3. La circunferencia.
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- Alfonso Toledo Hernández
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1 UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA ANALITICA. 3. La circunferencia. Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia. Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos o la ecuación de una circunferencia. Definición. La circunferencia es el conjunto infinito de puntos que están a igual distancia de otro llamado CENTRO. Radio a b Esta es una circunferencia centrada en el origen del plano cartesiano. Diámetro La distancia de un punto de la circunferencia al centro se conoce como RADIO (r). Lo anterior significa que si a y b son 2 puntos de la circunferencia, y la distancia de a a b es el diámetro, entonces el centro está en el punto medio de a y b. El diámetro es la mayor distancia entre 2 puntos de la circunferencia. Además, el radio es la mitad del diámetro. Actividad 8.Los puntos que se dan en cada caso pertenecen a una circunferencia y están a un diámetro de separación. Tú deberás encontrar las coordenadas del centro y la magnitud del radio. 1. (2,4) y (8,6) Centro: r 2. (2,6) y (8,10) Centro: r 3. (4,2) y (12,10) Centro: r 4. (-4,8) y (8,8) Centro: r 5. (-5,8) y (9,8) Centro: r 6. (2,8) y (10,2) Centro: r 7. (-4,10) y (10,2) Centro: r 8. (-4,10) y (12,2) Centro: r Ecuación de la circunferencia (X,y) La circunferencia mostrada tiene centro (h,k) y el punto (X,y) pertenece a la circunferencia. Al aplicar la fórmula de la distancia, se tiene que la distancia del punto al centro es r. Es decir que: k r
2 (X h) 2 + (y k) 2 = Esta es la ecuación canónica 2 de la circunferencia Desarrollando los cuadrados, obtenemos: X 2 + y 2 2Xh 2yk + h 2 + k 2 = r 2 Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el origen del plano cartesiano. Calculemos su ecuación.. Como el centro es el origen, entonces h = k = 0, y la ecuación es: (X h) 2 + (y k) 2 = r 2 (X 0) 2 + (y 0) 2 = 2 2 X 2 + y 2 = 4 Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el punto (2,-4). Calculemos su Ecuación. Como el centro es el punto (2,-4), entonces h = 2 y k = -4 La ecuación es: (X h) 2 + (y k) 2 = r 2 (X 2) 2 + (y (-4)) 2 = 2 2 (X 2) 2 + (y + 4) 2 = 4 Ejemplo. Determinemos el centro y el radio de la circunferencia X 2 + 4y + y 2-6X 12 = 0 En este caso, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos. X 2-6X + y 2 + 4y = 12 En los espacios en blanco colocaremos el número que hace falta para que el trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto. Cómo? El coeficiente del factor lineal lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2) 2 = 9 y (4/2) 2 = 4 Para no alterar la igualdad, estos valores los sumamos en el otro miembro. La ecuación queda así: X 2-6X y 2 + 4y + 4 = (X 2-6X + 9) + (y 2 + 4y + 4) = 25 (X - 3) 2 + (y + 2) 2 = 25
3 (X - 3) 2 + (y (-2)) 2 = 25 Por lo tanto, el centro es (3,-2) y el radio es 5. Actividad 9.En cada caso se te da el radio y un punto; determina la ecuación de la circunferencia y (2,5) 2. 5 y (3,-2) 3. 6 y (-2,5) 4. 7 y (-3,-2) 5. 6 y (2,5) 6. 5 y (-3,-2) 7. 4 y (2,7) 8. 5 y (-3,-5) 9. 4 y (2,-5) y (-3,-7) Actividad 10. En cada caso, calcula el centro y el radio de la circunferencia. 1. X 2-2X + y 2 + 6y = X 2 + 6X + y y = X 2 + y 2-10X + 6y + 30 = 0 4. X 2 + y 2-10X - 4y + 28 = 0 5. X 2 + y X - 12y + 63 = 0 6. X 2 + y 2 + 2X + 6y = X 2 + y 2-4X - 4y + 4 = 0 8. y 2 + X 2-14X + 6y = y 2 + X 2 + 6X - 18y = y 2 + X 2-10X + 2y = -1 discusión 10.. Para cada par de circunferencias, comprobar que son tangentes. 1. y 2 + X 2 - X - 4y = 8 y y 2 + X 2-24X - 4y = y 2 + X 2 + 8X - 16y = 0 y y 2 + X 2-16X - 6y = y 2 + X 2-4X - 16y = -59 y y 2 + X 2-20X - 16y = y 2 + X 2-4X - 16y = -52 y y 2 + X 2-24X - 16y = y 2 + X X - 10y = -1 y y 2 + X 2-22X - 10y = y 2 + X X - 4y = 20 y y 2 + X 2-22X - 4y = y 2 + X 2 + 8X + 12y = -48 y y 2 + X 2-16X + 12y = 0 8. y 2 + X 2 + 8X + 12y = -51 y y 2 + X 2-16X + 12y = y 2 + X 2 + 8X + 12y = -43 y y 2 + X 2-16X + 12y = y 2 + X X - 4y = -13 y y 2 + X 2-10X - 4y = 7
4 discusión 10b. Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los lados del cuadrado formado por las rectas dadas: 1. y = 5, y = -5; X = -4, X = 6 2. y = 6, y = -6; X = -5, X = 7 3. y = 7, y = -7; X = -6, X = 8 4. y = 8, y = - 8; X = -7, X = 9 5. y = 9, y = -9; X = -8, X = y = 8, y = 0; X = -2, X = 6 7. y = 9, y = -1; X = -3, X = 7 8. y = 10, y = -2; X = -4, X = 8 discusión 10c. La circunferencia tiene radio de 3 cm y centro en (4, 3) La recta tiene un ángulo de 45 y pasa por el origen. Calcular los puntos en los que la recta corta a la circunferencia. El gráfico está a escala. 4. La parábola. Objetivos conceptuales. Definir el concepto de parábola. Objetivos procedimentales. Dada la ecuación de una parábola, calcular el vértice, el foco, la directriz y trazar la gráfica. Calcular la ecuación de una parábola si se conocen algunos de sus elementos. Definición. La parábola es el conjunto infinito de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Foco (hk+p) k P (X,y) Vértice (h,k) P Eje de la parábola h Directriz y = k - p (X,k-P) La gráfica muestra una parábola con todos sus componentes. Hagamos algunos análisis. 1. Cualquier punto (X, y) de la parábola, está a igual distancia del foco que de la directriz. Esto de acuerdo a la definición. 2. P es el parámetro. La distancia del vértice al foco es igual que la distancia del vértice a la directriz. Esa distancia es P. 3. La parábola dibujada está abierta hacia arriba. El vértice es el punto más bajo si la parábola se abre hacia arriba; y será el punto más alto, si se abre hacia abajo. De
5 igual forma, será el punto más a la izquierda, si la parábola se abre hacia la derecha; y será el punto más a la derecha, si se abre hacia la izquierda. 4. La directriz es una recta horizontal. Estará abajo, si la parábola se abre hacia arriba; y estará arriba, si se abre hacia abajo. También estará a la derecha, si se abre hacia la izquierda, y viceversa. En estos 2 casos, la directriz será una vertical Ecuación de la parábola La distancia de un punto (X,y) al foco de la parábola = la distancia de (X,y) a (X, k-p) (X - h) 2 + (y k p) 2 = (X X) 2 + (y k + P) 2 Elevemos al cuadrado (X - h) 2 + (y k p) 2 = (y k + P) 2 Desarrollemos los cuadrados que tienen P. Obtenemos. (X - h) 2 y 2 + k 2 + P 2 + 2kP 2yk 2yp = y 2 + k 2 + P 2-2kP 2yk + 2yp Suprimamos términos (X - h) 2 + 2kP 2yp = 2yp - 2kP (X - h) 2 = 2yp - 2kP - 2kP + 2yp (X - h) 2 = 2yp + 2yp - 2kP - 2kP (X - h) 2 = 4yp - 4kP (X - h) 2 = 4P (y - k) La ecuación anterior es para la parábola abierta hacia arriba. Si la parábola se abre hacia abajo, tendremos -4P. Si la parábola se abre hacia la derecha, tendremos 4P, pero (X - h) cambia por (y - k) y (y - k) cambia por (x - h) Todo esto se resume en la tabla siguiente. (X - h) 2 = 4P (y - k) (X - h) 2 = -4P (y -
6 (y - k) 2 = 4P (X - h) (y - k) 2 = -4P (X - Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (y - 3) 2 = 16 (X - 6). Observamos que en (y - 3) 2 = 16 (X - 6), y k está al cuadrado. Esto nos indica que la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Pero también se observa que 4P tiene signo POSITIVO: +16. Por lo tanto la parábola se abre hacia la derecha. Además su vértice es (6,3) Calculemos P: 4P = 16 P = 16/4 = 4 La directriz es la recta vertical que está a 4 unidades a la izquierda del vértice. Significa que 4 unidades a la derecha, está el foco. Como el vértice es (6,3), la directriz es X = 6 4 = 2 Y el foco es (6 + 4,3) = (10,3) La gráfica es la siguiente: X = 2 3 Foco (10,3) Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (X + 3) 2 = 8 (y - 5).
7 La parábola se abre hacia arriba. El vértice es (-3,5) La distancia del foco al vértice, P, es: 4P = 8 P = 2 La directriz es y = 5 2 = 3 y = 3 El foco está en (-3,5+2) = (-3,7) La gráfica es la siguiente: (-3,7) 7 (-3,5) 5 y = -3 Ejemplo. Una parábola tiene su vértice en (8,-2) y su foco en (8,-3) Determinar su ecuación. El foco, que es (8,-3) está una unidad abajo del vértice, que es (8,-2). Esto nos indica que la parábola se abre hacia abajo. Además, P = 1. Por lo tanto, la directriz, que está una unidad abajo del vértice, es y = -1. La parábola es: (X - h) 2 = -4P (y - k) (X - 8) 2 = -4(1) (y (-2)) (X - 8) 2 = -4 (y + 2) Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de la parábola y 2 6y + 12X - 15 = 0 Debemos completar el cuadrado. y 2 6y + 12X - 15 = 0 y 2 6y + (3) X - 15 = (y - 3) 2 = - 12X = - 12X + 24
8 (y - 3) 2 = - 12(X 2) La parábola se abre hacia la izquierda. El vértice es (2,3) 4P = 12 P = 12/4 = 3 La directriz está 3 unidades a la derecha del vértice. La directriz es X = = 5 El foco está 3 unidades a la izquierda del vértice: (2-3,3) = (-1,3) La gráfica es la siguiente: (-1,3) (2,3) X = 5 Ejemplo. Calculemos la ecuación de la parábola cuyo vértice es (7,4) y cuya directriz es X = 9. X = Se aprecia que la directriz está a la derecha del vértice. Esto significa que la parábola se abre hacia la izquierda. Además, la distancia del vértice a la directriz es 2 unidades: 9 7 = 2. Es decir que P = 2. La ecuación de la parábola es: (y - k) 2 = -4P (X - h) (y - 4) 2 = -8 (X - 7) Actividad 11. En cada caso, determina el vértice, la directriz, el foco y la gráfica.
9 1. (X - 5) 2 = 8 (y - 3) 2. (X - 5) 2 = -8 (y - 3) 3. (X - 8) 2 = 8 (y - 5) 4. (X - 8) 2 = -8 (y - 5) 5. (X + 3) 2 = 4 (y - 5) 6. (X + 3) 2 = -4 (y - 5) 7. (X + 5) 2 = -8 (y + 3) 8. (y - 5) 2 = 12 (X - 2) 9. (y - 5) 2 = -12 (X - 2) 10. (y + 6) 2 = 12 (X + 4) 11. (y + 6) 2 = -12 (X + 4) 12. X 2 10X 8y + 49 = X 2 16X 8y = y y 12X = 12 Actividad 12. En cada caso, encuentra la ecuación de la parábola. 1. El vértice es (8,5) y el foco es (8,7) 2. El vértice es (-4,-6) y el foco es (-1,-6) 3. El vértice es (-3,5) y el foco es (-3,4) 4. El vértice es (-3,-4) y el foco es (0,-4) Actividad 13. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola. 1. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 2. El vértice es (8,5) y la directriz es y = 3 3. El vértice es (-3,5) y la directriz es y = 4 4. El vértice es (-5,-3) y la directriz es y = El vértice es (2,5) y la directriz es X = 5 6. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 Actividad 14. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola. 1. El vértice es el origen, y la directriz es y = 2
10 2. El vértice es (0,3), y la directriz es y = 6 3. El vértice es (3,0), y la directriz es X = -2 discusión 6. Encuentren 10 puntos que pertenezcan a la parábola cuyo vértice es (-3,0) y cuya directriz es X = -1.
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