Conjuntos, relaciones y funciones

Transcripción

1 Conjuntos, relaciones y funciones Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico Teoría de conjuntos Representación y manipulación de grupos 2 1

2 Motivación Las nociones que estudiaremos constituyen fundamentos matemáticos importantes. 3 Aplicaciones de los conjuntos Clustering Complejidad computacional Definiciones formales Ej. grafos Manejo de grupos en general Tema básico! 4 2

3 Definición Conjunto= grupo de elementos u objetos. Formas de representación Extensión Enumeración de miembros Intención Descripción formal Diagramas de Venn y Euler Representación gráfica 5 Formas de representación Extensión Enumeración de miembros A={1,2,3} // E={ mateo, marcos, lucas, juan } //? Intención-- Descripción formal A={x 0 < x < 4} // { n 3 + n 2 n {1,2,3,4} } Diagramas de Venn y Euler-- Representación gráfica A B 6 3

4 Consideraciones Los elementos se encierran entre llaves y se escriben con minúsculas. Los nombres de conjuntos se representan con mayúsculas. A= {1,2}, B={c, d}. No importa el orden ni las repeticiones. {a, b, c} = {b, a, c} = {b, b, a, c, c, c}. Podemos tener conjuntos dentro de conjuntos. Ej. C={ {1,2}, {3,4} }, E={{u,v} u,v V} 7 Pertenencia de elementos Un elemento puede o no pertenecer a un conjunto*. La pertenencia se indica con. La no-pertenencia se indica con. Ej. a {a, b, c} // {3,4} {{3,4},5} // A = {1, 2, 3} 4 A *=(En el caso nítido o booleano; en conjuntos difusos, existen grados de pertenencia.) 8 4

5 Conjuntos finitos e infinitos Existen conjuntos finitos e infinitos. La diferencia consiste en si es posible expresar su tamaño (cantidad de elementos) con un número. A = {1,3,5} finito B = {a, b, c z} finito C = {1,2,3 } infinito D = {x x es un número real} infinito Los conjuntos infinitos pueden ser contables o incontables. 9 Conjuntos infinitos Conjuntos infinitos: su tamaño no puede expresarse con un número. Ejemplo: Los números naturales Conjuntos contables (numerables) Los elementos pueden ponerse en correspondencia a los números naturales. Ej. números pares Un conjunto incontable es, por ejemplo, el de los números reales. 10 5

6 Ejercicio Menciona un ejemplo concreto de: un conjunto finito. un conjunto infinito. 11 Conjunto vacío y universo de discurso Conjunto vacío Se representa como { } ó = 0 Observa que { } no es vacío. Universo de discurso Se representa como U. Contiene todos los elementos. El todo. U A C B 12 6

7 Tamaño (cardinalidad) Número de elementos que contiene un conjunto finito. Los elementos pueden ser atómicos o compuestos (otros conjuntos). Se denota A para un conjunto A. Ej. A = {a, b, c, d} / A =4 C = {a, b, a, c, d} / A =4 D={{a, b}, {c, d}} / D =2 B={1,2,{3,4}} B? 13 Operaciones binarias con conjuntos Unión (A B) Enumeración de todos los elementos de A y B. Intersección (A B) Elementos que están tanto en A como en B. Diferencia (A B) Elementos de A que no están en B. Diferencia simétrica (A B) Elementos no compartidos entre A y B. 14 7

8 Ejemplos con operaciones A = {a, b, c}, B = {b, c, d} A B = {a, b, c, d} A B = {b, c} A B = {a} A B = {a, d} 15 Otras operaciones con conjuntos Complemento (A c ) Diferencia entre el universo U y el conjunto. Producto cartesiano (A B) Conjunto de pares ordenados de forma (a,b), tal que a pertenece a A y b pertenece a B. Error común: no representar al producto cartesiano como un conjunto. Nota que esta operación no es conmutativa. 16 8

9 Ejemplos U = {a,b,c,d,e,f,g} A = {a,b,c}, B={f,g} A c = {d,e,f,g} Qué regla de conteo nos explica el tamaño del conjunto cartesiano? A B = {(a,f), (b,f), (c,f), (a,g), (b,g), (c,g)}. B A = {(f,a), (f,b), (f,c), (g,a), (g,b), (g,c)}. B B = {(f,f), (f,g), (g,g), (g,f)}. Aplicación: en redes complejas, el producto cartesiano representa todas las posibles conexiones que existen para una red. 17 Igualdad si y sólo si Dos conjuntos son iguales ssi tienen los mismos elementos. Son idénticos (sin importar orden o repeticiones). Ejemplos (A={1,2,3,4} B={1,2,3,4}) A=B. (A={1,2,3,4} B={2,1,3,4}) A=B. (A={1,2,3,4} B={2,1,3,5}) A B. (A={1,2,3,4} B={0,1,2,3,4}) A B. Nota que cuando A=B, A = B. 18 9

10 Subconjuntos Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si los elementos de A se encuentran en B. Se denota con. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplo: {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5} {1,2,3} {1,2,4} En un grafo (red), las conexiones son un subconjunto de todas las relaciones posibles entre pares de vértices; formalmente, E V V. Observa que A B. 19 Subconjuntos propios Si la cantidad de elementos en A es estrictamente menor, entonces A es un subconjunto propio de B. Se denota con. siempre es subconjunto propio de cualquier conjunto. Ejemplos A={1,2,3} y B={1,2,3,4,5} // A B {a} {a,b,c,d,e} {a,x} {a,b,c,d,e} Observa que A < B

11 Conjunto potencia Enumeración de todos los subconjuntos de un conjunto. Se denota como P(A) para un conjunto A. Ejemplos: A = {1,2,3}, B={a,b,c,d} P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. P(B)={,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d}, {c,d},{a,b,c},{b,c,d},{a,b,d},{a,c,d}{a,b,c,d}}. Observa que P(X) =2 n, donde n= X. Cómo explicas esta cantidad a través de conteo? 21 Diagramas de Venn Utilizados para representar conjuntos Intersección Contención (subconjunto propio) Conjuntos disjuntos 22 11

12 Venn: contención NR A Código nuevo reusable Código agregado 23 Venn: intersección Estudian Trabajan 24 Estudian y trabajan E T 12

13 Venn: conjuntos disjuntos P L = Estudiantes de posgrado Estudiantes de licenciatura 25 Algunos ejemplos más 26 13

14 Algunos ejemplos más A A B B A C B C C A B C 27 U A B C D E F 15 G MATDIS / Posgrado / FIME / UANL 14

15 F (B - A) A C E - D = {9} E D = (C E) B (D - E) (A B ) C G = {3, 10} G F = (F C) B A B = {3, 10, 12, 14} 29 MATDIS / Posgrado / FIME / UANL Falso o verdadero? (F o V) D E = {1, 7, 9} (D E) (A B) 16 (D E) (A B) = {5, 13, 15} B A = {2, 4, 8, 11} (A B) (A - B) = A 2 U [U (A B)] = G {13, 15} D E = {1, 9} A (A B) = C {12, 14} Ejercicios Considera como universo un lote de autos de una planta. Existen los siguientes conjuntos en el universo: A 1 = Autos que tienen el defecto 1. A 2 = Autos que tienen el defecto 2. A 3 = Autos que tienen el defecto

16 Ejercicios (Continúa) Crea un diagrama de Venn que represente el caso. Representa gráficamente lo siguiente e interprétalo (en español) : A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 31 Ejercicios (continúa) Representa (gráfica y formalmente) lo siguiente: Los autos que tienen el defecto 1 pero no el 2. (Pueden o no tener el defecto 3.) Los autos que tienen los defectos 2 y 3. Los autos que tienen el defecto 2 y, además, el 1 ó el 3. Los autos que tienen el defecto 3 pero no tienen ni el 1 ni el 2. Qué representa el resto del universo? 32 16

17 Leyes Conmutativa Unión e intersección A B = B A, A B = B A 33 Distributiva Unión e intersección A (B C)= (A B) (A C) / A (B C)= (A B) (A C) De de Morgan Complemento (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C Doble complemento (A C ) C = A Ejemplo con De Morgan (A c ) c = Lo que NO es A c 34 17

18 Algunos conjuntos ya definidos Conjunto Significado Z Enteros N Naturales (no negativos) Z + Q Q + Positivos Racionales Racionales positivos Q* Racionales distintos de cero R Reales R + Reales positivos R* Reales distintos de cero C Complejos C* Complejos distintos de cero 35 Ejercicio Proporciona ejemplos para: A N A Z A R e N e C Qué diferencia existe entre N y Z +? Exprésalo con notación de conjuntos

19 Aplicación práctica: índices de similitud El Índice de Jaccard J(A,B) mide la similitud entre dos conjuntos A y B. Divide el tamaño de la intersección entre el tamaño de la unión. A B J( A, B) A B Mini-ejercicio 1. Proporciona un ejemplo del índice Jaccard. Incluye un diagrama de Venn. 2. Qué pasa si A=B? 3. Qué pasa si A B=? 37 Más ejercicios Construye tres conjuntos (finitos) Representa uno por intención Construye el diagrama de Venn correspondiente (de preferencia que los conjuntos no sean disjuntos) Calcula lo siguiente: Unión, Intersección, Diferencia, Cardinalidades Conjunto potencia (al menos de uno) Complemento Producto cartesiano 38 19

20 Hasta aquí Qué es un conjunto? Cuáles son sus formas de representación? Qué operaciones se pueden realizar con un conjunto? Qué es un subconjunto? 39 Resumen Conjunto = colección de elementos donde el orden y repeticiones son irrelevantes. Representaciones: extensión, intención o diagramas de Venn. Subconjunto= porción de un conjunto (propio) o conjunto completo (igualdad). Operaciones unarias: tamaño, complemento, conjunto potencia. Operaciones binarias: unión, intersección, diferencia, producto cartesiano

21 Ejercicio para dominio del tema Programa (en el lenguaje de tu elección) las siguientes operaciones con conjuntos: Intersección Unión Diferencia Producto cartesiano Investiga y establece la conexión entre teoría de conjuntos y álgebra relacional. Puntos extra 41 Caso de estudio: conjuntos difusos Generalización: cualquier elemento del universo de discurso tiene un grado de pertenencia a un conjunto dado. En el caso convencional o nítido (el que acabamos de ver), el grado g(e) A de pertenencia de un elemento e en un conjunto A es binario. Es decir, g(e) A {0,1}. Para conjuntos difusos, se permiten valores intermedios, i.e. g(e) A [0,1]

22 Caso de estudio: conjuntos difusos Realiza los ejercicios planteados por el profesor. Qué ventajas tiene la lógica difusa sobre la lógica booleana? En resumen, qué diferencias encuentras entre los conjuntos nítidos y los conjuntos difusos? Qué ventajas tiene un conjunto nítido sobre un conjunto difuso? Qué desventajas tiene un conjunto nítido sobre uno difuso? Encuentras alguna aplicación práctica para este concepto? 43 Relaciones y funciones Definición, propiedades, ejemplos 44 22

23 Contenidos Relaciones Definición Propiedades Ejemplos Funciones Definición Propiedades Ejemplos 45 Relación Subconjunto del producto cartesiano entre conjuntos. R : A B 46 23

24 Ejemplo 1 P = {países} A = {a 1929 < a < 2011} Relación: País p que ganó el mundial en el Año a R={(España, 2010), (Italia, 2006), (Brasil, 2002), (Francia, 1998), } 47 Ejemplo 2 A={1,2,3} A x A: {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Relación: Menor que R menor ={ (x,y) x < y } R menor ={(1,2), (1,3), (2,3)} La relación puede ser del conjunto consigo mismo

25 Ejemplo 3 (Jiménez p. 224) A = {2, 4, 5, 6, 7, 11} B = {b b Z; 1 b 10} Relación: b es divisible entre a R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (2, 10), (4,4), (4,8), (5,5), (5, 10), (6,6), (7,7)} R: A -> B 49 Ejercicio 1 (Brena p. 19) Un juego infantil consiste en proponer simultáneamente ya sea piedra, papel o tijeras. Cuál es la relación correspondiente para gana sobre? Se supone que tijera gana sobre papel, piedra sobre tijera y papel sobre piedra

26 Ejercicio 2 Plantea tres relaciones. Define los conjuntos involucrados. Define el producto cartesiano entre éstos. Define la relación en sí. 51 Relaciones de diferentes órdenes Comúnmente hablamos de relaciones binarias: se tienen pares ordenados (i.e., dos elementos en la tupla) Pero también existen relaciones ternarias, cuaternarias y n-arias en general Se tienen tuplas ordenadas. En los hipergrafos podemos apreciar relaciones n-arias

27 Relaciones de diferentes órdenes Relaciones ternarias Ejemplo: hipergrafos para redes de colaboración A = {perez, gzz }, B={li, yong}, C={newman, smith} A x B x C = {(perez, li, newman), (perez, li, smith), } 53 Propiedades en relaciones Reflexiva Contiene todos los pares de la forma (x, x) para x A Ejemplos: es igual a, es igual o mayor que Simétrica Si contiene un par (x,y), también contiene (y,x) Ejemplo: hermano de Transitiva Si contiene los pares (x,y) y (y,z), entonces también contiene (x,z) Ejemplo: ancestro 54 27

28 Ejercicio 3 Menciona si las relaciones presentadas son reflexivas, simétricas y/o transitivas. Gana sobre en el juego de piedra, papel o tijera. Las relaciones que planteaste en el Ejercicio 2. Plantea una relación: Reflexiva Simétrica Transitiva 55 Funciones Una función es un tipo especial de relación. Ningún par ordenado tiene el mismo primer componente. i.e., para una entrada sólo existe una salida La mayoría de los textos considera adicionalmente que todas las entradas generan alguna salida. Nosotros consideraremos, en su lugar, la noción de función parcial

29 Dominio y co-dominio Para una función f : A B Dominio Co-dominio (rango) 57 Funciones importantes para computación Techo Redondear hacia arriba. Piso Redondear hacia abajo. Logaritmo base 2 Exponente al que fue elevado una potencia de (8) log 2 3 (16) log 2 (1024) log

30 Funciones importantes log 2 (n) en calculadora = log log 10 ( ) (2) 10 n Módulo Residuo de una división 3mod 5 3 5mod 3 2 4mod Propiedades en funciones Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva 60 30

31 Inyectiva Relación de uno a uno. Para cada elemento del dominio, hay un único elemento del co-dominio. 61 Sobreyectiva Cada elemento del co-dominio aparece en un par ordenado. x 62 31

32 Biyectiva Inyectiva y sobreyectiva. 63 Ejemplos

33 Parcial No está definida para todos los elementos del dominio. 65 Total Está definida para todos los elementos del dominio

34 Aplicaciones Descripción formal de procesos. Ej. autómatas celulares Análisis de algoritmos. Descripción de su complejidad 67 Hasta aquí Qué es una relación? Menciona algunas de sus propiedades. Qué es una función? Menciona algunas de sus propiedades

35 Resumen Un conjunto es un grupo/colección de elementos u objetos. Existen tres formas de representación: extensión, intención y diagramas. Algunas operaciones que podemos realizar con conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia, conjunto potencia, producto cartesiano. Un subconjunto es una porción de un conjunto. 69 Resumen Una relación se define como un subconjunto del producto cartesiano de conjuntos. Función: entrada = salida única Tanto las funciones como las relaciones poseen propiedades. Existen funciones importantes para la computación

36 Referencias Brena, Ramón F. Autómatas y Lenguajes. E-book Grimaldi, Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria: Una Introducción con Aplicaciones. Addison Wesley Longman, México, Jiménez Murillo, José A. Matemáticas para la computación. Alfaomega, México,