Lista de ejercicios de Geometría y Trigonometría

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1 Lista de ejercicios de Geometría y Trigonometría Jonathan Reyes González Cecyt Juan de Dios Bátiz 25 de Julio 2010 Resumen Este documento es una recopilación de problemas y ejercicios de Geometría y Trigonometría, correspondiente al segundo semestre en el Cecyt Juan de Dios Bátiz Paredes. Los problemas han siso extraídos de diversos libros y no tienen un nivel muy elevado a excepción, tal vez, de aquellos señalados como adicionales. Espero que sea útil para aquellos estudiantes interesados en tener un problemario de este tipo. Índice 1. Exponentes y Logaritmos Exponentes y Logaritmos Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Problemas Problemas Adicionales Geometría Elemental Medida de ángulos Paralelas cortadas por una secante Resolución de Triángulos Ángulos Congruencia y Semejanza Teorema de Pitágoras Polígonos La circunferencia Problemas Adicionales Triángulos La circunferencia Polígonos Trigonometría Funciones trigonométricas Ecuaciones e identidades Problemas i

2 1. Exponentes y Logaritmos. Jonathan Reyes González 1. Exponentes y Logaritmos Exponentes y Logaritmos. Ejercicio 1.1. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones. 1) log 3 log 2 8 2) 2log 27 log ) 3log 2 log 4 16+log ) 10 3 log ) log ) 7) ( )1 1 2 log ( ) 1+2log ) log 8 12 log 8 15+log ) log 9 15+log 9 18 log ) 1 2 log 7 36 log log ) 2log log log ) log 3 8 log ) log 527 log ) log 536 log 5 12 log 5 9 log 15) 7 8 log 7 15 log 7 30 )( ) (81 1 log log log log ) 1 log log ) 36 log log2 3 log ) log 3 log Cecyt Juan de Dios Bátiz 1

3 1. Exponentes y Logaritmos. Jonathan Reyes González 1.2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Ejercicio 1.2. Resolver las siguientes ecuaciones. 1) log 6 x = log ) log 5 x = log ) log 2 x = log 4 5 4) log 2 (x 1) = 3 5) log x 9+0.5log x 16 = 2 6) log 2 x 3 log 2 x 2 = 4 7) (log 2 x) 2 3log 2 x+2 = 0 8) (log 3 x) 2 +log 3 x log 3 27 = 0 9) log 4 log 3 log 2 x = 0 { [ ( 10) log a 1+logb 1+logc 1+logp x )]} = 0 11) log a y +log a (y +5)+log a 0.02 = 0 12) log x 3 (9+6x) = 2 13) log x 3 (9 2x) = 2 14) log x 1 (2x+1) = 2 15) 1 2 log x+2 (2x+4) = 1 16) 1 2 log x+4(16 2x) = 1 Ejercicio 1.3. Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 4 9 x 13 6 x +9 4 x = 0 2) 16 9 x x x = 0 3) 2 x 3 x = 36 x2 4) 9 x 1 = 1 27 ( ) x+1 2 5) 1.5 5x 7 = 3 ( ) 5 x 4 6) x 3 = 3 7) 5 x2 5x 6 = 1 8) ( ) x 1 2 2x 2 = ) 2 x +2 x 3 = 18 Cecyt Juan de Dios Bátiz 2

4 1. Exponentes y Logaritmos. Jonathan Reyes González 10) 3 x +4 3 x+1 = 13 11) 2 3 x x 1 3 x = 9 12) 5 x x x +10 = 0 13) 5 2x 5 x 600 = 0 14) 9 x 3 x 6 = 0 15) 3 x +9 x = 0 16) 4 x +2 x+1 80 = 0 17) x logx = 1000x 2 18) 7 x+1 7 x 1 = 48 19) 15 3 x 1 +3 x+1 +3 x = 27 20) 6 x+1 +5 x+2 = 6 x+2 5 x+1 21) 3 5 2x x 1 = ) x 1+logx = 10x 23) ( x) log 5 x 1 = 5 24) x logx4 5logx = ) x log 4 x 2 = 2 3(log 4 x 1) 26) 27x log 27 x = x ) 10 log2 x +x logx = 2 28) log 2 ( 25 x+3 1 ) = 2+log 2 ( 5 x+3 +1 ) 29) log 2x log 2 2a 2log ax log 1 a = log 3 a x log a x b 30) log x 2 log x 16 2 = log x 64 2 Ejercicio 1.4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. 2x y = 1 1) 5 x+y = 25 x y = 2 2) 3 x2 +y = 1 9 x+y = 1 3) 2 x y = 8 x+2y = 3 4) 3 x y = 81 Cecyt Juan de Dios Bátiz 3

5 1. Exponentes y Logaritmos. Jonathan Reyes González 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 5 x 5 y = x 1 +5 y 1 = 30 2 x 9 3 y = 7 2 x 3 y = y 16 x = x+y = x +2 x+y+1 = 7 3 x 1 2 x+y = 1 5 x+1 3 y = 75 3 x 5 y 1 = 3 3 x 2 y = 4 3 y 2 x = 9 4 x 2 y = x+1 = 3 3y 3 3x 2y = x 3 y = 27 log y x+log x y = 2 x 2 y = log(x+y) = 50 log(x y)+log(x+y) = 2 log5 xy = 40 x logy = 4 log y x+log x y = 5 2 xy = 27 x x+y = y n y x+y = x 2n y n x,y,n > 0 Cecyt Juan de Dios Bátiz 4

6 1. Exponentes y Logaritmos. Jonathan Reyes González 1.3. Problemas. Problema 1.1. El 1 de enero de 1990 la población de cierta ciudad era de 900,000 habitantes. La población aumenta con una tasa de 2.8% anual. En qué fecha la ciudad tendrá 1,500,000 habitantes? Problema 1.2. En 1995 la población de cierta ciudad era de 3 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 4% anual. Suponiendo que la tasa de crecimiento es constante, Cuando rebasará la población la marca de los 8 millones de habitantes? Problema 1.3. Las islas Caimán es uno de los países americanos con mayor tasa de crecimiento (4.27%).Sepiensaqueestatasadecrecimientocomenzaráadisminuiralllegaralos50,000habitantes. Si en 1996 tenía 34,646 habitantes, en qué año comenzará a disminuir la tasa de crecimiento? Problema 1.4. La suma de $1,000 se invierte a un interés anual del 8%. Cuánto tiempo tardará la inversión en incrementar su valor a $5,000? Problema 1.5. Cuánto tiempo debe transcurrir para que se duplique una inversión de $1,200, al 8% compuesto trimestralmente? Problema 1.6. Una población de bacterias tiene un tamaño dado por la fórmula P = 40,000e kt donde P es la población despues de t horas, y k es una constante. Si en 40 horas hay 60,000 bacterias, Cuándo habrá 80,000? Problema 1.7. El número de bacterias de un cultivo crece de acuerdo con la fórmula P = P 0 e kt donde P es el número de bacterias después de t horas. Si el número de bacterias fue estimado en 10,000 al medio día y en 40,000 después de 2 horas, cuántas habrá a las 5 p.m.? Problema 1.8. El carbono 14, uno de los tres isótopos del carbón, es radioactivo y se desintegra a una razón proporcional a la cantidad actual. Su vida media es de 5,730 años, es decir, una cantidad dada de carbono 14 tarda 5,730 años en reducirse a la mitad de su cantidad original. Si tenemos 20 gramos de carbono 14, cuánto quedará dentro de 3,000 años? Problema 1.9. Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 920 años. Si hay 15 gramos al principio, Cuánto quedará al cabo de 300 años? Problema La vida media del radio es de 1590 años. Si se tienen 10 gramos de radio, cuánto quedará después de 1,000 años? Problema Suponga que 5 gramos de una sustancia disminuyen a 4 gramos en 30 segundos. Cuál es la vida media de la sustancia? Problema Una momia egipcia contiene el 60% de su carbono 14 original. Cacule la antigüedad de la momia. Problema La magnitud M de una estrella o planeta está definida por M = 5 2 log ( B B 0 ) donde B es la brillantez y B 0 es una constante. El planeta Venus tiene una magnitud promedio de -3.9 y la estrella polar de 2.1. En promedio, cuántas veces es más brillante Venus que la estrella polar? Problema La eficiencia de un operador en cierta fábrica está dada por la expresión y = e 0.3t donde el operador puede completar y unidades de trabajo cada día después de desarrollar dicho trabajo durante t meses. Cuántos meses de experiencia requerirá dicho operador para completar 88 unidades diarias? Cecyt Juan de Dios Bátiz 5

7 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González 1.4. Problemas Adicionales. Ejercicio 1.5. Si 3 = k 2 r y 15 = k 4 r. Encuentre el valor de r. Ejercicio 1.6. Si logxy 3 = 1 y logx 2 y = 1. Encuentre el valor de logxy. Ejercicio 1.7. Para todo entero n > 1, defina a n = a 10 +a 11 +a 12 +a 13 +a 14. Calcule el valor de b c. 1 log n Sea b = a 2 + a 3 + a 4 + a 5 y c = Ejercicio 1.8. Si log 2 (log 3 (log 5 (log 7 N)))) = 11. Cuántos primos distintos dividen a N? Ejercicio 1.9. Encuentre todos los enteros positivos b de manera que log b 729 es un entero. Ejercicio La ecuación 8x 3 +4ax 2 +2bx+a = 0 tiene tres raíces positivas distintas y la suma de los logaritmos base 2 de las raíces es 5. Encuentre el valor de a. Ejercicio Calcule el valor de la expresión N = 1 log 2 100! + 1 log 3 100! + 1 log 4 100! log ! Ejercicio Sean a b > 1. Encuentre el valor máximo que puede tomar la expresión log a a b + log b b a. 2. Geometría Elemental Medida de ángulos. Ejercicio 2.1. Expresar en forma decimal los siguientes ángulos. 1) ) ) ) ) ) Ejercicio 2.2. Expresar en grados, minutos y segundos. 1) ) ) ) ) ) ) 45.3 Ejercicio 2.3. Expresar en grados. Cecyt Juan de Dios Bátiz 6

8 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González 1) π 2 2) 3π 2 r 3) 45 r r 4) 3.8 r 5) π r 90 6) 2 r 7) 2.8 r Ejercicio 2.4. Expresar en radianes. 1) ) ) ) 90 5) 136 Ejercicio 2.5. Expresar en términos de π radianes. 1) 18 2) 90 3) 45 4) 30 5) 135 6) 315 7) 180 8) 15 9) 20 10) Paralelas cortadas por una secante. Ejercicio 2.6. En cada una de las siguientes figuras, encontrar el valor de x y de y. (5x+3) 1) (8x 5) Cecyt Juan de Dios Bátiz 7

9 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González (3x+5) (2x 3) 2) (3x+6) (5x 8) 3) (2x+y) 92 (4x) 4) (7x 24) (3x+40) 5) (3x) 6) (4x 10) (y +5) 2.3. Resolución de Triángulos Ángulos. Ejercicio 2.7. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37. Cuánto mide el otro ángulo agudo? Ejercicio 2.8. En el triángulo ABC, se tiene  = 53 y ˆB = Encontrar ˆx. Cecyt Juan de Dios Bátiz 8

10 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González C ˆx A B Ejercicio 2.9. Cuánto miden los ángulos internos y externos de un triángulo equilátero? Ejercicio Cuánto miden los ángulos internos y externos de un triángulo rectángulo isósceles? Ejercicio En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide Encontrar la medida del otro ángulo agudo y de los ángulos externos. Ejercicio En un triángulo dos ángulos externos miden y respectivamente. Encontrar la medida del tercer ángulo externo y de los ángulos internos. Ejercicio En el ABC, se tiene MN AB. Calcular Â, ˆB y Ĉ. M Ĉ N Â ˆB Congruencia y Semejanza. Ejercicio Encontrar la medida del lado CB si HD CB. C H Ejercicio Encontrar el valor de x. A D A B 6 x L L 3 4 B C LL BC A 4x 1 B 5 E 3 C x+1 D Cecyt Juan de Dios Bátiz 9

11 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González A B 2 x M M 7 5 MM AB A C 10 B 2x+6 E 5 C 3x Teorema de Pitágoras. Ejercicio En cada caso los catetos son a y b, la hipotenusa es c. Calcular el lado que falta. 1) a = 6m,b = 3m 2) a = 9x,c = 12x 3) a = 4,b = 5 4) b = ,c = ) a = ,b = Ejercicio Se cuenta con una escalera de 25m y se desea subir al extremo de una torre de 10m de altura. A qué distancia de la base de la torre se debe apoyar la base de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre? Ejercicio Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo. Sus catetos miden 300m y 80m. Cuánto mide el perímetro del terreno? Ejercicio Encontrar los valores de x. 1 5 x D x+2 3x 7 x 2x 5x 2 3x 4x+3 6x+7 3x+2 Cecyt Juan de Dios Bátiz 10

12 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González 2.4. Polígonos. Ejercicio Responde las siguientes preguntas. 1) Cuántas diagonales tiene un heptágono? 2) En qué polígono el número de diagonales es 12 más que el número de lados? 3) Cuál es el polígono regular cuyos ángulos interiores miden 120 cada uno? 4) Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es de 1440? 5) Cuál es el polígono regular cuyos ángulos exteriores miden 120 cada uno? 6) Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 44 diagonales en total? 7) Qué polígono tiene doble número de diagonales que de lados? 8) Cuántas diagonales tiene un pentadecágono? 9) Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 720? 10) Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 1800? 11) Cuál es el polígono en el que se pueden trazar tres diagonales desde cada uno de sus vértices? 12) Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 1260? 13) Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 14 diagonales en total? 14) Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados? 15) Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 54 diagonales en total? Ejercicio Resuelve los siguientes ejercicios. 1) Calcular el valor de un ángulo interior de un decágono regular. 2) Determinar el polígono cuyos ángulos interiores miden 135 cada uno. 3) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un n-ágono. 4) Hallar la suma de los ángulos interiores de un hexágono. 5) Hallar el valor de un ángulo exterior de un icoságono. 6) Determinar el polígono regular cuyos ángulos exteriores miden 60 cada uno La circunferencia. Ejercicio Calcule los radios de las circunferencias que cumplen lo siguiente. 1) El diámetro es 34 2) La circunferencia mide 14π 3) El área es igual a 25π 4) El área es igual a 169π 5) La circunferencia mide 90π Ejercicio En las siguientes figuras encuentre la medida del radio de la circunferencia. Cecyt Juan de Dios Bátiz 11

13 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González Ejercicio En cada uno de los siguientes ejercicios se da la medida del radio y la longitud de arco, determine la medida del ángulo central, que comprende dicho arco. 1) r = 5,s = 5π 2) r = 6,s = π 3) r = 20,s = π 4) r = 15,s = 30π Cecyt Juan de Dios Bátiz 12

14 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González 5) r = 2,s = π 2 Ejercicio Considere la siguiente figura. Si el arco CD es de 60 y BAO = 25, encuentre los valores que se piden a continuación. B A O C D 1) CAD 2) BC 3) BOC 4) AB 5) ACB 6) ABC Ejercicio El radio de una circunferencia con centro O mide 8, P es un punto exterior a la circunferencia, A es el punto de tangencia de la tangente que pasa por P, AP mide 6, B es el punto de intersección de PO con la circunferencia. Calcule la medida de PB. Ejercicio Dos circunferencias, una de radio 5 y otra de radio 8 son tangentes externamente. Una línea es tangente exteriormente a ambas circunferencias. Encuentre la distancia entre los puntos de tangencia Problemas Adicionales Triángulos. Ejercicio En un rectángulo ABCD se tiene AD = 1. P es un punto de AB. Los segmentos DB y DP trisectan al ángulo ADC. Calcule el perímetro del triángulo BDP. Ejercicio En un rectangulo ABCD se tiene AB = 5 y BC = 3. Se eligen puntos F y G en CD de manera que DF = 1 y GC = 2, las líneas AF y BG se intersectan en E. Calcule el área del triángulo AEB. Ejercicio Las medianas BD y CE del triángulo ABC son perpendiculares, BD = 8 y CE = 12. Calcule el área del triángulo ABC. Ejercicio Cinco triángulos equiláteros iguales son acomodados del mismo lado de una recta y con un lado sobre la misma, de manera que el punto medio de la base de un triángulo es el vértice del siguiente. Calcule el área de la región del plano cubierta por los triángulos si sus lados miden 2 3. Ejercicio En el triángulo ABC se tiene AB = 5, BC = 7 y AC = 9. D es un punto en AC de manera que BD = 5. Calcule la razón AD/DC. Cecyt Juan de Dios Bátiz 13

15 2. Geometría Elemental. Jonathan Reyes González Ejercicio En el triángulo rectángulo ABC se tiene AC = 15. Se construye la altura CD y se tiene DB = 16. Calcule el área del triángulo ABC. Ejercicio En el rectángulo ABCD se tiene AB = 8, BC = 9, H es un punto en BC con BH = 6 y E es un punto en AD tal que DE = 4. La línea EC se intersecta con la línea AH en G, y F es un punto sobre la línea AD de manera que GF AF. Calcule la longitud GF. Ejercicio El triángulo rectángulo ABC tiene su ángulo recto en C. Sean M y N los puntos medios de AC y BC respectivamente, con AN = 19 y BM = 22. Calcule la longitud AB. Ejercicio En un triángulo ABC con AB = 3 y AC = 6, se elige un punto D en BC de manera que CAD = DAB = π/3. Calcule la longitud AD La circunferencia. Ejercicio La figura mostrada está formada por un círculo y semicírculos de diametros a y b y sus centros son colineales. Calcule la razón entre el área de la región sombreada y la que no lo está. a b Ejercicio Un triángulo agudo isósceles BAC está inscrito en un círculo. Se trazan las tangentes en B y en C y éstas se intersectan en un punto D con ABC = ACB = 2 CDB. Calcule la medida de BAC. Ejercicio En un círculo, dos cuerdas paralelas miden 10 y 14 respectivamente y la distancia entre ellas es 6. Calcule la longitud de la cuerda paralela que se encuentra a la misma distancia de ambas. Ejercicio En una circunferencia con centro O, AB y CD son dos diámetros perpendiculares. La cuerda DF intersecta a AB en el punto E y además DE = 6 y EF = 2. Calcule el área del círculo. Ejercicio Dos círculos son tangentes exteriormente. Las tangentes comunes AB y A B se intersectan en el punto P con A y A en el círculo más pequeño. Si además PA = AB = 4, calcule el área del círculo más pequeño. Ejercicio Sea ABC un triángulo isósceles, sea R el radio de la circunferencia circunscrita y r el radio de la circunferencia inscrita. Demuestre que la distancia d entre el incentro y el circuncentro está dada por d = R(R 2r) Polígonos. Ejercicio En un trapecio ABCD con bases AB y CD, se tiene AB = 52, BC = 12, CD = 39 y DA = 5. Calcule el area del trapecio ABCD. Ejercicio Dado un pentágono regular ABCDE, se dibuja un círculo de manera que es tangente a CD en D y a AB en A. Calcule la medida del arco AD. Ejercicio La perrera de Spike tiene una base hexagonal regular que mide 1m por lado. Spike está atado a un vértice con una cuerda que mide 2m. Calcule el área de la región fuera de la perrera a la que Spike tiene acceso. Cecyt Juan de Dios Bátiz 14

16 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González Ejercicio Un cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y C. Los puntos E y F están en AC de manera que DE y BF son perpendiculares a AC. Además AE = 3, DE = 5 y CE = 7. Calcule BF. Ejercicio Un polígono regular de m lados está delimitado exactamente por m polígonos regulares de n lados cada uno. Calcule n si m = 10. Ejercicio En el triángulo ABC, la altura, la bisectriz y la mediana desde el vértice C dividen al ángulo Ĉ en cuatro partes iguales. Encuentre la medida de los ángulos del triángulo. Ejercicio En el exterior de un triángulo ABC, se construyen sobre sus lados, 3 triángulos equiláteros ABC, BCA y CAB. Demuestre que los baricentros de estos triángulos son los vértices de un triángulo equilátero. Ejercicio Demuestre que en un cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales. Ejercicio Sean E y F dos puntos en los lados BC y CD del cuadrado ABCD tales que EAF = 45. Sean M y N las intersecciones de la diagonal BD con AE y AF respectivamente y sea P la intersección de MF y NE. Pruebe que AP EF. 3. Trigonometría Funciones trigonométricas. Ejercicio 3.1. Halle los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ si... 1) El cateto opuesto mide 3, el cateto adyacente 4 2) El cateto opuesto mide 7, la hipotenusa 25 3) El cateto adyacente mide 3, la hipotenusa 12 4) El cateto opuesto mide 2, la hipotenusa 6 5) El cateto opuesto mide 3, el cateto adyacente 2 Ejercicio 3.2. En las siguientes figuras encuentre los valores de x y de y x y x 45 2 y x 60 y 3 Cecyt Juan de Dios Bátiz 15

17 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González y 45 2 x 3 x 30 y Ejercicio 3.3. Halle los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo α si 1) senα = 5 8 2) cosα = 7 9 3) tanα = 3 4 4) secα = 3 5) cscα = 5 2 Ejercicio 3.4. Utilice el siguiente triángulo para determinar el valor de las siguientes expresiones. 7 β y 1) senα cosα 2) senα cosβ 3) tanα cotβ α x 4) sen 2 x+cos 2 x 5) secβ 1 cosβ Ejercicio 3.5. Utilice el siguiente triángulo para determinar el valor de las siguientes expresiones. 2 x θ 1) senθ tanθ 2) tan 2 θ 3) sec 2 θ 4) cos 2 θ 1+tan 2 θ Cecyt Juan de Dios Bátiz 16

18 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González Ejercicio 3.6. Utilice la siguiente figura para mostrar que h = x cotθ cotα. α θ x Ejercicio 3.7. Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones. 1) sen2 120 cos( 180 ) tan( 135 )cot405 2) 9sen150 4cos sen600 3sen( 45 ) 2cos( 420 ) 3) tan10 tan20 tan30 tan40 tan50 tan60 tan70 tan80 4) sen1200 +cos( 1080 ) 5) 4sen120 tan300 6) 2sen120 tan240 7) 3cos( 300 )sen45 tan135 8) 2sen cot330 tan405 9) 10cot315 sen( 150 )cos225 10) sen sen ) tan44 tan45 tan46 12) (sen35 +cos35 )(sen35 cos35 )+2sen ) cos 2 15 sen ) cot75 15) sen ) log 10 (tan1 )+log 10 (tan2 )+...+log 10 (tan88 )+log 10 (tan89 ) Ejercicio 3.8. Simplifique las siguientes expresiones. 1) sen53 +sen( 53 )+cos62 cos( 62 ) 2) sen21 +sen( 57 )+cos( 21 )+cos( 33 ) ( π ) 3) sen(π 1) cos 2 1 4) tan18 tan288 +sen32 sen148 sen302 sen122 tan(π t)cos(2π t) 5) cos(π +t)sen(π t) ( π ) ( π ) 6) cos 2 +x +cos 2 x +sen(π +x) 7) cot(2π x)+cot(2π+x) tanx h Cecyt Juan de Dios Bátiz 17

19 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González 8) (1+cosα)(1 cosα) 9) cotα+ senα 1+cosα 10) 1 cos2 α 1 sen 2 α 11) sen 2 α+cos 2 α+tan 2 α ( π ) ( π ) 12) tan 4 x tan 4 +x Ejercicio 3.9. Si se sabe que senx+cosx = 1 2, calcule: 1) senxcosx 2) senx cosx 3) sen 3 x+cos 3 x 4) sen 4 x+cos 4 x 5) (senx cosx) Ecuaciones e identidades. Ejercicio Verifique las siguientes identidades. 1) 2) 3) senx 1 cosx = 1+cosx senx 1 tanx+cotx = senxcosx 1 cosx = senxtanx cosx 4) 1+cotx = senx+cosx senx 5) cos 4 α+sen 4 α = 1 2sen 2 αcos 2 α 6) (tanα+cotα) 2 = 1 sen 2 αcos 2 α 7) tanα cotα = (tanα 1)(cotα+1) 8) cotα+ senα 1+cosα = 1 senα 9) senx 1+cosx + 1+cosx = 2 senx senx 10) tanα+tanβ cotα+cotβ = tanαtanβ ( 1 11) sena + 1 cosa ( 1 12) senx 1 cosx ) (sena+cosa) = 2+ 1 senacosa ) (senx+cosx) = cotx tanx Cecyt Juan de Dios Bátiz 18

20 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González 13) 1 2sen 2 x = 1 tan2 x 1+tan 2 x 14) cos 4 x sen 4 x = cos 2 x sen 2 x 15) cosx+cos2x+cos6x+cos7x = 4cos x 2 cos5x2cos4x 16) 1+tanx 1 tanx = tan ( π 4 +x ) 17) 1 2sen2 x 1+sen2x = 1 tanx 1+tanx 18) sen2 2x+cos2x = cos 2 x 19) 1 (sen 6 x+cos 6 x) = 3sen 2 xcos 2 x 20) sen3x = 3senx 4sen 3 x 21) cos4x = 8cos 4 x 8cos 2 x+1 Ejercicio Resuelva las siguientes ecuaciones. 3 1) senx = 2 2) senx = ) cosx = 2 4) cos 2 x = 1 5) 4sen 2 x = 3 6) sen 2 x+2senx 3 = 0 7) 2cos 2 x+3cosx+1 = 0 8) tan 2 x = 3 9) cot 2 x = 1 10) tanx+cotx = 2 11) 4senxcos2xsen3x = sen4x ( 12) tan x+ π ) = 1 4 ( 13) tan x π ) = 3 3 ( 14) cot x π ) = 3 4 ( ) ( ) 5π 3π 15) sen 4 +x sen 4 x = 0 16) 2sen 2 x senx = 0 Cecyt Juan de Dios Bátiz 19

21 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González 17) tan 2 x tanx = 0 18) cos 2 3x sen 2 3x = 1 19) cos2xsen2x+senx = 5cos2x+5 20) 2cos 2 x 7cosx+3 = 0 21) 2cos 2 x 5cosx+2 = 0 22) cos2x+3senx = 2 Ejercicio Demuestre que csc = csc csc Problemas. Problema 3.1. Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60. Problema 3.2. Una torre de 40 metros de altura está situada a la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 30. Cuál es el ancho del lago? Problema 3.3. El ángulo de elevación de una rampa de 9.5 metros que lleva a un puente sobre una avenida es de 22,5. Determine la altura que puede tener un camión para pasar por debajo del puente. Problema 3.4. Calcule la sombra proyectada sobre el suelo de una persona que mide 1.67 metros si el ángulo de elevación del Sol es de 15. Problema 3.5. Cuál es la altura de un edificio cuya sombra horizontal es de 60 metros cuando el ángulo de elevación del Sol es de 45? Problema 3.6. Un niño sostiene en sus manos un papalote a un metro del piso. Si el papalote está a 12 metros del piso y la cuerda del papalote forma un ángulo de 30 con la horizontal, cuántos metros de cuerda está utilizando? Problema 3.7. Un avión está alejándose de un observador en tierra moviéndose con una velocidad constante y mantiene una altura de 5850 metros. En cierto momento el ángulo de elevación es de 45 y 20 segundos después es de 30, qué tan rápido está volando el avión? Problema 3.8. Un puesto de observaciones, que está en la costa, se encuentra a una altura de 225 metros sobre el nivel del mar. Si el ángulo de depresión desde el punto hasta un barco en el mar es de, a qué distancia se encuentra el barco de la orilla del mar? π 6 Problema 3.9. Un puente sobre un río tiene 200 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan hacia arriba formando un ángulo de 30 para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 20 metros, puede el motociclista saltar de un lado al otro, sin peligro? Problema Desde lo alto de un hotel con vista al mar, un turista observa una lancha que navega directamente hacia su hotel. Si el turista está a 32 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión de la lancha cambia de 30 a 45 durante la observación, qué distancia recorrió la lancha? Problema Una escalera se apoya en una pared vertical, formando un ángulo θ con la horizontal y su punto más alto está a 4 3 metros de altura respecto al suelo. Cuándo el ángulo disminuye 15 el punto más alto de la escalera queda a 2 6 metros de altura. Cuál es la longitud de la escalera? Cecyt Juan de Dios Bátiz 20

22 3. Trigonometría. Jonathan Reyes González Problema Se desea cercar una finca triangular cuyos vértices son los puntos A, B y C, pero al empezar el trabajo se descubre que la marca B ha desaparecido. El título de propiedad indica que la distancia de B a C es de 480 metros, la distancia de A a C es de 250 metros, y el ángulo  es de 120. Determine la posición de B obteniendo la distancia de A a B. Problema Un poste emite una sombra de 10 metros de largo cuando el ángulo de elevación del Sol es de 30. El poste está inclinado con un ángulo de 15 de la vertical en la dirección de su sombra. Encuentre la longitud del poste. Cecyt Juan de Dios Bátiz 21