CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos)

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1 CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos) Ejercicio nº 1.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, 3) que es tangente a la recta = 0. El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada: R= dist( C, r) = = 5 5 La ecuación será: = = ( ) ( ) = 0 Ejercicio nº.- a) Halla el centro el radio de la circunferencia de ecuación: = 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior. a) = = Centro =, = (, 3) Radio = = 9 = 3 b) La circunferencia tiene radio 5 centro (, 3). Su ecuación será: ( ) + ( 3) = = 0

2 Ejercicio nº 3.- Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta = 0 cuo centro es el punto de intersección de las rectas 3 7 = = 0. Hallamos su centro: 3 7 = = 0 = ( 3 7) 1= = 0 11 = = = 1 El centro es C(, 1). El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente: R = dist r ( C, ) = = = 4 5 La ecuación será: ( ) + ( + 1) = = 0 Ejercicio nº 4.- Estudia la posición relativa de la recta r: + = 1 la circunferencia = 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: 4 Centro = C =, = (, 1) Radio = R = ( 4) = 9 = 3

3 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist ( C,r ) = = 179, < 3 = radio Por tanto, la circunferencia la recta son secantes. Se cortan en dos puntos. Ejercicio nº 5.- Halla la posción relativa de la recta = 0 con respecto a la circunferencia + 5 = 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema: + 5 = = = = = = 0 16 Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes. Ejercicio nº 6.- Obtén el valor de k para que la recta s: + + k = 0 sea tangente a la circunferencia = 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: = 0 6 Centro = C =, = ( 3, 1) Radio = r = = 4 = Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist ( C, s) = 3 1+ k = k 4

4 Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio: k 4 = k 4 = k 4 = k 4 = k = 4 + k = 4 Ha dos soluciones: k1 = 4 + ; k = 4 Ejercicio nº 7.- Halla la posición relativa de la recta r: + = con respecto a la circunferencia = 0 Hallamos el centro el radio de la circunferencia: 4 Centro = C =, = ( 1, ) Radio = R = = 4 = Hallamos la distancia del centro a la recta dada: 1 5 dist ( C,r ) = = 3, 53 > = radio 1+ 1 Por tanto, la recta es eterior a la circunferencia. Ejercicio nº 8.- Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos represéntalas: a) = 100 b) 4 = 4 a) = = 1 Semieje maor: 5 Semieje menor: Es una elipse : Focos : F Ecentricidad = ( 1, 0) F' ( 1, 0) 1 0, 9 5

5 b) 4 = 4 4 = 1 Es una hipérbola : Semieje: 1 Focos : F Ecentricidad = Asíntotas: = ( 0, 5 ) F' ( 0, 5 ) ;, 4 1 = Ejercicio nº 9.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta =. Identifica la figura que obtienes. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist ( P, A) = 3 dist ( P, = ), es decir : ( 1) + = 3. Elevamos al cuadrado operamos :

6 = 9 = 9 ( 4 + 4) = 0. Es una hipérbola. Ejercicio nº 10.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de cuadrados de distancias a los puntos A( 4, 0) B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que: [ dist ( P, A) ] + [ dist ( P, B) ] = 40 ; es decir : ( + 4) + + ( 4) + = = 40 + = 8 + = 4 Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) radio. Ejercicio nº11.- Identifica la siguiente cónica, dibújala halla sus focos su ecentricidad: + = Semieje maor: 7 Semieje menor: 5 Es una elipse: Focos: F 0, 4 '0, 4 4 Ecentricidad = 0,7 7 ( ) F ( )

7 Ejercicio nº 1.- Identifica esta cónica, halla sus elementos dibújala: 4= 0 4 = 0 = 4 Vértice: Es una parábola : Foco: Directriz: ( 0, 0) ( 1, 0) = 1 Ejercicio nº 13.- Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas represéntalas gráficamente: a) 4 9 = 1 b) = 500

8 a) Es una hipérbola. Semieje: Focos: F ( 0, 13 ) F' ( 0, 13 ) Ecentrici dad: 13 1,8 Asíntotas : = ; 3 = 3 b) = = 1 Semieje maor: 10; Es una elipse : Focos: F 5 3 Ecentricidad : 10 semieje menor: ( 5 3, 0) F' ( 5 3, 0) 0, 87 5

9 Ejercicio nº 14.- Halla el foco, la directriz la ecuación de la siguiente parábola: Directriz: = 1. Foco ( 1, 0). Ecuación: = 4 Ejercicio nº 15.- Dada la siguiente cónica, identifícala, obtén sus elementos característicos represéntala gráficamente: 9 = 9 9 = 9 = Es una hipérbola: Semieje: 3 Focos : F 10 Ecentricidad = 105, 3 Asíntotas: = 3 ; = 3 ( 0, 10 ) F' ( 0, 10 )

10 Ejercicio nº 16.- Halla los semiejes, los focos la ecentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación: Semieje maor: 4; semieje menor: Focos : F ( 0, 1 ) F' ( 0, 1 ) Ecentrici dad: 1 4 0,87 Ecuación : = 1 Ejercicio nº 17.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r 1 : = 0 r : = 0. Los puntos P(, ) de las bisectrices cumplen que: dist (P, r 1 ) = dist (P, r ), es decir: = Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r 1 r.

11 Ejercicio nº 18.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(, 4) sea igual a 3. De qué figura se trata? Es una circunferencia de centro (, 4) radio 3. Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q) = 3, es decir: ( ) + ( 4) = 3. Elevamos al cuadrado operamos : ( ) + ( 4) = = 0 Ejercicio nº 19.- Identifica halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r 1 : = 0 sea igual que su distancia a la recta r : = 0. Las dos rectas dadas, r 1 : = 0 r : + + = 0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas: Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, r 1 ) = dist (P, r ), es decir: =

12 Observamos que la recta obtenida es paralela a r 1 r. Ejercicio nº 0.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cua distancia a A(, 0) sea el doble de la distancia a B( 1, 0). Identifica la figura resultante. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist ( P, A) = dist ( P, B), es decir : ( ) ( ) + = Elevamos al cuadrado operamos: ( ) = = = = 0 ( + ) + = ( ) 4. Es una circunferencia de centro, 0 radio.