Efectuando la división (2x 2 = 1x y 6 2=3) se tiene III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.

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1 TEORIA GENERAL DE LAS ECAUCIONES I. IGUALDADES Y ECUACIONES Ls igulddes son epresiones en donde precen el símolo = Ejemplos:. 5 + = = 5 Alguns propieddes de ls igulddes que utilizremos son: Si =, entonces + c = + c, en pocs plrs si se tiene un iguldd se puede sumr o restr mos ldos un mism cntidd y l iguldd no se lter De igul form se puede dividir o multiplicr mos ldos de un iguldd por un mismo número y l iguldd no se lter. Ls Ecuciones son igulddes que involucrn un o más vriles ls cules se les pueden determinr su vlor, por ejemplo:. + 1 = = c. 6 5 = 0 d. + y = II. TECNICAS DE SOLUCION DE ECUACIONES Resolver un ecución es hllr el vlor o vlores de ls vriles involucrds que stisfgn dich iguldd. Se tienen en cuent ls siguientes considerciones, y que espejr un vrile signific dejrl sin ningún término que l compñe, utilizndo pr esto l trnsposición de términos Primero se trnsponen los términos que estén sumndo o restndo, es decir si están sumndo psrn restr mos ldos y vicevers Luego se trsponen los términos que están multiplicndo o dividiendo, es decir si están multiplicndo psn dividir mos ldos y vicevers Ejemplos: resolver ls siguientes inecuciones. + 1 =. 5 = = el término que compñ es 1 y está sumndo, psrá restr mos ldos = -1 efectundo l operción indicd(1 1 = 0 y -1 = ), qued que = Luego el vlor que stisfce l iguldd es. 5 = 1 el término que está restndo es 5, por lo tnto se sum mos ldos =1 + 5 se efectú l operción = 6 hor el está multiplicndo ps dividir mos ldos 6 = Efectundo l división ( = 1 y 6 =) se tiene = TALLER DE DESARROLLO DE COMPETENCIAS 1. Resuelve ls siguientes ecuciones = = = = = 8 III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. Pr poder resolver un prolem utilizndo ecuciones, es conveniente seguir lgunos psos que pueden yudrnos pr hllr l solución:

2 1. Leer detenidmente el prolem. Identificr los dtos conocidos y los desconocidos. Buscr un estrtegi pr resolver el prolem, lguns de ells son: elorr un tl o digrm, uscr un ptrón de comportmiento, hcer un list orgnizd, plnter un ecución.. Resolver l ecución 5. Compror l respuest y determinr si est es o no rzonle EJEMPLOS: Resolver cd prolem utilizndo pr ellos ecuciones lineles con un incógnit. 1. Encuentr tres números enteros consecutivos cuy sum se 186 Se tiene que l sum de enteros consecutivos es 186 (enteros consecutivos es por ejemplo 1, 1, 1, es decir que pr ser el entero consecutivo de un número st con sumrle 1, fíjte: 1+1 = 1, 1+1=1) Llmemos l primer número entero, El segundo entero serí + 1 El tercero ( + 1) + 1 = + Como l condición es que l sum de los tres números se igul 186, l ecución plnted serí: Resolviendo ls operciones se tiene: Luego el primer entero es 61, el siguiente + 1, es decir 61+1= 6 y el tercero 6 +1 = 6. L sum de ls eddes de Mrí y Jun es 8 ños, Y Jun tiene 8 ños menos que mrí. Hllr ms eddes Llámese l edd de Mrí Se se que Jun tiene 8 ños menos que Mrí, es decir, su edd serí - 8 Como l sum de sus eddes es 8 ños l ecución formd serí 8 8 resolviendo ls operciones Luego l edd de mrí es de 6 ños y l de Jun 6 8 = 8 ños. Pgué $ por un liro, un pr de tennis y un cmis, l cmis costó $5.000 más que el liro y $0.000 menos que el pr de tennis. Cuánto pgué por cd cos?. Se el precio del liro Como l cmis costó $5000 más que el liro, es decir L cmis costó $0000 menos que el pr de tenis o lo que equivle que el pr de tenis costó $0000 pesos más que l cmis, es decir = = precio del trje Como todo costó $87000, l ecución plnted serí:

3 Luego el precio del liro es de $19.000, el de l cmis = = $.000 y el del pr de tenis es de = = $.000 TALLER DE DESARROLLO DE COMPETENCIAS Resuelve los siguientes prolems utilizndo ecuciones lineles con un incógnit. 1. L edd de Andre es el cudruplo de l edd de Gustvo. Si ms eddes sumn 5, cules son ls eddes de cd uno. Si un pdre tiene 5 ños y su hijo 15, dentro de cuntos ños l edd del hijo será l mitd de l del pdre?. Sergio puede hcer un or en dís y Pedro en 6 dís en cuánto tiempo pueden hcer los dos l or trjndo juntos?. En l Cnch de fútol del rrio Bstids en snt Mrt, se v presentr un prtido de fútol entre el unión Mgdlen y un equipo de fútol de los migos del Pie Vlderrm, dichos fondos serán utilizdos en el mejormiento de l cnch, el precio de l entrd pr niños es de $.500 y pr dultos es de $ Si ingresron 70 niños y se recudron $ en l tquill, cuántos dultos ingresron ver el prtido? 5. Sndr reciió un e-mil con tres fotogrfís djunts, el mensje tení un tmño totl de 850 ytes y el párrfo inicil un tmño de 100 ytes, cuántos ytes ocup cd fotogrfí, si se se que ls tres tienen el mismo tmño ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRATICA Un ecución de segundo grdo es tod epresión de l form: c 0 con 0. SOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA 1. SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN: en este cso se plicn lgunos de los csos de fctorizción según l necesidd. Se hce necesrio que el estudinte repse los csos de fctorizción pr que no teng dificultdes en l resolución de ests ecuciones. Ejemplo: resolver ls siguientes ecuciones L epresión 5 6 es un trinomio de l form c, por lo tnto su fctorizción qued 5 6 ( )( ), l ser llevdo l solución de l ecución cudrátic se reemplzn los fctores ( )( ) 0 se tom cd fctor por seprdo 0 ó 0 se despej cd vlor de 1 ó. 0

4 L epresión, es un diferenci de cudrdos, por lo tnto su fctorizción es ( )( ), luego l ecución cudrátic se trnsform en: ( ( 0 )( ) 0 ) 0 ó ( ) 1 ó 0. SOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL: Se resuelve medinte l siguiente fórmul: c OPCIONAL: DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL Se l ecución cudrátic c 0 Pr que el coeficiente de se 1, se divide tod entre Trsponiendo el término independiente Se sum el cudrdo de l mitd del coeficiente de mos ldos c c 0 c Epresndo como potenci el miemro de l izquierd y grupndo términos en el miemro de l derech c Etryendo ríz cudrd c Despejndo se tiene y etryendo ríz cudrd en el denomindor Efectundo l sum de frcciones homogénes c c Ejemplo: resolver por fórmul generl Se compr l ecución dd 5 6 0, con l ecución generl c 0, pr deducir los vlores de,, c, se oserv entonces que =1, =-5 y c=6 Se reemplzn estos vlores en l fórmul generl c ( 5) Como tiene dos soluciones, el signo ó 1 6 ó ( 5) ( 1) ( 1)( 6 ) indic que un solución es con el + y l otr con el-, es decir: 1 ó

5 FUNCION EXPONENCIAL Se un número rel positivo. L función que cd número rel le hce corresponder l potenci se llm función eponencil de se y eponente. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e L función eponente nturl es l función definid por: En donde e es un número irrcionl (llmdo sí en honor l mtemático y físico suizo Leonhrd Euler) que puede epresrse con culquier grdo de ectitud usndo un serie infinit. Con siete cifrs decimles, el vlor de e puede proimrse, ECUACIÓN EXPONENCIAL f ( ) Un ecución eponencil es quell ecución en l que l incógnit prece en el eponente. Pr resolver un ecución eponencil vmos tener en cuent: 1. >0, Ls propieddes de ls potencis. Resolver ls ecuciones eponenciles:. En lo posile se escrien mos miemros como potencis 6 6 LOGARITMOS L operción conocid como logritmción, consiste en hllr el eponente de un potenci cundo se conoce l se. Se llm logritmo de un número positivo, en un se positiv ( 1) l eponente l que hy que elevr l se pr otener como resultdo de l potenci. El concepto de logritmo está directmente relciondo con l potencición, simólicmente se represent por log y es equivlente decir que Por ejemplo: clculr log 5 5 Se oserv que l se es 5, se dee uscr un número l cul de elevrse 5 pr dr 5, efectivmente es el dos, luego: log 5 porque Logritmos decimles: Son los que tienen se 10. Se representn por log (). Logritmos nturles o neperinos: Son los que tienen se e. Se representn por ln () o L() e De l definición de logritmo se puede deducir: No eiste el logritmo de un número con se negtiv. No eiste el logritmo de un número negtivo. log( ) No eiste el logritmo de cero. log 0 El logritmo de 1 es cero. log 1 0 El logritmo en se de es uno. log 1 log El logritmo en se de un potenci en se es igul l eponente. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS n log n

6 1. El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores. Simólicmente: log y Log log y Ejemplo: log 8 Log log 8 5. El logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo menos el logritmo del divisor. Simólicmente: log Log log y y. El logritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el logritmo de l se. n Simólicmente: log nlog Ejemplo: log 8 log 8 1. El logritmo de un ríz es igul l cociente entre el logritmo del rdicndo y el índice de l ríz. n 1 Simólicmente: log log n Ejemplo: 1 1 log 8 log 8 log 5. Cmio de se: Simólicmente: log log log 1 Ejemplo: log log 1 ECUACIONES LOGARITMICAS Ls ecuciones logrítmics son quells ecuciones en l que l incógnit prece fectd por un logritmo. Pr resolver ecuciones logrítmics se tendrá en cuent: 1. Ls propieddes de los logritmos.. log log y y. log. Además tenemos que compror ls soluciones pr verificr que no tenemos logritmos nulos o negtivos. Resolver ls ecuciones logrítmics 1. log log log 0 log Aplicndo l propiedd de los logritmos se tiene log log log 0 log 0 log ( ) log log ( ) log 10 como es un logritmo de se, lo elimino en mos ldos log ( ) Se trnsform l epresión logrítmic l form eponencil equivlente log ( ) se resuelve l potenci 8 resolviendo l ecución linel 8

7 1 1. log 8 Se trnsform l epresión logrítmic l form eponencil equivlente log 8 8 se igul epresión cudrátic cero 8 0 se resuelve l ecución cudrátic 0 0 ó 1 ó Est es un ecución eponencil, pero como en este cso no es posile epresr l número 1 como un eponente de de se se utilizn los logritmos 1 Aplicndo logritmo en mos ldos log( ) log 1 plicndo el logritmo de un potenci log log 1 despejndo se tiene: log 1 log clculndo los vlores de los logritmos 1, 0, 771,771

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