Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido. Prof. Farith J. Briceño N.

Transcripción

1 Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido. Prof. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Volumen de un sólido : Secciones transversales. Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de la arándela. Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones. Código : MAT-CDI.9 Ejercicios resueltos Ejemlo : Sea S un sólido con base circular de radio. Las secciones transversales aralelas, erendiculares a la base, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido. Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación + = Círculo de centro (; ) radio. + = Sean A (; ) B (; ) untos del círculo, así, =, con lo cual la base del triángulo ABC, es jabj = ; es decir, jabj = Dado que el triángulo es equilátero, el área de la sección transversal es el volumen del sólido es A () = A ABC = V = Z (base) = A () d = Z = d = : F Ejemlo : Determinar el volumen de una cuña, cortada or un cilindro circular or un lano, que asando or el diámetro de la base está inclinado resecto a ella formando un ángulo. El radio de la base es igual a R.

2 Solución : Tomamos el eje como el diámetro de la base, or el que asa el lano de corte el eje, erendicular al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será + = R. Se uede veri car or triángulos semejantes que la sección transversal, ABC, de la cuña erendicular al diámetro que se encuentra a la distancia del origen de coordenada es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos or () a la base altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a Por lo tanto, A () = A ABC = jabj jbcj = () () tan = () V = RZ R A () d = RZ R () Desejando de + = R la eresión, se tiene que () = R V = RZ R A () d = RZ () tan d = tan tan d RZ tan :, uesto que es una función ar, obtenemos R d = tan : Ejemlo : Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos de radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen de su sólido de intersección. Solución : Tenemos F z - - Cilindros horizontales que se intersectan erendicularmente Sólido intersección entre los cilindros Observemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuo lado se etiende a lo largo de los dos círculos que generan los cilindros, así Z a V = Za a d = a d = 6a a a F

3 Ejemlo : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada or las curvas = + + +, = los ejes coordenados alrededor de la recta vertical =. Solución : Obtenemos la gra ca de la región en el intervalo [; ]. Así Si = entonces = () + () + () + = Si = entonces = () + () + () + = además, la función = es creciente en [; ], a que or lo que, = = + + > ; Región limitada or las curvas = ; = ; eje eje Observe que el comortamiento de la función fuera del intervalo [; ] no es de interés ara la obtención del volumen del sólido. Como debemos girar alrededor de la recta = usamos el método de las caas (también conocido como el método de las envolventes cilindrícas ó el método de los cascarones) Rectángulo reresentativo ara el método de las caas Sólido de revolución generado Como es conocido, el volumen viene dado or Z V = () R () d donde () : distancia del rectángulo reresentativo al eje de revolución R () : longitud del rectángulo reresentativo.

4 Calculamos (). Ha varias manera de encontrar (), una de ellas es la siguiente Consideremos el rectángulo reresentativo colocado en el etremo izquierdo del intervalo, es decir, en =, la distancia de ese rectángulo al eje de revolución (recta = ) es igual a, así, obtenemos el unto (; ) Consideremos el rectángulo reresentativo colocado en el etremo derecho del intervalo, es decir, en =, la distancia de ese rectángulo al eje de revolución (recta = ) es igual a, así, obtenemos el unto (; )..... Buscamos la recta que asa or estos dos untos (; ) (; ), la cual tiene como ecuación = () = +. Por otra arte, R () = () = La integral que nos roorciona el volumen viene dada or +, entonces, Z V = ( + ) d; or lo tanto, V = 7 F Ejemlo : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región del ejemlo alrededor de = 6. Solución : Es conocido que la región es Región limitada or las curvas = ; = ; eje eje

5 Como debemos girar alrededor de la recta = 6 usamos el método de las arandelas Rectángulo reresentativo ara el método de las arándelas Sólido de revolución generado.. de aquí Radio maor = 6 = 6 Radio menor = = El volumen es Z V = (6) d = 967 F Ejemlo 6 : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada or las curvas = 8, =, alrededor de =. Solución : La reresentación grá ca de la región es Región limitada or las curvas = 8, = Buscamos los untos de intersección entre las curvas 8 = =) 8 = =) = Giramos la región alrededor de la recta = odemos usar el método de las arándelas, ero nos llevaría a calcular dos integrales ( Porqué?), así que usaremos el método de los cascarones.

6 Rectángulo reresentativo ara el método de las caas Sólido de revolución generado donde Como es conocido, el volumen viene dado or Z V = () R () d () : distancia del rectángulo reresentativo al eje de revolución R () : longitud del rectángulo reresentativo. Calculamos (). Calculamos de otra manera a la realizada anteriomente (ejemlo ). Como () reresenta una distancia, sea la osición de un rectángulo reresentativo arbitrario, así ls distancia de ese rectángulo al eje de revolución es () = ( ) = + Por otra arte, R () = 8 = 8. La integral que nos roorciona el volumen viene dada or Z V = ( + ) 8 d =) V = 8: F Ejercicios. La base de un sólido es un disco circular de radio. Calcule el volumen del sólido si las secciones transversales erendiculares a la base son triángulos rectángulos isósceles, cua hiotenusa se encuentra sobre la base del sólido.. La base de un sólido es la región limitada or = =. La sección transversal del sólido erendicular al eje es un cuadrado. Encuentre el volumen del sólido.. Encuentre el volumen del casquete de una esfera con radio r altura h.. La base de un sólido es un círculo con un radio r unidades todas las secciones lanas erendiculares a un diámetro jo de la base son triángulos rectos isósceles que tiene la hiotenusa en el lano de la base. Encontrar el volumen del sólido.. La base de un sólido es la región interior del círculo + =. Encuentre el volumen del sólido si toda sección transversal mediante un lano erendicular al eje es un cuadrado. 6. La base de un sólido está limitada or un arco de = cos, = =. Toda sección transversal erendicular al eje es un cuadrado aoado sobre su base. Encuentre el volumen del sólido. 7. Dos cilindros rectos circulares, cada uno con radio r unidades, tiene ejes que se intersectan en ángulos rectos. Encontrar el volumen del sólido común a los dos cilindros. 6

7 8. La base de un sólido es la región R limitada or = =. Toda sección transversal erendicular al eje es un semicírculo cuo diámetro se etiende a lo largo de R. Encuentre el volumen del sólido. 9. Una cuña se corta de un sólido en forma de cilindro recto circular con un radio de r ul or un lano que asa a través de un diámetro de la base forma un ángulo de con el lano de la base. Encontrar el volumen de la cuña.. La base de un sólido es la región limitada or las arábolas = =. Obtenga el volumen del sólido si las secciones transversales erendiculares al eje son cuadrados con un lado a lo largo de la base del sólido.. La altura de un monumento es de m. Una sección transversal horizontal que está a una distancia de metros de la arte suerior es un triángulo equilátero cuo lado mide = metros. Calcule el volumen del monumento.. (a) La base de un sólido es un cuadrado con vértices en (; ), (; ), ( ; ) (; ). Cada sección transversal erendicular al eje es un semicírculo. Obtenga el volumen del sólido. (b) Demuestre que cortando el sólido considerado en la arte a, se le uede reacomodar ara formar un cono. Luego, calcule su volumen.. Un servilletero se obtiene racticando un agujero cilíndrico en una esfera de modo que el eje de aquél ase or el centro de ésta. Si la longitud del agujero es h, demostrar que el volumen del servilletero es ah, siendo a un número racional.. Un sólido tiene una base de radio. Cada sección roducida or un lano erendicular a un diámetro jo es un triángulo equilátero. Calcular el volumen del sólido.. Las secciones transversales de un sólido or lanos erendiculares al eje son cuadrados con centros en dicho eje. Si al cortar or el lano erendicular en el unto de abscisa, se obtiene un cuadrado cuo lado es, se trata de hallar el volumen del sólido entre = = a. 6. Hallar el volumen de un sólido cua sección transversal or un lano erendicular al eje tiene de área a + b + c ara cada del intervalo h. Eresar el volumen en función de las áreas B, M B de las secciones transversales corresondientes a =, = h fórmula del rismatoide. 7. Encuentre el volumen de un cono circular recto de altura h radio de la base r. = h, resectivamente. La fórmula que resulta se conoce or 8. Encuentre el volumen de un tronco de un cono circular recto con altura h, radio de la base inferior R radio suerior r. 9. Encuentre el volumen del tronco de una irámide con base cuadrada de lado b, cuadrado suerior de lado a altura h. >Qué sucede se a = b? >Si a =?. Encuentre el volumen de una irámide con altura h base rectangular con dimensiones b b.. Encuentre el volumen de una irámide con altura h un triángulo equilátero con lado a (un tetraedro) como base.. Encuentre el volumen de un tetraedro con tres caras erendiculares entre sí tres aristas erendiculares entre sí con longitudes de cm, cm cm.. Encuentre el volumen de S, si la base de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversales aralelas erendiculares a la base, son cuadrados.. Encuentre el volumen de S, si la base de S es la región arabólica (; ) =. Las secciones transversales erendiculares al eje son triángulos equiláteros.. Encuentre el volumen de S, si S tiene la misma base que la del ejercicio, ero las secciones transversales erendiculares al eje son cuadrados. 6. Encuentre el volumen de S, si la base de S es la región triangular con vértices (; ), (; ) (; ). Las secciones transversales erendiculares al eje son semicírculos. 7. Encuentre el volumen de S, si S tiene la misma base que la del ejercicio 6, ero las secciones transversales erendiculares al eje son triángulos isósceles con altura igual a la base. 8. (a) Enuncie una integral ara obtener el volumen de un toro sólido con radio r R. (b) Interrete la integral como un área halle el volumen del toro. 7

8 9. Se recorta una cuña de un cilindro circular de radio mediante dos lanos. Uno de los lanos es erendicular al eje del cilindro. El otro se interseca con el rimero en un ángulo de a lo largo de un diámetro del cilindro. Encuentre el volumen de la cuña.. Encuentre el volumen común a dos esferas cada una con radio r, si el centro de cada una se encuentra en la suer cie de la otra.. La base de un cierto sólido es un triángulo equilátero de lado a, con un vértice en el origen una altura a lo largo del eje. Cada lano erendicular al eje corta al sólido en una sección cuadrada con un lado en la base del sólido. Hallar el volumen.. Cada lano erendicular al eje corta a un cierto sólido en una sección circular cuo diámetro está en el lano se etiende desde = hasta =. El sólido está entre los untos de intersección de estas curvas. Hallar su volumen.. Si la base de un sólido es un círculo con un radio de r unidades si todas las secciones lanas erendiculares a un diámetro jo de la base son cuadradas, encontrar el volumen del sólido.. Se corta una cuña de un cilindro de r ul or medio de dos lanos, uno erendicular al eje del cilindro el otro intersectando al rimero en un ángulo de 6 a lo largo de un diámetro de la sección lana circular, encontrar el volumen de la cuña.. La base de un sólido es un círculo que tiene un radio de r unidades. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones lanas erendiculares a un diámetro jo de la base son triángulos equiláteros. 6. Resolver el ejercicio (de aula) si los triángulos rectos isósceles tienen un cateto en el lano de la base. 7. Encontrar el volumen de una irámide recta que tiene una altura de h unidades una base cuadrada de a unidades de lado. 8. La base de un sólido es un círculo con un radio ul cada sección lana erendicular a un diámetro jo de la base es un triángulo isósceles que tiene una altura de ul una cuerda del círculo como una base. Encontrar el volumen del sólido. 9. La base de un sólido es un círculo con un radio de 9 ul cada sección lana erendicular a un diámetro jo de la base es un cuadrado que tiene una cuerda del círculo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido.. Una cuña se corta de un sólido en forma de cono recto circular que tiene un radio de la base de ul una altura de ul or medios de dos lanos a través del eje del cono. El ángulo entre los dos lanos es de. Encontrar el volumen de la cuña cortada.. Dibuje la región R limitada or las grá cas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre desués el volumen del sólido generado or la rotación de R alrededor del eje. : = ; = ; = : = = ; = ; = ; = 8 : = ; = ; = : = = ; = ; = ; = : = ; = ; = ; = 6: = ; = ; = ; =. Dibuje la región R limitada or las grá cas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre desués el volumen del sólido generado or la rotación de R alrededor del eje. : = ; = ; = ; : = ; = 6; = ; : = ; = ; = ; : = 9 ; = ; : = = ; = 8; = ; 6: = = ; = ; = ;. Dibuje la región R limitada or las grá cas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre desués el volumen del sólido generado or la rotación de R alrededor del eje indicado. Región En torno Región En torno : = ; = ; = : + = ; = ; = ; eje : = + ; = ; = : + = ; = ; = ; = ; eje : = = ; = ; = ; = 6: = ; = ; = ; = 8

9 . Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor del eje de la región limitada or la mitad suerior de la elise a + b = el eje, encuentre desués el volumen del esferoide alargado, Aquí, a b son constantes ositivas, siendo a > b.. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor del eje de la región limitada or la recta = la arábola =. 6. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor del eje de la región limitada or la recta = la arábola =. 7. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor del eje de la región del rimer cuadrante limitada or la recta = r h, el círculo + = r, siendo < h < r encuentre desués el volumen de un segmento esférico de altura h, si el radio de la esfera es r. 8. Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada or las curvas = r, = jj r, alrededor de = r. 9. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor del eje de la región limitada or la recta = la arábola =.. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada or las curvas =, =, alrededor de =.. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación alrededor de la recta = de la región limitada or las arábolas = el eje.. Calcule los volúmenes de los sólidos que se obtienen al girar la región limitada or las curvas = = en torno a los siguientes ejes (a) el eje (b) el eje (c) =. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación de la región del rimer cuadrante limitada or la curva =, la recta = el eje. (a) alrededor de = (b) alrededor de = 8. Encuentre el volumen del sólido generado or la rotación de la región en el rimer cuadrante aislada or la curva =, la recta = 8 el eje. (a) alrededor de = (b) alrededor de = 8. Sea R la región del rimer cuadrante limitada or las curvas = =. Calcule las siguientes cantidades (a) El área de R. (b) El volumen que se obtiene al hacer girar R alrededor del eje. (c) El volumen que se obtiene al hacer girar R alrededor del eje. 6. Sea R la región limitada or las curvas = = = = =. Formule, ero no calcule, integrales ara cada uno de las siguientes cantidades (a) El área de R. (b) El volumen del sólido obtenido cuando R gira alrededor del eje. (c) El volumen del sólido que se obtiene cuando R gira alrededor de la recta =. (d) El volumen del sólido que se obtiene mediante la rotación de R alrededor de =. 7. Siga las instrucciones del roblema 6 ara la región limitada or = + = entre = =. 8. Alique el método de las envolventes cilíndricas ara calcular el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar en torno al eje la región limitada or las curvas dadas : = ; = ; = 6 ; : = ; = ; = ; = ; : = ; = 9 : 6 + = ; = ; : = ; = ; + = ; 6: = ; = ; + = 9

10 9. Utilice el método de las envolventes cilíndricas ara calcular el volumen del sólido que se genera al hacer girar en torno al eje la región limitada or las curvas dadas : = ; = ; = ; = : = =; = ; = ; = : = ; = : = sen ; = ; = ; = : = ; = ; 6: = + ; = ; = ; = 7: = = ; = 8: = 6 + ; = + 6 6; = 9: = + ; = : = ; = 6. Alique el método de las envolventes cilíndricas ara calcular el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar en torno al eje indicado la región limitada or las curvas dadas. Dibuje la región una corteza reresentativa. (a) =, =, =, = ; alrededor del eje. (b) =, =, =, = ; alrededor del eje. (c) =, =, =, = ; alrededor de =. (d) =, =, =, = ; alrededor de =. (e) =, =, =, alrededor de =. (f) =, = 8, alrededor de =. 6. Establezca, ero no evalúe, una integral ara el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada or las curvas dadas en torno al eje indicado. (a) = sen, =, =, = ; alrededor del eje. (b) =, =, =, = ; alrededor del eje. + (c) = + 7, =, alrededor del eje. (d) = cos, =, =, = =; alrededor del eje. (e) =, = sen, =, alrededor de =. (f) =, = 8, alrededor de =. 6. Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada or las curvas = =, alrededor de =., = jj, = 6. Las integrales que se roorcionan a continuación reresentan volumenes de sólidos. Describa los sólidos corresondientes. : Z = cos d : Z 9 = d : Z `7 d : Z ( ) sen d : Z sen d 6: Z d 6. La región limitada or las curvas dadas se hace girar en torno al eje indicado. Calcule, or cualquier método, el volumen del sólido resultante (a) = +, =, alrededor del eje.

11 (b) = +, =, alrededor del eje. (c) =, =, alrededor del eje. (d) = +, =, =, = ; alrededor del eje. Resuestas: Ejercicios 6 : 7; : ; : h h r ; : r ; : 8 ; 6: ; 7: 6 r 9 ; 8: 8 ; 9: r ul ; 6 : ; : ; :a: ; :b: ; : a = ; : 6 ; : ; 6: h 6 (B + M + B) ; r 7: h h ; 8: R Rr + r h ; 9: b + ab + a b ; : h ; : a h; : cm ; 6r : ; : ; : ; 6: ; 7: ; 8:a: 8R R r : r ; : 6 a 7 ; : ; : 6 r ; : r d; 8:b: r R; 9: 8 9 r ul ; : ; r ; 6: 8 r ; 7: a h ; 8: 8; 9: 9 ul 6 ; : ; :: ; :: 8 7 ; :: 8 7 ; :: ; :: ; :6: 9; :: ; :: ; :: 8; :: 6; :: 96 ; :6: 6 ; :: 6 ; :: ; :: 6 ; :: ; :: ; :6: 6 ; : ab ; : ; 6: 6 ; h 7: + r h r ; V = hr h ; 8: r ; 9: ; : ; : 6; :a: ; :b: 6 ; :c: 8 ; :a: ; :b: 7 ; :a: 6 ; :b: 76 ; :a: 7 ; :b: ; :c: 6 ; 6:a: 9 ; 6:b: ; 6:c: 9 ; 6:d: 9 ; 7:a: 6; 7:b: 8 ; 7:c: ; 7:d: 6 ; 8:: 96 9 ; 69 8:: ; 8:: 9 ; 8:: 6; 8:: 9:: 8; 9:6: 6 6 ; 8:6: ; 9:: ; 9:: 8; 9:: 6 ; 9:: ; ; 9:7: ; 9:8: 6 7 ; 9:9: 6 ; 9:: ; 6:a: ; 6:b: ; 6:c: 7 6 ; 6:d: 67 6 ; 6:e: 6 ; 6:f: 6 ; 6:a: V = R sen d; 6:b: V = R + d; 6:c: V = R 6:e: V = R 7 ( + ) sen ( ) d; 6:d: V = R = cos d; d + R ( + ) sen R d; 6:f: V = ( ) d; 6: ; 6:: Región : f () = cos ; = ; = ; Eje de revolución : ; 6:: Región : f () = = ; = ; = 9; Eje de revolución : ; 6:: Región : f () = 6 ; = ; = ; Eje de revolución : ; 6:: Región : f () = sen ; = ; = ; Eje de revolución : = ; 6:: Región : f () = sen ; = ; = ; Eje de revolución : ; 6:6: Región : f () = ; = ; = ; Eje de revolución : ; 6:a: 8 ; 6:b: ; 6:c: 6 ; 6:d: 9 ; Bibliografía. Purcell, E. - Varberg, D: Cálculo con Geometría Analítica". Novena Edición. Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo". Gruo Editorial Iberoamericano. Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido. Última actualizacón: Enero Prof. Farith Briceño farith_7@hotmail.com