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1 Slide 1 / 71 Movimiento Armónico Simple

2 Slide 2 / 71 MAS y Movimiento Circular Hay una profunda conexión entre el Movimiento armónico simple (MAS) y el Movimiento Circular Uniforme (MCU). Movimiento armónico simple se puede pensar como una proyección en una-dimensión del Movimiento circular uniforme.

3 Slide 3 / 71 MAS y Movimiento Circular Todas las ideas que hemos aprendido del MCU, se puede aplicar al MAS... no tenemos que reinventarlos. Por lo tanto, vamos a revisar el movimiento circular primero, y a continuación, extenderemos lo que sabemos al MAS.

4 Slide 4 / 71 Período El tiempo que toma para que un objeto complete un viaje alrededor de una trayectoria circular se llama su período. El símbolo de período es "T" Períodos se miden en unidades de tiempo; por lo general se utilizan los segundos (s). A menudo se nos da el tiempo (t) que se necesita para que un objeto haga una serie de viajes (n) alrededor de una trayectoria circular. En ese caso, T = t / n

5 1 Si se tarda 50 segundos para que un objeto viaje por todo un círculo 5 veces, cuál es el período de su movimiento? Slide 5 / 71

6 2 Si un objeto se mueve en movimiento circular y su período es 7,0s, cuánto tiempo se necesita para que haga 8 revoluciones completas? Slide 6 / 71

7 Slide 7 / 71 Frecuencia El número de revoluciones que un objeto completa en un período de tiempo determinado se denomina la Frecuencia de su movimiento. El símbolo de la frecuencia es "f" Frecuencias se miden en unidades de revoluciones por unidad de tiempo, por lo general se utilizan 1/segundos (s -1 ). Otro nombre para s -1 es Hertz (Hz). La frecuencia también se puede medir en revoluciones por minuto (rpm), etc. A menudo se nos da el tiempo (t) que tarda un objeto de hacer un número de revoluciones (n). En ese caso, f = n / t

8 3 Un objeto viaja alrededor de un círculo 50 veces por cada diez segundos, cuál es la frecuencia (en Hz) de su movimiento? Slide 8 / 71

9 Slide 9 / 71 4 Si un objeto se mueve en un movimiento circular con una frecuencia de 7,0 Hz, Cuantas revoluciones hace en 20s?

10 Slide 10 / 71 Periodo y frecuencia Dado que T = t / n y f = n / t entonces T = 1 / f y f = 1 / T

11 Slide 11 / 71 5 Un objeto tiene un período de 4,0s, cuál es la frecuencia de su movimiento (en Hertz)?

12 Slide 12 / 71 6 Un objeto está girando con una frecuencia de 8,0 Hz, cual es su período (en segundos)?

13 Slide 13 / 71 7 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0m y su período es 5,0s. Cuál es su la velocidad?

14 Slide 14 / 71 8 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es de 2,0 metros y su frecuencia es de 8,0 Hz. Cual es su velocidad?

15 En MCU, un objeto completa un círculo, o ciclo, en cada T segundos. Esto significa que vuelve a su posición inicial después de T segundos. En Movimiento Armónico Simple, el objeto no viaja en un círculo, pero también vuelve a su posición inicial en T segundos. Slide 15 / 71 MAS y Movimiento Circular Cualquier movimiento que se repite una y otra vez, siempre volviendo a la misma posición se llama "periódico".

16 Slide 16 / 71 desplazamiento se mide desde el punto de equilibrio amplitud es el desplazamiento máximo (Equivalente al radio, r, en el MCU). Un ciclo es un completo viaje (El mismo que un viaje alrededor del círculo en MCU) Período es el tiempo requerido para completar un ciclo (El mismo que el periodo de MCU) Frecuencia es el número de ciclos completado por segundo (El mismo que Frecuencia en el MCU)

17 Slide 17 / 71 9 Se tarda 4,0s para un sistema para completar un ciclo de movimiento armónico simple. Cuál es la frecuencia del sistema?

18 Slide 18 / El período de un sistema de masa-resorte es 4,0 s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. Cuanto viaja la masa en 4,0 s?

19 Slide 19 / El período de un sistema de masa-resorte es 4,0 s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. Cuanto viaje la masa en 6,0?

20 Slide 20 / 71 Movimiento armónico simple Hay un punto en cual el resorte ni se estira ni se comprime;esta es la posición de equilibrio. Nosotros medimos el desplazamiento desde ese punto (X = 0 en la figura anterior). La fuerza ejercida por el resorte depende del desplazamiento:

21 Slide 21 / Un resorte con un constante de elasticidad de 20 N/m se extiende 0,20m desde el equilibrio, cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte?

22 Slide 22 / Un resorte con un constante de elasticidad de 150 N/m ejerce una fuerza de 30N sobre una masa en un sistema de masa-resorte. Que tan lejos está la masa desde el equilibrio?

23 Slide 23 / Un resorte ejerce una fuerza de 50N sobre la masa en un sistema de masa-resorte cuando está 2,0m del equilibrio. Cual es la constante de elasticidad del resorte?

24 Slide 24 / 71 Movimiento armónico simple El signo menos indica que se trata de una restauración de la fuerza; se dirige a restaurar la masa a su posición de equilibrio. k es la constante de elasticidad del resorte La fuerza no es constante, por lo que la aceleración es no constante tampoco

25 Slide 25 / 71 Movimiento armónico simple La fuerza máxima ejercida sobre la masa es cuando el resorte es más estirado o comprimido (x =-A o +A): F =-ka (cuando x =-A + o A) La fuerza mínima ejercida sobre la masa es cuando el resorte no se extiende (x = 0) F = 0 (cuando x = 0)

26 Slide 26 / En qué locación o locaciones es la magnitud de la fuerza sobre la masa en un sistema de masa-resorte lo máximo? A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E todo lo anterior

27 16 En qué locación o locaciones es la magnitud de la fuerza sobre la masa en un sistema de masaresorte lo mínimo? Slide 27 / 71 A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E todo lo anterior

28 Slide 28 / 71 La gravedad no afecta el sistema masa-resorte Si el resorte se cuelga verticalmente, el único cambio es en la posición de equilibrio, que está en el punto donde la fuerza del resorte es igual a la fuerza de la gravedad. El efecto de la gravedad es anulado cuando se cambia a este nueva posición de equilibrio. x ahora se mide desde aquí

29 Slide 29 / 71 Energía y movimiento armónico simple Cualquier sistema de vibración donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento a la negativa esta en movimiento armónico simple (MAS), y se llama a menudo oscilador armónico simple. Además, MAS requiere que el sistema tenga dos formas de energía y un método que permite la energía para volver adelante y hacia atrás entre estas dos formas.

30 Slide 30 / 71 Energía en el Sistema de Masa-Resorte Hay dos tipos de energía en un sistema de masa-resorte. La energía almacenada en el resorte, ya que se estira o se comprime: U s = 1/2 kx 2 y La energía cinética de la masa: EC = 1/2mv 2

31 Slide 31 / 71 Energía en el sistema masa-resorte En cualquier momento, la energía total del sistema es constante e integrada en estas dos formas. E = U s + EC E total = 1/2 kx 2 + 1/2mv 2 La energía mecánica total es constante.

32 Slide 32 / 71 Cuando la masa está en los límites de su movimiento (x = A o x =-A), la energía total es potencial: E total = 1/2kx 2 Cuando la masa está en el equilibrio (x = 0) el resorte no se estira y toda la energía es cinética: E total = 1/2 mv 2 Sin embargo, la energía total es constante. E total = 1/2 kx 2 + 1/2 mv 2

33 Slide 33 / En qué lugar(es) es la energía cinética de un sistema de masa-resorte lo máximo? A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E todo lo anterior

34 Slide 34 / En qué lugar(es) es la energía potencial (U S ) de un sistema de masa-resorte lo máximo? A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E todo lo anterior

35 Slide 35 / En qué lugar(es) es la energía total de una masaresorte de un sistema máximo? A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E Es lo mismo en todos los lugares

36 Slide 36 / En qué lugar(es) es la energía cinética de un sistema de masa-resorte lo mínimo? A x = A B x = 0 C x =-A D A & C E todo lo anterior

37 Slide 37 / 71 Resolución de problemas con la energía Puesto que la energía es constante, y el trabajo realizado sobre el sistema es cero, siempre se puede encontrar la velocidad de la masa en cualquier lugar mediante el uso de E 0 = E f La forma mas general (complicada) de esta ecuación se convierte en 1/2kx /2 mv 0 2 = 1/2 kx f 2 + 1/2 mv f 2 Pero por lo general esto se simplifica cuando la energía es dado en un punto donde todo es U S (X =A o -A) o cuando todo es EC (x = 0).

38 Slide 38 / Cuál es la energía total de un sistema de masa-resorte si la masa es 2,0 kg, la constante de elasticidad es 200 N/m, y la amplitud de la oscilación es 3,0m?

39 Slide 39 / Cuál es la máxima velocidad de la masa en el sistema de masa-resorte de la pagina anterior: la masa es 2,0 kg, la constante de elasticidad es 200 N/m, y la amplitud de la oscilación es 3,0m?

40 Slide 40 / 71 El período y la frecuencia de un sistema masa-resorte Podemos utilizar el período y la frecuencia de una partícula en movimiento en círculo para encontrar el período y la frecuencia: EC = EPE ½ mv 2 = ½ kx 2 mv 2 = Kx 2 m(2# r/ T) 2 = Kx 2 T 2 = m(2# ) 2 x 2 / Kx 2 T = 2# #(m/k)

41 Slide 41 / Cuál es el período de un sistema de masa-resorte si la masa es 4,0kg y la constante del resorte es 64N/m?

42 Slide 42 / Cuál es la frecuencia de un sistema de masa-resorte la pagina anterior: la masa es 4,0kg y el constante del resorte es 64 N/m?

43 Slide 43 / 71 El péndulo simple Un péndulo simple consiste de una masa al final de una cuerda ligera. Suponemos que la cuerda no se estira, y que su masa es insignificante.

44 Slide 44 / 71 El péndulo simple Con el fin de estar en MAS, la fuerza de restauración debe ser proporcional a la negativa del desplazamiento. Aquí tenemos: que es proporcional al sinθ y no a θ directamente. Para ángulos pequeños, el sin θ θ y x = Lθ.

45 Slide 45 / 71 El péndulo simple tiene la forma de F =-kx si k = mg / L Pero hemos aprendido antes que Sustituyendo k mg / L Aviso: "m" es cancelado, la masa no importa.

46 Slide 46 / Cuál es el período de un péndulo con una longitud de 2,0 m cerca de la superficie de La Tierra?

47 Slide 47 / Cuál es la frecuencia del péndulo de la pagina anterior (una longitud de 2,0 m cerca de la superficie de la Tierra)?

48 Slide 48 / 71 El péndulo simple Por lo tanto, siempre y cuando el cable se puede considerar "sin masa" y la amplitud es pequeña, el período no depende de la masa.

49 Slide 49 / Cuál de los siguientes factores afecta el período de un péndulo? A B C D E F G la aceleración de la gravedad la longitud de la cuerda la masa del péndulo A & B A & C B & C todo lo anterior

50 Slide 50 / 71 Energía en el péndulo Los dos tipos de energía en un péndulo son: Energía potencial gravitatoria EPG = mgh y La energía cinética de la masa: EC = 1/2 mv 2

51 Slide 51 / 71 Energía en el péndulo En cualquier momento en el tiempo la energía total del sistema es contante y compuesto de estas dos formas. E = EC + EPG E total = mgh + 1/2 mv 2 La energía mecánica total es constante.

52 Slide 52 / Cuál es la energía total de un 1 kg péndulo si su altura, en su máxima amplitud es 0,20m por encima de la altura de su equilibrio?

53 Slide 53 / Cuál es la máxima velocidad de la masa del péndulo de la pagina anterior (su altura máxima en amplitud es de 0,20 m por encima de su altura en el equilibrio)?

54 Slide 54 / 71 Resumen Para MAS, la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento a lo negativo: F =-kx El período (T) es el tiempo requerido para un ciclo, y la frecuencia (f) es el número de ciclos por segundo. T = 1 / f, f = 1 / T El periodo de una masa en un resorte: Durante MAS, la energía total es constante y continuamente en cambio entre la energía cinética y la potencial El período de un péndulo simple es:

55 Slide 55 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de MAS v = eeyrkw8v7vg función y = Jugar Lista & p = 3AB590B4A4D71006 Y indice = 0

56 Slide 56 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de SHM Podemos utilizar el círculo como referencia (y ver de los últimos gráfico) para encontrar la posición de una masa en función del tiempo: x = A cos θ Dado que la masa está girando con una velocidad angular de #, se puede decir que θ = # t: x = A cos # t Además, dado que la velocidad angular, #, es 2# f ó 2# /T x = A cos 2# ft o x = Acos2# t/t

57 Slide 57 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de SHM También podemos encontrar la velocidad en función del tiempo. La magnitud de v =-v 0 sinθ Desde θ = ωt v =-v 0 sin ωt Recordemos que v = ωr y r es A. v =-Aω sin ωt Donde la velocidad máxima es de v =-Aω

58 Slide 58 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de SHM Por último se encuentra la aceleración en función del tiempo. a = F/m = -kx/m = -k (A cos ωt)/m Sustituye a 0 con ka/m a =-a 0 cos ωt Dado que a 0 = v 2 /r = (ωr) 2 /r = rω 2 = Aω 2 a =-Aω 2 cos ωt Donde la aceleración máxima es de a =-Aω 2

59 Slide 59 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de SHM a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento)

60 Slide 60 / 71 El período y la naturaleza sinusoidal de SHM a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

61 Slide 61 / Cuál es la aceleración cuando x = 0? A a < 0 B a = 0 C a > 0 D Esto varía. a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

62 Slide 62 / Cuál es la aceleración cuando x = A? A a < 0 B a = 0 C a > 0 D Esto varía. a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

63 Slide 63 / Cuál es la aceleración cuando x =-A? A a < 0 B a = 0 C a > 0 D Esto varía. a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

64 Slide 64 / Cuál es la velocidad cuando x = 0? A v < 0 B v = 0 C v > 0 D A o C a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

65 Slide 65 / Cuál es la velocidad cuando x = A? A v < 0 B v = 0 C v > 0 D A o C a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

66 Slide 66 / Dónde está la masa cuando la aceleración es máximo? A x = A B x = 0 C x =-A D A o C a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

67 Slide 67 / Dónde está la masa cuando la velocidad es máxima? A x = A B x = 0 C D x =-A A o C a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T

68 Slide 68 / Cuál de los siguientes representa la posición en función del tiempo? a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T A x = 4 cos (2t) D x = 8 cos (2t) B x = 2 cos (2t) C x = 2 sen (2t)

69 Slide 69 / Cuál de los siguientes representa la velocidad en función del tiempo? a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T A v = -12 sin (2t) D v = sin -4 (2t) B v = -12 cos (2t) C v = cos 4 (2t)

70 Slide 70 / Cuál de los siguientes representa la aceleración en función del tiempo? a (aceleración) v (velocidad) x (desplazamiento) T / 4 T / 2 3T / 4 T A v = -8 sin (2t) D v = sin -4 (2t) B v = -8 cos (2t) C v = cos 4 (2t)

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