Tema 6.- Ortogonalidad y mejor aproximación.

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación 6- El producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad Desigualdades y teorema de Pitágoras 62- El complemento ortogonal de un subespacio 63- Bases ortogonales Bases ortogonales de un subespacio El método de Gram-Schmidt Matrices ortogonales 64- La proyección ortogonal Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la mejor aproximación 65- Problemas de mínimos cuadrados 67- Ejercicios Ecuaciones normales de Gauss Regresión lineal 68- Apéndice: MATLAB En este tema estudiamos la estructura métrica de los espacios R n, es decir, las cuestiones relacionadas con distancias y ángulos con especial énfasis en la ortogonalidad entre vectores y entre subespacios vectoriales En el estudio de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el álgebra de matrices, etc, podíamos considerar coeficientes reales o complejos de manera indistinta sin afectar ni a los conceptos ni a los resultados Aquí no sucede lo mismo El hecho de considerar vectores reales es esencial Para poder considerar conceptos métricos en los espacios C n, de vectores de coordenadas complejas, habría que considerar la definición apropiada (coherente) de producto escalar de vectores complejos, que se suele denominar producto hermítico (ver el apéndice dedicado a MATLAB) y habría que modificar el enunciado de algunas propiedades Al aplicar dicha definición, de vectores complejos, a vectores reales nos daría la definición usual que vemos a continuación y que el alumno conoce en dimensiones dos y tres Además de considerar las definiciones y propiedades básicas estudiaremos algunos tipos de matrices directamente relacionadas con la estructura metrica de los espacios de coordenadas reales (matrices de proyección ortogonal sobre un subespacio, matrices ortogonales,) 73

2 74 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación 6- El producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad El Producto escalar de dos vectores reales x, y R n es el número real x y = x y + x 2 y x n y n R 6- Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad Definiciones Consideremos x, y R n Se denomina Norma de un vector x R n al número real no-negativo Õ x = x x n 2 = x x 0 Se denomina Distancia entre dos vectores x, y R n al número real no-negativo Ortogonalidad d(x, y) = x y (a) Se dice que dos vectores x, y R n son ortogonales (x y) si x y = x T y = 0 (b) Se dice que un conjunto de vectores {v,,v m } de R n es un conjunto ortogonal si cada uno de los vectores v k es ortogonal a todos los demás, v k v j = 0, j k (c) Se dice que un conjunto de vectores {v,,v m } de R n es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal y cada uno de los vectores v k tiene norma uno, v k v j = 0, j k; v = = v m = Las propiedades del producto escalar, la norma, la distancia y la ortogonalidad son conocidas por el alumno para vectores en R 2 y en R 3 En los espacios R n, las propiedades son esencialmente las mismas Notemos que si considerasemos dichos conceptos de forma independiente de un sistema de referencia, en cada uno de ellos aparecen involucrados uno o dos vectores Algunas de las propiedades del producto escalar pueden obtenerse directamente del hecho de que el producto escalar de dos vectores puede expresarse como un producto matricial, vector-fila por vector-columna, x y = x T y = y T x Es inmediato comprobar que se verifican las siguientes propiedades: Propiedades- () El producto escalar es simétrico: x y = y x (2) El producto escalar es lineal en cada variable, es decir, siendo x, x, y, y R n y α, β, λ, µ R, (αx + βx ) y = αx y + βx y, x (λy + µy ) = λx y + µx y (3) x = 0 x = 0 (4) αx = α x, α R, x R n Notemos que el producto escalar No es asociativo Es decir, puede suceder que (x y)z x(y z) De hecho es lo más probable Ejercicio Busca un ejemplo e interpreta geométricamente el resultado Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 62- El complemento ortogonal de un subespacio Desigualdades y teorema de Pitágoras Teorema Sean x, y R n () Desigualdad de Cauchy-Schwartz: x y x y (2) Desigualdad triangular: x + y x + y ( x y x + y ) (3) Teorema de Pitágoras: x y x + y 2 = x 2 + y 2 Ejercicios ) Demuestra que x y x y, x, y R n 2) Qué relación tiene que haber entre los vectores x y y para que se verifique cada una de las siguientes igualdades? x + y = x + y, x y = x y, x y = x y, x y = x y El ángulo (los ángulos) determinado por dos vectores no-nulos x, y R n puede caracterizarse (definirse) mediante la igualdad x y = x y cos(θ) Los resultados clásicos de la geometría métrica plana, como el Teorema del seno o el Teorema del coseno, son válidos cuando consideramos vectores n dimensionales 62- El complemento ortogonal de un subespacio Definición (El complemento ortogonal de un subespacio) Dado un subespacio vectorial S de R n se denomina complemento ortogonal de S al conjunto S = {v R n : v u u S} Es decir, S está formado por todos los vectores que son ortogonales a todos los vectores de S Por tanto, el complemento ortogonal del subespacio nulo 0 es R n puesto que cualquier vector es ortogonal al vector nulo Por otra parte, el complemento ortogonal del espacio total R n es el subespacio nulo, puesto que el vector nulo (de R n ) es el único que es ortogonal a todos los vectores de R n Ejemplos Cuando se trabaja con el complemento ortogonal de un subespacio es conveniente tener presente cómo se puede caracterizar dicho complemento ortogonal cuando el subespacio viene dado en forma paramétrica o cuando viene dado en forma implícita En R 2, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen y su complemento ortogonal será (como es natural) la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada En R 3, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen Su complemento ortogonal será el plano que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada Un subespacio vectorial de dimensión 2 es un plano que pasa por el origen Su complemento ortogonal será la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular al plano dado Matemáticas I

4 76 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación () Consideremos un subespacio de dimensión en R 2, dado en forma paramétrica, es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas, dada por un vector dirección v Por ejemplo, para v = [2, ] T x = 2α S = Gen {v } = {v = αv : α R} x 2 = α, su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x, x 2 ] T R 2 que son ortogonales a todos los vectores de la forma αv, α R v S (αv ) v = 0, α R v v = 0 2x x 2 = 0 Es decir, el complemento ortogonal S está formado por los vectores v = [x, x 2 ] T R 2 cuyas coordenadas verifican la ecuación 2x x 2 = 0 Por tanto, S es un subespacio vectorial (de dimensión ) que viene dado en forma implícita y los coeficientes de la ecuación implícita son las coordenadas del vector dirección de S Si hubieramos considerado otro vector dirección de S (que será un múltiplo no-nulo de v ), habríamos obtenido una ecuación equivalente (2) Si consideramos un subespacio vectorial S de dimensión en R n, es decir una recta que pasa por el origen, generada por un vector no-nulo v R n S = Gen v = su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x,,x n ] T R n cuyas coordenadas verifican la ecuación a a n v v = 0 a x + + a n x n = 0 con lo cual S es un subespacio vectorial (de dimensión n ) que viene dado mediante una ecuación implícita y los coeficientes de dicha ecuación son las coordenadas del vector dirección de S Teorema Sea S un subespacio vectorial de R n () S es un subespacio vectorial de R n (2) S = S (3) S S = R n Es decir, (a) S S = {0} (b) S + S = R n Por tanto, todo vector v de R n se puede expresar de forma única como suma de un vector de S y un vector de S (Esto será consecuencia del teorema de la proyección ortogonal que veremos más adelante) (4) Si S = Gen {v,,v p }, entonces v S v v,,v v p Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 63- Bases ortogonales 77 Puesto que R n = S S cada vector v R n se puede expresar de forma única como v = u + w con u S y w = v u S El vector u es la proyección ortogonal de v sobre S y w es la proyección ortogonal de v sobre S El vector u = proy S (v) queda caracterizado por u = proy S (v) u S v u S Ejemplo Antes hemos obtenido el complemento ortogonal de un subespacio de R n de dimensión, que era un subespacio vectorial de dimensión n (estos subespacio se suelen denominar hiperplanos) Las propiedades anteriores permiten obtener fácilmente el complemento ortogonal de un subespacio de dimensión n dado en forma implícita W a x + + a n x n = 0 (para que esta ecuación defina un subespacio de dimensión alguno de los coeficientes a,, a n tiene que ser no nulo) Puesto que, como vimos antes, W = S siendo S = Gen tenemos que W = S = S Es decir, de manera inmediata obtnemos W en forma paramétrica El hecho de expresar el complemento ortogonal de una u otra forma paramétrica/implícita dependiendo de como venga expresado el subespacio vectorial: a a n S en forma paramétrica S en forma implícita S en forma implícita S en forma paramétrica queda reflejado con el siguiente Teorema Teorema (Los cuatro subespacios asociados a una matriz) Sea A una matriz real m n Se verifica: [Col (A)] = Nul (A T ), [Nul (A)] = Col (A T ) El espacio Col (A T ) se suele denominar espacio fila de la matriz A Notemos que en lo que se refiere a las dimensiones de los complementos ortogonales tenemos dim [Col (A)] = dim Nul (A T ) = m pivotes de A T = m rang (A) = m dim (Col(A)) Puesto que cualquier subespacio vectorial se puede expresar como el espacio columna de una matriz tenemos que para cualquier subespacio vectorial S de R m se verifica dim S = m dim (S) Matemáticas I

6 78 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación 63- Bases ortogonales 63- Bases ortogonales de un subespacio Una base ortogonal de un subespacio vectorial S es una base de S formada por vectores que son ortogonales dos a dos Para calcular las coordenadas de un vector respecto de una base genérica de S hay que resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya soluci on son las coordenadas del vector respecto de dicha base Como veremos en la sección 64, la principal ventaja, de tener una base ortogonal de un subespacio, es que el cálculo de las coordenadas de un vector respecto de dicha base es particularmente sencillo y se tiene una fórmula para dichas coordenadas (ver el desarrollo de Fourier) Una base ortonormal de un subespacio vectorial es una base formada por vectores que son ortogonales dos a dos y unitarios (con norma igual a ) Teorema Si {v, v 2,,v r } es un conjunto de vectores no-nulos ortogonales dos a dos, entonces son linealmente independientes Demostración- Si tenemos una combinación lineal de los vectores dados igual al vector nulo α v + α 2 v α r v r = 0 ( ) al multiplicar escalarmente por el vector v tenemos (α v + α 2 v α r v r ) v = 0 v = 0 Desarrollando el primer miembro de la igualdad α v v + α 2 v 2 v + + α r v r v = æ = α v 2 + α α r 0 = 0 usando la condición de ortogonalidad puesto que v 0 é = = α = 0 De manera análoga, al multiplicar escalarmente la igualdad ( ) por un vector v k,k = 2,,r, se obtiene æ é α 0 + α α k v k 2 puesto + + α n 0 = 0 α que v k 0 k = 0 Por tanto, la única combinación lineal que es igual al vector nulo es la combinación lineal idénticamente nula (todos los coeficientes son nulos) Es decir, los vectores dados son linealmente independientes Cuando se tiene un conjunto ortogonal de vectores no-nulos y se normalizan (se divide cada uno por su norma), obtenemos un conjunto ortonormal de vectores que formarán una base ortonormal del subespacio vectorial que generan Vamos a considerar ahora las propiedades de las matrices cuyas columnas son ortonormales Más adelante veremos el caso particular de las matrices cuadradas cuyas columnas son ortonormales Proposición Sea U = [u,,u n ] una matriz real m n () U tiene columnas ortonormales U T U = I (2) Si U tiene columnas ortonormales, entonces conserva ángulos y distancias Es decir (Ux) (Uy) = x y, x, y R n En particular, Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 632- El método de Gram-Schmidt 79 (a) Ux = x, x R n (b) Ux Uy x y 632- El método de Gram-Schmidt En los temas anteriores hemos visto cómo obtener una base de un subespacio vectorial a partir de un conjunto de vectores que genere dicho subespacio vectorial El método de ortogonalización de Gram-Schmidt, que vamos a describir, permite construir, de manera progresiva, una base ortogonal de un subespacio vectorial a partir de una base de dicho subespacio e incluso de un conjunto de vectores que genere el subespacio, sin necesidad de que los vectores sean linealmente independientes Partiendo de una base {v, v 2,,v p } de un subespacio S, el método consiste en generar uno a uno vectores que son ortogonales a los construidos Denotamos por S, S 2, los subespacios vectoriales definidos por S = Gen {v },S 2 = Gen {v, v 2 },,S p = Gen {v, v 2,,v p } = S El método de Gram-Schmidt consiste en generar los vectores: u = v S, u 2 = v 2 proy S (v 2 ) S 2, es decir, u 2 es el único vector de la forma u 2 = v 2 + αu que es ortogonal a u, u 3 = v 3 proy S2 (v 3 ) S 3, es decir, u 3 es el único vector de la forma u 3 = v 3 + αu + βu 2 que es ortogonal a u y a u 2, Notemos que, puesto que los vectores {v, v 2,,v p } son linealmente independientes, los subespacios S S 2 S p = S son todos distintos (dim (S k ) = k, k =, 2,, p), los vectores u, u 2,,u p son todos nonulos y linealmente independientes y se verifica que S = Gen v = Genu, S 2 = Gen {v, v 2 } = Gen {u, u 2 }, S 3 = Gen {v, v 2, v 3 } = Gen {u, u 2, v 3 } = Gen {u, u 2, u 3 }, S p = Gen {v,,v p } = = Gen {u,, u p } Teorema (Método de ortogonalización de Gram-Schmidt) Consideremos una base {v, v 2,, v p } de un subespacio vectorial S de R n Entonces, los siguientes vectores están bien definidos Matemáticas I

8 80 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación u = v u 2 = v 2 v 2 u u 2 u u 3 = v 3 v 3 u u 2 u v 3 u 2 u 2 2 u 2 u p = v p v p u u 2 u vp u p u p 2 u p y son no-nulos y ortogonales dos a dos Además, para cada k =,, p, {u, u 2,,u k } es una base ortogonal de S k = Gen {v, v 2,,v k } En particular {u, u 2,,u p } es una base ortogonal de S = Gen {v, v 2,,v p } Observaciones (a) Si el objetivo es obtener una base ortonormal de S, una vez que se ha obtenido una base ortogonal basta normalizar los vectores obtenidos (b) En cada paso del método de Gram-Schmidt que acabamos de describir podríamos multiplicar (o dividir) el vector obtenido por un coeficiente no-nulo y seguir los cálculos con dicho vector (c) Qué sucede al aplicar el método de Gram-Schmidt a un conjunto de vectores linealmente dependientes? 633- Matrices ortogonales Un caso particularmente importante de matrices reales con columnas ortonormales lo constituyen las matrices cuadradas con dicha propiedad Definición (Matriz ortogonal) Se denomina matriz ortogonal a toda matriz Q real cuadrada no-singular cuya inversa coincide con su traspuesta, Q = Q T Ejercicio Prueba las siguientes propiedades de las matrices ortogonales () Si Q es ortogonal = det (Q) = ± (2) Q es ortogonal Q T es ortogonal (3) Si Q y Q 2 son ortogonales, entonces Q Q 2 es ortogonal Proposición Sea Q una matriz real cuadrada n n Son equivalentes: () Q es una matriz ortogonal (2) Las n columnas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) (3) Las n filas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 64- La proyección ortogonal 8 Observación- Notemos que el que las columnas de una matriz (real) sean ortonormales es equivalente a que lo sean las filas sólo en el caso de una matriz cuadrada Una matriz real no cuadrada puede tener columnas (o filas) ortonormales sin serlo sus filas (o columnas) Por ejemplo, las matrices 0 0, , tienen sus columnas ortonormales pero no sus filas Las traspuestas tienen filas ortonormales pero no columnas 64- La proyección ortogonal 64- Proyección ortogonal sobre un subespacio Si consideramos el subespacio vectorial S, de dimensión uno (una recta), generado por un vector, u, no-nulo, S = Gen {u }, la proyección ortogonal de un vector v R n sobre S será el vector u = αu S que verifica que v u = v αu es ortogonal a S Es decir, tenemos que determinar α con la condición de que v αu sea ortogonal a u, (v αu ) u = v u α u 2 = 0 α = v u u 2 = u = proy S (v) = v u u 2u, = u = v u u No hay que confundir el vector proyección ortogonal de v sobre (la recta que genera) otro, u, que es un vector v u u 2u, con la magnitud de dicha proyección ortogonal, v u u, que es un número real Para un subespacio de dimensión arbitraria puede darse una expresión de la proyección ortogonal de un vector sobre dicho subespacio cuando disponemos de una base ortogonal de dicho subespacio Considerando una base ortonormal puede darse una expresión cómoda de la matriz de la proyección ortogonal Teorema (de la descomposición ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n Dado cualquier vector v R n existe un único vector u S (llamado proyección ortogonal de v sobre S) tal que v u S De hecho, si {u, u 2,,u r } es una base ortogonal de S, entonces la proyección ortogonal de v sobre S es y la proyección ortogonal de v sobre S es u := proy S (v) = v u u 2u + + v u r u r 2u r w = v u Matemáticas I

10 82 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Demostración- Dada una base ortogonal {u,u 2,,u r } de S y un vector genérico v R n, sea u S el vector definido por u = v u u 2u + + v u r u r 2u r Vamos a comprobar que u es la proyección ortogonal de v sobre S Para ello hay que comprobar que v u S (puesto que obviamente u S) o lo que es equialente, que v u es ortogonal a los vectores u,u 2,,u r (que generan S) Basta calcular (v u) u k,k =,2,,n, (v u) u k = Por tanto, w = v u S con lo cual v v u u 2u v u r u r 2u r u k = v u k v u k u k 2u k u k = 0 u = proy S (v) u S, v u S, w = v u = proy S (v) w S, v w = u S Notemos que: Cada sumando de la expresión v u u 2u + + v u r u r 2u r nos da la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio generado por el correspondiente vector u k El vector u = proy S (v) verifica que u 2 v 2 y expresando u 2 en términos de la base ortogonal dada esta desigualdad es la desigualdad de Bessel considerada en la siguiente proposición Corolario Sea {u, u 2,,u r } una base ortogonal de un subespacio S de R n Entonces: (a) Desigualdad de Bessel: Para cada vector v R n se verifica que v 2 u + + u v 2 ur v 2 u r Además, en la desigualdad de Bessel se verifica la igualdad si, y sólo si, v S (b) Las coordenadas de un vector u S respecto de dicha base vienen dadas por u u k u k 2, es decir, se verifica que u = u u u 2u + + u u r u r 2u r La expresión anterior se suele denominar desarrollo de Fourier de v respecto a la base {u, u 2,, u r } Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 64- La proyección ortogonal 83 (c) Identidad de Parseval: Para cada u S se verifica que u 2 u 2 u u 2 ur = + + u u r Demostración (a) La desigualdad de Bessel está relacionada con la proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por el conjunto ortogonal de vectores dados Dado un vector v R n, consideremos el vector u = proy S (v) S obtenido en el teorema de la descomposición orotogonal u = v u u 2u + + v u r u r 2u r y sea w = v u Aplicando el teorema de Pitágoras a v = u + w,(u w) obtenemos v 2 = u 2 + w 2 u 2 Ahora basta calcular u 2 usando la expresión de u, u 2 = u u = v u u 2u + + v u r u r 2u r = = n i,j= v u u k v u i u i 2 v u j u j 2u i u j = 2 + n k= v u u 2 v u u 2u + + v u r u r 2u r v uk u k 2 2 u k u k v ur 2 u r En la desigualdad obtenida se verifica la igualdad si y sólo si v 2 = u 2 w = v u = 0 v = u S (b) Basta tener en cuenta que si u S, entonces proy S (u) = u y aplicar el teorema de la descomposición ortogonal (c) Para obtener la igualdad de Parseval basta tener en cuenta lo que sucede con la desigualdad de Bessel cuando se aplica a un vector de S Corolario (Matriz de una proyección ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n (a) Si {u, u 2,,u r } es una base ortonormal de S, la proyeción ortogonal de un vector v R n sobre S es u := proy S (v) = (v u )u + + (v u r ) u r (b) Siendo U una matriz cuyas columnas forman una base ortonormal de S, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S = UU T, es decir proy S (v) = UU T v, v R n Matemáticas I

12 84 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Aunque puedan considerarse distintas matrices U como en el enunciado, la matriz P S = UU T que representa a la proyección ortogonal, respecto a la base canónica, es única Las propiedades características de las matrices de proyección ortogonal son: P 2 S = P S, UU T 2 = U(U T U)U T = UIU T = UU T, y P S es simétrica, UU T T = (U T ) T U T = UU T En el ejercicio 0 se consideran las matrices de proyección generales (no necesariamente proyecciones ortogonales) y la determinación de los subespacios proyección y proyectante a partir de la matriz de la proyección 642- El teorema de la mejor aproximación El teorema de la mejor aproximación resuelve el problema de la mínma distancia de un punto a un subespacio vectorial Dado un subespacio vectorial S de R n y un punto/vector x R n, se trata de minimizar la distancia de x a un punto/vector genérico w S, min { x w : w S}, y de obtener el punto/vector donde se alcanza dicho mínimo Este problema se puede plantear como un problema de optimización en varias variables (cálculo diferencial de varias variables) sin más que expresar un vector genérico w S como combinación lineal arbitraria de los vectores de un base de S El teorema de la mejor aproximación nos dirá que es equivalente resolver el problema de mínima distancia (la mejor aproximación a x desde S) que el problema de la proyección ortogonal sobre S La mínima distancia de x a S se alcanza en proy S (x) (y en ningún otro punto) Teorema (de la mejor aproximación) Sea S un subespacio vectorial de R n y consideremos un vector x R n y un vector y S Son equivalentes: (a) y es la proyección ortogonal de x sobre S, es decir, y S, x y S (b) y es la mejor aproximación de x desde S, es decir, y S, x y x w para todo w S S x Sea y = proy S (x) y sea w S Puesto que S O w y x w = (x y)+(y w), x y S, y w S, aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos x w 2 = x y 2 + y w 2 x y 2 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 65- Problemas de mínimos cuadrados Problemas de mínimos cuadrados 65- Ecuaciones normales de Gauss En términos generales, resolver un problema en el sentido de los mínimos cuadrados es sustituir un problema en el que hay que resolver un sistema de ecuaciones (que no tiene solución) por el problema de minimizar una suma de cuadrados Ejemplo El problema de la regresión lineal Si consideramos dos magnitudes, x e y, de las que suponemos que están relacionadas mediante una igualdad del tipo y = ax + b, donde tenemos que determinar a y b mediante la obtención de resultados experimentales, y dichos resultados son x x x 2 x n y y y 2 y n los valores a y b los obtendremos de la resolución del sistema de ecuaciones lineales ax + b = y ax 2 + b = y 2 ax n + b = y n x x 2 x n æ é a b Lo habitual es que un sistema de ecuaciones como el anterior no tenga solución Resolver el sistema anterior en el sentido de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores a y b para los cuales la suma de cuadrados = y y 2 y n (ax + b y ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) (ax n + b y n ) 2 es mínima (si hubiera solución dicho valor mínimo sería cero) Puesto que esta suma de cuadrados es el cuadrado de la norma del vector y los vectores de la forma x x 2 x n x x 2 x n æ é a b æ é a b y y 2 y n a, b R forman el espacio columna S de la matriz considerada, resolver el sistema en mínimos cuadrados es determinar el vector de S más cercano al término independiente considerado y resolver el sistema (que será compatible) con ese nuevo término independiente Para un sistema genérico de ecuaciones lineales Ax = b, resolverlo en el sentido de los mínimos cuadrados es determinar el vector (o vectores) x R n para los cuales Ax b es mínima Puesto que los vectores Ax recorren el espacio columna de A (cuando x recorre R n ), Ax b será mínima para los vectores x R n tales que Ax es igual a la proyección ortogonal de b sobre el espacio Col (A) Matemáticas I

14 86 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación R n A Rm b O x O Ax proy S (b) Col (A) Teorema Consideremos un sistema de ecuaciones Ax = b, A matriz real m n, b R m, S = Col (A) y sea ˆx R n Son equivalentes: (a) ˆx es solución en mínimos cuadrados del sistema Ax = b, es decir, Aˆx b Ax b, x R n (b) ˆx verifica Aˆx = proy S (b) (c) ˆx verifica las ecuaciones normales de Gauss A T Aˆx = A T b Observaciones (a) El sistema de ecuaciones Ax = proy S (b) (sistema m n) y el sistema A T Ax = A T b (sistema n n) son siempre compatibles y tienen el mismo conjunto de soluciones (b) El sistema Ax = proy S (b) será compatible determinado (es decir el problema en mínimos cuadrados tendrá solución única) si y sólo si el sistema homogéneo asociado Ax = 0 tiene solución única Por tanto, el sistema Ax = b tiene solución única en mínimos cuadrados las columnas de A son linealmente independientes (rango(a) = n) 652- Regresión lineal En el epígrafe anterior hemos planteado el problema de la regresión lineal Resolviendo en mínimos cuadrados el sistema planteado se obtiene la recta de regresión de y sobre x (en el planteamiento del sistema, la variable y está expresada en función de x) para la nube de puntos dada Notemos que la resolución en mínimos cuadrados considerada consiste en determinar la recta que hace mínima la suma de cuadrados de las distancias sobre la vertical de los puntos dados a la recta Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 65- Problemas de mínimos cuadrados 87 y k ax k + b Y y = ax + b X x k De forma similar (y resultado distinto, por lo general) podríamos haber planteado el problema de determinar una recta x = αy + β que pase por los puntos (x k, y k ), k =,,n dados Por lo general, el sistema resultante αy + β = x αy 2 + β = x 2 αy n + β = x n y y 2 y n æ é α β no tiene solución y su resolución en el sentido de los mínimos cuadrados permite determinar la recta que hace mínima la suma de cuadrados de las distancias sobre la horizontal de los puntos dados a la recta La recta que se obtiene mediante la resolución en mínimos cuadrados del sistema anterior se denomina recta de regresión de x sobre y para la nube de puntos dada Notemos que cualquier recta que no sea paralela a ninguno de los ejes coordenados puede expresarse mediante y = ax+b y mediante x = αy+β Sin embargo, no es equivalente resolver en el sentido de los mínimos cuadrados el sistema asociado a una u otra expresión Y = x x 2 x n y k x = αy + β X x k αy k + β Desde un punto de vista más genérico que el de la regresión lineal (ajustar una recta a una nube de puntos), puede considerarse el problema de ajustar, a una nube de puntos del plano (x, y ),,(x n, y n ), una curva de un cierto tipo (dada por un tipo de ecuación explícita y = f(x) o implícita F(x, y) = 0) Así, podemos considerar el problema de determinar la parábola (de eje principal vertical) y = ax 2 + bx + c, Matemáticas I

16 88 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación la circunferencia x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 que mejor se ajusta, en el sentido de los mínimos cuadrados, a una nube de puntos dada En cualquier caso, se trata de problemas que llevan a sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución y se resuelven en el sentido de los mínimos cuadrados Un planteamiento similar al de ajustar una curva a una nube de puntos es válido para ajustar una superficie en R 3, de un tipo prefijado, a una determinada nube de puntos (x, y, z ),, (x n, y n, z n ) Por ejemplo, puede considerarse el problema de ajustar, en el sentido de los mínimos cuadrados, a los puntos dados, un plano dado por la ecuación z = ax + by + c (regresión lineal z sobre (x, y)); una esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0; Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 66- Ejercicios Ejercicios Ejercicio () Demuestra el Teorema de Thales que afirma que los ángulos inscritos en una semicircunferencia son todos rectos (2) Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, rectángulo en A y sean M, N y P los puntos medios de los segmentos AB, BC y AC respectivamente Dado un punto genérico, X, del segmento AB, consideremos el punto, Y, del segmento BC y el punto Z del segmento AC tales que AXY Z es un rectángulo Demuestra que el triágulo XNZ es un triángulo rectángulo isósceles (3) Determina la ecuación que deben cumplir los puntos P = (x, y) del plano desde los cuales el segmento AB de extremos A = (, 0) y B = (0, ) se ve con un ángulo θ [0, π] Estudia en particular los casos θ = π 2, θ = 0, θ = π y θ = π 3 Ejercicio 2 Sea u = [, 2, 3] T () Describe geométricamente el conjunto de vectores v R 3 que verifican, respectivamente, v u = 0 v u = 2 v u = 4 v u = 2 (a), (b), (c), (d) v = v = v = v = 2/ 4 (2) Calcula el radio y el centro de la circunferencia dada por las siguientes ecuaciones v u = 3 v = Ejercicio 3 Halla una base y unas ecuaciones implícitas de E y de F siendo E y F los subespacios E = Gen 0 2, 2 2 3, 0 2 y F 2x + y + 3z t = 0 3x + 2y 2t = 0 3x + y + 9z t = 0 Ejercicio 4 Indica la respuesta correcta: Si v y w son dos vectores linealmente independientes de R n y S es el subespacio de R n de ecuaciones implícitas v t x = 0, w t x = 0, entonces S es el espacio nulo de la matriz [v, w] cuyas columnas son v y w R n = S Gen {v, w} Ninguna de las dos afirmaciones anteriores es correcta Matemáticas I

18 90 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 5 Expresa el vector (, 3,, 4) T como suma de dos vectores u + v siendo u proporcional a (2,, 0, ) T y v u Ejercicio 6 Halla la proyección ortogonal de los siguientes vectores sobre los subespacios que se indican: () (4,, 3, 2) T sobre el subespacio definido por x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 (2) (,,, ) T sobre el subespacio de R 4 dado por: x y + z 2t = 0, E y + z = 0 (3) (3, 4, 5) T sobre el subespacio f(e) siendo f la aplicación lineal dada por la matriz A = y E el subespacio de R 3 dado por x y z = 0 Ejercicio 7 Halla una base de (E + F) siendo E y F los subespacios de R 3 dados por E {3x + y 2z = 0} y F {x + 7y + z = 0, x y z = 0}, Ejercicio 8 Demuestra: () El producto de matrices ortogonales es ortogonal (2) La suma de matrices ortogonales puede no ser ortogonal Ejercicio 9 Dadas las bases ortonormales de R 2 B = B 2 = u = / 2, / T 2, u2 = / 2, / T 2 w = /2, T 3/2, w2 = T 3/2, /2 y halla la matriz correspondiente al cambio de una de esas bases a la otra Comprueba que la matriz de paso es ortogonal Ejercicio 0 Matrices de proyección Sea P una matriz cuadrada real de orden n tal que P 2 = P y sean E y F definidos por E = {x R n : Px = x} y F = {x R n : Px = 0} Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 66- Ejercicios 9 (a) Demuestra que E y F son subespacios vectoriales (b) Demuestra que E F = R n (c) Comprueba que P es la matriz de la proyección sobre E en la dirección de F (d) Demuestra que si P es simétrica entonces E y F son uno el complemento ortogonal del otro (con lo cual P es la matriz de la proyección ortogonal sobre E) Ejercicio Halla el vector perteneciente al subespacio de R 4 generado por los vectores que está más cerca del vector (,,, ) T (2, 0,, 2) T, (, 2, 2, 0) T y(, 2, 0, 2) T Ejercicio 2 Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre cada uno de los siguientes subespacios de R 4 : () el subespacio generado por (0, 2,, 0) T y (,, 0, ) T (2) el subespacio generado por (0, 0, 2, ) T y (,,, 0) T x 3y + z + t = 0 (3) Sobre E y sobre E, siendo E 2x 5y + z + 2t = 0 ser, la suma de ambas matrices vale I Comprueba que, como debe Ejercicio 3 Sea u R m un vector no nulo y y sea T : R m R m la transformación lineal definida mediante T(x) = x u x u 2u (a) Prueba que T es lineal y calcula la matriz A asociada (b) Prueba que A 2 = A (o lo que es lo mismo T T = T) (c) Es A invertible? (d) Prueba que Ax x para cualquier x R m (e) Describe esta transformación en términos geométricos para m = 2 y para m = 3 Ejercicio 4 Sea S un subespacio vectorial de R m y sean P S y P S las matrices de la proyección ortogonal sobre S y sobre S respectivamente (a) Calcula la matriz de la simetría respecto a S y la matriz de la simetría respecto a S (b) Prueba que P S P S = P S P S = 0 (c) Calcula el espacio columna y el espacio nulo de P S Matemáticas I

20 92 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 5 Dado el subespacio S R 3 definido por x 2x 2 + 2x 3 = 0, se pide: (a) Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre S Cuál es la matriz de la proyección ortogonal sobre S? (b) Determina una base de S (c) Demuestra que Col (A) = S, siendo A = (d) Halla el vector de S que dista menos de v = (,, ) T Ejercicio 6 Aplica el método de Gram-Schmidt a; (a) La base de R 4, (, 0,, 0) T, (,, 0, 0) T, (0,,, ) T, (0,,, 0) T (b) Las columnas de las matrices A = 0 0 Ǒ, B = 2 2 Ejercicio 7 La proyección ortogonal del vector v = (5, 2, 3) T sobre la recta x = y, y = z es: (,, ) T (3, 3, 3) T (2, 2, 2) T Ejercicio 8 Halla una base ortonormal de Col (A) y otra de Nul (A) siendo A = 0 0 Ejercicio 9 Dado el vector u R n, que verifica u t u =, se define la familia de matrices A = I (α+)uu t, con α R Discutir, según los valores del parámetro α, cuándo la matriz A es ortogonal Ejercicio 20 Consideremos el subespacio E definido mediante E = Gen (a, 0, 0, 0) T, (a, a, b, 0) T, (a, b, a, ) T, a, b R Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 66- Ejercicios 93 (a) Hallar una base ortonormal del subespacio E según los valores de a y b (b) Hallar la matriz de la proyección ortogonal sobre E, cuando a = 0 (c) Calcular los valores de los parámetros a y b tales que el subespacio dado por las ecuaciones x = 0 5x + x 2 + 3x 3 = 0 2x + 3x 2 x 3 + x 4 = 0 sea ortogonal a E Ejercicio 2 Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por v = 3, v 2 = 2α α 3, u = α 0 ; S x + x 2 + αx 3 = 0 Determina α sabiendo que proy S (v ) = proy S (v 2 ) = u (un dibujo puede ayudar) Ejercicio 22 Sea A una matriz cuadrada de orden 25 cuyo rango es 2 Qué sucede al aplicar el método de Gram-Schmidt a los vectores columna de A? Cuántas veces? Por qué? Ejercicio 23 Sean S y S 2 los subespacios vectoriales de R 4 definidos mediante S x + x 2 + x 3 + x 4 = 0, y S 2 x + x 2 x 3 x 4 = 0 (a) Determina el vector v R 4 cuyas proyecciones ortogonales sobre S y S 2 son, respectivamente, u = proy S (v) = 5, u 2 = proy S2 (v) = 7 3 (b) Siendo S y S 2 los subespacios vectoriales dados en el apartado anterior, calcula la matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio S = S S 2 Ejercicio 24 Sea A una matriz 4 3 tal que Nul (A) = Gen 3 5, Col (A) = Gen v = 0, v 2 = (a) Calcula la proyección ortogonal del vector v = [ ] T R 4 sobre el subespacio Col (A) Matemáticas I

22 94 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (b) Determina la matriz A sabiendo que es de la forma A = 0 2 Ejercicio 25 Sean Q (n n) y Q 2 (m m) dos matrices ortogonales Sea Q la matriz dada por bloques de la siguiente manera æ é Q U Q =, V Q 2 donde U y V son matrices con las dimensiones adecuadas Probar que Q es ortogonal si, y sólo si, U = 0 y V = 0 Ejercicio 26 Resolver en el sentido de los mínimos cuadrados los siguientes sistemas de ecuaciones () x =, x = 7, x = 3, x = 2 (2) x = a, x = a 2,, x = a n, siendo a, a 2,, a n números reales Qué se obtiene cuando alguno de los valores a k aparece repetido? æ é æ é 2 (3) Ax = b siendo A = y b = 4 Ejercicio 27 Resuelve en el sentido de los mínimos cuadrados los dos sistemas equivalentes siguientes (que tendrían las mismas soluciones exactas si fueran compatibles) x + x 2 = 3 2x + 2x 2 = 4 y x + x 2 = 3 x + x 2 = Ejercicio 28 Dados el subespacio E = Gen [, 0, 0, ] T, [0,, 0, 2] T, [0, 0,, ] T y la matriz A = (a) Calcular una base de E a b a 2 2 a 3 b 2 2 b 3 (b) Hallar la matriz de la proyección ortogonal sobre E (c) Calcular A sabiendo que Col (A)) está contenido en E (d) Resolver en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Ax = b con b = (,, 0, 0) t Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

23 66- Ejercicios 95 Ejercicio 29 Calcular las rectas de regresión y = ax + b y x = αy + β para los datos: x y Ejercicio 30 Por el método de los mínimos cuadrados, ajustar una parábola, y = ax 2 + bx + c, a los puntos (, 3), (, ), (, 2) y (, ) Ejercicio 3 Resolviendo el sistema sobredeterminado que se obtiene de la ecuación general de la circunferencia x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, calcular la circunferencia que mejor se ajuste, en el sentido de los mínimos cuadrados a los puntos (0, 0), (, 0), (0, ) y (, ), indicando las coordenadas del centro y el radio de la misma Ejercicio 32 Se supone que el número de horas de autonomía de un avión está relacionada con las cantidades de dos tipos de combustible x y x 2 (que se pueden utilizar de manera indistinta o mezclados) mediante y = c x + c 2 x 2 Después de realizar un experimento se obtienen los siguientes datos x 0 2 x y Cuáles son los mejores coeficientes c y c 2 en el sentido de los mínimos cuadrados? Ejercicio 33 Consideremos el sistema 0 2 x y = 3 3 á Sus æecuaciones é æ normales é æ é de Gauss son: 6 x 4 = 4 y 8 æ é æ é æ é 6 2 x 2 = 2 4 y 4 æ é æ é æ é 6 2 x 4 = 2 4 y 8 Ejercicio 34 Considera los vectores v, v 2, v 3 y v 4 de R 4 y la matriz C dados por v = 2 0, v 2 = 0 2 2, v 3 = 2 3, v 4 = 8 2 ; C = v v 2 (a) Calcular la matriz de la proyección ortogonal sobre S = Gen {v, v 2, v 3 }, el vector de S más cercano a v 4 y la distancia de v 4 a S (b) Resolver, en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Cx = v 3 Matemáticas I

24 96 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 35 Sea S el subespacio vectorial de R n definido por la ecuación x + x x n = 0 Calcula la matriz P de la proyección ortogonal sobre S y resuelve, en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Px = 0 0 Interpreta geométricamente el resultado (en dimensión 2 y en dimensión 3) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

25 67- Apéndice: MATLAB Apéndice: MATLAB Ahora podemos describir algunos de los comandos de Matlab, relacionados con la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, que no pudieron ser descritos en el Tema 4 El problema de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales uno de los problemas centrales del álgebra lineal Para poder describir todas las capacidades y las herramientas que usa MATLAB para tratar con dicho problema necesitaríamos conceptos y resultados que se encuentran en temas posteriores No obstante, citaremos los comandos básicos y sus características generales, aunque sin entrar en demasiados detalles Producto escalar: DOT Para obtener el producto escalar (también llamado producto interior o producto punto) de dos vectores x e y de la misma longitud (vectores fila o vectores columna) basta con utilizar el comando dot Al ejecutar > dot(x,y) se obtiene el producto escalar de los vectores x e y Si se trata de vectores complejos x = (x k ) = (x + ix,, x n + ix n ), x, x,, x n, x n R, y = (y k ) = (y + iy,, y n + iy n), y, y,, y n, y n R, dicho producto escalar/hermítico está definido mediante x y = x y + x 2 y x n y n = [x x n ] Si se trata de dos vectores columna, el producto escalar puede obtenerse mediante las operaciones matriciales dadas por la expresión > x *y que es aplicable tanto a vectores reales como complejos Cuando el comando dot se aplica a dos matrices con las mismas dimensiones se obtienen los productos escalares/hermíticos de las columnas correspondientes (primera con primera, segunda con segunda, ) Norma de un vector: NORM La norma que hemos estudiado de un vector x real se denomina norma euclidea o norma-2 Tanto si se trata de un vector fila como si se trata de un vector columna, la orden > norm(x) proporciona la norma del vector x El comando norm también es aplicable a vectores complejos y a matrices Tanto si se trata de vectores x = (x k ) reales como complejos la norma viene dada por x = + x x = + x x + + x n x n = + Õ y y 2 y n x x n 2 No entraremos en el significado del resultado que se obtiene cuando x es una matriz Matemáticas I

26 98 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Ángulo: SUBSPACE Mediante la orden > t=subspace(x,y) se obtiene el ángulo t determinado por dos vectores columna x e y El comando subspace también puede ser aplicado para obtener el ángulo determinado por dos subespacios, pero no entraremos en detalles Sistemas de ecuaciones: MLDIVIDE Recordemos que, en lo que se refiere a la resolución de un sistema de ecuaciones Ax = b (A matriz m n, b vector m y x vector incógnita n ), el comando básico es \ (mldivide) y que, en la que descripción que hicimos de dicho comando en el Tema 4, se dejaban abiertas algunas cuestiones relativas al significado del resultado que se obtiene en los casos de sistema incompatible En estos casos, el resultado que da Matlab al ejecutar cualquiera de las órdenes > x=a\b > x=mldivide(a,b) es una solución x, en el sentido de los mínimos cuadrados, del sistema Ax = b Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, en el sentido de los mínimos cuadrados, MATLAB selecciona una con un cierto criterio relacionado con el rango de A Ejemplo- () >> A=rand(4,3); >> b=rand(4,); y resolvemos el sistema mediante el comando \, >> x=a\b Es el vector x obtenido solución del sistema dado? Para comprobarlo basta con calcular el vector diferencia Ax b >> er=a*x-b que será el vector nulo si x es solución del sistema, y será un vector no-nulo si se trata de una solución en el sentido de los mínimos cuadrados Para obtener el conjunto de todas las soluciones, en el sentido de los mínimos cuadrados, de un sistema que tenga infinitas soluciones en mínimos cuadrados basta con seguir las mismas pautas que al considerar un sistema compatible indeterminado Recordemos que resolver un sistema en mínimos cuadrados no es otra cosa que resolver un sistema compatible asociado Bases ortonormales Subespacio dado en forma implícita: NULL Dada una matriz A, al ejecutar la orden Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

27 67- Apéndice: MATLAB 99 > Z = NULL(A) se obtiene una matriz Z cuyas columnas forman una base ortonormal del espacio nulo de A De esta forma AZ es una matriz nula, el número de columnas de Z, size(z,2) es la nulidad de A (dimensión del espacio nulo) y, en el caso de que A sea real, Z T Z = I Recordemos que null admite una opción null(a, r ) que da una base del espacio nulo de A obtenida a partir de la forma escalonada reducida de A Ejemplo- (2) Al ejecutar >> A=[ 2 0 2; ; ]; >> Z=null(A) obtenemos Z = con lo cual las dos columnas de la matriz Z forman una base ortonormal del espacio nulo de la matriz A Subespacio dado en forma paramétrica: ORTH Dada una matriz A la orden > Q=orth(A) proporciona una matriz Q Las columnas de esta matriz Q forman una base ortonormal del subespacio generado por las columnas de A De esta forma, el número de columnas de Q es el rango de A y, en el caso real, la matriz Q verifica que Q T Q = I (no confundir con la igualdad QQ T = I) Matriz de giro en el plano: PLANEROT Siendo X un vector columna real de dos coordenadas, > [G,Y] = planerot(x) nos da la matriz G del giro que lleva el vector X sobre el semieje positivo de abscisas y el vector Y resultante de aplicar dicho giro al vector X Es decir, Y () 0, Y (2) = 0, Y = G X Ajuste de Datos: POLYFIT, POLYVAL Consideremos en el plano un conjunto de puntos con coordenadas respectivas (x(), y()),, (x(n), y(n)) El comando polyfit permite ajustar un polinomio de un cierto grado a los puntos dados Concretando, siendo X el vector (fila o columna) dado por las primeras coordenadas de los puntos considerados, siendo Y el vector (fila o columna) dado por las segundas coordenadas de los puntos considerados y siendo N un número natural, mediante la orden Matemáticas I

28 200 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación > p= polyfit(x,y,n) se obtienen los coeficientes p=[p(),,p(n),p(n+)] del polinomio de grado menor o igual que N, p()t N + p(2)t N + + p(n)t + p(n + ) que mejor se ajusta a los puntos dados en el sentido de los mínimos cuadrados Es decir, se obtiene la solución, en el sentido de los mínimos cuadrados, del sistema dado por las ecuaciones p()x(k) N + p(2)x(k) N + + p(n)x(k) + p(n + ) = y(k), k =, 2,, n con incógnitas p(),,p(n), p(n + ) Consultar la ayuda de MATLAB sobre el comando polyfit para saber qué sucede cuando entre los puntos dados hay coordenadas x repetidas o cuando N es mayor o igual que n Mediante el comando polyval se puede obtener el valor del polinomio de coeficientes p en una o varias abscisas x prefijadas Siendo x un vector, al ejecutar la orden > y=polyval(p,x) se obtinen los valores y que alcanza el polinomio de coeficientes p en los correspondientes valores de x Para obtener una recta de regresión basta tomar N = Mediante la orden > p=polyfit(x,y,) se obtienen los coeficientes p = [a, b] de la recta de regresión y = ax + b (y sobre x) asociada a la nube de puntos dada y mediante > q=polyfit(y,x,) se obtienen los coeficientes q = [c, d] de la recta de regresión x = cy + d (x sobre y) asociada a la misma nube de puntos Ejemplo- (3) Vamos a resolver, directamente, el Ejercicio 35 usando MATLAB Tenemos que tomar un valor concreto de n, por ejemplo n = 0 Teniendo en cuenta que S = Nul [ ], obtenemos una base ortonormal de S mediante >> A=ones(,0); >> Z=null(A) que da como resultado la matriz Z Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

29 67- Apéndice: MATLAB 20 Z = cuyas columnas forman una base ortonormal de S La matriz de la proyección ortogonal sobre S se puede obtener mediante >> P=Z*Z que da como resultado P = El término independiente b del sistema que hay que resolver en mínimos cuadrados es >> b=zeros(0,); >> b()=; >> b(2)=; y una solución en mínimos cuadrados de Px = b es >> x=p\b x = 0e+04 * Matemáticas I

30 202 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicios (MATLAB) Ejercicio 36 Consultar la ayuda de MATLAB sobre las funciones/comandos: \ (mldivide), polyfit (a) Resuelve los ejercicios 26, 27, 29, 30, 3 y 32 utilizando el comando \ (planteando previamente el sistema de ecuaciones apropiado) (b) Resuelve los ejercicios 29 y 30 utilizando el comando polyfit Ejercicio 37 Diseña una función en MATLAB que tenga como argumento de entrada un número natural n y que genere de forma aleatoria n puntos del plano, dibuje dichos puntos y las rectas de regresión y sobre x y x sobre y correspondientes a dicha nube de puntos (todo en la misma gráfica) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química