ELABORAR Y COMPARAR PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULOS DE SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISION

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1 ELABORAR Y COMPARAR PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULOS DE SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISION 4to. Grado Grupo RED

2 CONSIDERACIONES GENERALES En cuarto grado, si bien es importante que los alumnos no pierdan la capacidad de calcular con procedimientos propios, trabajaremos para que puedan utilizar los algoritmos de la suma, la resta, y la multiplicación por una y dos cifras. En el primer ciclo se trabajo con la memorización de resultados. En este año es interesante que los alumnos puedan componer y ampliar el conjunto de cálculos básicos de suma, resta, y multiplicación que ya tiene disponibles, incluyendo oportunidades para calcular en forma escrita o mental, no sólo en forma exacta, sino también aproximada. Esto permitirá que los alumnos puedan ejercer un mayor dominio sobre los mismos, y, de este modo, facilitar su uso cuando haya que combinarlos para resolver cálculos más complejos. Es conveniente al comienzo de cuarto comprobar que el repertorios de cálculos trabajados en el primer ciclo, esté disponible en cada uno de los alumnos. Para tal fin están puestas actividades relacionadas con el campo aditivo, como del campo multiplicativo. En las primeras cuatro actividades se trabaja con actividades relacionadas con el campo aditivo. El resto de las actividades se relacionan con el campo multiplicativo. En la actividad 5 la tabla pitagórica, la cual es una tabla de multiplicación de doble entrada atribuida a Pitágoras con los resultados desde 1x1 a 10x10. Del análisis colectivo de la tabla, se espera establecer las siguientes relaciones: - Las diferentes tablas pueden relacionarse entre sí. - La propiedad conmutativa de la multiplicación hace que baste con memorizar la mitad de los productos del cuadro. - Puede haber diferentes multiplicaciones que den el mismo resultado. Luego hay actividades en donde los alumnos deben realizar cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones que impliquen poner en juego el repertorio memorizado y propiedades de las operaciones y del sistema de numeración. En cuarto grado, es posible introducir el nombre convencional de las propiedades para que los alumnos avancen en las posibilidades de argumentar acerca de los procedimientos con un lenguaje más ajustado. Sin embargo, debemos tener presente que la generalidad que los alumnos pueden atribuir el uso de expresiones como la propiedad conmutativa está limitada a algún conjunto de ejemplos. INDICE DE LA SECUENCIA: ACTIVIDAD 1: A pensar 2

3 Sumas y restas con números redondos. ACTIVIDAD 2: Cuánto hay que sumarle a... para obtener...? Calcular complementos, a partir del análisis de las escrituras numéricas. ACTIVIDAD 3: Cuánto hay que restarle a... para obtener...? Calcular complementos, a partir del análisis de las escrituras numéricas. ACTIVIDAD 4: A resolver Trabajar con las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y la resta ACTIVIDAD 5: Tabla Pitagórica Establecer una red de relaciones entre multiplicaciones a partir de la tabla. ACTIVIDAD 6: Juego con cartas Resolver divisiones. ACTIVIDAD 7: Quién tiene razón? Trabajar con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. ACTIVIDAD 8: A pensar Analizar la multiplicación y división por potencias de 10. ACTIVIDAD 9: Con la calculadora Reconstruir un resultado de la tabla pitagórica a partir de otros. ACTIVIDAD 10: A resolver Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyándose en propiedades de las operaciones y del sistema de numeración. ACTIVIDAD 11: Qué tan cerca se encuentra el resultado? Trabajo con la estimación de resultados de las cuatro operaciones ACTIVIDAD 1: A pensar Indicá en cada cálculo, sin resolverlo, cual es la cifra que se modificará

4 ACTIVIDAD 2: Cuánto hay que sumarle a... para obtener...? Cuánto hay que sumarle a Para obtener? Respuesta Anotaciones en borrador que necesites para averiguarlo ACTIVIDAD 3: Cuánto hay que restarle a... para obtener...? Cuánto hay que restarle a Para obtener? Respuesta Anotaciones en borrador que necesites para averiguarlo 4

5 ACTIVIDAD 4: A resolver 1. Resolvé de la forma más rápida que puedas y explicá como lo hiciste en cada caso. a) = b) = c) = d) = NOTA: Luego de que los alumnos resuelvan las cuentas, habrá que centrarse en los procedimientos que emplearon. Por ejemplo en los dos primeros ejercicios pueden elegir los sumandos para completar decenas lo cual implica cambiar el orden de los sumandos y asociarlos del modo elegido. Estas acciones están validadas por las propiedades conmutativa y asociativa en la suma. Algunos alumnos pueden extender este procedimiento a los dos últimos ejercicios. En estos dos últimos se puede hacer que los alumnos lo piensen como: 50 ( ). ACTIVIDAD 5: La tabla Pitagórica Vamos a recordar la tabla pitagórica trabajada en tercero. X

6 a) Completá con los resultados que recuerdes y marcá con color aquellos resultados que conozcas de memoria. b) Respondé: A. - Si se compara cada número de la columna 3 con cada uno de los de la columna del 6 para la misma fila, qué relación tienen? B. Qué columnas se pueden duplicar para obtener otras? C. Qué columnas se pueden triplicar para obtener otras? D. Si continuarán la columna del 10 poniendo los casilleros 11 x 10, 12 x 10 hasta el 19 x 10, qué números escribirían como productos? E. Buscá todas las multiplicaciones que dan el mismo resultado, en algún caso se repiten los números en distinto orden? NOTA: En este caso se podrá avanzar en el uso de la propiedad conmutativa. La extensión de esta propiedad a todos los productos de la tabla también se podrá hacer una tabla incompleta como la siguiente, ya que si se conocen los productos 6

7 que pertenecen a la diagonal y a la parte superior de la tabla, entonces se pueden hallar los restantes. X F. Escribí la tabla del 12 que no está en la tabla pitagórica, usando los productos que aparecen en ella. G. Decidí si las siguientes afirmaciones son o no verdaderas, y explicá por qué. Todos los números de la tabla del 8 e obtienen multiplicando por 2 tres veces. Todos los números de la tabla del 4 se obtienen sumando 2 a los números de la tabla del 2. Todos los números de la tabla del 6 se obtienen multiplicando por 3 los números de la columna del 2. Todos los números de la tabla del 5 se encuentran sumando los de la columna del 3 con los del a columna del 2. ACTIVIDAD 6: Juego con cartas 7

8 MATERIALES: Cartas con dígitos del 1 al 9. (En la parte de recursos están disponibles las cartas) ORGANIZACIÓN: Grupos de a 3 jugadores. REGLAS DEL JUEGO: Se pone todo el mazo de cartas boca abajo sobre la mesa. Se elije uno de los jugadores como juez. Los otros dos jugadores sacan una carta cada uno. Ambos le dan la carta elegida al juez. Este tiene que decir en voz alta el resultado de la multiplicación de los dos números que salen en la carta. El primero que adivina la carta del otro gana VARIANTE: Se puede cambiar la numeración de las cartas para trabajar con otras divisiones. ACTIVIDADES DE CIERRE: 1) Un número, multiplicado por 7, da 56. Qué número es? Después de buscar el número, identificá entre las siguientes escrituras la que representa esta adivinanza: = x 7 = = 56 2) Para cada una de las siguientes preguntas, señalá la respuesta correcta y anotá el cálculo que hiciste para responder: Cuál es el número que, multiplicado por 5, da 40? Cuál es el número que, multiplicado por 7, da 21? Cuál es el número que, multiplicado por 8, da 32? ) Inventen adivinanzas similares y desafíen a sus compañeros. 8

9 4) A partir de los resultados de la tabla de multiplicaciones, completá el cociente de las siguientes divisiones: 36 : 6 = 36 : 4 = 48 : 8 = 42 : 7 = 81 : 9 = ACTIVIDAD 7: Quién tiene razón? A. Un compañero dice que cuando él no se acuerda de algún producto como 6 x 8, lo piensa así: 6 x 8 = 6 x4x 2 =24 x 2 = 48. Estás de acuerdo? Por qué? Buscá otros productos de la tabla del 8 que no te acuerdes y pensalos como lo hizo tu compañero. B. Para resolver 9 x7, Lila pensó: Como 7 es igual a puedo hacer: 9 x 5 = 45 y 9 x 2 = 18 y luego puedo sumar ambos resultados = 63 Estás de acuerdo con lo que hizo Lila? Por qué? Buscá otra manera de pensarlo. NOTA: Con esta actividad o de otras similares, se podrá hacer hincapié en la equivalencia de: 9 x (5 + 2) = (9 x 5) + (9 x 2), señalando que son ejemplos de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. En este caso la regla permite facilitar este cálculo. ACTIVIDAD 8: A pensar 1) a) En la tabla de multiplicaciones de la actividad 1encontramos que al multiplicar un número por10, el producto termina en cero. Eso sucede siempre? Podemos saber con certeza que si uno continúa con la tabla del 10 hasta un número cualquiera, el producto terminará en 0? Por qué sucede eso? b) Podés dar rápidamente el resultado de 25 x 10? Y, luego el de 64 x 10? 9

10 c) Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación por 10? ) Vamos a retomar las relaciones anteriores para analizar las multiplicaciones por100. a) Calculá: 23 x x x x x 100 b) Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación de un número natural por 100? ) Calculá mentalmente: a) 45x = b) 128x = c) 17x = d) x 10 = 320 e) x 100 = 800 f) x 100 = g) x 100 = h) x = i) x = j) x = ) Sabiendo que 16 x 10 =160, como resolverías, sin hacer la cuenta escrita los siguientes resultados? a)16 x 20 = b)16 x 40 = c)16 x 100 = d) 16 x 50 = e)16 x 80 = 5) a) Conociendo una multiplicación se pueden escribir dos divisiones sin hacer la cuenta. Por ejemplo, si 45 x 100 = 4.500, entonces se puede escribir: : 100 = 45 y : 45 = 100 b) Escribí las divisiones para: 23 x = x 100 =

11 16 x 50 = 800 c) Anoten divisiones que se pueden conocer a partir de las multiplicaciones que hicieron en los problemas anteriores. d) En parejas, traten de recordar o elaborar una regla que sirva para las divisiones por 10, 100 ó ) Sabiendo que 60 : 10 = 6, Cómo resolverías, sin hacer la cuenta escrita, los siguientes cálculos? a)60 : 30 = b)60 : 20 = c)6.000 : 30 = d) 600 : 20 = ACTIVIDAD 9: Con la calculadora 1- En la calculadora tenés que hacer las siguientes multiplicaciones, cómo podrías resolverlas: Si no funcionara la tecla 8? 4 x 8 = 6 x 8 = 7 x 8 = 5 x 8 = Y si no pudieras usar la tecla del 6? 9 x 6 = 8 x 6 = 7 x 6 = Si no funcionara la tecla del 7? 4x 7 = 10x 7 = 5x 7 = 2- Imaginate que el visor de la calculadora muestra cada uno de los números que aparecen en la columna de la izquierda. Anotá cómo es posible, con una única operación en cada caso, lograr que aparezca en el visor de la calculadora el resultado escrito en la columna de la derecha. Como siempre, te pedimos que primero lo anticipes y, recién después, lo verifiques en tu calculadora

12 Anotá 35 en la calculadora y realizá una operación por vez para obtener sucesivamente los números de la tira ACTIVIDAD 10: A resolver 1- a) Multiplicar 3 x 20 es fácil. Ahora bien, cómo se puede utilizar esa cuenta para calcular 3 x 19 mentalmente? b) Calculá mentalmente estos productos: 5 x 19 = 7 x 19 = 30 x 19 = NOTA: En el problema 1a), después de dejarles un tiempo a los alumnos para que piensen y busquen algún procedimiento para 3 x 19, se podrá analizar colectivamente en qué sentido la multiplicación por 20 es un recurso para multiplicar por 19, explicitando que 19 veces un número es equivalente a 20 veces ese mismo número menos una vez el número, es decir: 3x (20 1) = 3 x 20 3 x 1= 60 3 = 57 Un error muy frecuente en problemas del tipo (1b) consiste en que los alumnos multipliquen por 20, y resten 1 para multiplicar por 19. Es interesante someterlo al análisis. Resulta fundamental instalar en el grupo la necesidad de controlar, por ejemplo, cómo es posible estar seguro de que para 3 x 19 se hicieron 19 veces 3, explicitando que, al hacer 20 veces 3, hay que restar 1 vez 3, y no 1. c) Calculá mentalmente estos productos y explicá como los pensaste. 4x 29 = 6x38 = 7x49 = 3x78 = ACTIVIDAD 11: Qué tan cerca se encuentra el resultado? 12

13 1. Respondé a estas preguntas sin realizar el cálculo exacto. Escribí que tuviste en cuenta para contestar. a es mayor o menor que 500? Cómo lo pensaste? b es mayor o menor que 400? Cómo lo pensaste? c es mayor o menor a 1.000? Cómo lo pensaste? d es mayor o menor que 400? Cómo lo pensaste? 2. Elegí el resultado sin hacer la cuenta y explicá cómo lo pensaste. Después resolvé para saber el valor exacto: a) 25 x b) 120 x Para estimar los resultados, completá los lugares en blanco y explicá si el resultado será mayor o menor que la estimación