Introducción al Estado Sólido: El amarre fuerte (tight-binding, en inglés)

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1 Introducción al Estado Sólido: El amarre fuerte (tight-binding, en inglés) R. Baquero Departamento de Física Cinvestav setiembre 2008 amarre fuerte 1

2 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? Uno de los obetos de estudio del Estado Sólido, es el estudio de la materia en estado cristalino. El estado cristalino es un arreglo periódico de átomos en interacción. El arreglo periódico se llama red. Una red cubre, en teoría todo el espacio. La periodicidad se describe por medio de la Teoría de Grupos Hay diferentes tipos de periodicidad, es decir diferentes grupos cristalinos que se manifiestan por la colocación de los átomos en la red. El grupo cúbico tiene simetría cúbica, es decir la misma que tiene un cubo. A ese grupo pertenecen tres redes: 1- Cúbica simple (CS): simple cubic, en inglés (sc). 2- Cúbica centrada en el cuerpo (CCC); body centered cubic, en inglés, (bbc). 3- Cúbica centrada en las faces (CCF); face centered cubic, en inglés, (fcc) setiembre 2008 amarre fuerte 2

3 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? Encontrar 4 elementos de simetría Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc) setiembre 2008 amarre fuerte 3

4 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? Red Cúbica centrada (CC) Body centered cubic lattice (bcc) Encontrar 4 elementos de simetría setiembre 2008 amarre fuerte 4

5 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? Red Cúbica centrada en las caras (CCC) Face cubic centered (fcc) Encontrar 4 elementos de simetría setiembre 2008 amarre fuerte 5

6 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? R = pa i + qa + ra k R 5 k i a R 4 R 1 R3 R 2 R 6 Encontrar los segundos y los terceros vecinos Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc) setiembre 2008 amarre fuerte 6

7 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? R = pa i + qa + ra k k i a Dependiendo del enlace: Metal Semi-conductor aislante Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc) setiembre 2008 amarre fuerte 7

8 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? R = pa i + qa + ra k k i a Metal Los electrones están libres dentro del espacio de la red Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc) setiembre 2008 amarre fuerte 8

9 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? R = pa i + qa + ra k k i a Semi-conductor y aislante Los electronesse encuentran atrapados en los enlaces Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc) setiembre 2008 amarre fuerte 9

10 De amarre (bonding) Eemplos de estados electrónicos en el enlace Anti-enlace (anti-bonding) setiembre 2008 amarre fuerte 10

11 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? QUÉ QUEREMOS SABER? 1- Estados electrónicos (función de onda y energía 2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías) (fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estados vibracionales) 3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energía entre ellos. (interacción electrón-fonón) setiembre 2008 amarre fuerte 11

12 Por qué estudiamos el método de amarre fuerte? QUÉ QUEREMOS SABER? 1- Estados electrónicos (función de onda y energía 2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías) (fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estados vibracionales) 3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energía entre ellos. (interacción electrón-fonón) PARA CALCULAR, EN FORMA SENCILLA, AUNQUE APRXIMADA, LOS ASPECTOS ANTERIORES, ESTUDIAMOS EL MÉTODO DE AMARRE FUERTE setiembre 2008 amarre fuerte 12

13 LINEAMIENTOS GENERALES DEL CÁLCULO EL método es útil porque preserva la simetría exacta del sistema, es decir, el Hamiltoniano tiene la misma simetría que la red cristalina descrita. Calcular las energías significa obtener el Hamiltoniano y resolver la Ecuación de Shrödinger. Para construir la matriz hamiltoniana, necesitamos una base completa de funciones. En nuestros caso, si queremos describir un metal (los electrones, las vibraciones y la interacción electrón-fonón), esas funciones deben ser soluciones de la Ecuación de Shrödinger que incluya la periodicidad del sistema. Los electrones pueden ser descritos por medio de ondas de Bloch (que tienen la periodicidad de la red), de la forma: i. n r = e kr ψ n r R R φ ( ) ( ) setiembre 2008 amarre fuerte 13

14 1 φ ( ) ( ) i. n r = e kr ψ n r R N R En general, de tres centros Los elementos de la matriz Hamiltoniana toman la forma 1 N R, R Número de celda unitarias El hamiltoniano es esférico: i ik.( R Ri) * r ψn r Ri ψm r R e d ( ) H ( ) Vector de desplazamiento desde el átomo donde se encuentra el orbital n al átomo donde se encuentra el orbital m H = H ( r R ) l R l setiembre 2008 amarre fuerte 14

15 R, R i ik.( R Ri) * r ψn r Ri ψm r R e d ( ) H ( ) Hipótesis: Entre más leos se encuentren los dos átomos en cuestión, más pequeño va a ser el integral. Por qué? No hay traslape porque están más leos Hay traslape porque están más cerca Entre mayor sea el traslape, mayor será el integral. Podemos limitar el número de vecinos!!! setiembre 2008 amarre fuerte 15

16 Primeros, segundos y terceros vecinos: cuántos hay de cada uno? PRIMEROS VECINOS 6 k i a SEGUNDOS VECINOS 12 TERCEROS VECINOS 8 VECINOS EN LA RED CÚBICA SIMPLE setiembre 2008 amarre fuerte 16

17 PRIMEROS VECINOS SEGUNDOS VECINOS TERCEROS VECINOS setiembre 2008 amarre fuerte 17

18 Podemos eliminar la suma por R i que repite los términos de la suma por R y así eliminamos el prefactor 1/N. Obtenemos: R ik.( R Ri) e dr ψ * ( r R ) Hψ ( r R ) n i m Para calcular el elemento H nm de la matriz Hamiltoniana debemos elegir: 1- la distancia máxima que tomaremos en cuenta para el cálculo concreto. Decimos, entonces, que el cálculo está hecho a primeros vecinos, a segundos vecinos, a terceros vecinos, etc. 2- Los estados u orbitales atómicos (n y m) que tomaremos en cuenta en cada uno de los átomos. A esto le llamaremos La base. setiembre 2008 amarre fuerte 18

19 El concepto de Base Órbitas externas ión setiembre 2008 amarre fuerte 19

20 El concepto de Base EN UN SÓLIDO: Electrones libres metálicos Electrones atómicos externos (de valencia) En un sólido, los electrones atómicos externos (de valencia) constituyen los enlaces entre iones (en semi-conductores o aislantes) o se convierten en electrones libres (en metales) tal y como lo ilustra la figura. setiembre 2008 amarre fuerte 20

21 Por la razón anterior, para calcular la matriz hamiltoniana, H nm, seleccionamos como base (como los estados electrónicos n y m) los orbitales atómicos externos del átomo que constituye el sólido. Es decir, R ik.( R Ri) e dr ψ * ( r R ) Hψ ( r R ) n i m Orbitales atómicos externos setiembre 2008 amarre fuerte 21

22 Un cálculo de amarre fuerte de la matriz H mn del Hamiltoniano: R ik.( R Ri) e dr ψ * ( r R ) Hψ ( r R ) n i m Comienza por especificar El número de vecinos que se toma en cuenta. Los orbitales átómicos que se toma en cuenta (número y tipo). setiembre 2008 amarre fuerte 22

23 Orbitales atómicos: Los números cuánticos para un átomo son: El número cuántico principal n El número cuántico del momento angular l (0, 1, 2, n-1) El número cuántico de la proyección del momento angular m (- l, - l + 1, - l + 2,, 0, 1, 2, + l) Nótese que para cada n hay n 2 estados atómicos diferentes sin tomar en cuenta el espín. Si lo tomamos en cuenta, habrá 2n 2. setiembre 2008 amarre fuerte 23

24 DEMOSTRACIÓN: n 1 l n 1 l= 0 m= l l= 0 1 = (2l+ 1) = (2n 1) (2n 1) (2n 1) + (2n 3) + (2n 5) n + 2 n + 2 n n= 2 n* n= 2n 2 n 1 l n 1 l= 0 m= l l= 0 1 = (2l+ 1) = (2n 1) = n setiembre 2008 amarre fuerte 24 2

25 En el caso de los sólidos definimos s l = 0 Un solo orbital m = 0 p x p l = 1 Tres orbitales p y p z d l = 2 Cinco orbitales d xy d zx d yz d x2-y2 d 2 2 3z +r setiembre 2008 amarre fuerte 25

26 La aproximación de dos centros Para calcular la expresión: R ik.( R Ri) e dr ψ * ( r R ) Hψ ( r R ) n i m 1- Consideraremos sólo los términos H(r-R i ) y H(r-R ) : A esta consideración se le conoce como la aproximación de dos centros. 2- Tomaremos el origen en R i. R ik.( R ) e dr ψ * () r Hψ ( r R ) n m setiembre 2008 amarre fuerte 26

27 R ik.( R ) e dr ψ * () r Hψ ( r R ) n m Con R = pa i + qa + ra k dr ψ () r Hψ ( r R ) = * n m dr ψ () r Hψ ( r pai qa rak) E ( p, q,) r * n m n, m setiembre 2008 amarre fuerte 27

28 EJEMPLO: RED CÚBICA SIMPLE Primeros vecinos, orbital s R 5 k i a R 4 R 1 R3 R 2 R 6 R = pa i + qa + ra k R = +a i R = -a i Etc. setiembre 2008 amarre fuerte 28

29 R ik.( R ) e dr ψ * () r Hψ ( r R ) n m (1) (1) ( s H s) ( s s) = * d r r n00 H r n00 ψ () ψ () + iaqi. * ia. * + e d ψn00() Hψn00( a) e qi r r r i + drψn00() r Hψn00( r+ ia) + iq. * ia. * + e d ψn00() Hψn00( a) e q r r r i + drψn00() r Hψn00( r+ ia) + iaqk. * ia. * + ψn00 ψ qk n00 + ψn00 ψn00 e dr () r H ( r ia) e dr () r H ( r ia) setiembre 2008 amarre fuerte 29

30 = e drψ () r Hψ ( r ia) + e drψ () r Hψ ( r+ ia) + etc. = iaqi. * iaqi. * s s s s = e E ( 100) + e E (100) = E (100)[ e + e ] iaqi. iaqi. iaqi. iaqi. ss ss ss ξ η ζ = ak = ak = ak x y z iaqi. iaqi. E (100)[ e + e ] = 2 E (100)cosξ ss ss setiembre 2008 amarre fuerte 30

31 Con lo cual obtenemos, (1) (1) ( s H s) ( s s) = = E (000) + 2 E (100)[cosξ + cosη+ cos ζ] ss ss TAREA: Obtener la Tabla II del artículo Phys. Rev. 94, 1498 (1954) setiembre 2008 amarre fuerte 31

32 setiembre 2008 amarre fuerte 32

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