INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LAREDO ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES UNIDAD: 2

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1 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones OBJETIVO: El estudiante desarrollará diversos ejercicios de representación y operaciones con conjuntos y con relaciones MATERIAL Y EQUIPO NECESARIO: Papel y lápiz Pág Dar un ejemplo de una relación que sea simétrica y antisimétrica. 6.- Si las relaciones R y S son reflexivas, simétricas y transitivas, demostrar que R S es también reflexiva, simétrica y transitiva. 8.- Dados S = {,..0 } y la relación R = { (x, y) l x + y =0 } sobre S, Cuáles son las propiedades de R? 4.-Para cada una de las siguientes relaciones, indicar sus propiedades. Exprese si la relación es reflexiva, no reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. Exprese también si la relación es una relación de equivalencia, un orden parcial, o un orden parcial estricto. Todas las relaciones son sobre el conjunto de los seres humanos. a) xry representa que x es un hijo de y b) xry representa que x es un descendiente de y c) xry representa que x es el esposo de y d) xry representa que x es la esposa de y e) xry representa que x es el superior inmediato de y f) xry representa que x es un superior (no necesariamente el superior inmediato) de y g) xry representa que x e y tienen los mismos padres h) xry representa que x es del mismo tamaño o menor que y. 8.-Para todas las siguientes, indique si la relación es reflexiva (r), no reflexiva (i), simétrica (s) o transitiva (t). Por ejemplo, para las relaciones < sobre el conjunto de los enteros, se tiene i, t porque < es no reflexiva y transitiva. MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

2 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones a) Sean x e y enteros, y sea xry verdadera si x divide a y sin un resto b) Sean x e y seres humanos, y sea xry verdadera si x e y pertenecen a la misma familia. c) Sean x e y niños, y sea xry verdadera si x es un hermano de y o si x=y. d) Sean x e y seres humanos, y sea xry verdadera si x esta relacionado con y. Cuando conteste a esta pregunta, asuma que cada persona esta relacionada con ella misma. Pág Sea A = {xl (x 0)Λ(x 0), y sea el conjunto de los números naturales el conjunto universal. Dar A explícitamente, y calcular #A, la cardinalidad de A. 0.- Una relación R es una función si para todo x existe solo una y tal que xry. R puede ser reflexiva? R puede ser simétrica? R puede ser transitiva? Dar ejemplos. Fuente: Matemática Discreta y Lógica. Una perspectiva desde la Ciencia de la Computación. Grassmann-Tremblay. Ed. Prentice Hall MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

3 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones En los ejercicios al 6, establezca el universo como conjunto U = {,, 3,,0}. Sea A = {, 4, 7, 0}, B = {,, 3, 4, 5} y C = {, 4, 6, 8}. Liste los elementos de cada conjunto.. A U B. B C 3. A B 4. B A 5. Ā 6. U C 7. Ū 8. A U Ø 9. B Ø 0. A U U. B U. A (B U C) 3. B (C A) 4. (A U) C 5. A B U C 6. (A U B) (C - B) En los ejercicios 7 al 4, dibuje un diagrama de Venn y sombree el conjunto indicado. 7. A B 8. Ā B 9. B U (B - A) 0. (A U B) - B. B (C U A). (Ā U B) (C A) 3. ((C A) (B A)) C 4. (B C) U ((B Ā) (C U B)) Los ejercicios 5 al 9 se refieren a un grupo de 9 estudiantes, de los cuales 0 toman francés, negocios y música; 36 toman francés y negocios; 0 están en francés y música; 8 en negocios y música; 65 en francés; 76 en negocios y 63 toman música. 5. Cuantos toman francés y musica pero no negocios? 6. Cuantos toman negocios pero no francés ni música? 7. Cuantos toman francés o negocios (o ambos)? 8. Cuantos toman música o francés (o ambos) pero no negocios? 9. Cuantos no toman ninguna de las tres materias? MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

4 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones 30. Una encuesta sobre televisión de 5 personas encontró que 68 ven La ley y el desorden ; 6 ven Ala este ; 5 ven Los tenores ; 6 ven tanto La ley y el desorden como Ala este ; 5 ven La ley del desorden y Los tenores ; 9 ven Ala este y Los tenores ; y 6 no ven ninguno de estos programas. Cuantas personas ven los tres programas? 3. En un grupo de estudiantes, cada uno toma un curso de matemáticas o computación o ambos. Un quinto de los que toman matemáticas también toman computación y un cuarto de los que toman computación también están en el curso de matemáticas. Esta mas de y tercio de los estudiantes tomando el curso de matemáticas? En los ejercicios 3 al 35, sea X = {, } y Y = {a, b, c}. Liste los elementos de cada conjunto. 3. X Y 33. Y X 34. X X 35. Y Y En los ejercicios 36 al 39, sea X = {, }, Y = {a} y Z = {α,β}. Liste los elementos de cada conjunto. 36. X Y Z 37. X Y Y 38. X X X 39. Y X Y Z En los ejercicios 44 al 47, diga si es verdadero o falso. 44. {x} {x} 45. {x} {x} 46. {x} {x, {x}} 47. {x} {x, {x}} En los ejercicios 48 al 5, determine si cada par de conjuntos es igual. 48. {,, 3}, {,, 3} 49. {,,, 3}, {,, 3} 50. {,, 3}, {3, 3, } 5. {x x + x = }, {, - } 5. {x x es un numero real y 0 < x } MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

5 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones 53. Liste los miembros de Ρ({a, b}). Cuáles son los subconjuntos propios de {a, b}? Libro: Matemáticas Discretas Sexta Edición. Johnsonbaugh. Ed. Pearson Pág. 85 En los ejercicios del al 6, establezca el universo como el conjunto U =,, 3, Sea A =,4,7,0, B =,,3,4,5 y C =,4,6,8. Liste los elementos de cada conjunto.. A U B. B C 3. A - B 4. B A 5. A~ 6. U - C 7. U~ 8. A U 0 9. B 0 0. A U U. B U. A (B U C) 3. B~ (C - A) 4. (A B) - C 5. A B U C 6. (A U B) (C - B) Pág. 86 MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

6 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones Dibuje un diagrama de Venn y sombree el conjunto indicado. 7. A B~ 8. A~ B 9. B ( B A) 0. ( A B ) - B. B (C A)~. (A~ B) (C~ A) Los ejercicios 5 al 9 se refieren a un grupo de 9 estudiantes, de los cuales 0 toman francés, negocios y música; 36 toman francés y negocios; 0 están en francés y música; 65 en francés; 76 en negocios y 63 toman música. 5. Cuántos toman francés y música pero no negocios? 6. Cuántos toman negocios pero no francés ni música? 7. Cuántos toman francés o negocios(o ambos)? 8. Cuántos toman música o francés (o ambos) pero no negocios? 9. Cuántos no toman ninguna de las 3 materias? 30.- una encuesta sobre televisión de 5 personas encontró que 68 ven la ley y el desorden ; 6 ven Ala este ; 5 ven Los tenores ; 6 ven tanto la ley y el desorden como Ala este 5 ven la ley y el desorden y Los tenores ; 9 ven Ala este y Los tenores ; y 6 no ven ninguno de estos programas. Cuántas personas ven los tres programas? 3.- En un grupo de estudiantes, cada uno toma un curso de matemáticas o computación o ambos. Un quinto de los que toman matemáticas también toman computación y un octavo de los que toman computación también están en el curso de matemáticas. Esta mas de un tercio de los estudiantes tomando el curso de matemáticas? Sea X = {,} y Y = {a, b, c}. Liste los elementos de cada conjunto MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

7 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones 33. Y x X 34. X x X Sea X = {,}, Y = {a} y Z = {α, ß}, Liste los elementos de cada conjunto. 37. X x Y x Y 38. X x X x X Liste todas las particiones del conjunto. 4.- {,} 4.- {a, b, c} MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

8 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones Pág. 3, 4. Escriba la relación como un conjunto de pares ordenados. a 3 b b 4 c 3. Susana Ruth Samuel Matemáticas Física Economía 6. R= {{Rogelio, Música}, (Patricia, Historia), (Benjamín, Matemáticas), (Patricia, Ciencias Políticas)} 7. La relación R en {,,3,4} definida por (x,y) є R if x² y 0. La relación R= {(,), (,), (3,3), (,), (,)} sobre x= {,,3}. La relación R= {(,), (,3), (3,4), (4,)} en {,,3,4} MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

9 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones 4. Escriba la relación como un conjunto de pares ordenados. La relación R en el conjunto {,,3,4,5} definida por la regla (x,y) є R si divide a x-y. Encuentre el dominio de R 6. Repita los ejercicios 9 al 4 para la relación R en el conjunto {,,3,4,5} definida por la regla (x,y) є R si x= y 7. La relación del ejercicio 5, es reflexiva, simétrica, antisimetrica, transitiva y/o de un orden parcial? 30. (x,y) є R si x > y. 3. (x,y) є R si x y. 33. (x,y) є R si 3 divide a x y. MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

10 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones 34. (x,y) є R si divide a x + y. Proporcione ejemplos de relaciones en {,,3,4} que tengan las siguientes propiedades. 40. Reflexiva, no simétrica y no transitiva. 4. Reflexiva, antisimétrica y no transitiva. 43. No reflexiva, no simétrica y transitiva. MC - Practica - - Conjuntos y relaciones

11 NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones Libro: Matemáticas Discreta y Combinatoria. Ralph P. Grimaldi. Ed. Prentice Hall Pág Si A = {,, 3, 4} de un ejemplo de una relación R sobre A que sea. a) reflexiva y simétrica, pero no transitiva b) reflexiva y transitiva, Pero no simétrica c) simétrica y transitiva, Pero no reflexiva 5. Para cada una de las siguientes relaciones, determine si la relación es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. e) R es la relación sobre Z tal que x R y si x + y es par (impar.) f) R es la relación sobre Z tal que x R y si x - y es par (impar.) i) R es la relación sobre Z x Z tal que (a,b) R (c,d) si a c. [Nota: R c (Z x Z) x (Z x Z).] Pág Para A = {,, 3, 4}, sea R = {(,), (,), (,3), (3,3), (3,4)} una relación sobre A. trace el grafo dirigido G sobre A asociado con R. Haga lo mismo con R, R 3 y R 4. MC - Practica - - Conjuntos y relaciones