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1 Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre conjuntos, aplicaciones, numerabilidad y propiedades de los números reales. 1.1 Conjuntos Supondremos conocidos algunos conceptos básicos sobre conjuntos: unión, intersección, diferencia, etc... No obstante intentaremos fijar algunas ideas recordando varios resultados interesantes. Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos. N será el conjunto de los números naturales o enteros positivos. Z será el conjunto de los números enteros. Q será el conjunto de los números racionales. R será el conjunto de los números reales. C será el conjunto de los números complejos. Definición (Familia de conjuntos). Una familia de conjuntos A será un conjunto cuyos elementos son, a su vez conjuntos. Los representaremos con letras mayúsculas caligráficas y se pueden expresar a través de un conjunto de índices I de la siguiente forma: A = {A i : i I} 1

2 2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Definición (Unión e intersección de una familia). Dada una familia de conjuntos A = {A i : i I} definimos: Unión de la familia A como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos de A y lo representaremos de las dos maneras siguientes: A = {x : existe A A tal x A} A i = {x : existe i I tal x A i } i I Intersección de la familia A como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de A y lo representaremos de las dos maneras siguientes: A = {x : x A para todo A A} A i = {x : x A i para todo i I} i I Proposición (Propiedad distributiva). Sea {A i : i I} una familia de conjuntos y B un conjunto. Entonces: 1. B ( i I A i) = i I (B A i ) 2. B ( i I A i) = i I (B A i ) Demostración. - (1) Si x B ( i I A i), supongamos que x B, entonces x B A i, para todo i I, por tanto x i I (B A i ). Si ahora suponemos que x / B, será x i I A i, luego x A i para todo i I lo que implica que x B A i para todo i I y por tanto está en la intersección i I (B A i ) de todos ellos. Sea x i I (B A i ), entonces x B A i para todo i I; si x B tenemos que x B ( i I A i) y si x / B será x A i para todo i I, por tanto x i I A i lo que lleva a que x B ( i I A i) (2) Se realiza de forma análoga. Definición (Complementario). Dado A E, definimos el complementario de A en X como el conjunto X A = {x X : x / A} de los elementos de X que no son elementos de A. Si el contexto está suficientemente claro designaremos al complementario de A en X como A c = X A.

3 1.2. APLICACIONES 3 Está claro que (A c ) c = A Proposición (Leyes de Morgan). Sea {A i : I I} una familia de subconjuntos A i X, i I. Entonces 1. ( i i A i) c = i i Ac i o bien X ( i i A i) = i i (X A i) 2. ( i i A i) c = i i Ac i o bien X ( i i A i) = i i (X A i) Demostración. Vamos a ver la demostración de la propiedad 1). La 2) se hará de forma análoga. Si x ( i i A i) c, entonces x / A i para todo i I, por tanto x A c i x i i Ac i. para todo i I, luego Si x i i Ac i, x / A i para todo i I, luego x / i i A i, por tanto x ( i i A i) c. Definición (Diferencia de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, definimos la diferencia de A y B como el conjunto A B = {x : x A y x / B} de los elementos de A que no son elementos de B. Proposición Sean A, B X, entonces se verifican: 1. A B = A B c 2. A (A B) = A B 3. A (A B) = A B 4. Para la diferencia de conjuntos se verifican las Leyes de Morgan. ( ) (a)b A i = i I(B ( ) A i ) (b)b A i = i I(B A i ) i I i I 1.2 Aplicaciones Un concepto tan importante y básico como el de conjunto, y que también es conocido, es el de aplicación entre conjuntos. Vamos a repasar algunas ideas y resultados sobre aplicaciones. Definición (Aplicación). Una aplicación entre los conjuntos X e Y es una correspondencia entre ellos tal que, a cada punto de X le hace corresponder uno y sólo un punto de Y. La representaremos de la siguiente manera f : X Y, o bien, X f Y

4 4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Una aplicación, f : X Y, está dada por un conjunto de pares ordenados, y puede entenderse como un subconjunto del producto cartesiano X Y, de la forma siguiente: Γ(f) = {(x, y) : x X, y = f(x) Y } X Y, que se denomina la gráfica de f o el grafo de f. Este conjunto debe cumplir que para todo elemento x X existe un único elemento y Y tal que (x, y) Γ(f). Este y se llama la imagen de x por f, y se representa por y = f(x). Definición (Imagen e imagen inversa). Si A X, el conjunto imagen de A, es el subconjunto f(a) = {y Y : existe x A, y = f(x)} Y formado por todas las imágenes f(x) tales que x A. Si B Y, la imagen inversa de B es el subconjunto f 1 (B) = {x X : f(x) B} X formado por aquellos elementos tales que su imagen pertenece a B. Si y Y, se usará la notación f 1 (y) = f 1 ({y}), pero obsérvese que es un subconjunto de X y no un punto. Conviene tener en cuenta que el símbolo f 1 (B) es simplemente una notación de un conjunto. No hay que cometer el error de suponer que f 1 indica que la aplicación f tiene una aplicación inversa. Proposición Sea f : X Y una aplicación entre conjuntos y sean los subconjuntos A X y B Y. Entonces 1. A f 1 (f(a)), 2. f(f 1 (B)) B. Demostración. - (1) Si x A, entonces y = f(x) f(a) Y, luego x f 1 (f(a)). (2) Si y f(f 1 )(B)), entonces f(x) = y para algún x f 1 (B), luego f(x) B, pero como la imagen de cada x es única, f(x) = y B. Ejemplo Las inclusiones anteriores no son,en general, igualdades.

5 1.2. APLICACIONES 5 (1) Consideremos la parábola f : R R, f(x) = x 2. f(f 1 (([1, 2])) = [ 2, 1] [1, 2]. (2) Consideremos el seno de x, f : R R, f(x) = sen x. f(f 1 ([ 2, 2])) = [ 1, 1]. Las imágenes y las imágenes inversas respecto de la unión y de la intersección de familias de conjuntos tienen las siguientes propiedades. Proposición Sean f : X Y una aplicación entre conjuntos y las familias de subconjuntos {A i X : i I} y {B j Y : j J}. Entonces 1. f( i I A i) = i I f(a i), 2. f( i I A i) i I f(a i), 3. f 1 ( j J B j) = j J f 1 (B j ), 4. f 1 ( j J B j) = j J f 1 (B j. 5. f(a B) f(a) f(b) Ejemplo Este ejemplo muestra que las inclusiones (1) y (5) de la proposición anterior no son, en general, igualdades. Consideremos los conjuntos A = [1, 2] [1, 2] y B = [1, 2] [3, 4] de R 2 y la proyección π 1 : R 2 R, definida como π 1 (x, y) = x. Entonces tenemos que Por otra parte π 1 (A) π 1 (B) = [1, 2] [1, 2] = [1, 2], pero π 1 (A B) = π 1 ( ) = π 1 (A B) = π 1 (A) = [1, 2], pero π 1 (A) π 1 (B) = [1, 2] [1, 2] = Hay relaciones entre las imágenes inversas de los complementarios y el complementario de las imágenes inversas. Así se tiene: Proposición Sea f : X Y una aplicación entre conjuntos y sea B Y. Entonces f 1 (Y B) = X f 1 (B).

6 6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Ejemplo No se verifica ninguna relación entre las imágenes y los complementarios. Si consideramos f : R R, definida como f(x) sen x, tenemos que f([0, π] c ) = [ 1, 1] y, sin embargo [f([0, π])] c = [0, 1] c = (, 0) (1, + ) Un tipo especial de aplicaciones que se utilizarán con frecuencia son las sucesiones. Una sucesión en X es una aplicación φ : N X. Es costumbre representar la sucesión como {x n } n=1 donde x n = φ(n). Es conveniente distinguir una sucesión de su conjunto imagen. Una sucesión siempre tiene infinitos términos, pero su conjunto imagen no tiene por qué ser infinito. Por ejemplo, la sucesión {1, 0, 1, 0,...} tiene como conjunto imagen el {0, 1}. La última definición de este apartado es la de subsucesión de una sucesión {x n } n=1. Dada una aplicación estrictamente creciente α : N N donde α(k) = n k, se define la subsucesión asociada como la composición φ α : N X es decir, es la sucesión {x nk } n= Numerabilidad En esta sección, y salvo que se diga lo contrario, X va a representar un conjunto no vacío. Definición (Conjunto finito). Diremos que X es un conjunto finito si existe un número natural n 0 y una aplicación biyectiva φ : {1, 2,..., n} X Definición (Conjunto infinito numerable). Diremos que X es un conjunto infinito numerable si existe una aplicación biyectiva φ : N X. Definición (Conjunto numerable). Diremos que X es un conjunto numerable si es, o bien finito, o bien infinito numerable. Si X no es numerable, se dice que es infinito no numerable. Proposición Todo subconjunto A N de los números naturales es numerable. Demostración. Si A N es finito el resultado es evidente. Supongamos que A N no es finito. Definimos entonces la aplicación φ : N A de la siguiente manera, φ(0) es el menor elemento de A; φ(1) será el menor elemento de A tal que φ(1) φ(0), así sucesivamente φ(p) será el menor elemento de A tal que φ(p) φ(0) φ(1) = φ(p 1).

7 1.3. NUMERABILIDAD 7 Si existe p tal que ya no podemos hacer lo anterior, es decir φ(p) φ(0)... φ(p 1) es que A ya no tiene más elementos y, por tanto es finito, con lo cual hemos acabado. En caso contrario podremos continuar y para cada p N existe φ(p) A, φ(p) φ(i) para i < p. Evidentemente φ es biyectiva y φ(p) p. En ocasiones, en lugar de buscar una aplicación biyectiva para comprobar la numerabilidad, conviene hacer uso de la siguiente caracterización, que resulta evidente después de la proposición anterior. Proposición Un conjunto X es numerable si y sólo si existe una aplicación suprayectiva φ : N X. Esta propiedad puede interpretarse así: un conjunto X es numerable si existe una sucesión tal que su conjunto imagen es todo X. A continuación estudiaremos algunas propiedades básicas de la numerabilidad y veremos algunos de los ejemplos más importantes de conjuntos numerables. Proposición Si X es numerable y S es un subconjunto de X, entonces S es numerable. Demostración. Por el hecho de ser X numerable, existe una aplicación suprayectiva φ : N X. Se define la aplicación ψ : X S como la identidad sobre los elementos de S y que lleva los que no pertenecen a S a un punto fijo de S. Evidentemente ψ es suprayectiva, por tanto la composición, ψ φ : N S es una aplicación suprayectiva y S es numerable. Ejemplo El conjunto N N es numerable; y como consecuencia también lo es N. n.. N. Demostración. Podemos colocar el conjunto N N de la siguiente forma: (0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3)... (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3)... (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) Si los recorremos en diagonal de arriba a abajo y de izquierda a derecha, como se indica en el esquema anterior está claro que N N se puede escribir como una sucesión de elementos. No obstante, si queremos hacer explícita la aplicación suprayectiva, podemos escribirla de la siguiente forma. φ : N N N, φ(n) = (k, m k), donde m es el único número natural tal que m(m + 1) 2 < n + 1 (m + 1)(m + 2) m(m + 1), y k = n 2 2

8 8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Proposición Sea I un conjunto numerable de índices, y para cada i I, sea S i un conjunto numerable. Entonces, S = i I S i es numerable.(la unión numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable). Demostración. Por el hecho de ser S i numerable, para cada i existe una aplicación suprayectiva ψ i : N S i. Entonces, la aplicación: ψ : I N S dada por ψ(i, n) = ψ i (n) también es suprayectiva. Por el hecho de ser I numerable, existe otra aplicación suprayectiva θ : N I. Sea φ : N N N la aplicación suprayectiva definida en el ejemplo anterior. Entonces la composición N φ N N (θ,id) I N ψ S es una aplicación suprayectiva, y por tanto S es numerable. Ejemplo El conjunto Z de los números enteros es numerable. La numerabilidad también se conserva por productos finitos: Proposición Sea una colección de conjuntos numerables S i para i = 1, 2,..., n. Entonces S = S 1 S 2... S n es numerable. Ejemplo El conjunto de los números racionales, Q, es numerable. Proposición El intervalo [0, 1] R no es numerable; en consecuencia R tampoco lo es. Demostración. Supongamos que sí es numerable, es decir [0, 1] = {x 1, x 2, x 3,... } se trata de una sucesión. Podemos expresar cada elemento del intervalo en forma decimal, con un número infinito cifras decimales distintas de 0, de la siguiente forma: x 1 = 0, a 11 a 12 a a 1n... x 2 = 0, a 21 a 22 a a 2n x n = 0, a n1 a n2 a n3... a nn

9 1.3. NUMERABILIDAD 9 donde cada a ij {0, 1,... 9}. Para que el número de cifras decimales sea distinto de 0 en todos, si tenemos un número que tiene un número finito de decimales no nulos, tomamos su otra forma de expresión: 1 = 0, 5 = 0, Consideremos el número real del intervalo [0, 1], x = 0, b 1 b 2 b 3... b n... de la siguiente forma: b 1 a 11 y b = 0; b 2 a 22 y b 2 0 y así sucesivamente. Está claro que y x i para todo i, por tanto x / [0, 1], lo cual es imposible. Como consecuencia, todo conjunto que contiene al intervalo (0, 1) no es numerable. En particular, R no es numerable. Una propiedad importante de los números reales, relacionada con el orden, es la propiedad arquimediana. esta propiedad se puede formular de varias maneras, damos aquí dos de ellas: Proposición (Propiedad Arquimediana). Para cualquier número real positivo ε > 0 existe un número natural n N tal que nε = ε ε > 1. Proposición (Propiedad Arquimediana). Para cualquier par de números reales tales que x < y, se puede encontrar siempre un número racional q Q verificando x < q < y.

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