POLÍGONOS

Transcripción

1 POLÍGONOS Después de estudiar los triángulos y los cuadriláteros, los alumnos ahora amplían su estudio a todos los polígonos. Un polígono es una figura bidimensional, cerrada, formada por tres o más segmentos de recta que no se intersectan, conectados en los extremos. Empleando el hecho de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de 180, los alumnos aprenden un método para determinar la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono. Luego, exploran la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono. Por último, usan la información acerca de los ángulos de los polígonos junto con su Caja de herramientas de triángulos para calcular las áreas de polígonos regulares. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.1.1, 8.1.5, y Ejemplo 1 La figura de la derecha es un hexágono. Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un hexágono? Explica cómo lo sabes. Luego, escribe una ecuación y resuelve x. x + 7 x + 1 x + 1 x x 5 5x Una forma de calcular la suma de los ángulos interiores del hexágono es dividir la figura en triángulos. Hay varias formas diferentes de hacerlo, pero recuerda que estamos intentando sumar los ángulos interiores en los vértices. Una forma de dividir el hexágono en triángulos es dibujar todas las diagonales desde un único vértice, como se muestra a la derecha. Al hacerlo, se forman cuatro triángulos, cada uno con medidas de ángulos que suman 180. m 1+ m + m + m + m 5 + m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + m 10 + m 11+ m = (180 ) = Core Connections en español, Geometría 180 (Nota: es posible que los alumnos hayan notado que el número de triángulos siempre es dos menos que el número de lados. Este ejemplo ilustra por qué la suma de los ángulos interiores de un polígono puede calcularse usando la fórmula (n )180º, donde n es el número de lados del polígono). Ahora que sabemos cuál es la suma de los ángulos, podemos escribir una ecuación y resolver x. 180 (x + 1) + (x + 7) + (x + 1) + (x 5) + (5x ) + (x) = 70º 18x = 70º x = 0º

2 Ejemplo Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es de 0, cuántos lados tiene el polígono? Usa la ecuación suma de los ángulos interiores = (n )180º para escribir una ecuación y resuelve n. La solución se muestra a la derecha. Como n = 15, el polígono tiene 15 lados. Es importante notar que si la respuesta no es un número entero, se cometió un error o no existe un polígono que sus ángulos interiores sumen la medida dada. Como la respuesta es el número de lados, la respuesta solo puede ser un número entero. Los polígonos no pueden tener 7. lados! ( n ) 180 = 0 180n 60 = 0 180n = 700 n = 15 Ejemplo Cuál es la medida de un ángulo exterior de un decágono regular? Un decágono es un polígono con 10 lados. Como esta figura es un decágono regular, todos los ángulos y todos los lados son congruentes. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier polígono, uno en cada vértice, siempre es 60, independientemente de cuántos lados tenga el polígono. En este caso, los ángulos exteriores son congruentes, dado que el decágono es regular. El decágono de la derecha tiene diez ángulos exteriores dibujados, uno en cada vértice. Por lo tanto, cada ángulo mide = 6. Ejemplo Un dodecágono regular (polígono de 1 lados) tiene una longitud de lado de 8 unidades. Cuál es su área? Para resolver este problema, se va a tener que recurrir a varios temas que se han estudiado. (Nota: hay más de una manera de resolver este problema). Para esta solución, imaginaremos dividir el dodecágono en 1 triángulos congruentes, con un vértice común en el centro. Si calculamos el área de uno de ellos, luego podemos multiplicarla por 1 para obtener el área de toda la figura. 8 Para concentrarte en un triángulo, cópialo y agrándalo. El triángulo es isósceles, entonces, si se dibuja un segmento desde el ángulo del vértice que sea perpendicular a la base, se obtiene la altura. Esta altura también biseca la base (porque el triángulo es isósceles). h Guía para padres con práctica adicional 107

3 Como se trata de un dodecágono, podemos calcular la suma de todos los ángulos de la figura usando la siguiente fórmula: (1 )(180 ) = 1800 Como todos los ángulos son congruentes, cada ángulo mide = 150. Los segmentos que salen desde el centro bisecan cada ángulo, entonces el ángulo de la base del triángulo isósceles es de 75. Ahora, podemos usar la trigonometría para hallar h. tan 75 = h h = tan 75 h 1.98 Por lo tanto, el área de uno de estos triángulos es: A 1 (8)(1.98) unidades cuadradas Para calcular el área del dodecágono, multiplicamos el área de un triángulo por 1. A 1(59.71) unidades cuadradas Problemas Calcula las medidas de los ángulos de cada problema de abajo. 1. Calcula la suma de los ángulos interiores. Calcula la suma de los ángulos de un 7-ágono. interiores de un 8-ágono.. Halla el tamaño de cada uno de los ángulos. Halla el tamaño de cada uno de los interiores de un 1-ágono regular. ángulos interiores de un 15-ágono regular. 5. Halla el tamaño de cada uno de los ángulos 6. Halla el tamaño de cada uno de los exteriores de un 17-ágono regular. ángulos exteriores de un 1-ágono regular. Resuelve x en cada una de las siguientes figuras x x x x Completa cada uno de los siguientes problemas. x 5x 5x x 11. Cada ángulo exterior de un n-ágono regular mide Cuántos lados tiene este n-ágono? 1. Cada ángulo exterior de un n-ágono regular mide 1 1. Cuántos lados tiene este n-ágono? x 1.5x x 0.5x 1.5x 5x x 5x x x x 108 Core Connections en español, Geometría

4 1. Cada ángulo de un n-ágono regular mide 156º. Cuántos lados tiene este n-ágono? 1. Cada ángulo de un n-ágono regular mide 165.6º. Cuántos lados tiene este n-ágono? 15. Calcula el área de un pentágono regular con longitud de lado de 8 cm. 16. Calcula el área de un hexágono regular con longitud de lado de 10 pies. 17. Calcula el área de un octágono regular con longitud de lado de 1 m. 18. Calcula el área de un decágono regular con longitud de lado de 1 plg. 19. Usando el pentágono de la derecha, escribe una ecuación y resuelve x. 0. Usando el heptágono (7-ágono) de la derecha, escribe una ecuación y resuelve x. 1. Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 1 lados?. Cuál es la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de 16 lados? x + 6 x x 1 5x + 1 6x + 7x + 5x x x x 7 x 1 x 9. Cuál es la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un decágono (10-ágono)?. Cada ángulo exterior de un polígono regular mide.5. Cuántos lados tiene el polígono? 5. Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 060? Si así fuera, cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no. 6. Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 150? Si así fuera, cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no. 7. Existe un polígono cuya suma de ángulos interiores sea de 10? Si así fuera, cuántos lados tiene? Caso contrario, explica por qué no. 8. En la figura de la derecha, ABCDE es un pentágono regular. EB es a DF? Justifica tu respuesta. 9. Cuál es el área de un pentágono regular con una longitud de lado de 10 unidades? E A 7 B 0. Cuál es el área de un 15-ágono regular con una longitud de lado de 5 unidades? D C F Guía para padres con práctica adicional 109

5 Respuestas º. 1080º. 150º. 156º º º 7. x = º 8. x = 0º 9. x = 98.18º 10. x = 1.0º 11. lados 1. 7 lados lados 1. 5 lados cm pies m plg x + 7 = 50, x x 0 = 900, x = lados lados 6. No. El resultado no es un número entero. 7. No. El resultado no es un número entero. 9. Sí. Como ABCDE es un pentágono regular, la medida de cada ángulo interior es de 108. Por lo tanto, m DCB = 108. Como DCB y FCB son suplementarios, m FCB = 7. Las rectas son paralelas, porque los ángulos alternos internos son congruentes unidades cuadradas unidades cuadradas 110 Core Connections en español, Geometría

6 RAZONES DE ÁREAS DE FIGURAS SEMEJANTES Los alumnos vuelven a ver el tema de la semejanza para explorar qué sucede con el área de una figura si se la reduce o se la amplía. En el Capítulo, los alumnos aprendieron acerca de la razón de semejanza, también denominada factor de amplificación. Si dos figuras semejantes tienen una razón de semejanza de b a, entonces la razón de sus perímetros también es b a, mientras que la razón de sus áreas es a b. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8..1 y Ejemplo 1 Las figuras P y Q de la derecha son semejantes. a. Cuál es la razón de semejanza? b. Cuál es el perímetro de la figura P? 5 P 6 7 Q c. Usa tus dos respuestas anteriores para calcular el perímetro de la figura Q. d. Si el área de la figura P es de unidades cuadradas, cuál es el área de la figura Q? La razón de semejanza es la razón de las longitudes de dos lados correspondientes. En este caso, como solo tenemos la longitud de un lado de la figura Q, usaremos el lado de P que corresponde a ese lado. Por lo tanto, la razón de semejanza es 7. Para calcular el perímetro de la figura P, suma todas las longitudes de lado: = 1. Si la razón de semejanza de las dos figuras es 7, entonces la razón de sus perímetros es también 7. Si la razón de semejanza es 7, entonces la razón de las áreas es ( 7 ) = 9 9. perímetro P perímetro Q = 7 1 Q = 7 Q = 17 perímetro Q = 9 área P área Q = ( 7 ) Q = 9 9 9Q = 1666 área Q unidades cuadradas Guía para padres con práctica adicional 111

7 Ejemplo Dos rectángulos son semejantes. Si el área del primer rectángulo es de 9 unidades cuadradas, y el área del segundo rectángulo es de 56 unidades cuadradas, cuál es la razón de semejanza entre estos dos rectángulos? Como los rectángulos son semejantes, si la razón de semejanza es b a, entonces la razón de sus áreas es a b. Se nos dan las áreas de modo que sabemos que la razón de sus áreas es Entonces, podemos escribir: a b = 9 56 a b = 9 56 = 9 56 = 7 16 La razón de semejanza entre los dos rectángulos es b a = Esto puede escribirse como un número decimal o como una fracción. Problemas 1. Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de 5, y el perímetro de la figura A es de 18 unidades, cuál es el perímetro de la figura B?. Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de 1 8, y el área de la figura A es de 1 unidades cuadradas, cuál es el área de la figura B?. Si la figura A y la figura B son semejantes con una razón de semejanza de 6, es decir, 6 a 1, y el perímetro de la figura A es de 5 unidades, cuál es el perímetro de la figura B?. Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus perímetros es 17 6 razón de semejanza?, cuál es su 5. Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus áreas es 9, cuál es su razón de semejanza? 6. Si la figura A y la figura B son semejantes y la razón de sus perímetros es 11, ello significa que el perímetro de la figura A es de unidades y el perímetro de la figura B es de 11 unidades? Explica. Respuestas unidades. 8 unidades. 9 unidades No, solo nos informa la razón. La Figura A podría tener un perímetro de 6 unidades mientras que la figura B tiene un perímetro de unidades. 11 Core Connections en español, Geometría

8 CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DE LOS CÍRCULOS Los alumnos han calculado el área y el perímetro de varios polígonos. Luego, consideran qué sucede con el área a medida que se agregan más y más lados a un polígono. Al explorar el área de un polígono con muchos lados, aprenden que el límite de un polígono es un círculo. Extienden lo que saben acerca del perímetro y el área de los polígonos a los círculos, y hallan las relaciones para la circunferencia (C) y el área (A) de los círculos. d r C = πd o πr, A = πr C es la circunferencia del círculo (el perímetro de un círculo), d es el diámetro, y r es el radio. π, que está en ambas fórmulas, es por definición la razón circunferencia, y es diámetro siempre una constante para todo círculo de cualquier tamaño. Usando estas fórmulas, junto con las razones, los alumnos pueden calcular el perímetro y el área de figuras que contienen partes de círculos. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.1., 8.., y 8... Ejemplo 1 El círculo de la derecha tiene un radio de 8 cm. Cuáles son la circunferencia y el área del círculo? Usando las fórmulas, C = πr = π(8) = 16π 50.7 cm A= π r = π ( 8) = 6π cm 8 Ejemplo Hermione tiene un pequeño espacio en el lote de la esquina que quisiera convertir en un patio. Para ello, necesita hacer dos cosas. Primero, debe saber la longitud de la parte curva, donde pondrá un borde decorativo. Luego, tras colocar el borde, tendrá que comprar hormigón para cubrir el patio. El hormigón se vende en bolsas. Cada bolsa cubre.5 pies cuadrados con la profundidad requerida de cuatro pulgadas. Cuánto borde y cuánto hormigón deberá comprar Hermione? Guía para padres con práctica adicional 11 patio 10 pies 0 10 pies borde

9 El borde es una porción de la circunferencia de un círculo con el centro en el punto O y un radio de 10 pies. Podemos determinar la fracción exacta del círculo mirando la medida del ángulo central. Como el ángulo mide 0, y un círculo completo tiene 60, esta porción es 60 0 = 1 9 del círculo. Si hallamos la circunferencia y el área de todo el círculo, podemos tomar 1 9 de cada una de esas medidas para calcular la porción necesaria. C = 1 ( 9 πr ) ( π 10 ) = 1 9 = 0π pies A = 1 9 πr = 1 9 π ( 10 ) = 100π 9.91 pies cuadrados Hermione deberá comprar 7 pies de borde y 1 bolsas de hormigón ( bolsas). El hormigón se vende en bolsas enteras solamente. Ejemplo El perro de Rubeus, Fluffy, está atado a un costado de su casa, en el punto X. Si la soga de Fluffy tiene 18 pies de largo, cuál es el área que Fluffy tiene para correr? Como Fluffy está atado a un punto con una soga, solo puede ir hasta donde llega la soga. Suponiendo que no hay obstáculos, esta área sería circular. Debido a que Fluffy está bloqueado por la casa, el área será solo una porción de un círculo. Desde el punto X, Fluffy puede llegar hasta 18 pies hacia la izquierda y hacia la derecha del punto X. Esta pieza inicial es un semicírculo. Sin embargo, hacia la derecha del punto X, la soga dobla por la esquina de la casa, lo cual agrega algo más de área para Fluffy. Este pedazo más pequeño es un cuarto de círculo con un radio de pies. X 0 pies 15 pies Casa de Rubeus Casa de Rubeus 18 pies 0 pies 15 pies 0 pies 0 pies Semicírculo: A = 1 πr = 18 π = π = 16π Un cuarto de círculo: A = 1 πr = π = 9π 7.07 Fluffy tiene un total de pies cuadrados donde correr. 11 Core Connections en español, Geometría

10 Problemas Calcula el área del sector sombreado de cada círculo de abajo. Los puntos A, B, y C son los centros º A 7 10º B C 11 Calcula el área de los siguientes sectores sombreados. El punto O es el centro de cada círculo º º O 18º O O 6 170º O 8. La región sombreada de la figura se denomina segmento del círculo. Puede calcularse restando el área de MIL del sector MIL. Calcula el área del segmento del círculo. I M L YARD es un cuadrado; A y D son los centros de los arcos. N I H 5 C Y A D R 1. Calcula el área de un jardín circular si el diámetro del jardín es de 0 pies. 1. Calcula el área de un círculo inscrito en un cuadrado cuya diagonal tiene una longitud de 8 pies. 1. El área de un sector de 60 de un círculo es 10π m. Halla el radio del círculo. 15. El área de un sector de un círculo con un radio de 5 mm es 10π mm. Halla la medida de su ángulo central. Guía para padres con práctica adicional 115

11 Calcula el área de cada región sombreada m pies r = 8 10 m 1 pies plg 60º 60º Calcula la longitud del radio. r El área sombreada es 1π cm pequeño = 5. r grande = 8 60º 1 10º r Calcula el área del sector sombreado de cada círculo de abajo. En cada caso, el punto O es el centro... O 5º 10º O O º O 7. Calcula la longitud del arco del sector sombreado del problema Calcula la longitud del arco del sector sombreado del problema. 9. Calcula la longitud del arco del sector sombreado del problema. 0. Calcula la longitud del arco del sector sombreado del problema. 116 Core Connections en español, Geometría

12 1. Kennedy y Tess están construyendo una pista de carrera para sus caballos. La pista encierra un terreno que es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Una cerca debe rodear este terreno. Cuántos metros de valla necesitarán Kennedy y Tess? 0 m 108 m. Rubeus ha llevado a su perro Fluffy a una esquina de su granero porque quiere que tenga más lugar para correr. Si ata a Fluffy en el punto X del granero con una soga de 0 pies, cuál será el área que Fluffy tendrá para explorar? pies granero X 15 pies 11 pies Respuestas 1. π unidades. 9 π unidades. 6π unidades. π unidades 5. 1π unidades 6. 91π 6 unidades 7. 5π unidades 8. π unidades π 5 unidades π 0 unidades 11. 8π 16 unidades 1. 5π pies 1. 8π pies m 15. 1º π m π pies π plg 19. 8π + unidades π unidades unidades. 6 cm. π 6.8 unidades. 9 π 51.1 unidades 5. 6π un 6. π 9. unidades 7. π unidades 8. 1π un 9. π un 0. π unidades π metros de cerca. 00π + 100π + 5π pies cuadrados Guía para padres con práctica adicional 117