1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS."

Transcripción

1 1. MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS. El sumatorio o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma mayúscula Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un número indeterminado representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos. Los sumandosdeunsumatorio se expresan generalmente como unavariable habitualmente x,y,z,...) cuyos valores dependen de un índice habitualmente i,j,k...) que toma valores enteros. El índice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. Así por ejemplo, x i = x 1 +x +x 3 representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general, x i = x 1 +x +...+x n 1 +x n representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresión anterior se lee: sumatorio de x sub-i desde i igual a 1 hasta n. El índice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es decir, no tiene porqué empezar en 1, aunque en las expresiones que aparecen a continuación casi siempre sea así para simplificar la notación). La única condición que se tiene que cumplir es que el primer valor del índice, el que aparece abajo, sea menor o igual que el último valor del índice, el que aparece arriba. Es decir, en la suma n i=k x i k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estaríamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a 3, es decir, no estaríamos sumando nada, y la suma sería igual a cero. Si queremos sumar los valores de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer 5 i=3 x i Propiedades. El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple todas las propiedades de ésta: Propiedad conmutativa: x i +y i ) = x 1 +y 1 +x +y +...+x n +y n = y 1 +x 1 +y +x +...+y n +x n = y i +x i ) Propiedad asociativa: x i +y i )+ z i = x 1 +y 1 +x +y +...+x n +y n +z 1 +z +...+z n = x 1 +x +...+x n +y 1 +z 1 +y +z +...+y n +z n = x i + y i +z i ) = x i +y i +z i ) 1

2 Propiedad distributiva: a x i = a x 1 +x +...+x n ) = ax 1 +ax +...+ax n = ax i ), a R Otras propiedades: 1. El sumatorio de una constante no depende de ningún índice) es igual a la constante multiplicada por el número de sumandos: n veces b = b+b+...+b= nb, b R. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + 1): ax i +b) = ax i + b = a x i +nb, a,b R Nota: a n x i + nb a n x i + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienen indicadosporelprimersímbolodespuésdeσ.sicadasumandoinvolucramásdeuntérmino, tendremos que escribir la expresión del sumando entre paréntesis. Por ejemplo: mientras que i +5 = = = 19, i +5) = = = Los valores recorridos por el índice se pueden separar en varios sumatorios: n 0 x i = x i + x i, n 0 n i=n 0 +1 En efecto: Por ejemplo: x 1 +x +...+x n = x 1 +x +...+x n0 )+x n x n ) 4 logi) = log1)+log)+log3)+log4) = log1)+log))+log3)+log4)) 4 = logi) + logi) aquí n = 4 y n 0 = ). i=3 Nota: Todas las propiedades descritas son válidas independientemente del conjunto de valores que tome el índice del sumatorio. Es decir, sin en vez de n tenemos n i=k, para cualquier valor de k n, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual.

3 Igualdades que NO cumplen los sumatorios. A continuación se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios y que constituyen errores muy habituales): ) 1. x i y i y i ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando. x i) los valores de x multiplicados por su correspondiente valor de y: x 1 y 1 +x y +...+x n y n, y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los valores de y: x 1 +x +...+x n ) y 1 +y +...+y n ) = x 1 y 1 +x 1 y+...+x 1 y n +x y 1 +x y +...+x y n +x n y 1 +x n y +...+x n y n. ) x i x i ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores de x elevados al cuadrado: x 1 +x +...+x n, mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y luego estamos elevando toda la suma al cuadrado: x 1 +x +...+x n ) = x 1+x +...+x n+x 1 x +x 1 x x 1 x n +x x x x n +...+x n 1 x n. 3. Engeneral, sif : R Resunafunciónnolinealesdecir,noesunarecta, involucraoperaciones distintas de la suma y el producto por escalares), entonces ) fx i ) f x i. Por ejemplo: n=1 5 5 i 3 i lnn) ln ) 3 n=1 n 7 zk 7 z k. k=1 k=1 1.. Sumatorios dobles o triples, cuádruples, etc.). Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos o tres, cuatro, etc.) índices utilizaremos un sumatorio doble o triple, cuádruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n n a 11 a 1 a a 1,n ) a 1,n 1) a 1n a 1 a a 3... a,n ) a,n 1) a n a 31 a 3 a a 3,n ) a 3,n 1) a 3n A = a ij ) i,j=1,...,n = a n ),1 a n ), a n ),3... a n ),n ) a n ),n 1) a n ),n a n 1),1 a n 1), a n 1),3... a n 1),n ) a n 1),n 1) a n 1),n a n1 a n a n,3... a n,n ) a n,n 1) a nn ) 3

4 los elementos de A dependen de dos índices: el índice i que denota las filas y el índice j que representa las columnas. Así, si queremos sumar todos los elementos de A, tendremos que sumar primero los elementos de cada fila, y luego sumar los n valores resultantes. Es decir, la suma detodos los elementos se puede escribir como: n n j=1 a ij. En efecto, si desarrollamos primero el sumatorio en j y luego el sumatorio en i se obtiene lo siguiente: j=1 a ij = a i1 +a i +...a in ) = a 11 +a i +...a 1n )+a 1 +a +...a n )+...+a n1 +a n +...a nn ). Nota: los índices de los dos o más) sumatorios no tienen porqué tomar los mismos valores. Por ejemplo, si sólo quiero sumar los elementos de la matriz A que están por encima de la diagonal en negrita) A = a ij ) i,j=1,...,n = a 11 a 1 a a 1,n ) a 1,n 1) a 1n a 1 a a 3... a,n ) a,n 1) a n a 31 a 3 a a 3,n ) a 3,n 1) a 3n a n ),1 a n ), a n ),3... a n ),n ) a n ),n 1) a n ),n a n 1),1 a n 1), a n 1),3... a n 1),n ) a n 1),n 1) a n 1),n a n1 a n a n3... a n,n ) a n,n 1) a nn en cada fila i tengo que considerar sólo los elementos a ij con j > i ó j i+1). Por lo tanto escribiré:, a ij = j=i+1 a i,i+1 +a i,i+ +...a in ) = a 1 +a i3 +...a 1n )+a 3 +a a n )+...++a n ),n 1) +a n ),n )+a n 1),n. OJO: Cuando i es igual a n, la suma n j=i+1 a ij no contiene ningún sumando puesto que el índice j tendría que ir desde n+1 hasta n, lo cual no es posible. Esto sólo quiere decir, que en la última fila, i = n, no tenemos ningún elemento por encima de la diagonal. Análogamente, la suma de los elementos por debajo de la diagonal se escribe: n i 1 j=1 a ij. En este caso, para i = 1 la suma i 1 j=1 a ij no contiene ningún sumando puesto que el índice j tendría que ir desde 1 hasta 0, lo cual no tiene sentido. Es decir, en la primera fila, i = 1, no hay elementos por debajo de la diagonal. La traza de A, o lo que es lo mismo, la suma de los elementos de la diagonal de A, se podría escribir como: n j=i a ij, es decir, sumamos aquellos elementos para los cuales el número de su fila y su columna coinciden. En este sumatorio doble, para cada valor de i el segundo índice, j, toma un único valor: j = i. En este caso, podemos prescindir de j y escribir la suma con un sumatorio simple de la siguiente manera: n a ii. Nota: Si los índices de los dos sumatorios i y j toman los mismos valores, se escribir los dos índices en un único símbolo de sumatorio de la siguiente forma, n i,j=1, indicando que tanto i como j van desde 1 hasta n. Así, podemos escribir el doble sumatorio en forma compacta: j=1 a ij = a ij. i,j=1 4

5 1..1. Propiedades de los sumatorios dobles Propiedad conmutativa: x ij +y ij ) = y ij +x ij ) j=1 j=1 = y ij +x ij ) = x ij +y ij ) j=1 j=1 Propiedad asociativa: Propiedad distributiva: x ij + j=1 j=1 y ij = x ij +y ij ) j=1 Otras propiedades: a j=1 x ij = a x i1 +x i +...+x in ) = a [x 11 +x x 1n )+...+x n1 +x n +...+x nn )] = ax 11 +ax ax 1n )+...+ax n1 +ax n +...+ax nn ) = ax ij, a R j=1 1. El sumatorio doble de una constante no depende de ningún índice) es igual a la constante multiplicada por el número de sumandos al cuadrado: b = j=1 n veces b+b+...+b) = nb n veces = nb+nb+...+nb) = n nb = n b, b R. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + 1): ax ij +b) = j=1 ax ij + b j=1 j=1 3. Se verifica que j=1 = a j=1 ) x i y j = x i x ij +n b, j=1 y j, ya que a,b R x i y j = j=1 x i y 1 +x i y +...+x i y n ) 5

6 = x 1 y 1 +x 1 y +...+x 1 y n )+x y 1 +x y +...+x y n )+...+x n y 1 +x n y +...+x n y n ) = x 1 +x +...+x n ) y 1 +y +...+y n ). OJO: Esto se cumple porque x sólo depende de i e y sólo depende de j. Si ambas variables dependieran de ambos índices, esto no sería cierto ver desigualdad 1 más abajo). Nota: Todas las propiedades descritas son válidas independientemente de los conjuntos de valores que tomen los dos índices del sumatorio. Es decir, sin en vez de n n j=1 tenemos n m i=k j=l, para cualquier valor de k n, y cualquier valor de m y l m, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual Igualdades que NO cumplen los sumatorios dobles. j=1 j=1 x ij j=1 y ij A continuación se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios dobles y que constituyen errores muy habituales): 1. x ij y ij ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores de x multiplicados por sus correspondientes valores de y: x 11 y 11 +x 1 y x 1n y 1n +x 1 y 1 +x 1 y +...+x n y n +...+x n1 y n1 +x n y n +...+x nn y nn, pero en el lado derecho estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos los valores de y: x 11 +x x 1n +x 1 +x +...+x n +...+x n1 +x n +...+x nn ) y 11 +y y 1n +y 1 +y +...+y n x ij j=1 j=1 x ij valores de x elevados al cuadrado: ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los x 11 +x x 1n +...+x n1 +x n +...+x nn, mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y luego estamos elevando toda la suma al cuadrado: x 11 +x x 1n +...+x n1 +x n +...+x nn ), que involucra todos los términos de la suma anterior y muchos más. 3. Engeneral, sif : R Resunafunciónnolinealesdecir,noesunarecta, involucraoperaciones distintas de la suma y el producto por escalares), entonces fx ij ) f. j=1 j=1 x ij Por ejemplo: 6 i+j) 3 j= j= 6 i+j) 3 6

7 . Ejemplos. n=1k=1 lnn k ) ln l l=1 h=i 1 z lh n=1 k=1 ) n k 1 10 l l=1 h=i z. lh Ejemplo.1 La suma de todos los números pares desde 1 hasta 100 se escribe: Ejemplo. La suma de todos los números impares desde 1 hasta 100 se escribe: i. i 1). Ejemplo.3 La suma de los 1000 primeros números se escribe: además, podemos calcular cuánto vale esta suma: n= n, n= n = = En general, para cualquier número natural n N se cumple: i = n+1) n. Por ejemplo, para n = 1, 1 i = 1 y n+1) n = 1 = 1. Para n =, n+1) n i = 1+ = 3 y = 3 = 3. Comprueba la fórmula para el resto de números naturales menores o iguales que Ejercicios. Ejercicio 3.1 Calcula las siguientes sumas: a) b) c) 5 ii+1) n=0 n 100 4r r=1 7

8 d) e) h= 3 6h 1) 4 logz 4 ) z= Ejercicio 3. Expresa con una frase el significado de las siguientes sumas: 5 Ejemplo: 3p es la suma de todos los múltiplos de 3 desde el 3 hasta el 15. p=1 a) b) c) s s=1 q=1 49 ñ=0 x q n ñ+1) Ejercicio 3.3 Expresa con un sumatorio las siguientes frases: a) La suma de los 10 primeros números pares. b) La suma de todos los múltiplos de 4 desde 36 hasta 80. c) La suma de la raíz cuadrada de los 0 primeros números impares. d) La suma de los cuadrados de todos los números naturales del 1 al 30. e) El producto escalar de los vectores t 1,t,...,t m ) y w 1,w,...,w m ). Ejercicio 3.4 La siguiente tabla recoge los valores de una variable f, indexada por dos índices e y d: Calcula: 5 a) e=1 d=1 f ed e \ d b) c) 5 e=1 d<e 5 e=1 d=e f ed f ed 8

9 d) e) f) 5 e=1 d=1 e=1 d=1 f ed 3fed 8) f ed 1) e=1 d=1 Ejercicio 3.5 La siguiente tabla recoge los valores de dos variables u y v medidas sobre 6 individuos: Calcula: Individuo u v a) b) c) d) e) f) 6 6 u a v b 6 u a +v b ) 6 u a +v b ) a=1 b=a 6 6 u a v a 6 6 u a +v b) 6 a u a v b ) 9

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Matrices y sus operaciones

Matrices y sus operaciones Capítulo 1 Matrices y sus operaciones 1.1. Definiciones Dados dos enteros m, n 1 y un cuerpo conmutativo IK, llamamos matriz de m filas y n columnas con coeficientes en IK a un conjunto ordenado de n vectores

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación:

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004. Notación indicial

Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004. Notación indicial INGENIERÍA GEOLÓGICA: MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004 Notación indicial En Mecánica de Medios Continuos los objetos matemáticos más empleados son los escalares, vectores

Más detalles

Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas

Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz 1 113 Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales 3 115 Suma

Más detalles

Las matrices Parte 1-2 o bachillerato

Las matrices Parte 1-2 o bachillerato Parte 1-2 o bachillerato wwwmathandmatesurlph 2014 1 Introducción Generalidades 2 Definición Ejercicio 1 : Suma de dos matrices cuadradas 2x2 Ejercicio 2 : Suma de dos matrices cuadradas 3x3 Propiedades

Más detalles

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21 3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Determinantes y Desarrollo por Cofactores

Determinantes y Desarrollo por Cofactores Determinantes y Desarrollo por Cofactores Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 11.1.Introducción............................................... 1 11.2.El determinate de una

Más detalles

Matriz identidad y su propiedad principal

Matriz identidad y su propiedad principal Matriz identidad y su propiedad principal Objetivos Dar la definición de la matriz identidad y establecer su propiedad principal Requisitos Notación para entradas de matrices, producto de matrices, la

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales: ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,

Más detalles

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Curso cero Matemáticas en informática :

Curso cero Matemáticas en informática : y Curso cero Matemáticas en informática : y Septiembre 2007 y y Se llama matriz de orden m n a cualquier conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Apuntes de ÁLGEBRA LINEAL para la titulación de INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

Apéndice A. Repaso de Matrices

Apéndice A. Repaso de Matrices Apéndice A. Repaso de Matrices.-Definición: Una matriz es una arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Una matriz com m filas y n columnas se dice que es de orden m x n de

Más detalles

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES

CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES CAPITULO : MATRICES Y DETERMINANTES Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Capítulo 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.. Introducción Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

5 Expresiones algebraicas

5 Expresiones algebraicas 8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía

Más detalles

Álgebra matricial. 2.1. Adición y trasposición

Álgebra matricial. 2.1. Adición y trasposición Capítulo 2 Álgebra matricial Estas notas están basadas en las realizadas por el profesor Manuel Jesús Gago Vargas para la asignatura Métodos matemáticos: Álgebra lineal de la Licenciatura en Ciencias y

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores.

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores. Apéndice A: Vectores A.1. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico) y la unidad de medida

Más detalles

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en

Más detalles

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques MATEMÁTICAS I Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel Departament de Matemàtiques Universitat Jaume I 2 Estas notas constituyen el material

Más detalles

Representaciones de matrices

Representaciones de matrices LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición unas matrices de transición Usarás las matrices para organizar información

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1.

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1. ÍNDICE 9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES....................... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES..................... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS.......................... 192 9.3.1. Matrices

Más detalles

Lógica Binaria. Contenidos. Objetivos. Antes de empezar 1.Introducción... pág. 2. En esta quincena aprenderás a:

Lógica Binaria. Contenidos. Objetivos. Antes de empezar 1.Introducción... pág. 2. En esta quincena aprenderás a: Contenidos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Distinguir entre una señal analógica y una digital. Realizar conversiones entre el sistema binario y el decimal. Obtener la tabla de la verdad de un

Más detalles

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN En este capítulo veremos los métodos matemáticos que se disponen para las operaciones relacionadas con los circuitos digitales, así como las funciones más básicas de la

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.. LECTURA, ESCRITURA, DESCOMPOSICIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. 3. SUMA DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES. 4. RESTA DE

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional Alvaro Cofré Duvan Henao ii Índice general 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1 11 El método de eliminación de Gauss 3 12 Determinantes 8

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

CURSO 2010-2011 TECNOLOGÍA TECNOLOGÍA 4º ESO TEMA 5: Lógica binaria. Tecnología 4º ESO Tema 5: Lógica binaria Página 1

CURSO 2010-2011 TECNOLOGÍA TECNOLOGÍA 4º ESO TEMA 5: Lógica binaria. Tecnología 4º ESO Tema 5: Lógica binaria Página 1 Tecnología 4º ESO Tema 5: Lógica binaria Página 1 4º ESO TEMA 5: Lógica binaria Tecnología 4º ESO Tema 5: Lógica binaria Página 2 Índice de contenido 1. Señales analógicas y digitales...3 2. Código binario,

Más detalles

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Tabla de contenido... 2 PARTES DE UN VECTOR... 3 Notación... 5 Tipos de vectores... 5 Componentes de un vector... 6 Operaciones con vectores... 7 Suma de vectores... 7 Resta de

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA II Guía de Matrices y Determinantes Primer año Plan Común de Ingeniería Segundo Semestre 2009 1. Hallar una matriz B que

Más detalles

Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades

Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades Ejercicios Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad

Más detalles

Multiplicación de Polinomios. Ejercicios de multiplicación de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.

Multiplicación de Polinomios. Ejercicios de multiplicación de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com. Multiplicación de Polinomios Ejercicios de multiplicación de polinomios www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Antecedentes 2 2. Multiplicación de monomios

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Elementos de álgebra vectorial

Elementos de álgebra vectorial Hier auf glatten Felsenwegen laufe ich tanzend dir entgegen, tanzend wie Du pfeifst und singst : der Du ohne Schiff und Ruder, als der Freiheit frei ster Bruder ueber wilde Meere springst. Friedrich Nietzsche

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

VII. Estructuras Algebraicas

VII. Estructuras Algebraicas VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

Factorización. Ejercicios de factorización. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Factorización. Ejercicios de factorización. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Factorización Ejercicios de factorización www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación...........................................

Más detalles

LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES

LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES Observa la siguiente multiplicación: 7 x 4 = 28 7: es el sumando que se repite y recibe el nombre de multiplicando. 4: es el número de veces que se repite el sumando

Más detalles

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas

Más detalles

MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS

MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Tema 1.- MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría

Más detalles

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA CARACAS, MARZO DE 2013 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL CONTENIDO Base del sistema decimal Nomenclatura Ordenes Subordenes

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:

Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones: 2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408 http://turing.iimas.unam.mx/~elena/teaching/pdi-lic.html elena.martinez@iimas.unam.mx

Más detalles

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. www.portalelectrozona.com

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. www.portalelectrozona.com SISTEMA DECIMAL El sistema decimal, como su nombre indica, tiene diez cifras o dígitos distintos, que son 4 5 Por lo tanto, diremos que la BASE del sistema de numeración DECIMAL es (base ). 6 7 8 9 Pongamos

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

Curso Completo de Electrónica Digital

Curso Completo de Electrónica Digital CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez Capítulo 3 ALGEBRA DE BOOLE 3.1. Introducción

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles