3. Volumen de un sólido.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos de cuerpos sólidos. Volume de u sólido co seccioes paralelas de área coocida. Ua secció de u sólido S es la regió plaa que se otiee cortado el sólido S co u plao. Queremos calcular el volume de u sólido como el de esta figura. Para ello, supoemos que coocemos el área de cada ua de las seccioes paralelas que producimos e el sólido S. Deotaremos por A( x ) al área de la secció correspodiete al puto x y cosideramos ua partició del itervalo [, ] a x0 = a< x < x < < x < x =. Cortamos el sólido S e rodajas por plaos paralelos P perpediculares al eje OX e los putos x de la partició. Oserva la siguiete figura.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. Ahora aproximaremos la rodaja etre los plaos correspodietes a los putos x y x por u cilidro co área de la ase Ax ( ). El volume de la rodaja será aproximadamete igual al volume del cilidro que es V = A( x) ( x x ). Etoces teemos que Volume de la ésima rodaja = ( ) V A( x) x x. El volume V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmees de los cilidros y oteemos etoces la aproximació = ( ) V V A( x) x x. Esta aproximació es ua = = suma de Riema de la fució A: x [ a, ] A( x) que determia el área de cada ua de las seccioes perpediculares. Puesto que la aproximació del volume mejorará cuado la orma de la partició que elegimos tieda a cero, defiimos el volume del sólido S como la itegral de la fu- a,. ció A e el itervalo [ ] DEFINICIÓN. Se defie el volume de u sólido S co seccioes paralelas de área coocida, dada por la fució cotiua [ ] A: x a, A( x), como la itegral Axdx ( ). EJEMPLO. Vamos a calcular el volume de ua cuña que se produce al cortar u cilidro de radio por dos plaos como se muestra e la siguiete figura. Uo de los plaos es perpedicular al eje del cilidro y el otro forma co el primero u águlo de 45º. a

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. Las seccioes paralelas perpediculares al eje OX so rectágulos de altura x y ase Etoces, la fució que os da el área de estas seccioes es 9 x. Por tato, V x x dx ( x ) [ ] A: x 0, A( x) = x 9 x. = 9 = 9 = 9 = Ahora calcularemos el volume de sólidos de revolució que se otiee al hacer girar la regió A: = ( x, y) : a x,0 y f( x), f : x a, f( x) ua fució siedo [ ] cotiua y positiva defiida e el itervalo [ a, ]. Veremos dos procedimietos: la fórmula de los plaa { } discos y la fórmula de los tuos. Fórmula de los discos. Supogamos que la regió A gira alrededor del eje OX. Etoces geeramos u sólido S de forma que las seccioes trasversales por plaos perpediculares al eje OX so círculos de radio f ( x ). De aquí el omre de fórmula de los discos. El área A( x ) del disco producido por el corte correspodiete a x es, por tato, Ax ( ) = π ( f( x) ) y, de acuerdo co la fórmula V = f( x) dx. a de las seccioes paralelas oteemos que π ( ) DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS). Se defie el volume del sólido S que se otiee al girar la regió A alrededor el eje OX como la itegral V = π ( f( x) ) dx. a EJEMPLO. La regió etre la curva y = x, co 0 x 4, y el eje OX

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. se hace girar alrededor de este eje para producir el siguiete sólido 4 4 El volume es ( ) V = π x dx= π xdx= 8 π. 0 0 Fórmula de los tuos. Supogamos que la regió A se ecuetra a la derecha de la recta vertical x = L. Supoemos etoces que a L. 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. Geeramos u sólido S al hacer girar esta alrededor de la recta x = L. Para calcular el volume de este sólido cosideramos ua partició x0 = a< x < x < < x < x = del itervalo [ a, ] y sea c : = ( x + x) el puto medio del suitervalo [ x ],. x Aproximamos la regió que gira por medio de rectágulos co ase e los putos de la partició co logitud de la ase x x y altura f ( c ). Si este rectágulo gira alrededor de la recta x = L geera u tuo cuyo volume V viee V = π c L f( c ) x x. dado por ( ) ( ) Aproximamos ahora el volume de S por la suma de los volúmees V de los tuos geerados por ( ), que es ua los rectágulos de la partició. Etoces V V = π ( c L) f c ( x x ) suma de Riema de la fució ( x L) f( x). = = El límite de esta suma de Riema cuado P 0 proporcioa el volume del sólido S como la itegral = π ( ) V x L f( x) dx. DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS TUBOS). Se defie el volume del sólido S que se otiee al girar la regió A alrededor de la recta x = L como la itegral V = π ( x L) f( x) dx. EJEMPLO. Vamos a calcular el volume del sólido que se otiee al girar, alrededor del eje OY, la regió acotada por la curva y x 0, 4 y el eje OX. = e el itervalo [ ] a a 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. La variale del grosor del tuo es x, de forma que los límites de itegració para la fórmula de los tuos so a = 0 y = 4. Por lo tato, el volume es π π 0 0 8π V = x x = x =. 5 5 EJERCICIO. Cosideremos el sólido de la figura, formado por la uió de u cilidro de altura uidad y radio r y ua porció de paraoloide de revolució de altura r y mismo radio. Calcula el volume de dicho sólido. r EJERCICIO. () Etre todos los rectágulos del plao YOZ iscritos e la paráola de ecuació z = a y (siedo a > 0 ) y co ase e el eje OY, calcula el que tiee área máxima. () Para cada valor x0 [0,], cosidera la paráola del tipo aterior coteida e el plao x = x0 y cuyo vértice está e el segmeto que ue los putos (,0,0) y (0,0,). Costruimos el sólido cuya secció co cada plao x = x0 es el rectágulo de área máxima iscrito e la paráola cosiderada e dicho plao (mira la figura siguiete). Calcula el volume de dicho sólido. EJERCICIO. Calcula el volume del sólido que se otiee al girar alrededor del eje OY la regió limitada por las gráficas de las curvas y = x + x+ e y =, siedo 0 x. 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. + y 4 y las seccioes pa- EJERCICIO 4. Calcula el volume del sólido cuya ase es el círculo ralelas perpediculares a dicha ase so cuadrados. x EJERCICIO 5. Calcula el volume de u sólido saiedo que su ase es u círculo de radio uidad y las seccioes paralelas perpediculares a dicha ase so triágulos equiláteros. EJERCICIO 6. Calcula el volume de ua pirámide recta de altura h y ase cuadrada de lado. EJERCICIO 7. Se taladra u agujero cilídrico de radio a través del cetro de ua esfera maciza de radio a, siedo a >. Calcula el volume del sólido resultate. x y EJERCICIO 8. Calcula el área de la elipse de ecuació + =, siedo a>, 0. A cotiuació, a halla el volume del sólido V situado e el octate positivo del espacio que se otiee apoyado elipses sore el arco C de circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio 4 del plao y = 0 y e la recta r que pasa por los putos (4,0,0) y (0,,0), que so paralelas al plao OYZ y tiee su cetro e el eje OX. EJERCICIO 9. () Calcula por itegració el área de u segmeto paraólico de ase y altura h. Oserva la siguiete figura de la izquierda. () Calcula el volume del sólido cuya ase es el iterior de la elipse x + 4y = 4 y los cortes perpediculares a la ase y paralelos al semieje meor so segmetos paraólicos de altura determiada por la paráola que pasa por los vértices del semieje mayor y cuyo vértice V está situado a tres uidades del cetro de la elipse. Oserva la siguiete figura de la derecha. 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes. h EJERCICIO 0. () Calcula ua primitiva de la fució x cosh( ax ), siedo a ua costate aritraria o ula, es decir, calcula x cosh( ax) dx, co a 0. () Calcula las dos solucioes reales x < 0 < x de la ecuació () Calcula el volume del sólido V que se otiee al girar la regió plaa alrededor del eje OY. 7 cosh x= cosh( x). 8 7 A: = ( x, y) : 0 x x, cosh( x) y cosh x 8 8

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