ÁNGULOS Halla la medida de los ángulos a, b, y/o c de cada figura a continuación. Justifica tus respuestas.

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1 ÁNGULOS.... La aplicación de la geometría en situaciones cotidianas suele involucrar la medición de distintos ángulos. En este capítulo, comenzamos a estudiar las medidas de los ángulos. Después de describir los ángulos y reconocer sus características, los alumnos completarán una Caja de herramientas de relaciones entre ángulos (Página de recursos de la lección..). La caja de herramientas incluye algunos ángulos especiales sobre los que los alumnos deben registrar información importante. La lista incluye ángulos opuestos por el vértice (que siempre miden lo mismo), ángulos llanos (que miden 0 ), ángulos correspondientes, ángulos alternos internos, y ángulos conjugados internos. Para más información sobre las relaciones entre ángulos, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones.. y... Ejemplo Halla la medida de los ángulos a, b, y/o c de cada figura a continuación. Justifica tus respuestas. a. b. a c b b a c c. d. c 9 b a 9 0 a Cada figura incluye información que nos permite hallar las medidas de los ángulos faltantes. En el punto (a), el pequeño cuadrado en el ángulo b nos dice que se trata de un ángulo recto, así que m b = 90º. El ángulo c es llano (está lo suficientemente abierto para crear una recta), así que m c = 0º. Para calcular m a debemos saber que a y el ángulo de son complementarios, lo que significa que suman 90. Por lo tanto, m a + º = 90º, lo que nos dice que m a = º. En el punto (b) usaremos dos datos, uno sobre los ángulos suplementarios y el otro sobre los ángulos opuestos por el vértice. Primero, m a y el ángulo de son suplementarios, porque juntos forman un ángulo llano (recta), así que sus medidas suman 0. Si restamos de 0, hallamos que m a = º. Los ángulos opuestos por el vértice son formados por la intersección Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

2 de dos rectas. Son los dos pares de ángulos opuestos (enfrentados) en el punto en que las rectas se intersectan. Este tipo de ángulos siempre mide lo mismo. Ya que el ángulo de y b son ángulos opuestos por el vértice, m b = º. De igual forma, a y c son ángulos opuestos por el vértice y, por lo tanto, son iguales, así que m a = m c = º. La figura del punto (c) muestra dos retas paralelas intersectadas por una transversal. Cuando esto sucede, tenemos varios pares de ángulos que miden lo mismo. a y el ángulo de 9 son ángulos alternos internos y, ya que las rectas son paralelas (como indican las dos flechas en cada recta), estos ángulos miden lo mismo. Por lo tanto, m a = 9º. Eisten varias formas de calcular las medidas de los ángulos restantes. Una forma es observar que a y b son suplementarios. Otra usa el hecho de que b y el ángulo de 9 son ángulos conjugados internos, lo que los hace suplementarios porque las rectas son paralelas. De cualquier forma se obtiene el mismo resultado: m b = 0º 9º = º. También hay más de una forma de calcular m c. Sabemos que c y b son suplementarios. Al mismo tiempo, c y el ángulo de 9 son ángulos correspondientes, y son iguales porque las rectas son paralelas. Una tercera forma consiste en observar que a y c son ángulos opuestos por el vértice. En cualquier caso, m c = 9º. El punto (d) es un triángulo. En clase, los alumnos investigaron las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. Aprendieron que la suma de los tres ángulos es siempre igual a 0. Sabiendo esto, podemos calcular que m a: m a + 0º + 9º = 0º. Por lo tanto, m a = º. Problemas Usa las propiedades y teoremas geométricos que aprendiste para hallar en cada diagrama y escribe la propiedad o teorema que usaste en cada caso º 0º 00º º º º.... 0º 0º + 0º 0º 0º 0º º º º + º º 0 + º 0º 9 + º º.... º º 0 + º º º 0 º º º + º + º º º 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

3 º º º º º + º 9 + pg. pg..... cm + cm º 0º 0º 0º º + º 0º.... º + 0º + º º + º º º + º Usa lo que sabes sobre las medidas de los ángulos para hallar, y, o z y - y z y 00 Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 9

4 . z 0 0 y En la Lección.., usamos lo que aprendimos sobre las medidas de los ángulos para crear demostración por contradicción (ver recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección...) Usa este método para justificar tus conclusiones en los problemas y a continuación.. Nik obtuvo 0 puntos menos que Tess en su último eamen de matemáticas. Las calificaciones van de 0 a 00 puntos. Podría Tess haber obtenido un 0? Justifica tu respuesta por medio de una demostración por contradicción.. Puede un triángulo tener dos ángulos rectos? Justifica tu respuesta por medio de una demostración por contradicción. Respuestas. = º. = º. = 0º. = º. =.º. = º. = º. = º 9. = 0º 0. = º. = º. = 0 º. = º. = º. = º. = º. = º. =.º 9. = 9º 0. =.º. = º. =.º. = º. = º. = 0º. = º. = º. = 0º 9. ( + ) + = 0, = º 0. ( + ) + ( + ) + = 0, = 0º. ( ) + ( ) = 0, = 9º, y = 0º. ( ) + ( ) = 90, = º, y = 90º. =, y =, z = 0. = 0, y = 0, z = 0. Si Tess hubiera obtenido 0 puntos, la calificación de Nik habría sido 0, y eso es imposible. Por lo tanto, Tess no podría haber obtenido 0 puntos.. Si un triángulo tuviera dos ángulos rectos, la medida del tercer ángulo debería ser cero. Sin embargo, esto es imposible, así que un triángulo no puede tener dos ángulos rectos. O: si un triángulo tuviera dos ángulos de 90, los dos lados que intersectan el lado entre ellos deberían ser paralelos y nunca se cruzarían para formar el triángulo, como puede verse en la figura de la derecha. 0 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

5 ÁREA.... Tras medir varios ángulos, los alumnos observan sus medidas en situaciones más familiares, como el cálculo de la longitud y el área de una superficie plana. Los alumnos desarrollan métodos y fórmulas para calcular el área de triángulos, paralelogramos, y trapecios. También hallan el área de figuras más complejas dividiéndolas en figuras cuyas áreas saben calcular mediante el uso de fórmulas básicas. Los alumnos también aprenden a determinar la altura de una figura respecto de una específica. Para más información sobre áreas, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección... Ejemplo Dibuja la altura correspondiente al lado etiquetado como en cada una de las siguientes figuras: a. b. c. d. Para saber cuánto mide una persona, le pedimos que se pare derecha y medimos la distancia desde el punto más alto de su cabeza hasta el suelo. La altura de una figura se mide de la misma forma. Una forma de calcular la altura de una figura es imaginar que esta debe atravesar un túnel con su horizontal. Qué altura debe tener el túnel para que la figura pueda pasar? La altura del túnel es igual a la altura de la figura. La altura es perpendicular a la (o a una recta que contenga la ) desde cualquiera de los puntos más altos de la figura. En clase, los alumnos también usaron una tarjeta de para dibujar la altura. a. Suele ser más fácil dibujar la altura de una figura cuando la es un segmento horizontal o el lado inferior de la figura. La altura del triángulo de la derecha fue dibujada desde el punto más alto hasta la y forma un ángulo recto con la. altura Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

6 b. La figura de la derecha no es un triángulo, pero aun así tiene una altura. De hecho, la altura puede dibujarse en varios puntos desde el lado opuesto a la. Aquí se muestran tres alturas. Todas ellas tiene la misma medida. altura altura c. La del primer triángulo de la derecha es distinta a la del punto (a) porque ningún lado es horizontal o se encuentra en el punto inferior. Rota la figura y luego dibuja su altura como hicimos en el punto (a). d. Las figuras como el trapecio de la derecha o el paralelogramo del punto (b) tienen al menos un par de lados paralelos. Ya que la siempre es uno de los lados paralelos, podemos dibujar varias alturas. La altura dibujada en el etremo derecho ha sido dibujada en un segmento que contiene la. Ejemplo Halla el área de cada una de las figuras o regiones sombreadas dadas a continuación. Asegúrate de incluir las unidades de medida correspondientes. a. b. cm c. pies pies pies cm cm + d. e. f. pulgadas pulgadas pulgadas Los alumnos han registrado las fórmulas para hallar el área de distintas figuras en su Caja de herramientas de áreas (Página de Recursos de la Lección..B). En el punto (a), el área de un triángulo es A= bh, donde b y h son perpendiculares. En este caso, la mide pies y la altura es pies. El lado de pies no es la altura, porque no es perpendicular a la en ángulo recto. Por lo tanto, A = ( pies)( pies) = pies. El área se mide en unidades cuadradas, mientras que las longitudes (como el perímetro) se miden en unidades lineales, como pies. 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

7 La figura del punto (b) es un paralelogramo y el área de un paralelogramo es A = bh, donde b y h son perpendiculares. Por lo tanto, A = ( cm)( cm) = 0 cm cuadrados. La figura del punto (c) es un rectángulo, así que su área también es A = bh, pero en este caso, tenemos varias epresiones que representan las medidas de la y la altura. Aun así calculamos el área de la misma forma. A= (+ )( ) = + unidades cuadradas. Ya que no sabemos en qué unidades medir las longitudes, decimos que el área es unidades cuadradas. El punto (d) muestra un trapecio. Los alumnos hallaron varias formas distintas de calcular su área. La forma más común es: A= ( b + b ) h, donde b es la superior y b es la inferior. Como siempre, b y h deben ser perpendiculares. El área es A = ( pulgadas + pulgadas) pulgadas. =. pulgadascuadradas. Las figuras en los puntos (e) y (f) son más complicadas y no podemos calcular su área usando una sola fórmula. En el punto (e) hay varias formas de dividir la figura en rectángulos. Puedes ver una a la derecha. Las áreas de los rectángulos en ambos etremos son fáciles de calcular, ya que sus dimensiones están etiquetadas en la figura. El área del rectángulo () es A = ()() = unidades cuadradas. El área del rectángulo () es A = ()() = unidades cuadradas. Para hallar el área del rectángulo (), sabemos que uno de sus lados mide unidades, pero debemos determinar su altura. La altura es unidades menos de, así que es igual a. Por lo tanto, el área del rectángulo () es A = ()() = 0 unidades cuadradas. Ahora que conocemos el área de todos los rectángulos, podemos sumarlas para hallar el área total de la figura: A(figura entera) = = unidades cuadradas. En el punto (f) debemos hallar el área de la región sombreada y, nuevamente, hay varias formas de hacerlo. Una forma consiste en ver la figura como la suma de un rectángulo y un triángulo. Otra forma consiste en ver la región sombreada como un rectángulo alto del que se ha cortado un triángulo. Ambos métodos arrojarán la misma respuesta. Usando el primer método, A = () + ()() = unidades cuadradas. El segundo método arroja la misma respuesta: A = () ()() = unidades cuadradas. -o- Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

8 Problemas Dibuja la altura correspondiente a la señalada en cada una de las siguientes figuras:.... Halla el área de los triángulos, paralelogramos, y trapecios a continuación. Las imágenes no se han dibujado a escala. Redondea tus respuestas a la decena más cercana CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

9 Halla el área de las regiones sombreadas Halla el área de cada una de las figuras o regiones sombreadas dadas a continuación. Asegúrate de incluir las unidades adecuadas cm.. plg. plg plg 9. cm 0. cm cm. plg cm cm cm. cm 9 plg plg 9 cm plg Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

10 .. 9 Halla el área de las figuras dadas a continuación. Asume que todos los ángulos que parecen ser rectos de hecho lo son CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

11 Respuestas.. altura altura.. altura altura. 00 unidades. 90 unidades. unidades. unidades 9. unidades 0. 0 unidades. 9 unidades. 09. unidades. unidades. 9. unidades.. unidades. unidades. unidades. unidades unidades 0..9 unidades. 00 unidades. unidades. unidades. unidades. (+ ) = + 0 unidades. (.) =. centímetros cuadrados. () 0 = unidades. (.)() = pulgadas cuadradas 9. () + (.) + (.) =. cm 0. 9() + ()() = pulgadas cuadradas cm cm cm cm cm. cm cm 9 plg. plg plg. ()() ()() 9 = = unidades. ()() (9)(9) = 0. =. unidades 9 cm plg. unidades. unidades. unidades. unidades. unidades. unidades 9. unidades unidades. unidades. unidades Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

12 LONGITUD DE LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS.. y.. Los alumnos usaron distintas tecnologías para eplorar el Teorema de la desigualdad de un triángulo, que determina las restricciones a las posibles longitudes de los lados de un triángulo dadas las longitudes de sus otros dos lados. La tecnología permite a los alumnos eplorar distintas formas de determinar las longitudes de los lados de un triángulo por medio de cálculos en lugar de mediciones. El Teorema de la desigualdad de un triángulo determina las restricciones a las posibles longitudes del tercer lado de un triángulo dadas las longitudes de sus otros dos lados. Los alumnos usan un método que refuerza su comprensión de las raíces cuadradas y aplican el Teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos. Para más información sobre el lenguaje de los triángulos rectángulos y el Teorema de Pitágoras, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones.. y... Ejemplo El triángulo de la derecha no ha sido etiquetado con las longitudes de sus lados. Pueden estos lados medir: A a.,,? b.,,? C B En un principio, los alumnos creen que los lados de un triángulo pueden tener tres medidas cualesquiera, pero eso no es verdad. El Teorema de la desigualdad de un triángulo establece que la longitud de un lado cualquiera debe ser menor a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Para que el triángulo del punto (a) sea posible, todos los enunciados a continuación deben ser verdaderos:? < +,? < +, y? < +. Ya que todos son verdaderos, es posible dibujar un triángulo con lados de,, y unidades. En el punto (b) debemos verificar que:? < +,? < +, y? < +. En este caso, solo dos de las tres condiciones son verdaderas, las últimas dos. La primera desigualdad no es verdadera, así que no es posible dibujar un triángulo con lados de,, y unidades. Una forma de realizar un argumento convincente al respecto es cortar espaguetis o revolvedores de café de estas medidas y ver si pueden ser unidos por sus etremos de forma que formen un triángulo. 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

13 Ejemplo Usa el Teorema de Pitágoras para hallar el valor de. a. b. Los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto se denominan catetos, mientras que el tercer lado, el más largo, es la hipotenusa. La relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa puede verse a la derecha. Teorema de Pitágoras En el punto (a), esto nos dice que: + = 9 + = = Para calcular el valor de, usa una calculadora y halla la raíz cuadrada de : =, así que =. El punto (b) es un poco distinto porque la variable no es la hipotenusa. Puedes ver la solución a la derecha. Problemas El triángulo de la derecha no ha sido etriquetado con la medida de ninguno de sus lados. Pueden los lados del triángulo medir:.,,?.,, 9? A B..,.,?. 9.,.,.? C. Un cuadrado tiene un área de pies cuadrados. Cuánto mide uno de sus lados? Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 9

14 . Un cuadrado tiene un área de pulgadas cuadradas. Cuánto mide uno de sus lados?. Un cuadrado tiene un área de 00 cm cuadrados. Cuánto mide uno de sus lados?. Un cuadrado tiene un área de 9 unidades cuadradas. Cuál es su perímetro? Usa el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de. Redondea tus respuestas a la decena más cercana Resuelve los siguientes problemas La de una escalera de pies se encuentra a seis pies de distancia de una pared. Hasta qué altura de la pared llega la escalera? 0. La de una escalera de pies se encuentra a cinco pies de distancia de una pared. Hasta qué altura de la pared llega la escalera?. La de una escalera de 9 pies se encuentra a tres pies de distancia de una pared. Hasta qué altura de la pared llega la escalera?. La de una escalera de pies se encuentra a tres pies y medio de distancia de una pared. Hasta qué altura de la pared llega la escalera?. La de una escalera de pies se encuentra a un pie y medio de distancia de una pared. Hasta qué altura de la pared llega la escalera?. Pueden,, y representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.. Pueden,, y representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.. Pueden,, y representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. 0 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

15 . Pueden 9,, y representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.. Pueden 0,, y 0 representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. Usa el Teorema de Pitágoras para hallar el valor de. Redondea tu respuesta hasta la decena más cercana de ser necesario Respuestas. no. sí. sí. no. pies. pulgadas.. cm. unidades 9. =. unidades 0. = 9.9 unidades. =.9 unidades. = 9. unidades. =.0 unidades. =. unidades. =. unidades. =. unidades. =. unidades. =. unidades pies 0.. pies.. pies.. pies.. pies. no. no. sí. sí. no 9.. unidades 0. = 9 unidades.. unidades. 9. unidades Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved.

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