REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

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1 RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó el caso más secllo es el modelo de líea recta. upógase que se tee u cojuto de pares de observacoes (, ), se busca ecotrar ua recta que descrba de la mejor maera cada uo de esos pares observados. CP I Varable respuest R X (varable depedete o regresva) Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

2 e cosdera que la varable X es la varable depedete o regresva se mde s error, metras que Y es la varable respuesta para cada valor específco de X; además Y es ua varable aleatora co algua fucó de desdad para cada vel de X. f ( Y ) ( Y ) Y Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

3 Regresó Leal mple f ( Y ) + + ε ( Y ) + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Y + la recta de regresó es: Cada valor observado para u puede cosderarse como el valor esperado de Y dado más u error: Modelo leal smple : + + ε Los ε se supoe errores aleatoros co dstrbucó ormal, meda cero varaza σ ; so costates descoocdas (parámetros del modelo de regresó) X

4 Método de Mímos Cuadrados para obteer estmadores de Cosste e determar aquellos estmadores de que mmza la suma de cuadrados de los errores ε ; es decr, los estmadores de respectvamete debe ser tales que: ε Del modelo leal smple: de dode: elevado al cuadrado: sea míma. ε ε + + ε ( ) Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

5 Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Al dervar se obtee u sstema de dos ecuacoes deomadas ecuacoes ormales : ) ( ) ( egú el método de mímos cuadrados, los estmadores de debe satsfacer las ecuacoes: + + Cua solucó es: Ahora, el modelo de regresó leal smple ajustado (o recta estmada) es: +

6 Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Co respecto al umerador deomador de B suele epresarse como respectvamete: Puede demostrarse que: ( ) ) (

7 Por otro lado puede demostrarse que los estmadores de so sesgados co varazas: V ( ) σ + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro V ( ) respectvamete. Como σ (la varaza de los errores ε ) es e geeral descoocda, para estmarla defmos el resduo como: e la suma de cuadrados del error como: e ŷ σ ( ) que al susttur també puede epresarse como: ea M ( ) dode: M toces: ( ) ( ) σ σ M

8 Co lo ateror, las varazas estmadas de so respectvamete: ( ) M + V ( ) V M Además, s se cumple los supuestos de que los ε se dstrbue ormalemte co meda cero varaza σ, etoces, los estadístcos T M + M T tee cada uo dstrbucó t de tudet co - grados de lbertad. Lo que permte efectuar pruebas de hpótes calcular tervalos de cofaza sobre los parámetros de regresó. Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

9 U caso de partcular terés es probar la hpótess: H H : : Ya que s la pedete es gual cero, etoces puede sgfcar o que la varacó de X o flue e la varacó de Y, o que o ha regresó leal etre X Y. Por otro lado, s la pedete es dferete de cero, etoces estrá algú grado de asocacó leal etre las dos varables, es decr, la varabldad de X eplca e certa forma la varablad de Y (auque o mplca que o pueda obteerse u mejor ajuste co algú polomo de maor grado e X). Nota: s se utlzara e lugar de ua recta, ua curva co grado maor a e X pero grado e los coefcetes de X, la regresó sgue sedo leal, a que es leal e los parámetros de regresó p.ej. Y o + + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

10 stmacó de tervalos de cofaza e toro a la líea de regresó: BANDA D CONFIANZA Recta estmada de regresó Para u puto específco Y ( ) + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

11 stmacó de la respuesta meda para u ( ) µ Y + V ( ) ŷ ( ) o σ + V ( ) tee dstrbucó ormal, por lo que: específco: µ V( o M ) + tee dstrbucó T de tudet co - grados de lbertad, por lo que los límtes de cofaza superor e feror para la respuesta meda dado está dados por: t V( ) ± α /, o ( ) o Grafcado los lmtes de cofaza superor e feror de para cada puto de X puede dbujarse las badas de cofaza para la recta de regresó. µ ŷ Puede observarse que la ampltud del tervalo de cofaza es míma cuado metras que es maor e los etremos de los valores observados de X. Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

12 Predccó de uevas observacoes Nótese que ŷ es la respuesta meda para los valores de seleccoados para ecotrar la recta de regresó; s embargo, frecuetemete es de terés predecr la respuesta futura para u a dado seleccoado posterormete. ea Y a la observacó futura e a., ; Y a es ua varable aleatora co varaza σ por otro lado, la varaza de + es ( ) ( ) a V M + + a a a Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro

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