COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

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1 COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 8), representdos por l letr Z - Los n rcionles ( -, ½, ¼, -¾, ) representdos por l letr Q Cd uno de estos conjuntos es un mplición del nterior: En definitiv, todo número conocido hst hor: N Z Q - puede ser escrito como el cociente entre otros dos números enteros ( -,,, ), - ti ; ; ) No es difícil imginr l existenci de números con infinitos decimles no periódicos, por ejemplo: 0 8 π q r escritos como un frcción. Se llmn Números Irrcionles, y se designn con l letr I Ex g j I : π = (relcion l longitud de l circunferenci y su rdio) e = (n de Euler: usdo en logritmos) φ = ( N O : usdo por grndes rtists en ls proporciones de sus ors. Se relcion con l ide de estétic y ellez, relcion desde ls proporciones en el rostro, hst ls distnci entre cd rm y cd hoj en un árol). L Unión entre los números Rcionles y los números Irrcionles, l denominmos Números Reles, y l simolizmos con l letr R. Con los números Reles logrmos l é. (Not: Si l clculr un medid o resolver un ejercicio, otenemos como resultdo un n Irrcionl, como por ejemplo, deemos tener en clro que ése es el vlor excto del n y sí lo dejmos expresdo, sin uscr su expresión deciml) REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Los números Irrcionles pueden ser representdos en l rect numéric con tnt proximción como quermos, pero hy csos en los que podemos representrlos de form exct.

2 Ejercicio : Represent en l rect numéric: y Pr trjr en el conjunto de los N Irrcionles deeremos operr con rdicles, y pr eso repsremos lguns propieddes de l Potencición y de l Rdicción. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: X : exponente X: se * Producto de Potencis de igul se: m n = m + n = + = = 8 * Cociente de Potencis de igul se: m : n = m n : = - = =8 * Potenci de otr Potenci: ( m ) n = m n [ ) ] = ) = * Potenci de exponente cero: 0 = ( 0) 00 0 = * Potenci de exponente negtivo: n n ( 0) * Distriutividd respecto del producto y cociente: ( ) n = n n ( : ) n = n : n * Distriutividd respecto de l sum y l rest: OJO!!!: L Potencición NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest ( + ) n n + n ( ) n n n 8 Ejercicio : Resuelve plicndo ls propieddes de l potencición: ).. x. y x. y e) h h ).. f). c) g) ) d)... (k h) x. x PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN: Un rd icl es un expresión de l form, en l que n y ; (con l slvedd de que cundo se negtivo, n tiene que ser impr). n n m * Ríz de un potenci o potenci de un ríz: * Ríz de otr ríz: * Producto del índice y exponente por un mismo número: m n m n. m n m n. r m. r * Distriutividd respecto de l multiplicción y división:.. * Distriutividd respecto de l sum y l rest: OJO!!!: L Rdicción NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest

3 Ejercicio : Resuelve plicndo ls propieddes de l rdicción: ).. ). c) d) : e) ³. x x f) x. x g) h) : Ejercicio : Resuelve plicndo propieddes: ). ³. ) d) : 8 c)... x. y e) EXPONENTES FRACCIONARIOS:. x 0 f) g) 8.. x Los rdicles se pueden expresr como potencis de índice frccionrio, de modo que el índice de l ríz se el denomindor del exponente, y el exponente del rdicndo (que puede tenerlo o no), se el numerdor del exponente. Ejem plo: SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICES: Si existe un número nturl que divid l índice y l exponente (o los exponentes) del rdicndo, se otiene un rdicl simplificdo. n OJO!!! Si n es impr: n n Si n es pr: n Ejercicio : De los siguientes ejercicios, sólo es correcto Cuál? 00 = 0 + = ) ) c). d).. Ejercicio :. x. y³ ) k ) r c) 8. x. h k² 8 EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL: Cundo los fctores que figurn en el rdicndo son potencis de exponente myor o igul que el índice de l ríz, podemos extrerlos fuer del rdicl, plicndo ls propieddes vists. Cómo?

4 u - Expresndo el rdicndo como producto de potencis de igul se, de mner que un de ells se múltiplo del índice: = = =... ó - Dividiendo el exponente por el índice de l siguiente mner: el resto es el exponente que qued dentro / el resultdo es el exponente que qued fuer =. Ejercicio : Extrer todos los fctores de ls ríces cundo se posile: ) 8 ). x c) 0, d). ².. c 0,0. c e) f) c² INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN EL RADICAL: 0. z. y g). x h) x² Cundo precen fctores fuer del rdicl, pueden introducirse usndo el mecnismo inverso que pr extrerlos: Ej: =. =. = Ejercicio 8: Escriir ls siguientes expresiones dentro de un únic ríz x ). h. k² c) 8.. h d) k 8. h ).. x³ SUMA Y RESTA DE RADICALES: Deemos tener cuiddo cundo summos o restmos rdicles, y que l únic form es restr o sumr expresiones idéntics (lguns veces, primero será necesrio fctorer y extrer fctores fuer del rdicl). Ejemplos: 8. 8 ³. Ejercicio : Efectur ls siguientes operciones (siempre que se posile): ) x x x 8 ). y. y c) 8 e) 8 ³ ³ f) 0 0 d) 8 0 h) i)... g). 8.

5 Ejercicio 0: PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES: - Del mismo índice: se reliz el procedimiento inverso l propiedd distriutiv: Ej: x xy = x. xy = x y = x. y - De índices distintos: deemos mplificr ls ríces un mismo índice: Ej:.. = (uscmos el m.c.m entre, y ) = = = =.. 0 Ejercicio : Relicen ls siguientes multiplicciones y divisiones: ) x. x d) g). x². x ³ c) m. m². m³ ) ². ² ³ e) x x² f) 0 z. 0,z. 0,0z². 0, 0 x h) xy ³. x y. x² y i) 8z : z³ RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES L rcionlizción de rdicles consiste en quitr los rdicles del denomindor, es decir, reescriir un expresión conservndo su vlor, pero sin rdicles en el denomindor. Pod em os dis tingu ir tr es csos: er cso: L ríz del denomindor es cudrd: denomindor por. Se multiplic el numerdor y el

6 do cso: L ríz del denomindor es de índice myor : Se multiplic numerdor y denomindor por er cso: En el denomindor hy un inomio con, l menos, un rdicl:. Se multiplic el numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor (es decir el mismo inomio pero con el signo del segundo término cmido), de mner de poder plicr diferenci de cudrdos. Ejercicio : Rcionlicen ls siguientes expresiones: 0 ) x ). x c) y 8 x d) x e) f) 08 g) h) i) j) k) 0 l).( ) m) 0 n) 0 0 o). p) q) 8. r) s) t) c 0 Ejercicio: Resuelvn cd uno de los siguientes cálculos comindos ). ) c)

7 d) e) 8 8 f) 8 g). : 8 h). :. Ejercicio : I) II) III)

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