PRESENTACIÓN DINÁMICA DE TEOREMAS DEL CÁLCULO: EL CASO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
|
|
- Alba Roldán Maidana
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 1 PRESENTACIÓN DINÁMICA DE TEOREMAS DEL CÁLCULO: EL CASO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Benjmín R. Srmiento Lugo Universidd Pedgógic Ncionl Profesor de Plnt Bogotá Colombi RESUMEN El objetivo principl de est conferenci es motivr los futuros docentes eplorr y provechr los diferentes softwres eductivos o no eductivos, tnto libres como comerciles, que en l ctulidd se usn en diverss instituciones ncionles y etrnjers pr intermedir en el proceso de enseñnz y prendizje de los objetos mtemáticos. Hgo énfsis en que estos progrms no sólo permiten diseñr construcciones y representciones ejecutbles de objetos geométricos sino tmbién de objetos propios del nálisis mtemático y l estdístic. Un softwre eductivo se puede usr pr efectos de hcer un medición entre el estudinte y el objeto enseñr, pero tmbién se puede usr como poyo del docente pr ilustrr los objetos de conocimiento, en este sentido es que quiero mostrr el uso de Derive pr ilustrr el teorem fundmentl del cálculo. Inicilmente dré definiciones proimds de lo que llmmos medición instrumentl y representciones ejecutbles, luego presentré el teorem fundmentl del cálculo, su significdo geométrico y finlmente, señlré los psos pr el diseño de representción con Derive. INTRODUCCIÓN Actulmente, ls herrmients computcionles se le vienen dndo vrios usos en l educción: como instrumentos de medición pr el prendizje de muchos objetos de conocimientos, como herrmient del docente pr poyr l enseñnz, como elementos fundmentles en l orgnizción de l informción, etc. En est ocsión quiero mostrr l importnci que tiene el softwre eductivo como herrmient pr el profesor, en l que puede poyrse pr construir representciones que permitn ilustrciones eficces de los objetos de conocimiento que mnej en su clse. En mtemátics tenemos muchos objetos en donde no es fácil hcer un representción geométric y mucho menos un representción ejecutble, por cunto se requiere que los elementos que formn dichos objetos se puedn representr geométricmente en form individul y que se mnejen vribles. Usulmente se emple un softwre de geometrí dinámic pr construir este tipo de representciones, pero lo que quiero presentr es l posibilidd de usr softwre de cálculo simbólico pr lo mismo. Trbjré con Derive y tomré como objeto l teorem fundmentl del cálculo integrl. En lo que sigue quiero señlr los psos básicos en el diseño de un presentción dinámic de este teorem, que permit los estudintes clrr su significdo 1
2 2 geométrico. L vlidez del diseño de este tipo de poyos está sustentd en el poder de ls representciones ejecutbles en los procesos de visulizción durnte l enseñnz. MEDIACIÓN INSTRUMENTAL Y REPRESENTACIONES EJECUTABLES No se pretende profundizr en los conceptos de instrumento, herrmient, medición, visulizción, medición instrumentl y representción ejecutble, sino proimrnos l significdo de los dos últimos. Empezmos con un pregunt: Pr quién y pr qué es el softwre eductivo? L respuest segurmente será: pr el estudinte y pr el profesor. Al estudinte le servirá pr construir, eplorr, conjeturr y visulizr propieddes de los objetos de conocimiento; l profesor le servirá pr complementr l ilustrción de los objetos y sus propieddes; es decir, un softwre eductivo bien utilizdo se convierte en un instrumento de medición pr fvorecer l trnsposición del sber cdémico l sber enseñr. En l ctulidd, l provechmiento eficz de herrmients computcionles pr desrrollr ctividdes cognitivs orientds l prendizje, es decir, fcilitr procesos propios de l rquitectur de l mente humn pr comprender un objeto de conocimiento, se le llm medición instrumentl. En el cso de ls mtemátics, est medición se d cundo se pueden redefinir los objetos mtemáticos en términos de construcciones ejecutbles. Ls construcciones ejecutbles de objetos mtemáticos nos permiten hcer representciones ejecutbles de los mismos, es decir, representciones procesbles y mnipulbles en un mbiente computcionl en donde se conserven ls relciones estructurles de l construcción y se visulicen los invrintes del objeto de conocimiento de tl mner que se contribuy l relismo del mismo. Si hcemos un revisión rápid de los libros de teto de cálculo diferencil o integrl más usdos en l ctulidd, encontrmos representciones gráfics de lgunos teorems que contienen vrios objetos mtemáticos que se pueden representr de vris mners, es muy común encontrr en un sol imgen representciones de intervlos, puntos de cumulción, funciones seccionlmente monótons, rects tngentes, etc. Ests imágenes estátics no permiten ver l covrición que hy entre todos los elementos que componen l representción; es por esto, que ls representciones ejecutbles revisten grn importnci en l ilustrción de los teorems del cálculo por cunto dejn ver relciones y covriciones que no se pueden ver en un representción estátic. Vle resltr que pr provechr l potencilidd de un softwre como herrmient del profesor pr poyr l enseñnz de un objeto mtemático, es necesrio que el se teng much clridd sobre el significdo geométrico del objeto que quier ilustrr. 2
3 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (NEWTON-LEIBNIZ) Si f es continu en [,b] y pr todo [,b]. Significdo geométrico: F() = b f(t)dt pr todo [,b], entonces F () = f() Consideremos l integrl definid f()d y supongmos que el límite inferior está fijo mientrs que el límite superior b vrí; es evidente que el vlor de l integrl vrirá conforme vríe el vlor de b, esto indic que l integrl será un función de su límite superior b. Al límite superior vrible lo designremos con mientrs que l función l designremos con F. Pr evitr confusión con l función integrndo usremos t como vrible de integrción. Así, si f(t) 0 pr todo [,b], entonces F() = f(t)dt será numéricmente igul l áre bjo l curv, l cul vrí medid que vrí. Abusndo un poco del vocbulrio, llmremos F l función de áres bjo l curv f. Si derivmos l función F() = f(t)dt con respecto, se estblece un relción entre l integrl y l derivd que se conoce como teorem de Newton-Leibniz o Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. SIMULACIÓN DE LA VARIACIÓN CON DERIVE Pr simulr l vrición del límite superior que hemos llmdo y l vrición del áre A(), usremos inicilmente l función de derive AreUnderCurve pr representr un región sombred limitd por l gráfic de f y el eje X entre y b. Est función se escribe AreUnderCurve(f(t),t,,b). Pr el cso de AreUnderCurve(Sin(t),t,0,pi) el resultdo que muestr Derive es el siguiente: 3
4 4 L instrucción en generl debe escribirse AreUnderCurve(f(t),t,,), que pr el cso que hemos puesto como ejemplo quedrí AreUnderCurve(f(t),t,0,). L pregunt que sigue es cómo se mnej l en el momento de ordenr Derive l gráfic? Pr resolver este interrognte se construye con Derive un vector con prámetro, en donde vrí desde hst b, con psos de vlor p. Pr nuestro ejemplo será construir un vector con prámetro que vrí desde 0 hst π con psos de 1/10. L instrucción qued sí: (VECTOR(AreUnderCurve(SIN(t), t, 0, ),, 0, pi, 1/10)). Se podrá precir como vrí l región sombred conforme vrí ; l siguiente gráfic muestr seis momentos de est situción: Por otro ldo sbemos que l integrl f(t)dt = A(c) A() represent el áre cumuld desde = hst =c, entonces f(t)dt = A() A() represent el áre cumuld desde hst. Como l gráfic de un punto con Derive se obtiene prtir de l instrucción [,y], entonces pr grficr l función A de ls áres cumulds A, necesitmos grficr los puntos [,A()] desde = hst =b. Pero l imgen de es el áre f(t)dt, luego los puntos se escriben [, f(t)dt ]. Pr generr un serie de puntos que pertenezcn l función de áres debemos construir un vector con prámetro, que esté vrindo desde = hst =b con pso de vlor p. c 4
5 5 L instrucción es VECTOR([, f(t)dt ],,,b,p), pr nuestro ejemplo l instrucción qued si: (VECTOR([, INT(SIN(t), t, 0, )],, 0, pi, 1/10)). Al ejecutr l instrucción se obtiene el siguiente gráfico: Si queremos ilustrr como se v construyendo l función de áres medid que vrí el áre bjo l curv, es decir, medid que vrí, se debe construir un vector de l form VECTOR([Region,[,A()]],,,b,p), en donde: Región es AreUnderCurve(f(t),t,,,p) y [,A()] es [, f(t)dt ]. L instrucción complet qued sí: (VECTOR([AreUnderCurve(f(t), t,,, p), [, INT(f(t), t,, )]],,, b, p)) Pr el ejemplo que venimos trbjndo, l instrucción con Derive debe escribirse sí: (VECTOR([AreUnderCurve(SIN(t),t,0,,0.1), [, INT(SIN(t),t,0,)]],,0,pi,0.1)). En el siguiente gráfico se muestrn tres momentos de est ejecución: 5
6 6 Al finlizr l ejecución de l instrucción qued el siguiente gráfico: Est últim presentción conjunt de ls representciones dinámics tnto de l integrl definid como de l primitiv o función de áres, mi precer, es lo que yudrí que l estudinte le quede un myor clridd sobre el significdo geométrico del teorem fundmentl del cálculo. Así como se diseñó un representción ejecutble pr este teorem, se podrín diseñr representciones similres pr teorems más complejos utilizndo este u otrs progrms de cálculo simbólico o de geometrí dinámic. 6
Tema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesVISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA
VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA Doris Espernz Álvrez Quintero Profesor Colegio Los Nogles Bogotá D.C, Colombi dorislv@gmil.com Mrth Cristin
Más detallesRelación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.
Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd
Más detallesMatemáticas Empresariales I. Integral Definida
Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid
Más detallesLa Integral Definida
Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)
Más detallesTeorema fundamental del Cálculo.
Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.
Más detallesTema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesTema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesMódulo 16 Simplificación de fracciones
Módulo 6 Simplificción de frcciones OBJETIVO: Mnejrá ls cutro operciones fundmentles con epresiones lgebrics frccionris, simplificrls hst trnsformrls en irreductibles y epresrá proposiciones en lenguje
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático
Más detallesHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de
Más detallesEl ordenador como instrumento matemático.
El ordendor como instrumento mtemático. Autores: Joquín Jiménez Rmos y Mrí José Hro Delicdo joquin.jimenez@edu.jccm.es mjhro@ono.com Lugr de trbjo: I.E.S. Al-Bsit (Albcete-Espñ) Resumen: Construir el propio
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detallesIntegrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Diferencil de un función Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible.
Más detallesResolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls
Más detallesD I F E R E N C I A L
D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil
Más detallesUNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)
UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como
Más detalles1 Integrales impropias
Integrles impropis Eliseo Mrtínez Herrer 3 de mrzo del 4 Abstrct Se estudin ls integrles impropis sobre l bse del cálculo de integrles definids y el límite de funciones Integrles impropis b Un integrl
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesCONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida.
CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD. Si f y F son funciones de, tles que F '( ) f ( ), entonces se dice que F es ntiderivd de f. Siempre que f() esté definid. Alguns veces l ntiderivd, se le llm función primitiv..
Más detallesAplicación del Cálculo Integral para la Solución de. Problemáticas Reales
Aplicción del Cálculo Integrl pr l Solución de Problemátics Reles Jun S. Fierro Rmírez Universidd Pontifici Bolivrin, Medellín, Antioqui, 050031 En este rtículo se muestr el proceso de solución numéric
Más detallesFunciones Algebraicas
1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver
Más detallesa x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo
Más detallesFunciones de variable compleja
Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesIntegración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg
Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.
Más detalles1. Función primitiva. Integral de una función.
. Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí
Más detallesDERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos
Más detallesProf. María de los Ángeles Hernández Cifre
Fundmentos Mtemáticos de l Biotecnologí DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Prof. Mrí de los Ángeles Hernández Cifre Prte 1: Cálculo diferencil e integrl Práctic n o 3: Cálculo diferencil en 2 vribles y cálculo
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem
Más detallesHasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma
Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,
Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles
Más detallesMódulo 12 La División
Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción
Más detallesApunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica
Apunte sobre Integrción Numéric y Polinomios de Tylor Cálculo II Licencitur en Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Químic Universidd Ncionl del litorl 1. Integrción numéric En este tem veremos sólo dos
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesSeries de Fourier CAPITULO Funciones Seccionalmente Continuas 1.1. Preliminares sobre funciones continuas.
Contenidos Cpitulo. Series de Fourier 3. Funciones Seccionlmente Continus 3. Extensiones de Funciones Seccionlmente Continus 6 3. Cmbio de Intervlo 3 CAPITULO Series de Fourier. Funciones Seccionlmente
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x
en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este
Más detallesTEMA 4. Cálculo integral
TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl
Más detallesIntegral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1
Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se
Más detallesIntegral de Riemann. Introducción a la integración numérica.
Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se
Más detallesTEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS
TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesUNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE MEDICINA HUMANA y CIENCIAS DE LA SALUD Escuela Académico Profesional de Nutrición Humana SILABO
1. DATOS INFORMATIVOS. SILABO 1.1. Asigntur : Cálculo Diferencil e Integrl. 1.2. Código : 28-112 1.3 Áre : Formtivo 1.4 Fcultd : Ciencis de l Slud 1.5 Ciclo : Segundo 1.6 Créditos : 04. 1.7 Totl de hors
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detalles(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)
Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce
Más detallesTeoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva
Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.
Más detallesFormalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr
Más detallesGuía para maestro. Igualdades y desigualdades. Guía para el maestro. Compartir Saberes
Guí pr mestro Guí relizd por Bell Perlt C. Mgister en Educción Mtemátic bellperltmth@gmil.com bperlt@colegioscomprtir.org Comprender el significdo del signo igul, myor, menor, myor o igul que, o menor
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =
Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.
INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo
Más detallesTEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA
TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
Más detalles17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces.
Tem 1.- V de números 1.1.- Números pr contr. Un de ls primers ctividdes intelectules que reliz el ser humno es l de contr: el número de flechs, el número de ovejs, el número de enemigos, etc. En Mtemátics
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesTEMA 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas. Tema 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas 1
TEMA : Logritmos y ecuciones rítmics Tem : Logritmos y ecuciones rítmics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Logritmos...- Logritmo de un número rel...- Logritmos decimles y neperinos..- Propieddes de los ritmos..-
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior
Más detallesLa Integral Definida II
L Integrl Definid II Hst hor h sido útil pensr en un integrl definid como el áre entre l gráfic de l función f(x) y el eje x. Usré es interpretción pr mostrrte un propiedd de mner intuitiv. El vlor del
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesIntegración de funciones de una variable real
Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross
Más detallesEscuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES
LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites
Más detallesPrimitivas e Integrales
Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que
Más detallesP 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detallesSEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl
Más detallesCircunferencia y elipse
GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II
INTEGRLES MTEMÁTIS PLIDS LS. SS. II lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS I) ONEPTO DE INTEGRL INDEFINID (pág. 0 del liro de texto) Dd f(x)=x nos preguntmos
Más detalles2 Números racionales positivos
Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto
Más detallesEstudio de funciones exponenciales y logarítmicas
FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.
Más detallesFunciones de una variable real II Integrales impropias
Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS
Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl
Más detallesAplicaciones de la derivada
1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien
Más detallesMATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles.
Más detallesMétodos de Integración I n d i c e
Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con
Más detallesRevista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012.
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesEcuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de
CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd
Más detallesel blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1
el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).
Más detallesNúmeros. Subclases dentro de los reales. Lectura sugerida
Lectur sugerid Selección 1: Subclses dentro de los reles. Nturles. Enteros. Rcionles. Irrcionles. Operciones. Un comentrio y vris clrciones. Vlor bsoluto y signo. Enteros. Sum de enteros. Producto de enteros.
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesTecnólogo Mecánico-Cartografía
PRÁCTICO MATEMÁTICA II Tecnólogo Mecánico - Tecnólogo en Crtogrfí. Mtemátic II En los cursos re-universitrios rendimos derivr funciones. Dd un función f (derivble) se estudiron cierts técnics que nos ermitín
Más detalles= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13
Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l
Más detallesFUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL
FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr
Más detallesIdentificación de propiedades de triángulos
Grdo 10 Mtemtics - Unidd 2 L trigonometrí, un estudio de l medid del ángulo trvés de ls funciones Tem Identificción de propieddes de triángulos Nombre: Curso: Ls ctividdes propuests continución se centrn
Más detallesIntegración numérica I
Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl
Más detallesFórmulas de Vieta. Entrenamiento extra Qué es el tiempo? Por: Argel. 5x 3 11x 2 + 7x + 3
Fórmuls de Viet Entrenmiento extr Qué es el tiempo? Por: Argel Resumen En el presente mteril se trtrá con un cuestión relciond con ls ríces de un polinomio, en l que se estblece un serie de relciones entre
Más detalles