MATEMÁTICAS II. x x x d) ( ) b) Como el grado del numerador y del denominador son iguales, hay que empezar por hacer la división.

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1 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas Ejercicio Calcula la siguienes inegrales a) d b) d c) 6 d d) 3 d e) d 9 e a) Haciendo el cambio de variable d d. d d d ln C ln ( ) C d ln ( ) C b) Como el grado del numerador y del denominador son iguales, hay que empezar por hacer la división. Comprueba que 6 6 Haciendo lo cálculos habiuales obenemos la descomposición en fracciones simples: Con los resulados aneriores podemos afirmar que: ( 3) 8ln( ) C 3 ln c) La inegral se resuelve por descomposición en fracciones simples, previa división del numerador por el denominador. Para comprobar us resulados puedes uilizar la orden Epandir de la pesaña Simplificar en DERIVE, según se indica a coninuación. d d d d ( ) ln C d) 3 d I d d I I I d d ln 9 C 9 9 d 3 arcan ( 3) 3 C La primera es una logarímica: La segunda un arco angene: ( ) - -

2 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas arcan ( 3) I I 3I 3 ln 9 d C 9 e) d se resuelve con un cambio de variable e e ln d d, que llevado a nuesra inegral: d, que es de ipo racional. ( ) A B ( A B) B A ( A B) B ( ) ( ) B d d I ln ln Deshaciendo el cambio: I ln e ln e ln d e e Ejercicio d. b) Uilizar el cambio de variable e e para calcular Indicación: Para deshacer el cambio uilícese ln a) Calcula: 3 ln d Madrid: sepiembre 8 a) Se resuelve por pares: d u ln du dv v d 3 3 b) e e d e e d 3 ln I ln d d ( e e ) d I d e e e e e e e e e e e e e e e e ln C 6 ( e e ) Llevando ese resulado a la inegral pedida: ( e e ) d ( e e ) d I d d c e e ( e e ) Como en la indicación nos dicen cómo se deshace el cambio, el problema esá erminado: d ln C - -

3 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas O ambién: d ln ( ) C porque ( ) podemos considerar ln ce. incluido en C. ln ln ln y NOTA: Nos han dado la epresión que deshace el cambio de variable, pero si no hubiera sido así, la habríamos obenido de la siguiene forma: e z e e z z z z z z Se raa de resolver una ecuación de segundo grado en z, de coeficienes: a, b, c z e z e ln Ejercicio 3 a) Hallar los máimos y mínimos y los punos de infleión de f b) Deerminar la función F ( ) al que su derivada sea 3 3 f f críicos. Signo de f Crecimieno, decrecimieno de f ( ) ( ) ( ) 3 3 F f y además Madrid: sepiembre 7. D f R y en y la función iene sus punos La función f ( ) alcanza un máimo relaivo en (, f ) (,7 ) y un mínimo relaivo en, f ( ), ( ) ( ) 3 f f ; 3 f ± El Como en esos punos se anula la segunda derivada es nula, y la primero no se anulaba, los res son punos de infleión: ( f ) ( f ) f 3, 3 3,3 3 ;,,3 y 3, 3 3,3 3 3 b) d d 3 d ( ) ln F C 3. ( ) ln F C F 3-3 -

4 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas Ejercicio a) Deerminar las funciones reales de variable real que saisfacen la condición de que la, y de su gráfica viene dada por la pendiene de la reca angene en un puno genérico epresión e. b) Hallar máimo y mínimo locales y los inervalos de crecimieno y decrecimieno de,. aquella de las funciones del aparado anerior que pasa por el puno Madrid: junio 998 Que la pendiene de la angene en cualquier puno venga dada por e, equivale a decir que f e, por lo que la funciones pedidas son las primiivas de ésa. f e f e d, que se hace por pares y se obiene: f e e C. es En el segundo aparado se pide el esudio de, enre las aneriores, la función que pasa por (,), es decir, aquella para la cual f () C C, luego: f e e. El esudio que se pide se hace a parir de - Signo de f f ) ( e. Como e, : > sig ( f ) sig( ) Monoonía de f La función iene un mínimo relaivo en (, f ()) (,). Ejercicio De la función derivable () A y que su derivada es: si f ( ) si > a) Hallar la epresión de f (). b) Obener la ecuación de la reca angene a f () en f se sabe que pasa por el puno (, ) si ( ) f f a si si >. ln b si > Las consanes a y b se deerminan imponiendo dos condiciones: Madrid: Prueba ipo 999- Su gráfica pasa por el puno A(, ) f ( ) 3 a f () es derivable f () coninua lím f lím f 3 a b - -

5 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas Resolviendo el sisema: 3 a b 3 f ln si si > Como f () ln > f (), la ecuación de la angene en es: : y ln ( ) Ejercicio 6 Si la derivada de f ( ) es f ( ) 3 ( ), si pide: a) Los inervalos de crecimieno y decrecimieno de f. b) Los valores de en los que f iene eremos relaivos o punos de infleión. f c) La función f sabiendo que Madrid: Junio de 9 a) Para el esudio del crecimieno y decrecimieno esudiamos el signo de f ( ) 3 ( ) f b) Por los resulados del aparado anerior, podemos concluir que en la función alcanza un máimo relaivo y en un mínimo relaivo. Para las infleiones necesiamos la segunda derivada. 3 3 ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) ( ) ( 3( ) ( ) ) f ( ) ( ) f f Podríamos hacer el esudio del signo de f para averiguar si en o la gráfica de f iene alguna infleión, pero no es necesario, pues ya sabemos que en hay un eremo relaivo, por lo que sólo hay un puno de infleión, en. La función f, primiiva de f, se obiene si desarrollamos ésa: 3 3 ( ) ( ) f f ( ) C. 3 f 6 8 C 3 f

6 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas Ejercicio 7 Dada la función f ( ) ln, se pide: a) Deerminar el dominio de f y sus asínoas. y f en. b) Calcular la reca angene a la curva c) Calcular f d. Madrid junio de > >, a) f (, ) { } D f (, ) { } Hay dos posible asínoas vericales: y. Comprobamos si definiivamene lo son. ( ) ( ) ln ln lím f lím lím lím ( ) ln Como lím lím f La reca es una asínoa verical ln ( ) ln ( ) lím f lím lím lím ± No es necesario hacer los límies laerales para saber que la reca ± 3 ln 3 3 es una asínoa verical Viso el dominio de f, el esudio de las asínoas horizonales, y oblicuas si procede, se reduce a cuando. ( ) ln lím f lím lím ln ( ) ( L'H) lím lím b) lím f ln ( ) ln ( ) f f (, ( ) ) (, ) f ( ) 3 A f m y es una asínoa horizonal ( ) ( ) 3 : y ( ) ( ) ln - 6 -

7 Albero Enero Conde Maie González Juarrero Inegral indefinida. Cálculo de primiivas c) ( ) d d ln C u ln d ln ( ) d ln ( ) C u u f d ln ln C NOTA: Si no e das cuena de que la segunda es inmediaa, puedes hacer un cambio de variable ln ( ) e ln ( ) e d e d. d d d C. e Deshaciendo el cambio: ( ) ln ln d C - 7 -