RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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1 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto por trígono, que signifi triángulo (tres ángulos) y metri, proeso de medir o medid. Rm de ls mtemátis que estudi ls reliones que existen entre los distintos elementos de ls figurs geométris, hiendo énfsis en los ángulos y los ldos de los triángulos. L trigonometrí se divide en: Trigonometrí pln: Tmién es onoid omo trigonometrí retilíne porque estudi los triángulos retilíneos y, en generl, los triángulos onstruidos en los plnos. Trigonometrí del espio o esféri: Su ojeto de estudio son los triángulos esférios; esto es l región de l superfiie de un esfer limitd por los ros de tres irunferenis máxims. 7.2 Reliones Trigonométris L trigonometrí se fundment en lguns reliones, que se llmn funiones trigonométris, que se definen omo ls rzones entre elementos retilíneos ligdos un ángulo, uy vriión depende de l vriión del ángulo. Ls rzones que existen entre los ldos de un triángulo retángulo vrín l vrir el ángulo de que se trte; es deir que ls rzones son funiones del ángulo. ests rzones se les llmn funiones trigonométris. Entre los pres de ldos se formn seis rzones que dn lugr seis reliones. 83

2 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 7.3 Funiones trigonométris de ángulos gudos FUNIONES TRIGONOMÉTRIS Nomre de l funión reviión Definiión Seno sen Es l rzón entre teto opuesto y l hipotenus. oseno os Es l rzón entre teto dyente y l hipotenus. Tngente tn Es l rzón entre el teto opuesto y el teto dyente. otngente ot Es l rzón entre el teto dyente y el teto opuesto. Sente se Es l rzón entre l hipotenus y el teto dyente. osente s Es l rzón entre l hipotenus y el teto opuesto. Ls funiones trigonométris de un ángulo gudo en un triángulo retángulo se definen: Pr el ángulo : es l hipotenus. es el teto opuesto. es el teto dyente. Pr el ángulo : es l hipotenus. es el teto dyente. es el teto opuesto. De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris pr el ángulo y se designn omo: Pr el ángulo gudo Pr el ángulo gudo sen = os = tn = ot = se = s = sen = os = tn = ot = se = s = 84

3 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Ejemplos: Expres ls funiones trigonométris, orrespondientes l ángulo señldo on letr myúsul. so 1 Ddos los tres ldos M Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris sus vlores son: o senm = = = 0.6 ot M = = = h 25. o h 25 os M = = = 0.8 se M = = = h o 15 h 25 tn M = = = 0.75 s M = = = o 15 so 2 Ddos los dos tetos. 12 R Primero se dee enontrr el dto que flt, en este so utilizremos el Teorem de Pitágors pr enontrr l hipotenus. h = 2 2 ( 15) + ( 12) = = Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris nos qued: o senr = = = ot R = = = 0. 8 h 369. o os R = = = h 369 se R = = = h o 15 tn R = = = 1.25 h 369 s R = = = o 15 85

4 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí so 3 Dd un funión trigonométri. 8 Ddo sen =, lul el vlor de ls demás funiones trigonométris. 17 -Primero deemos reordr l definiión de l funión, en este so de seno. o o 8 sen = y omprr on el dto que nos d sen = =, entones tenemos o = 8 y h = 17 h h 17 - Segundo lugr enontrremos el dto que flt, utilizndo el Teorem de Pitágors = 2 2 ( 17) ( 8) = = 225 = 15 Dtos teto Opuesto.O teto dyente. Hipotenus H De uerdo ls definiiones de funiones trigonométris: o 8 15 sen = = = ot = = = h 17. o 8 15 h 17 os = = = se = = = h o 8 h 17 tn = = = s = = = o 8 86

5 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-1 INSTRUIONES.- Expres ls funiones trigonométris, orrespondientes los ángulos señldos on letrs myúsuls. 1) M sen M = os M = tn M = ot M = se M = s M = 2) P sen P = os P = tn P = ot P = se P = s P = 3) sen = os = tn = ot = se = s = 87

6 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 4) sen Q = os Q = 7 Q tn Q = ot Q = se Q = s Q = 5) sen = os = tn = ot = se = s = 6) sen R = os R = tn R = 9 R ot R = se R = s R = 88

7 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7) 15 8 sen = os = tn = ot = se = s = 8) 5 13 sen = os = tn = ot = se = s = 9) 3 2 P sen P = os P = tn P = ot P = se P = s P = 89

8 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-2 INSTRUIONES.- Dd ls siguientes funiones, determin los vlores de ls demás funiones trigonométris. 1) 3 Tn = 2 2) 12 Se = 5 3) 2 Sen = 5 4) 17 os = 55 90

9 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 5) 18 s = 4 6) 9 ot = 7 7) 4 ot = 3 8) 7 Se = 4 91

10 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-3 INSTRUIONES.- Utiliz l luldor pr otener el vlor de ls funiones trigonométris del ángulo que se te indi. Redonde el resultdo utro ifrs deimles. ngulo Sen θ os θ Tn θ ot θ Se θ s θ o 48 o 56 o 23.5 o o o o o

11 7.4 TRIÁNGULOS RETÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Reordndo un triángulo retángulo es quel que tiene un ángulo reto (90 ). Resolver un triángulo es determinr ls medids de los ldos y ángulos. Sin onsiderr el ángulo reto, los tres ldos y los dos ángulos gudos de un triángulo retángulo pueden vrir de vlor y se pueden presentr los siguientes sos: Si onoemos los dos tetos. Si onoemos un teto y l hipotenus. Si onoemos un teto y un ángulo gudo. Si onoemos l hipotenus y un ángulo gudo. Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos retángulo. 1) Si onoemos los dos tetos. Dtos Inógnits = 5 = = 7 = =90 = -Primero lulremos el ldo que flt utilizndo el Teorem de Pitágors en este so l hipotenus. 2 2 = + = (5) 2 + (7) 2 = = = 74 -Después lulremos los ángulos y hiendo uso de ls funiones trigonométris (y se seno, oseno o tngente pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o tn = = 5 7 = = tn 1 = (0.7142) = = 180 = 180 = =

12 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 2) Si onoemos un teto y l hipotenus. Dtos Inógnits = 4 = = 9 = =90 = -Primero lulremos el ldo que flt utilizndo el Teorem de Pitágors en este so el teto. 2 2 = = (9) 2 (4) = = = 65 -Después lulremos los ángulos y hiendo uso de ls funiones trigonométris (y se seno, oseno o tngente pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). 4 os = = = = os 1 = (0.4444) =63.61 h = 180 = 180 = = ) Si onoemos un teto y un ángulo gudo. Dtos Inógnits = 2 = =35 = =90 = -Primero enontrremos el ángulo. + + = 180 = 180 = =55 - Pr enontrr los ldos y deemos utilizr ls funiones trigonométris (pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o 2 o sen 35 = = os35 = = tn 35 = = h h 2 Despejr os 35 = = = = 2.44 os tn 35 = = 2 tn 35 = 2(0.7002) 2 =

13 4) Si onoemos l hipotenus y un ángulo gudo. Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo Dtos Inógnits = 20 = =38 = =90 = -Primero enontrremos el ángulo. + + = 180 = 180 = =52 - Pr enontrr los ldos y deemos utilizr ls funiones trigonométris (pr seleionr l funión que deemos plir, ést dee de ontener solo dtos del prolem originl, reuerd que no puedes plir un funión que onteng más de un inógnit). o o sen 38 = = os38 = = tn 38 = = h 20 h 20 Despejr sen 38 = = 20sen38 = 20(0.6156) = os 38 = = 20os38 = 20(0.7880) =

14 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí EJERIIO 7-4 INSTRUIONES.- on los dtos que se proporionn, trz el triángulo y lul los elementos que fltn. 1) 2) 3) Ldos Ángulos = 25 =? = 40 =? =? = 90 Ldos Ángulos = 4 =? = 25 =? =? = 90 Ldos Ángulos = 40 = 32 =? =? =? = 90 = = 32 = 58 = = 9.20 = ) Ldos Ángulos = 16 =? = = = = 90 = = = 58 = 7.32 = =

15 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-5 INSTRUIONES.- Resuelve los siguientes triángulos retángulos, según l informión proporiond. 1) =? = 3 =? = 6 =? = 6.70 = = ) =? = 85 =? = 70 =? = = =

16 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 3) =? = 12 = 18 =? =? 4) =? = = = =? = 25 =12 =? = = =

17 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 5) =? =? = 20 =? 6) = =25.88 = = =? =? =? = = =

18 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 7) =? = 2.54 =? =? 8) =? = 1.47 =2.06 =35.54 =? 30.6 =? = 140 = = =

19 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo EJERIIO 7-6 INSTRUIONES.- Resuelve los siguientes prolems de pliión. 1) Un lñil dese onstruir un esler de 18 m; qué ángulo dee formr dih esler on el piso, si tiene que lnzr un ltur de 8 m? ) El pie de un esler de 12 m, poyd ontr l pred, qued 5 m de ést, suponiendo que el piso es horizontl, qué ángulo form l esler y el piso? ) El ángulo en l se de un triángulo isóseles es 40, l ltur mide 22m. Determin l longitud de sus ldos igules m 101

20 Unidd dos Geometrí y Trigonometrí 4) Un retángulo mide 31m de longitud por 18 m de nho. lul l longitud de l digonl y el ángulo formdo por ést m 30.14º 5) Un person uy ltur es de 1.78m, proyet un somr de 3.5m. lul el ángulo de elevión del sol ) 87.5 m de l se de un torre el ángulo de elevión su úspide es de 37 20, lulr l ltur de l torre, si l ltur del prto on que se midió ángulo es de 1.50m m 102

21 Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7.- Qué ltur lnz sore un muro un esler de 5 m de lrgo, si form on el piso un ángulo de 65 10? 4.53m 8.- Un ingeniero onstruye un rmp de 125 m de lrgo on un elevión de 25. Qué ltur lnz sore l horizontl? 52.82m 9.- Un niño sostiene un pplote uy uerd form un ángulo de elevión de 15 on el suelo, si l longitud que le h soltdo l uerd es de 230 m, qué ltur volrá el pplote? 59.52m 103

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