda k la ecuación (22) y teniendo en cuenta (23), obtenemos: o bien: Y haciendo ahora k' = k, es decir, k' t = ki, k' 2 = k 2 y k' 3 = k 3, se obtiene: «I T" í ~ " ~ ~ I i\j 1 que es la forma clásica de la ecuación de Fokker-Planck. V: 2.2 La ecuación de Fokker-Planck en procesos de difusión onsideremos dos recipientes A y B comunicados por una pequeña ventana, a la misma temperatura. Sea S la superficie de la ventana, V A, Vg, los volúmenes de los dos recipientes, y V = VA + VB el volumen total. Supongamos que estos recipientes contienen respectivamente NA y NB moléculas con N = N 13

20 Los dos recipientes tendrán inicialmente distintas densidades moleculares: n A,B = NA,B/VA,BI n A 7^ nb- Habrá difusión de moléculas hasta que se alcance la densidad de equilibrio TLA = TT-B- La evolución en el tiempo de este proceso de difusión, llamado "efusión", puede ser descrita mediante una ecuación de Fokker-Planck. Para su deducción y resolución seguiremos a [Bernardina,. 1988]. La deducción se limitará al caso en que el camino libre medio de las moléculas es mucho mayor que el tamaño del vaso, de modo que se producirá una discontinuidad en la densidad al pasar por la ventana, pero las densidades serán uniformes todo el tiempo en cada uno de los recipientes. El número medio de moléculas que se transfieren de A a B (y de B a A) a través de la ventana en un pequeño intervalo temporal Ai es respectivamente: AN A == n A SvAt (27) AN B = n B SvAt (28) siendo v el valor medio de la componente de la velocidad normal a la ventana y S la sección de dicha ventana. La hipótesis isoterma implica que v es la misma en ambos compartimentos y es constante en el tiempo. El número real de moléculas que se transfieren de A a B (y de B a A) a través de la ventana en un pequeño intervalo temporal Ai no será exactamente el valor medio en todos los intervalos temporales Ai, sino que obedecerá a la distribución de Poisson, como vimos en el apartado anterior: -AN B AN A P(AN A, B ) = A ^ exp(-an A, B ) (29) Por tanto, cuando Ai» 0, los únicos casos relevantes son: 0{At 2 ) (30) ) (31) dado que p(2), p(3), etc, son al menos cuadráticos en Ai. Empleemos ahora la notación WA(AN, N A ) en lugar de p(n para designar la probabilidad de que AN A moléculas pasen de A a B cuando el número de moléculas en A es de N A. 14

21 Dado que sólo p(0) y p(l) eran las probabilidades de transición lineales en Ai, utilizaremos sólo AN A = 1 y &N B = 1. Estas serán las probabilidad de transición desde el estado (N A ) a los vecinos más próximos, AN A 1 y AN A + 1. es Dado que (véase eqs. 27,28) \N A>B proporcional a N A, B, todas esas probabilidades de transición a los vecinos próximos serán proporcionales al número de moléculas que haya en el nodo de partida (N AiB ). Después del entrenamiento de la sección anterior, escribir la ecuación master no debería constituir una empresa temible: P(N A,t+At) = W A (0,N A )W B (0,N B )P{N A,t) +W A (1,N A + 1)W B (Q,N B - l)p{n A + l,í) (32) +W A (0,N A - l)w B {l,n B + l)p(n A - l,í) + 0{At 2 ) Ahora, introduciendo la notación: V A = av, V B = (l a)v, r = [vs/a(l a)v)t, y pasando al límite Ai * 0, se obtiene: &(N A, T) = -[(1 - a)n A + an B }P(N A, r) +W A (1, N A + l)w B {Q, N B - l)p(n A + 1, í) (33) +(1 - a)(n A + 1)P{N A + 1, T) + a{n B + 1)P(N A - 1, r) Tengamos ahora en cuenta que Ng = N N A} y desarrollemos en serie de Taylor las dos parejas que surgen del segundo miembro de la ecuación anterior: (N A +1)P(N A + 1,T)-N A P(N A,T)K ^[A^.,.._..,-M ( 34 ) Sustituyendo ahora estos términos en (33), e introduciendo la variable adimensional x = (n A n)/n, se encuentra fácilmente que: = {xp) + -i-~[2(l - a) + (1-2a)x]P (36) OT ox als ox l Utilizando ahora la variable z = xyn se muestra que el coeficiente de P bajo la derivada segunda en la ecuación anterior es prácticamente constante: 15

22 2(1 - a) + (1-2a)x = 2(1 - a) + (1-2a)z/v / iv «2(1 - a) de modo que la ecuación de difusión se simplifica: Supongamos que inicialmente: con lo cual significa que n ^ UB ^ n. La ecuación anterior se puede resolver mediante la función prueba: siempre que se cumpla que: du 2 1 da,, l. A lada = v(1 )A = dr a' 2 a dr on la condición inicial u(0) = % y <r(0) = 0, debe ser A(r) = Ja/2<f>{l a)a(r) Se obtiene la solución: w(r) = xe"v(r) = 1 - e~ 2T (38) 16

23 2.3 La ecuación tridimensional de advección-difusión con fuentes y sumideros La ecuación de Fokker-Planck tiene la misma estructura que la ecuación de advección-difusión, por lo que un método numérico capaz de resolver la primera puede ser útil para la resolución del problema de la dispersión de contaminantes en un medio infinito o con contornos. La incorporación de fuentes y sumideros es inmediata en nuestro código. Suele realizarse en la forma de funciones dependientes del punto, o bien como su contrapartida numérica: valores de flujo entrante / saliente definidos para cada uno de los nodos de la malla. La forma habitual déla ecuación tridimensional de advección-difusión con fuentes y sumideros es la siguiente [Seinfeld, J.H. 1986, p. 528]: dc(x,t) dt 1 r Y (39) Esta ecuación coincide con una de Fokker-Planck si definimos Da = Qu/2. La solución de ésta ecuación depende de la forma funcional del término de fuentes/sumideros S. Para un vertido instantáneo en el punto (x = 0,y = 0,z = 0), y suponiendo que la velocidad del viento tiene componente sólo en la dirección x, se obtiene una solución que viene dada por la expresión que sigue: c[x,y,z,t) = S exp[- (x-ut)2 (y) 2 4D yy t (40) Para un vertido constante en el punto (a; = 0, y = 0, z = 0), se obtiene una solución estacionaria para t * oo que viene dada por la siguiente expresión: c(x,y,z,t) = S/(D xx D vy D tz ) exp (41) 17

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