ACERCA DE DE s-conexidad EN DIFERENTES ESTRUCTURAS DE CONTINUOS

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1 ACERCA DE DE s-conexidad EN DIFERENTES ESTRUCTURAS DE CONTINUOS Jesús Fernando Tenorio Arvide Instituto de Física y Matemáticas jtenorio@mixteco.utm.mx Resumen En este trabajo exponemos algunos conceptos referentes a la propiedad del punto fijo en Teoría de Continuos. En particular, describimos y demostramos ciertos hechos de s-conexidad en estos espacios que se utilizan a su vez para demostrar resultados de punto fijo en distintas estructuras de continuos. Palabras clave: continuos; s-conexidad; productos, conos y suspensiones topolǵicos; propiedad del punto fijo; semimargen suprayectivo cero; hiperespacios de continuos. 1. Introducción La temática de esta exposición pertenece a la Topología, en particular a la Teoría de Continuos. Un continuo es un espacio métrico, compacto y conexo. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] y la circunferencia unitaria son continuos. Los continuos, como todo espacio topológico, pueden tener o no tener muchas propiedades, la s- conexidad es una de ellas. En este trabajo discutimos este concepto, introducido por Marsh en 1983, y demostramos algunos hechos relacionados. Vemos también, en una serie de resultados enunciados, que esta propiedad ha sido muy utilizada para demostrar teoremas que involucran la propiedad de punto fijo en distintas estructuras de continuos, como son productos, conos, suspensiones e hiperespacios de continuos. 1

2 2 2. Preliminares En esta sección incluimos algunas definiciones básicas para poder entender el trabajo. Si desea ampliar la información de conceptos o de la teoría general de continuos puede consultar los excelentes trabajos [8], [3] y [9]. El resto de las definiciones son enunciadas en el momento en que sean requeridas. Además, enunciamos algunos resultados conocidos de s-conexidad y demostramos otros más. Un continuo es un espacio métrico, compacto y conexo. Un subcontinuo es un continuo contenido en un espacio. Por citar algunos ejemplos de continuos tenemos, el intervalo cerrado I = [0, 1]. La circunferencia unitaria S 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1}. El disco unitario D = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. La cerradura en R 2 del conjunto S = {(x, sin 1 x : x (0, 1]}. El producto de n intervalos cerrados [0, 1] n. Recordemos que a partir de ciertos espacios ya conocidos podemos construir otros más. Una manera de hacer esto es como sigue. Dado un espacio X, su cono topológico es el espacio cociente que resulta de identificar a un punto el conjunto X {1} en el cilindro de X, X I, denotamos este espacio por Cono(X). Similarmente, la suspensión topológica es el espacio cociente que resulta de indentificar a puntos distintos los conjuntos X {0} y X {1} en el cilindro de X, X I, este espacio lo denotamos por Sus(X). En 1983, Marsh define el concepto de s-conexidad para espacios conexos [5]. Sea X un espacio conexo y sean A y B subconjuntos cerrados y ajenos de X. Un subconjunto cerrado F X corta débilmente a X entre A y B si para cualquier subcontinuo C de X tal que C A y C B, se tiene que C F. El continuo X es s-conexo entre los subconjuntos cerrados y ajenos A y B si para cualquier subconjunto cerrado F X que corta débilmente a X entre A y B, se tiene que alguna componente K de F corta débilmente a X entre A y B. El continuo X es s-conexo si para cualquier par de subcontinuos A y B de X, se tiene que X es s-conexo entre A y B. Una propiedad importante de los continuos es la unicoherencia. Esta noción es como sigue.

3 Decimos que un continuo X es unicoherente si para cada par de subcontinuos A y B de X tales que X = A B se tiene que A B es un conjunto conexo. Existe una gran variedad de funciones entre continuos. Ahora recordamos un tipo de estas. Dada una función continua entre continuos f : X Y, decimos que f es monótona si para todo y Y, se tiene que f 1 (y) es conexo. Es decir, la fibra de cualquier elemento del contradominio de f es conexo. Ahora presentamos algunos resultados de s-conexidad, todos debidos a Marsh [5]. 1. Si un espacio métrico es s-conexo, entonces es unicoherente. 2. Un continuo localmente conexo es unicoherente si y sólo si es s-conexo. 3. En un espacio métrico, si G es una sucesión monótona decreciente de continuos s-conexos, entonces G es s-conexo. 4. La imagen monótona de un espacio s-conexo es s-conexo. Con estos resultados a la mano, establecemos el teorema siguiente, que nos dice que el cono de cualquier continuo X es s-conexo. Sólo bosquejamos su demostración. Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que Cono(X) es s- conexo. Demostración (bosquejo). Existe una sucesión de continuos localmente conexos Y 1, Y 2,..., Y n,... tales que X = i=1y i y Y i Y i+1, [3, Lemma 19.1]. No es difícil verificar que Cono(X) = i=1cono(y i ) y Cono(Y i ) Cono(Y i+1 ). Por otro lado, se tiene que Cono(Y i ) es localmente conexo y unicoherente. Luego, por el resultado 2. antes citado, se tiene que cada cada Cono(Y i ) es s-conexo. Así, por el resultado 3., se concluye que Cono(X) es s-conexo. Recordemos que entre el cono de un continuo y su suspensión existe una función natural: la función cociente. Más aún, si p : Cono(X) Sus(X) es la función cociente, entonces p es monótona. Puesto que la 3

4 4 s-conexidad se preserva bajo este tipo de funciones (por resultado 4. previo), obtenemos el siguiente corolario. Corolario. Para cualquier continuo X, se tiene que Sus(X) es s- conexo. Otro hecho relacionado con la s-conexidad lo encontramos en el siguiente teorema, su demostración se puede consultar en [10]. Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que el cilindro X [0, 1] es s-conexo entre X {0} y X {1}. Para terminar esta sección de preliminares recordamos la siguiente definición. Un continuo X tiene la propiedad del punto fijo si para cada función continua f : X X, existe un punto p X tal que f(p) = p. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] y el cuadrado [0, 1] 2 tienen la propiedad del punto fijo. Sin embargo, la circunferencia unitaria S 1 no tiene la propiedad del punto fijo. 3. s-conexidad y la propiedad del punto fijo La propiedad de s-conexidad es muy útil para obtener resultados de punto fijo. Sobre todo en espacios con estructuras de conos, suspensiones y productos de continuos y otras similares, como en ciertos hiperespacios. Fue en 1983 cuando Marsh [5] comienza a desarrollar una técnica de demostración que ha sido utilizada desde entonces. Para poder estlabler algunos de estos resultados, recordemos los siguientes conceptos básicos. Sean X y Y espacios métricos y ɛ > 0. Una función continua f : X Y es una ɛ-función si para todo y Y se tiene que diam(f 1 (y)) < ɛ. Un continuo X es tipo arco, si para cada ɛ > 0, existe una ɛ-función suprayectiva f ɛ : X [0, 1]. Otra propiedad topológica importante de los continuos es el margen. Distintos tipos de márgenes fueron definidos en 1964 por Lelek [4]. Dado un continuo X, denotamos por π 1 y π 2 la primera y segunda proyecciones naturales de X X sobre X, respectivamente. La diagonal del producto X X es el conjunto definido y denotado por

5 X = {(x, x) X X : x X}. Decimos que X tiene semimargen suprayectivo cero, σ 0(X) = 0, si para todo subcontinuo Z de X X tal que π 1 (Z) = π 2 (Z) = X, se tiene que Z X. Se conoce que los continuos tipo arco tienen semimargen suprayectivo cero. Esto fue probado por Lelek [4, p.210]. En suma, se tiene lo siguiente. (a) El intervalo cerrado [0, 1] es tipo arco. (b) Todo continuo tipo arco tiene semimargen su prayectivo cero. Enunciamos ahora resultados de punto fijo que involucran la s-conexidad demostrados por Marsh [5]. Teorema [Marsh]. Sea X un continuo. Si σ 0(X) = 0, entonces Cono(X) tiene la propiedad del punto fijo. Con esto se sigue que el cono sobre un continuo tipo arco tiene la propiedad del punto fijo. Teorema [Marsh]. Sean X y Y continuos. Si X es tal que σ 0(X) = 0 y Y es tipo arco, entonces X Y tiene la propiedad del punto fijo. Estos resultados ya han sido generalizados como lo vemos a continuación. El teorema siguiente y su corolario son parte de los resultados de mi tesis doctoral [10]. Se continua con las mismas estructuras de conos, suspensiones y productos de continuo. Las demostraciones también utilizan la s-conexidad, entre otra herramienta. Teorema. Si {X α : α J} es una familia de continuos tales que para cada α J, σ 0(X α ) = 0, entonces: (a) Sus( α J X α) (b) Cono( α J X α); 5 (c) α J X α tienen la propiedad del punto fijo. En particular, tenemos el siguiente corolario. Corolario. Si {X α : α J} es una familia de continuos tipo arco, entonces: (a) Sus( α J X α);

6 6 (b) Cono( α J X α); (c) α J X α tienen la propiedad del punto fijo. A continuación, pasamos a otras estructuras en continuos. Para esto, veamos los siguientes conceptos relacionados con los hiperespacios de continuos. Sean (X, d) un continuo, A X y ɛ > 0. La ɛ-bola o ɛ-nube en X alrededor de A y de radio ɛ es el conjunto N(ɛ, A) = {x X : d(x, A) < ɛ}. No es difícil demostrar que N(ɛ, A) = x A B ɛ(x). Sea X un continuo. Consideramos los siguientes conjuntos (1) 2 X = {A X : A es cerrado y A }; (2) C(X) = {A 2 X : A es conexo }; (3) F 1 (X) = {A 2 X : A tiene a lo más un punto}. En 2 X se define la métrica de Hausdorff: H(A, B) = inf{ɛ > 0 : A N(ɛ, B) y B N(ɛ, A)} la cual hace que los espacios 2 X, C(X) y F 1 (X), sean continuos. Estos son llamados el hiperespacio de cerrados, el de continuos y el de singulares de X, respectivamente. En el año 2002, J. Bustamente, R. Escobedo y F. Macías-Romero, demostraron lo siguiente [1] Teorema. Para cualquier continuo X, se tiene que C(X) es s- conexo. Ahora, una función de Whitney es una función continua µ : 2 X [0, 1]

7 7 tal que: (a) µ(x) = 0 para todo x X (b) Si A B A, entonces µ(a) < µ(b). Utilizando la s-conexidad de C(X), entre otros hechos, se tiene lo siguiente, también demostrado por J. Bustamente, R. Escobedo y F. Macías-Romero [1]. Teorema. Sea X un continuo con σ 0(X) = 0. Si µ es una función de Whitney para C(X) y 0 s t 1, entonces µ 1 ([s, t]) tiene la propiedad del punto fijo. En particular, C(X) tiene la propiedad del punto fijo. Por otro lado, en 1979, S. B. Nadler, Jr., introdujo el hiperespacio suspensión de un continuo X, éste es el espacio cociente: HS(X) = C(X)/F 1 (X). En 2004, R. Escobedo, María de J. López y S. Macías [2], también usando la s-conexidad de C(X), demostraron: Teorema. Sea X un continuo. Si σ 0(X) = 0, entonces HS(X) tiene la propiedad del punto fijo. En 1997 Marsh [6] presenta una serie de funciones que son variantes de lo que se conoce como función universal. Recordemos una de éstas. Definición. Decimos que una función f : X Y es semiuniversal con respecto a una clase H de subcontinuos de X si para cada K H tal que f(k) = f(x), y para cada función continua g : K X, existe un punto p K tal que f(p) = f(g(p)). Los siguientes teoremas son demostrados también utilizando, entre otros resultados, la noción de s-conexidad. Sus demostraciones las encontramos en [6]. Teorema. Sea X un continuo. Si la proyección natural π X : Cono(X) {v X } X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de Cono(X) que cortan débilmente a Cono(X) entre X {0} y el vértice {v X }, entonces Cono(X) tiene la propiedad del punto fijo.

8 8 Teorema. Sea X un continuo. Si la proyección natural π X : Sus(X) {v 1 X, v1 X } X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de Sus(X) que cortan débilmente a Sus(X) entre los vértices {v 1 X } y {v1 X }, entonces Sus(X) tiene la propiedad del punto fijo. Teorema. Sea X un continuo. Si la proyección natural π X : X [0, 1] X es semiuniversal con respecto a los subcontinuos de X [0, 1] que cortan débilmente a X [0, 1] entre X {0} y X {1}, entonces X [0, 1] tiene la propiedad del punto fijo. References [1] Bustamante, J., Escobedo, R., Macías-Romero, F. A fixed point theorem for Whitney blocks, Top. Appl., 125, pp , [2] Escobedo, R., López María de J., Macías, S. On the hyperspace suspension of a continuum, Top. Appl., 138, pp , [3] Illanes, A., Nadler, Jr., S. B., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, in: Monographs Textbooks Pure Appl. Math., vol. 216, Marcel Dekker, New York, [4] A. Lelek, On the surjective span and semispan of connected metric spaces, Colloq. Math. 37 (1977) [5] M. M. Marsh, s-connected spaces and the fixed point property, Top. Proc., 8 (1983) [6] M. M. Marsh, Some generalizations of universal mappings, Rocky Mountain J. Math. 27 (1997) [7] Marsh, M. M., Products of span zero continua and the fixed point property, Top. Proc., 8, pp , [8] Nadler, Jr., S. B., Continuum Theory: An Introduction, Monographs Textbooks Pure Appl. Math., vol. 158, Marcel Dekker, New York, [9] Nadler, Jr., S. B., The fixed point property for continua, Aportaciones Matemáticas de la Sociedad Matemática Mexicana, Textos, vol. 30, [10] Tenorio Arvide, J. F., Productos tipo disco y funciones inducidas a suspensiones de productos de continuos: Tesis doctoral, Director: Dr. Raúl Escobedo, FCFM, BUAP, 2007.

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