LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

Transcripción

1 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C). La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio. Ecuación de la circunferencia A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio r. Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es: d(p; 0) x y r Elevando al cuadrado x h y k R Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro (0; 0) y radio r Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia con centro en C (h; k) y radio igual a r, entonces la distancia de P al centro es: x y r d(p; C) (x h) (y k) r Elevando al cuadrado: (x h) (y k) r Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h; k) y radio r Página 1

2 Ecuación general de la circunferencia Desarrollando la fórmula anterior obtenemos: x x hx hx y h y ky Ordenando: ky h k k r Haciendo: -h = D; -k = E; h + k r = F y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos: Conocida como la ecuación general de la circunferencia. PARA LA CLASE Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias: x y 100 (x ) y 64 x (y 3) 11 (x 1) (y 1) 49 x y Dx Ey F 0 (x 5) (y 4) Deduce la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias: r 0 centro en (-3; 5) y radio centro en (; -5) y radio 3 centro en (4; 0) y radio centro en (0; -) y radio Determina la ecuación de la circunferencia que satisface las siguientes condiciones: centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4) centro en (3; -) y pasa por (11; -) centro en (; 4) y tangente al eje X centro en (-3; -) y tangente al eje Y. 04. Los puntos P (; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuación de esta. 05. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos (; ) y (6; -4). 06. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: L 1 : x y = 1; L : x + 3y = Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes circunferencias: x 6x y 10y x 8x y 6y 15 9x 1x 9y 77 Página

3 16x 8x 16y 3y Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-3; 4) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación: C : x y 6x y Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices (0; -1), (4; -5) y (0; -9) 10. La ecuación de una circunferencia es C : (x 4) (y 3) 0. Halla la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7) 11. Dada la circunferencia C : (x ) (y 3) 5. Halla la ecuación de la tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto (3; 3). 1. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia C : x y 4x 6y 17 0 y que sea tangente a la recta L: 3x - 4y + 7 = Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1; 3) y (3; -1) y cuyo centro está en la recta: L 1 : x - 3y + = Halla la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta: L: 3x - y + 1 = 0, en el segundo cuadrante. 15. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y que es tangente a la circunferencia de ecuación C : x 6x y y 5 0 en el punto (-; 1). 16. La circunferencia de ecuación C : x y 40 es intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas coordenadas son ( ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcula el valor de a + b, si a > 0 y b > Encuentra la ecuación de la circunferencia que está inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: L 1 : 4x + 3y 1=0, L : 3x 4y = 0 y L 3 : x + 6 = 0 PARA LA CASA Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(-; ) y radio r = A. (x + ) + (y ) = 4 B. (x ) + (y + ) = 6 C. (x + ) + (y + ) = 4 D. (x ) + (y + ) = 4 0. Determina el diámetro de la circunferencia de ecuación C : (x 3) (y 7) 49 A. 3u B. 5u C. 7u D. 14u Página 3

4 03. Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia: C: (x ) + (y + 9) = 4 A. (; -9) ; r = B. (-; 9) ; r = 4 C. (; 9) ; r = D. (; -9) ; r = Halla el área de la circunferencia, si P (6; 0) y Q (0; 6) A. 6π u B. 4π u C. 1π u D. 36π u 05. Halla la ecuación general de la circunferencia de centro ( 5; 1) y radio 13. A. x² + y² + 10x 4y = 0 B. x² + y² - 10x + 4y = 0 B. x² + y² + 4x 10y = 0 D. x² + y² - 4x + 10y = Una circunferencia de centro (3; -) pasa por el punto (1; 0). Indica otro punto por donde pasa esta circunferencia. A. (9; 5) B. (7; 8) C. (10; 3) D. (8; 6) 07. Hallar la distancia máxima y mínima del punto (-7 ; ) a la circunferencia: C: x²+y²-10x-14y -151=0 A. 8 y 6 B. 8 y C. 13 y 15 D. 1 y 0 Y Q P X 08. Determina el radio de la circunferencia de ecuación C : x y 8x 6y 0 A. B. 3 C. 4 D Dada la ecuación centro. A. (0; -3/) B. (0; -/3) C. (3/; 0) D. (/3; 0) C : 3x 3y 4y 7 0, encuentra su 10. Halla la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: C : 5x 30x 5y 0y 6 A. 3π B. 6π C. π 3 D.π Calcula el área del círculo cuya circunferencia está representada por la ecuación C: 4x²+4y²-4x+4y +17=0 A. π u B. 3π u C. 4π u D. 5π u 1. La circunferencia C : x y 9x y 18 0, en qué puntos intercepta al eje X? A. (0; 3) y (0; 6) B. (0; 0) y (3; 6) C. (-3; 0) y (-6; 0) D. (3; 0) y (6; 0) 13. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-4; -1) y que es tangente a la recta L: 3x + y 1 = 0 A. (x - 4)² + (y - 1)² = 5 B. (x + 4)² + (y + 1)² = 5 Página 4

5 C. (x + 4)² + (y - 1)² = 5 D. (x - 4)² + (y + 1)² = La circunferencia de centro (3; 4) y tangente al eje X, corta al eje Y en los puntos A y B. Determina la longitud de la cuerda AB. A. 4 B. 5 C. 7 D Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (1; 0), sabiendo que es concéntrica a la circunferencia representada por la ecuación C:x²+ y² - x - 8y + 13 = 0 A. (x - 1)² + (y - 4)² = 16 B. (x + 1)² + (y - 4)² = 16 C. (x - 1)² + (y + 4)² = 9 D. (x + 1)² + (y + 4)² = El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8; -) y B (4; 6). Obtén la ecuación de dicha circunferencia. A. (x - )² + (y - )² = 5 B. (x + )² + (y - )² = 5 C. (x + )² + (y + )² = 5 D. (x - )² + (y + )² = Determina el valor de M para que la circunferencia de ecuación C:x²+y²-6x+8y=M, tenga como radio. A. -9 B. -1 C. 4 D Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X, tiene 10 u de radio y su centro está sobre la recta L: x y = 0 A. x² + y² + 40x 0y = 0 B. x² + y² - 40x + 0y = 0 C. x² + y² - 40x - 0y = 0 D. x² + y² - 0x + 40y = Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje X y es tangente a la circunferencia C:x²+y²-6x-1y=7 en el punto (-3; ) A. (x + 6) + y = 13 B. (x - 6) + y = 13 C. x + (y + 6) = 13 D. x + (y - 6) = Las circunferencias: C 1 : x + y 1x 6y + 5 =0 C : x + y +x + y = 10. Son tangentes en el punto P. Las coordenadas del punto P son: A. (3; ) B. (1; ) C. (-; -1) D. (; 1) 1. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de las ordenadas en (0; 6) y cuyo centro está contenido en la recta L: y - 3x = 0. A. (x - )² + (y - 6)² = 4 B. (x + )² + (y - 6)² = 4 C. (x - )² + (y - 6)² = 4 D. (x + )² + (y + 6)² = 4. Halla la longitud de la circunferencia que pasa por los puntosa (3; 0), B (1; 0) y C (0; 1) A. π u B. 3 π u C. 5π u D. 5 π u 3. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (1; -0,5) sabiendo que es tangente a la recta L: 4x + 3y 15 = 0 Página 5

6 A. 4x + 4y 8x + 4y 15 = 0 B. x + y x + y 7 = 0 C. x + y 4x - y + 1 = 0 D. x + y x + y - 5 = 0 4. Determina la ecuación de la recta ortogonal a la cuerda común de las circunferencias: C 1:x²+y² 8y=3 ; C :x²+y² 6x=16 A. 3x 4y+16=0 B. 3x+4y-16=0 C. 4x-3y-1=0 D. 4x+3y+1=0 5. Halla las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias dadas por las ecuaciones: C 1:x²+y²-4x 6y 9 0 ;C :x²+y² 8x-y 13 0 A. (;1) y (4;3) B. (1; ) y (3; 4) C. (; 3) y (4; 1) D. (1; 3) y (; 4) 6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-; 5), B(4; 3) y C(6; -1) A. x + y x - 6y 38 = 0 B. x + y + x + 4y 45 = 0 C. x + y x - y - 35 = 0 D. x + y 8x - y - 8 = 0 7. Determina el área del triángulo cuyos vértices son N (; 4) y las intersecciones de la circunferencia C:(x-)²+(y-4)²=5 con el eje de las abscisas. A. 6 u B. 8 u C. 1 u D. 16 u 8. El centro de una circunferencia está dado por la intersección de las rectas: L 1 : y - x 1 = 0 y L : x + y = 7. Si pasa por el punto S (6; ), halla su ecuación ordinaria. A. (x + )² + (y - 5)² = 5 B. (x - )² + (y - 5)² = 5 C. (x - )² + (y + 5)² = 5 D. (x - 5)² + (y + )² = 5 9. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas: L 1 : y - x 1 = 0 y L : x + y = 7. Si L 3 : 5x + y + 9 = 0 es tangente a ella, determina su ecuación ordinaria. A. (x + )² + (y - 5)² = 9 B. (x - )² + (y - 5)² = 9 C. (x - )² + (y + 5)² = 9 D. (x - 5)² + (y + )² = Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro está sobre la recta L: x + y + 5 = 0 A. x² + 4y² + x 4y = 0 B. x² + y² + x + 6y 15 = 0 C. x² + y² - x + 6y - 15 = 0 D. x² + y² - 4x + 10y + 9= 0 Página 6