Ejercicio 2. Sean A, B dos sucesos tales que P (A) = 0 4, P (B) = 0 65 y P ( (A B) (A B) ) = Hallar P (A B).

Transcripción

1 Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Hoja 2, curso Ejercicio 1. Dados cuatro sucesos A, B, C y D, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos A ó C es igual a 0 75 y la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro sucesos A, B, C ó D es igual a Hallar la probabilidad del suceso G = no ocurre ni A ni C, pero al menos uno de los dos sucesos B ó D ocurre. Ejercicio 2. Sean A, B dos sucesos tales que P (A) = 0 4, P (B) = 0 65 y P ( (A B) (A B) ) = Hallar P (A B). Ejercicio 3. Dados dos sucesos A, B, demostrar que: 1. si P (A) = P (B) = 1, entonces P (A B) = 1; 2. ( P (A B) ) 2 P (A)P (B); 3. si P (A) + P (B) > 1, entonces A B. Ejercicio 4. Sean A, B dos sucesos tales que tales que la probabilidad de que ocurra A es 0 6, la de que ocurran A ó B es igual a 0 8 y, si se sabe que ha ocurrido B, la probabilidad de que ocurra A es igual a 0 5. Puede determinarse de forma única el valor de P (B)? (en caso afirmativo, determinar dicho valor, y en caso negativo justificar por qué no es posible su determinación única.) Ejercicio 5. Una ciudad tiene tres equipos de fútbol A, B y C y no hay nadie que sea socio de los tres equipos a la vez. El 20 % de los habitantes de la ciudad son socios del equipo A, el 10 % lo son del B y el 10 % del C. Si la mitad de los socios del A no son socios del C y la mitad de los socios del B lo son también del A, cuál es la probabilidad de que un habitante de dicha ciudad sea simultáneamente socio del equipo A y de algún otro equipo?, y la probabilidad de que alguien sea socio del equipo C, pero no del A? 1

2 Ejercicio 6. Una prueba de selección consta de dos preguntas tipo test. Se consideran aptos aquellos individuos que contesten correctamente a la segunda pregunta, independientemente de cómo hayan contestado a la primera. La primera pregunta tiene cuatro posibles respuestas. A los individuos que contestan correctamente a la primera pregunta, se les plantea una segunda pregunta con dos posibles respuestas, mientras que a quienes fallan la primera pregunta les proponen una segunda cuestión con ocho posibles respuestas. Si un individuo que se presenta a la prueba contesta a las preguntas al azar, a) cuál es la probabilidad de que sea considerado apto? b) cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a la primera pregunta y mal a la segunda? Ejercicio 7. Un taller de reparaciones tiene dos proveedores de bujías. El 60 % de las bujías que monta son de la marca A y el resto de la marca B. Si se sabe que el 1 % de las bujías de la marca A son defectuosas y el 2 % de las bujías de la marca B son defectuosas, a) cuál es la probabilidad de que una bujía montada en ese taller sea defectuosa? b) si una bujía montada en ese taller es defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea de la marca A? Ejercicio 8. En una transmisión binaria se codifican mensajes con los símbolos 0 y 1. Si el emisor transmite un 0, la probabilidad de que el receptor reciba un 0 es 0 8 y si el emisor transmite un 1, la probabilidad de que no haya error en la transmisión es 0 9. Si suponemos que el 60 % de los símbolos que se reciben son 0, responde a las siguientes preguntas: a) si el emisor transmite un único símbolo, cuál es la probabilidad de que éste sea 0? b) cuál es la probabilidad de que el mensaje transmitido por el emisor haya sido 0 si recibimos un 0? 2

3 Ejercicio 9. En un sistema de comunicación, los mensajes se codifican en base 3, es decir, con los tres símbolos 0, 1 y 2. La probabilidad de emitir cualquiera de los tres símbolos es la misma y se ha observado que el 0 y el 2 nunca se confunden, es decir, la probabilidad de recibir 0 si se ha emitido 2 (resp. recibir 2 si se ha emitido 0) es cero. Además sea cual sea el símbolo que emitimos, la probabilidad de recibir ese mismo símbolo es 0 9 y finalmente sabemos que cuando se emite 1, la probabilidad de recibir 0 y la probabilidad de recibir 2, es la misma. Calcular entonces, a) la probabilidad de recibir 1; b) la probabilidad de que el símbolo emitido haya sido 0 si se recibió 0. Ejercicio 10. Un circuito eléctrico está constituido por tres interruptores i 1, i 2 e i 3 como indica la figura. Cada interruptor está cerrado (deja pasar la corriente) con idéntica probabilidad 0 8, con independencia del estado de los demás interruptores. Consideremos los sucesos I j = el interuptor i j está cerrado y C= el circuito está cerrado. a) Si el interruptor i 1 está cerrado, cuál es la probabilidad de que el circuito esté cerrado? b) Si el circuito está cerrado, cuál es la probabilidad de que el interruptor i 1 esté cerrado? 3

4 Ejercicio 11. Una urna contiene 1 bola blanca y 2 rojas. Se extrae 1 bola al azar de la urna, y se restituye a la urna junto con otra del mismo color si la extraída resultó ser blanca, o se restituye junto con otras 2 rojas si la extraída resultó ser roja. A continuación, se extrae al azar una segunda bola de la urna. 1. Hallar la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja. 2. Si se sabe que la segunda bola extraída resultó ser roja, hallar la probabilidad de que también lo haya sido la primera. Ejercicio 12. El 80 % de las piezas que se producen en una empresa salen de una máquina que tiene una tasa de piezas defectuosas del 1 %. Del 20 % restante, la mitad están producidas por una máquina que tiene una tasa de defectos del 5 % y la otra mitad por una tercera máquina que tiene una tasa de piezas defectuosasa del 10 %. Se elige una pieza al azar de un gran lote de piezas producidas por la misma máquina y resulta defectuosa, 1. Cuál es la probabilidad de que el 1 % de las piezas producidas por la 2. Cuál es la probabilidad de que el 5 % de las piezas producidas por la 3. Cuál es la probabilidad de que el 10 % de las piezas producidas por la Supongamos que se restituye al lote la pieza anterior, y se extrae al azar una segunda pieza y resulta también defectuosa. 4. Cuál es la probabilidad de que el 1 % de las piezas producidas por la 5. Cuál es la probabilidad de que el 5 % de las piezas producidas por la 6. Cuál es la probabilidad de que el 10 % de las piezas producidas por la 4

5 Ejercicio 13. Un individuo debe seleccionar una de entre n respuestas a una pregunta formulada, de las que sólo una es correcta. Si el individuo conoce la respuesta correcta hará una selección adecuada, mientras que si no la conoce seleccionará la respuesta al azar entre las n 1 disponibles. Sea A el suceso seleccionar la respuesta correcta y B el suceso conocer la respuesta correcta antes de realizar la selección. Si P (B) = 0 25: 1. Hallar P (B A). 2. Demostrar que P (B A) P (B). 3. Probar que P (B A) es mayor cuanto mayor sea n. Ejercicio 14 (Junio 2005). La policía utiliza para los controles en carretera un test rápido para medir el nivel de alcohol en sangre, el cual falla el 10 % en conductores borrachos y el 20 % en conductores sobrios. Si un conductor da positivo, la policía lo traslada a un hospital y con una máquina más precisa repiten el test. Si un conductor esta sobrio la maquina acierta seguro, y si no lo está falla el 1 % de las veces. Sabiendo que el 15 % de los conductores controlados (a los que se les hace control en carretera) está borracho, se pide: a) A qué proporción de conductores controlados les da negativo en el segundo test? b) Si un conductor dio negativo en el segundo test, cuál es la probabilidad de que esté borracho? Ejercicio 15. Un proceso de selección consta de dos pruebas. En la primera de ellas hay que contestar a dos preguntas tipo test con cuatro posibles respuestas cada una. Si se contestan correctamente las preguntas de la primera prueba, en la segunda hay que contestar una pregunta de verdadero o falso, mientras que si sólo se acierta una de las preguntas de la primera prueba, la segunda consta de k preguntas de verdadero o falso. (Si se contestan erróneamente las dos preguntas de la primera prueba, no se tiene acceso a la segunda.) Un individuo es considerado apto si supera la segunda prueba. a) Si un individuo contesta las preguntas al azar, cuál es la probabilidad de que sea considerado apto? 5

6 b) Se sabe que un individuo que contestó a las preguntas al azar fue considerado apto, cuál es la probabilidad de que haya contestado correctamente todas las preguntas de la primera prueba? c) Obtén el número de preguntas k de las que tiene que constar la segunda prueba para que, de los individuos que contestan al azar, como mucho el 12 5 % sean considerados aptos y, de entre los aptos, no más del 25 % hayan contestado correctamente todas las preguntas de la primera prueba. Ejercicio 16 (Junio 2006). En un partido de tenis, el jugador que pone la bola en juego, tiene dos oportunidades para introducir la misma en el campo contrario (el primer y el segundo servicio), de tal modo que si falla en la primera ocasión, utilizará inmediatamente la segunda oportunidad, que ya es la definitiva. A lo largo de la presente temporada, Rafael Nadal ha logrado poner en juego un 71 % de sus primeros servicios y de los tantos que ha jugado con sus primeros servicios ha ganado el 69 %, mientras que cuando ha fallado su primer servicio (y ha utilizado el segundo servicio), ha logrado el 55 % de los puntos. a) Qué porcentaje de puntos ha ganado Nadal cuando estaba sirviendo? b) Si Nadal ha ganado un tanto al servicio, con qué probabilidad ha sido con su primer servicio? Ejercicio 17 (Junio 2006). Una empresa compra iguales cantidades de planchas de acero a 3 fabricantes, A, B y C, cuyos porcentajes de planchas defectuosas son, respectivamente A = 2 %, B = 5 % y C = 10 %. Se pide: a) Probabilidad de que una plancha tomada al azar sea defectuosa. b) Si la plancha elegida al azar es defectuosa, calcular la probabilidad de que provenga del fabricante C. 6