5. Ley de Gauss. Flujo del campo electrostático: ley de Gauss. Aplicaciones: simetría plana, cilíndrica y esférica.
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- María José Correa Sánchez
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1 5. Ley de Gauss Flujo del campo electrostático: ley de Gauss. Aplicaciones: simetría plana, cilíndrica y esférica. 1
2 FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL El Concepto General de Flujo: Algo multiplicado por Area E X S Vector campo E X X Vector superficie... S Flujo de E a través de la superficie S F = r r E S F = E S cosq
3 S q E F = E r S r F = E S cosq CANTIDAD ESCALAR Definición integral E r ds r ds r E r F = S E r ds r
4 Flujo Electrico F The number of field lines penetrating a surface is called the electric flux. Units: N. m 2 /C If we consider a surface A perpendicular to E, f = E df = A f = E na E ds = E dsn In the case of surface that is not perpendicular to E, the dot product enables us to obtain the value of area perpendicular to the electric field.
5 Qué pasa si la superficie es cerrada (Gaussiana)? El flujo neto es cero si no hay cargas dentro de la superficie (dibujo de la izquierda). Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la carga neta. Mire las cuatro superficies en el dibujo de la derecha S1-S4 y es fácil entender porqué esto es así. El texto en rojo es la ley de Gauss en palabras.
6 LEY DE GAUSS El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4p k veces el valor de la carga neta encerrada por dicha superficie. Flujo neto F = r E r ds = 4p k Q Carga neta S O de forma mas elegante, en términos de la permitividad del vacío e 0 k = 1 4p e 0 F = S r E r ds = Q e 0
7 Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra Entra
8 Gauss s Law Gauss s Law is one of the so called Maxwell s Equations that describe the electromagnetics phenomena. For static charges, Coulomb s Law and Gauss s Law are equivalent, but Gauss s Law is more general. Gauss s Law can be used to calculate the electric field for charge distribution with high degree of symmetry Gauss s Law:The net number of lines out of any surface enclosing the charges is proportional to the net charge enclosed by the surface
9 Calculating E from Gauss s Law. The power of symmetry Electric field for a single point charge The electric field exhibits spherical symmetry around the charge. Then we consider a spherical surface with center on the charge to apply Gauss s law. The value of E is constant in all points of this sphere. f 2 = E da = E4pR = 4p A Q E = k 2 R k Q The flux is independent from the selected sphere Writing Gauss s Law and Coulomb s Law in terms permitivity of free space e 1 4pk o = = 8.85x10-12 C 2 N m 2 1 k = 4p e o 1 E = 4p e f net = Q inside e o o q 2 r rˆ of
10 Calculating E from Gauss s Law. The power of symmetry Electric field for a Thin Spherical Shell of Charge The electric field exhibits spherical symmetry around the uniform charge distribution. Then we consider a spherical surface with the same center as the shell of charge to apply Gauss s law. The value of E is constant in all points of this sphere. f = A Q E = k 2 R E da = E4pR o 2 1 Q = 2 4pe R For a gaussian sphere inside of the shell charge = 4p k Q The flux is independent from the selected sphere In the Earth s atmosphere, the electric field is 150 N/C downwards at an altitude of 250 m, and 170 N/C downwards at an altitude of 400 m. Calculate the volume charge density of the atmosphere assuming it to be uniform between both altitudes. f = E = A 0 E da = 0
11 Ley de Gauss Cómo se usa? Es cierta siempre pero. Sólo es útil para situaciones donde hay mucha simetría. Su uso es sutil!!!! Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección. Hay que encontrar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
12 APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS La ley de Gauss es muy útil para determinar el campo eléctrico en situaciones de alta simetría. * Campo eléctrico de una carga puntual * Campo eléctrico de una distribución superficial de carga sobre un plano indefinido * Campo eléctrico de una distribución lineal indefinida de carga * Campo eléctrico de una esfera dieléctrica cargada con densidad uniforme * Campo eléctrico de una corteza conductora cargada * Campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor 12
13 Receta para la Ley de Gauss Escoger superficie de Gauss de acuerdo a la simetría. Que pase por P. Que sea cerrada. Que E sea constante (por lo menos en parte) de la superficie. Que E sea paralela a la superficie en las partes donde no es constante. El integral sale directo a una expresión algebráica que contiene E. Calcular q N (el meollo del asunto). Es lo que distingue cada situación y cada región. Es diferente en cada región. A veces hay que calcular la densidad de carga. q N es el producto de densidad por el volumen de carga dentro de la superficie. Resolver por E algebráicamente.
14 * Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrio Conductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria. 1. Dónde se encuentra la carga? Respuesta: la carga está en la superficie y solo en la superficie, pues esta es la forma de minimizar la repulsión electrostática. 2. Cómo está repartida la carga? Respuesta: La carga está repartida en forma desigual, de un modo que depende de las características de curvatura de la superficie en cada punto. Esto implica que en cada punto la densidad superficial de carga será en general distinta. Carga interior = 0 s = dq ds Carga total = Q 3. Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor? Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor. Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio. 14
15 * Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrio Conductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria. 3. Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor? Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor. Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio. E r?? Carga interior = 0 s = dq ds Carga total = Q 15
16 * Cálculo del campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrio Conductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria. Cálculo del campo: aplicaremos el teorema de Gauss Vista de perfil q E r q Usamos como gaussiana un cilindro cerrado muy estrecho (bases muy pequeñas) y normal a la superficie conductora, con su base exterior muy ceñida a dicha superficie. S r E r S r Argumentos para la aplicación del teorema de Gauss Carga interior = 0 Carga total = Q s = 1. No hay flujo a través de la superficie lateral del cilindro porque el campo es perpendicular la la superficie. 2. No hay flujo a través de la base interior del cilindro porque el campo dentro del conductor es cero. F = S r E S r E r ds = r ds = 4p E Base exterior k q ds = E E Base exterior S = 4p k ds = E q S q E = 4p k = 4p k S s E = e 0 Vector normal a la superficie en cada punto r s r E = e 0 16 dq ds u n s
17 Tipler, 5ª edición 17
18 Tipler, 5ª edición 18
19 Otro ejemplo de la Ley de Gauss Una Linea Recta e Infinita de Carga Simetría Cilíndrica Nuestra superficie Gaussiana tiene lados y dos tapas. En las tapas E no es constante pero da es perpendicular a E asi que el integral sobre las tapas es cero y el integral sobre los lados es Ese resultado es siempre igual para toda simetría cilíndrica. Como siempre, la solución al problema particular se reduce a determinar la carga dentro de la superficie. En este caso resulta ser λh donde λ es la densidad lineal de carga. Así que la ecuación de la ley de Gauss se convierte en este problema en y resolviendo por E obtenemos o sea el campo disminuye con la primera potencia de r no con la segunda. Esto quizás no debe extrañarnos ya que tenemos una carga mucho más grande que una carga puntiforme. Para el caso de una linea de longitud L con carga total Q, entonces λ = Q / L y nuestro resultado es correcto solo para puntos donde r << L y que quedan lejos de los extremos de la linea.
20 Otro ejemplo de la Ley de Gauss Una Linea Recta e Infinita de Carga Simetría Cilíndrica Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir que todos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilíndrica (en amarillo) tienen la misma magnitud de E. En la práctica, por supuesto, no existen lineas infinitas pero el resultado que obtengamos será una buena aproximación al caso de puntos que quedan cerca de una linea de carga finita. En una situación como esta con un punto y una linea, la única dirección definida por la realidad física es la dirección radial (coordenadas cilíndricas). E tiene que ser en esa dirección.
21 Ley de Gauss Simetría Plana La única dirección especificada por la situación física es la dirección perpendicular al plano. Por tanto, ésta tiene que ser la dirección de E. Puntos que quedan en planos paralelos están equidistantes al plano y tienen que tener el mismo E. La superficie Gaussiana que usamos tiene tapas que son dos de esos planos paralelos. El flujo a través de los lados de esta superficie Gaussiana es cero. Los flujos a través de las dos tapas son iguales. E es Uniforme Independiente de la Posición!!
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23 Un caso importantísimo Placas Paralelas Uniforme Independiente de la Posición!! Esta estructura se usa mucho en la práctica.
24 Una esfera de carga (amarilla) dentro de un cascarón de material conductor (azul claro). Usando el principio que acabamos de aprender, sabemos que E=0 en la región II) c > r > b, dentro del cuerpo del conductor. Con la ley de Gauss podemos calcular E en las otras tres regiones como hicimos antes: I) r > c, afuera de todo. III) b > r > a, el hueco entre la carga y el metal. IV) a > r, dentro de la carga. Ese cálculo lo dejamos para que lo hagas tu. Para determinar la distribución de carga en el conductor, usamos una superficie Gaussiana en la región II. Como queda dentro del conductor, E=0 y el flujo eléctrico es cero y la carga encerrada es cero. Eso quiere decir que, en la superficie interior del conductor, se tiene que depositar una carga que es el negativo de la carga amarilla. Para calcular la carga en la superficie exterior, se le resta la carga interior a la carga total del conductor. (Te tienen que decir cuál es la carga total en el conductor. Usualmente es diferente a la carga amarilla.)
25 Dos problemas que debes poder hacer, o sea, explicar cómo se usa la ley de Gauss, cómo se usa la simetría para saber las características del campo electríco, cómo se calcula la carga encerrada para diferentes puntos en diferentes regiones, cómo se calcula la carga que hay en las superficies de los conductores. (a) Una esfera (no conductora) de carga de radio b con un hueco esférico de radio a. (Hay tres regiones.) (b) Una carga puntiforme en el centro de un cascarón esférico de material conductor. Hay tres regiones. Hay que determinar cuánta carga hay en las superficies del cascarón. También puede venir alguna combinación de los elementos que hay en estas dos situaciones con algunos de los elementos de las situaciones que se explicaron anteriormente en las transparencias 10 y 11.
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30 FIN?
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