Limites: Definición: lim

Transcripción

1 Limites: Definición: El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Por ejemplo: Consideremos la función yy = 1 dada por la grafica de la figura y observemos en el punto = situado en el eje de abscisas (eje ): Qué ocurre cuando nos acercamos al punto moviéndonos sobre el eje? Tomemos algunos valores como.1,.01,.001. Vemos en la figura que en este caso las imágenes (valores de y) de dichos puntos sobre la curva, f(.1), f(.01), f(.001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, es el valor y =3. Si nos acercamos a por la otra parte, es decir, con valores como 1.9, 1.99, en este caso las imágenes (valores de y) f(1.9), f(1.99), f(1.999) se acercan también al mismo valor, y =3. Concluimos que el límite de la función f() cuando nos acercamos a = es 3, lo cual epresamos como: lim 1 = 3 Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje y al que se acerca la función, f(), cuando la se acerca, en el eje a dicho punto. Una definición más rigurosa de límite es:

2 Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f () cuando tiende a a es L, y se escribe Nota: no es necesario que f este definida en aa para que el límite eista Propiedades de los límites (teoremas): Estas propiedades usualmente se les conoce como teoremas. Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. En este curso, través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones.

3 Ejemplos

4 Ejercicios 1. Evalúe el siguiente límite: ( 3) 3 79 ( 9)( ) = ( 3 ) ( 3) 9 9 = = = 9 9 ( 9)( ) ( 3) ( 9) ( ) ( + 3) ( 9) ( ) ( + 3) 9 [(9) + 9(9) + 81]( 9 + 3) 3(9) (6) = = = 3(9)(6) = Evalúe el siguiente límite: 0 ( 4 + ) ( + 3) = = ( 4 + ) ( + 3) ( 4 + ) ( + 3) ( ) ( ) ( ) ( ) [( 4 + ) 4] ( + 3) ( ) [( 9 + ) 9] ( ) ( + 3) ( ) ( + 3) ( ) = = 0 ( ) 0 ( ) = 3(6) / 4 = 9 / = Evalúe el siguiente límite: t 3 t t

5 4. Evalúe el siguiente límite: ( 4). ( + ) 5. Evalúe los siguiente límites: a) L í m b) h 0 3 6h + 11 h

6 c) Evalúe los siguiente límites: a) 9 ( 81)( 3) ( 9) b) Evaluar: L í m c)

7 Limites laterales o unilaterales Para probar que una función tenga limite es necesario probar que tanto por la derecha, como por la izquierda se aproiman a un mismo número, o sea que para que un límite eista es necesario que el limite cuando se aproima al número aa a través de valores por la izquierda aa ( aa ) sea igual al límite cuando se aproima al número aa a través de valores por la derecha de aa ( aa + ), si esto no sucede el limite no eiste. Si lim aa ff() = LL 1 yy lim aa + ff() = LL, para que el limite eista es necesario que LL 1 = LL Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, eisten algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones. Consideremos la siguiente representación gráfica de una función ff(), en la que eiste una discontinuidad cuando = aa notemos que cuando tiende hacia "a" por a derecha de "a" la función tiende a, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1. Escribimos aa para indicar que tiende hacia "a" por la izquierda, es decir, tomando valores menores que "a". Similarmente aa + indica que tiende hacia "a" por la derecha, o sea, tomando mayores valores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y. Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha es. Ejemplo ilustrativo 1: Determine los límites unilaterales y bilaterales en = 1 yy = de la función:

8 Ejercicios 1) ) 3)

9 Limites Infinitos Eisten ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado. Crecimiento infinito: Decrecimiento infinito: Teorema de límite13: Propiedades de los límites infinitos

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11 Evalúe los siguiente límites: a) (3) = = = ( )0 ( )0 (3) = = =+ ( )0 ( )0 =

12 b) ( 3 + ) + + ( ) = = 410 = ( ) + 5( ) [ ( + )] = [ + ( ) ] = [ + ( )] = ( ) = ( 3 ) ( 3 + ) =+ Limites al Infinito Propiedades de limites al infinito: Si nn es cualquier entero positivo, entonces a) lim + 1 nn = 0 b) lim 1 nn = 0

13 Evalúe los siguiente límites: ( ) + a) + + ( )( ) ( ) = = = ( ) 1 = = ( + + ) = = = = =

14 b) Lim c) Lim 3 + 4