Movimiento armónico simple

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1 Slide 1 / 53 Slide 2 / 53 M.A.S. y movimiento circular Movimiento armónico simple Existe una conexión muy estrecha entre el movimiento armónico simple (M.A.S.) y el movimiento circular uniforme (M.C.U.). Se puede pensar en el movimiento armónico simple como una proyección unidimensional del movimiento circular uniforme. Todas las ideas que aprendimos acerca del M.U.C. pueden ser aplicadas al M.A.S., no tenemos que reinventarlas. Ahora revisemos el movimiento circular en primer lugar, y luego veamos lo que sabemos del M.A.S. Slide 3 / 53 Período El tiempo que tarda un objeto en completar un recorrido alrededor de una ruta circular se denomina Período. Slide 4 / 53 1 Si un objeto tarda 50 segundos en recorrer un círculo 5 veces, cuál es el período de su movimiento? El símbolo de Período es "T" Los períodos se miden en unidades de tiempo; en general, utilizaremos lo segundos (s). A menudo tenemos información del tiempo (t) que tarda un objeto en realizar una determinada cantidad de recorridos (n) alrededor de una ruta circular. En ese caso, Slide 5 / 53 2 Si un objeto se mueve en forma circular y su período es de 7s, cuánto tardará en realizar 8 revoluciones completas? Slide 6 / 53 Frecuencia La cantidad de revoluciones que un objeto realiza en un período de tiempo determinado se denomina la frecuencia de su movimiento. El símbolo de frecuencia es "f" Los períodos se miden en unidades de revoluciones por unidad de tiempo; en general, utilizamos 1/segundos (s -1 ). Otra forma de denominar s -1 es el Hertz (Hz). La frecuencia también puede medirse en revoluciones por minuto (rpm), etc. En general, tenemos información del tiempo (t) que tarda un objeto en realizar una determinada cantidad de revoluciones (n). En ese caso,

2 Slide 7 / 53 3 Un objeto se mueve alrededor de un círculo 50 veces en diez segundos. Cuál es la frecuencia (en Hz) de su movimiento? Slide 8 / 53 4 Si un objeto se mueve en forma circular con una frecuencia de 7 Hz, cuántas revoluciones realizará en 20s? Slide 9 / 53 Período y frecuencia Slide 10 / 53 Como y Entonces y Slide 11 / 53 Slide 12 / 53 6 Un objeto gira con una frecuencia de 8 Hz; cuál es su período (en segundos)?

3 Slide 13 / 53 Slide 14 / 53 8 Un objeto se encuentra en movimiento circular; el radio del movimiento es de 2 m y, su frecuencia, de 8 Hz. Cuál es su velocidad? En el M.C.U., un objeto completa un círculo, o ciclo, cada T cantidad de segundos. Esto significa que regresa a su posición inicial luego de T segundos. M.A.S. y movimiento circular Espacio real Órbita Espacio de fase En el movimiento armónico simple, el objeto no se mueve en círculo, pero también regresa a su posición inicial luego de T segundos Velocidad Cualquier movimiento que se repita una y otra vez, siempre regresando a la misma posición, se denomina "periódico". Slide 15 / 53 Slide 16 / 53 El esplazamiento se mide desde el punto de equilibrio La Amplitud es el desplazamiento máximo (equivalente al radio, r, en M.C.U.). Un ciclo es un movimiento pendular (igual que un recorrido alrededor del círculo en M.C.U.) El Período es el tiempo necesario para completar un ciclo (igual que el período de M.C.U.) La Frecuencia es la cantidad de ciclos completados por segundo (igual que la frecuencia en M.C.U.) Slide 17 / El período de un sistema de masaresorte es 4s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. Qué distancia recorrerá la masa en 4s? Slide 18 / El período de un sistema de masaresorte es 4s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. Qué distancia recorrerá la masa en 6s?

4 Slide 19 / 53 Movimiento armónico simple Llega un punto en que el resorte no está estirado ni comprimido; este es el punto de equilibrio. Slide 20 / Un resorte cuya constante de elasticidad es de 20N/m se estira 0,20m desde el punto de equilibrio; cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el resorte? El desplazamiento se mide desde dicho punto (x = 0 en la figura anterior). La fuerza que ejerce el resorte depende de su desplazamiento: Slide 21 / Un resorte cuya constante de elasticidad es de 150 N/m ejerce una fuerza de 30N en la masa de un sistema de masa-resorte. A qué distancia se encuentra la masa del punto de equilibrio? Slide 22 / Un resorte ejerce una fuerza de 50N sobre la masa de un sistema de masaresorte cuando se encuentra a 2m del punto de equilibrio. Cuál es la constante de elasticidad del resorte? Slide 23 / 53 Movimiento armónico simple Slide 24 / 53 Movimiento armónico simple El signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora: la fuerza llevará a la masa a su posición de equilibrio. k es la constante de elasticidad La fuerza no es constante, por ende, la aceleración tampoco lo es. La máxima fuerza que se ejerce sobre la masa es aquella que se ejerce cuando el resorte está estirado o comprimido al máximo (x = -A or +A): F = -ka (donde x = -A ó +A) La mínima fuerza que se ejerce sobre la masa es aquella que se ejerce cuando el resorte no está estirado (x = 0) F = 0 (donde x = 0)

5 Slide 25 / En qué posición(es) estará al máximo la magnitud de la fuerza de la masa en un sistema de masa-resorte? Slide 26 / En qué posición(es) estará al mínimo la magnitud de la fuerza de la masa en un sistema de masa-resorte? B Slide 27 / 53 La gravedad no afecta el sistema de masa-resorte Slide 28 / 53 Energía y movimiento armónico simple Si el resorte cuelga en forma vertical, el único cambio será en su posición de equilibrio, que es el punto en el que la fuerza del resorte es equivalente a la fuerza de gravedad. El efecto de la gravedad se anula al cambiar a esta nueva posición de equilibrio. Slide 29 / 53 x ahora se mide desde aquí Cualquier sistema vibrante en el que la fuerza restauradora sea proporcional al negativo del desplazamiento se encuentra en movimiento armónico simple (M.A.S.), y es denominada, en general, un oscilador armónico simple. Además, el M.A.S. necesita que el sistema cuente con dos formas de energía y un método que le permita a la energía ir y volver en ambos estados. Slide 30 / 53 Energía en el sistema de masa-resorte Existen dos tipos de energía en un sistema de masa-resorte. La energía almacenada en el resorte porque se lo estira o comprime: U s = 1/2 kx 2 Y La energía cinética de la masa: Energía en el sistema de masa-resorte En un momento la energía total del sistema es constante y está compuesta por esas dos formas. E = U s + EC E total = 1/2 kx 2 + 1/2 mv 2 La energía mecánica total es constante. EC = 1/2 mv 2

6 Slide 31 / 53 Cuando la masa se encuentra en el límite de su movimiento (x = A ó x = - A), la energía está en todo su potencial: z Slide 32 / En qué posición(s) estará al máximo la energía cinética de un sistema de masa-resorte? E total = 1/2 kx 2 Cuando la masa está en el punto de equilibrio (x=0), el resorte no está estirado y toda la energía es cinética: E total = 1/2 mv 2 Pero la energía total es constante. B E total = 1/2 kx 2 + 1/2 mv 2 Slide 33 / En qué posición(es) estará al máximo la energía potencial elástica (U S ) de un sistema de masa-resorte? Slide 34 / En qué posición(s) estará al máximo la energía total de un sistema de masa-resorte? Respuesta : E Es la misma en todas las posiciones E Slide 35 / 53 Slide 36 / En qué posición(s) estará al mínimo la energía cinética de un sistema de masa-resorte? Resolución de problemas utilizando la energía Como la energía es constante, y el trabajo realizado en el sistema es cero, siempre puedes determinar la velocidad de la masa en cualquier punto utilizando E 0 = E f La forma más general (complicada) de esta fórmula es la siguiente 1/2 kx /2 mv 0 2 = 1/2 kx f 2 + 1/2 mv f 2 Pero, en general, se simplifica al obtener la información de la energía en algún punto en que es toda U S (x = A ó -A) o cuando es toda EC (x = 0).

7 Slide 37 / 53 Slide 38 / Cuál es la energía total en un sistema de masa-resorte si la masa es de 2kg, la constante de elasticidad es 200N/m y la amplitud de la oscilación es 3m? 22 Cuál es la velocidad máxima de la masa en el sistema de masa-resorte a partir de la diapositiva anterior: la masa es de 2kg, la constante de elasticidad es 200N/m y la amplitud de oscilación es de 3m? Slide 39 / 53 Período y frecuencia de un sistema de masa-resorte Podemos utilizar el período y la frecuencia de una partícula que se mueve en círculo para determinar su período y frecuencia: Slide 40 / Cuál es el período de un sistema de masa-resorte si la masa es de 4kg y la constante de elasticidad es de 64N/m? Slide 41 / 53 Slide 42 / Cuál es la frecuencia del sistema de masa-resorte de la diapositiva anterior (la masa es de 4kg y la constante de elasticidad es de 64N/m)? El péndulo simple Un péndulo simple consiste de una masa adherida al extremo de una cuerda liviana. Podemos asumir que la cuerda no se estira, y que su masa es insignificante.

8 Slide 43 / 53 El péndulo simple Slide 44 / 53 El péndulo simple Para estar en M.A.S., la fuerza restauradora debe ser proporcional al negativo del desplazamiento. Aquí tenemos: Pero antes aprendimos que tiene la forma de F = -kx si k = mg/l Sustituyendo por k mg/l que es proporcional a sin θ y no a θ por sí mismo. Para ángulos pequeños, sin θ θ y x = Lθ. Slide 45 / Cuál es el período de un péndulo que tiene un largo de 2m cerca de la superficie de la tierra? Observen que "m" se anuló, la masa no importa. Slide 46 / Cuál es la frecuencia del péndulo de la diapositiva anterior (con un largo de 2m cerca de la superficie de la tierra)? Slide 47 / 53 El péndulo simple Slide 48 / Cuál de los siguientes factores afecta el período de un péndulo? Entonces, mientras se considere que la cuerda no tiene masa y que la amplitud es pequeña, el período no dependerá de la masa. A B C E F G la aceleración debida a la gravedad el largo del resorte la masa del peso conductor del péndulo A & B A & C B & C Todas las anteriores

9 Slide 49 / 53 Energía en el péndulo Los dos tipos de energía en un péndulo son: Energía potencial gravitatoria EPG = mgh Y La energía cinética de la masa: EC = 1/2 mv 2 Slide 50 / 53 Energía en el péndulo En cualquier momento, la energía total del sistema es constante y estará compuesta por estas dos formas. E = EPG + EC E total = mgh + 1/2 mv 2 La energía mecánica total es constante. Slide 51 / Cuál es la energía total en un péndulo de 1 kg si su altura, en su máxima amplitud, es de 0,20m sobre su altura en el punto de equilibrio? Slide 52 / Cuál es la velocidad máxima de la masa del péndulo de la diapositiva anterior (su altura en la máxima amplitud es de 0,20m sobre su altura en el punto de equilibrio)? Resumen Slide 53 / 53 Para el M.A.S., la fuerza restauradora es proporcional a su desplazamiento: F = -kx El período (T) es el tiempo que tarda en cumplir un ciclo, y la frecuencia (f) es la cantidad de ciclos por segundo. T = 1/f; f = 1/T El período de la masa en un resorte: urante el M.A.S., la energía total es constante y cambia continuamente de cinética a potencial y viceversa. El período de un péndulo simple es:

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