Circuitos Eléctricos RL RC y RLC

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1 Circuitos Eléctricos RL RC y RLC Andrés Felipe Duque Grupo:10 Resumen. En esta práctica podremos analizar básicamente los circuitos RLC donde se acoplan resistencias, capacitores e inductores, y algunas de las principales características de estos. Abstract In this practice we basically analyze RLC circuits which are coupled resistors, capacitors and inductors, and some of the main features of these. Objetivos: Comprender, conocer y analizar las similitudes y diferencias de los circuitos RL, RC, y RLC. Analizare intentar comprender el comportamiento que tienen estos elementos en la elaboración de circuitos electrónicos y su posible utilización. Podremos analizar en este laboratorio: La influencia que tienen los condensadores, las resistencias y las bobinas en el desarrollo de los circuitos eléctricos. Circuitos RL Figura 1. Circuito RL es serie. El generador de señales suministra el voltaje V en forma de una onda cuadrada. Consideremos el circuito de la figura 1, en el cual una bobina de inductancia L está conectada en serie con una resistencia R y con un generador de señales. Suponiendo que la corriente I circule como se muestra en la figura, según la ley de Kirchhoff para voltajes se tiene que O bien (1) V = VR + VL (2) VL + VR - V = 0

2 Donde (3) VL = L di / dt (4) VR = I.R Con (3) y (4), la ecuación (2) se puede escribir como (5) L di /dt + IR - V = 0 (11) VL = V e-tr/l La ecuación (11) describe el comportamiento del voltaje VL en la bobina. Una representación gráfica de las ecuaciones (10) y (11) se puede observar en la figura 2. Esta ecuación diferencial tiene como solución (6) I (t) = A e-tr/l + V / R A: es una constante y a la relación L/R se llama tiempo de vida media. En el momento de prender el circuito (t = 0) no circula corriente todavía (I = 0) y en tales condiciones la ecuación (6) se reduce a: Figura 2. Representación gráfica de las ecuaciones (11) y (12). Para un circuito RC (7) 0 = A + V/R Esto permite calcular la constante A: (8) A = - V/R con la cual la ecuación se escribe ahora de la siguiente manera: (9) I (t) = (V/R)[ 1 - e-tr/l ] Teniendo en cuenta que VR = IR, la ecuación anterior se transforma en (10) VR = V ( 1 - e-tr/l ) Utilizando las ecuaciones (3) y (9) se puede obtener fácilmente el valor del voltaje VL en la bobina: Figura 3. Circuito RC en serie, alimentado por un generador de señales. El circuito de la figura 3 muestra un condensador y una resistencia óhmica conectados en serie con un generador de señales. Suponiendo que la corriente I circula en la dirección indicada, la aplicación de

3 la segunda ley de Kirchhoff establece que (12) V = IR + Q/C Ecuación en la cual I = dq/dt La solución de esta ecuación diferencial es (13) Q(t) = C.V ( 1 - e-t/rc ) Que describe el comportamiento de la carga del condensador en el tiempo. Figura 4. Representación gráfica de las ecuaciones (15) y (16). Circuitos RLC Puesto que la corriente en el circuito es I = dq/dt, es fácil obtener a partir de la ecuación (13) el comportamiento de I en función del tiempo: (14) I = ( V/ R) e-t/rc Teniendo en cuenta que VR = I.R y VC = Q/ C, se puede calcular la caída de potencial en la resistencia R y en el condensador C utilizando las ecuaciones (13) y (14). (15) VR = V.e-t/RC (16) VC = V ( 1 - e-t/rc ) La ecuación (15) y (16) describen el comportamiento del voltaje en la resistencia R y en el condensador C como una función del tiempo. Estos comportamientos están representados gráficamente en la figura 4. Figura 5. Circuito RLC en serie, alimentado por un generador de señales. En los circuitos RLC se acoplan resistencias, capacitores e inductores. Existe también un ángulo de desfasaje entre las tensiones y corrientes (y entre las potencias), que incluso puede llegar a hacerse cero. En caso de que las reactancias capacitivas e inductivas sean de distinto valor para determinada frecuencia, tendremos desfasajes. Dependiendo de cuál de las

4 reactancias sea mayor podremos afirmar si se trata de un circuito con características capacitivas o inductivas y por lo tanto si la tensión adelanta a la corriente (y con qué ángulo) o si la corriente adelanta a la tensión. Pero para poder comprender adecuadamente este tipo de circuitos es de vital importancia comprender primero algunos aspectos y nociones básicas de los circuitos RL. OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q2máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar. En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL. Quedando: (17) U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 ) Figura 6. Circuito LC en serie, circuito oscilante. CIRCUITO RLC Cuando un condensador se conecta a un inductor, luego de haberse cargado con una fuente de tensión, tanto la corriente como la carga del condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la resistencia. Un circuito RLC es aquel que tiene como componentes una resistencia, un condensador y un inductor conectados en serie En un tiempo igual a cero, el condensador tiene una carga máxima (Qmáx). Después de un tiempo igual a cero, la energía total del sistema está dada por la ecuación presentada en la sección de oscilaciones en circuitos LC (17) U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )

5 En las oscilaciones en circuitos LC se había mencionado que las oscilaciones no eran amortiguadas puesto que la energía total se mantenía constante. En circuitos RLC, ya que hay una resistencia, hay oscilaciones amortiguadas porque hay una parte de la energía que se transforma en calor en la resistencia. El cambio de la energía total del sistema dependiendo del tiempo está dado por la disipación de energía en una resistencia: (18) du/dt = I2R Luego se deriva la ecuación de la energía total respecto al tiempo y se remplaza la dada: LQ + RQ + (Q/C) = 0 amortiguamiento es mayor que la producida por la elasticidad que en este caso es la producida por la unión LC. Para el circuito críticamente amortiguado(figura 9.) se presenta que la tensión de amortiguamiento es igual a la producida por la elasticidad y finalmente el subamortiguado la tensión de amortiguamiento es menor a la producida por la elasticidad u oscilación, este se puede asemejar fácilmente a un comportamiento mecánico muy tradicional, un resorte es un ejemplo de este tipo de oscilación, al aplicarle una fuerza externa y luego liberarlo la grafica representativa de su movimiento será igual a la de la Figura 7. Se puede observar que el circuito RCL tiene un comportamiento oscilatorio amortiguado: (19) m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0 Si se tomara una resistencia pequeña, la ecuación cambiaría a : (20) Q = Qmáx e (Rt/2L)Cos wt Figura 7. Grafica representativa de un circuito RLC subamoriguado. (21) w = [ (1/LC) (R/2L)2 ] 1/2 Entre más alto el valor de la resistencia, la oscilación tendrá amortiguamiento más veloz puesto que absorbería más energía del sistema. Si R es igual a (4L/C) ½ el sistema se encuentra sobreamortiguado(figura 8.), es decir que la tensión de Figura 8. Grafica representativa de un circuito RLC sobreamortiguado.

6 Figura 9. Grafica representativa de un circuito RLC críticamente amortiguado Conclusiones Cuando tenemos un circuito RC en serie, el condensador toma toda la energía de la fuente y la almacena entre sus placas en forma de un campo eléctrico, el proceso de carga de este sucede en forma exponencial y al momento de estar 100% cargado, este desaparece virtualmente del circuito, comportándose como un circuito abierto, en el momento en que este elemento entrega su energía almacenada al circuito, su descarga también sucede en forma exponencial hasta que este entrega toda su energía. Se calcula que tanto el proceso de carga como de descarga está completo casi en su totalidad al transcurrir entre unas 5T a 6T. Cuando tenemos un circuito RL en serie, sucede algo similar que con el condensador, el inductor de igual manera almacena la energía de la fuente, pero este desaparece virtualmente comportándose como un corto circuito y almacena la energía en forma de campo magnético, de igual forma su carga y descarga sucede de forma exponencial y también se calcula que estos 2 procesos están en casi su totalidad al transcurrir entre 5T y 6T con T igual a taos. En un circuito RLC se pueden dar 3 casos de amortiguamiento que son: subamortiguado, sobreamortiguado y críticamente amortiguado, dependiendo de la relación entre los componentes del circuito. El comportamiento de un circuito RLC subamortiguado se asemeja al comportamiento mecánico de un resorte, al liberarlo después de aplicarle una fuerza externa. Referencias bibliográficas. [1] Sears, Francis W; Zemansky, Mark W; Young, Hugh D; Freedman, Roger A; Física Universitaria; Movimiento en línea recta y

7 Movimiento en dos y tres dimensiones ; undécima edición; volumen 2; Pearson Educación, México, [2] Serway, Raymond A; Beichner, Robert J; Física Para Ciencias e Ingeniería; Movimiento en una dimensión y Movimiento en dos dimensiones ; quinta edición; tomo 2; McGraw-Hill, México, 2004.