Denotamos a los elementos de la matriz A, de orden m x n, por su localización en la matriz de la

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Clara Roldán Hidalgo
hace 7 años
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1 MATRICES Una matri es un arreglo rectangular de números. Los números están ordenados en filas y columnas. Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un ejemplo. A Esta matri se identifica A y tiene 6 elementos. Sus elementos están arreglados en filas y columnas. El 9 es un elemento de la fila y la columna, decimos entonces que a = 9. La matri A es de orden x. El orden de una matri es m x n, para una matri de m filas y n columnas. enotamos a los elementos de la matri A, de orden m x n, por su localiación en la matri de la siguiente forma: a ij donde < i < m y < j < n, la i se refiere a la fila, la j se refiere a la columna de ese elemento. Práctica 6 B Contesta para la matri B. 8 a. Cuál es el orden de B? 7 b. Indica los elementos b = b = b = b = La diagonal principal de una matri mxm, es dada por los elementos a ij, tal que i= j. Matri cuadrada es una matri de orden n x n, es decir que tiene la misma cantidad de filas que de columnas Matri identidad, los elementos de la diagonal principal son y los demás elementos son. I Matri cero Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9

2 Simplificamos el trabajo para resolver sistemas si utiliamos sólo los coeficientes del sistema. Con este propósito podemos representar sistemas de ecuaciones a través de matrices y manipularlas de manera que resolvamos los sistemas que representan. Representamos un sistema de ecuaciones con una matri de coeficientes y un vector con las constantes del sistema. La matri de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuación del sistema. Cada ecuación compone las filas de la matri y cada columna representa a una de las variables del sistema. Ejemplo x y x - y Sistema Matri de coeficientes Un vector es una matri que consta de una sola fila o de una sola columna. Ejemplos vector columna orden x vector fila orden x Para el sistema del ejemplo anterior el vector de las constantes es Matri aumentada es una matri en la que además de los coeficientes incluimos las constantes como la última columna de la matri. Esta matri se utilia para resolver sistemas por el método de Gauss Jordan o Eliminación Gausiana. La matri aumentada del ejemplo anterior es: x y x - y Práctica Representa cada sistema con su respectiva matri de coeficientes y el vector de constantes. Especifica para cada uno el orden de las matrices. Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9

3 . x x y y. x y y x y. x x y y. x - y = 6x + y = RESOLVER SISTEMAS M X M UTILIZANO LA LEY E CRAMER. Para esto necesitamos calcular el determinante de una matri. eterminantes enotamos al determinante de la matri A de orden n x n, det A ó A eterminante de una matri x. Sea A = a a a a det A = a a - a a. Ejemplo B= - - det B = ()(-) - (-)() = -6 - (-) = - Práctica. - Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9

4 .. 6 ETERMINANTE E UNA MATRIZ X Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación: Procedimiento (forma corta ). Añade al final de la matri dada, las primeras dos columnas de la esa matri.. Halla el producto de las diagonales positivas de la matri,es decir,las que comienan con la primera fila y la primera columna hacia la derecha. Una matri nxn, tiene n diagonales positivas.. Se suma el producto de las diagonales positivas.. Se halla el producto de las diagonales negativas de la matri,es decir,las que comienan con la primera fila y la última columna hacia la iquierda. Una matri nxn, tiene n diagonales negativas.. Se suma el producto de las diagonales negativas. 6. El determinante es la diferencia (resta) del la suma del producto de las diagonales positivas y la suma del producto de las diagonales negativas. [suma del producto de las diagonales positivas] [suma del producto de las diagonales negativas] Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9

5 EJEMPLO Halla el determinante de la matri A Paso # A Paso # y (-) + () + (-) = - Cómputo [()()(-) + ()()() +(-)(-)(-)] = - Paso # y (-) + (-6) + () = - Cómputo =- [ ()()(-)+(-)()() + (-)(-)()] = Paso #6 = - - (- ) = - + = Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9

6 LEY E CRAMER Sea el determinante de la matri de coeficientes de orden nxn, entonces: x x y y,,, donde: x es el determinante de la matri que se obtiene eliminando la columna de x de la matri de coeficientes del sistema y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema. y es el determinante de la matri que se obtiene eliminando la columna de y de la matri de coeficientes y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema. es el determinante de la matri que se obtiene eliminando la columna de de la matri de coeficientes y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema. EJEMPLO Resuelve el siguiente sistema mediante la Regla de Cramer x + y - = -x +y + = - x - y - = Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es Observa que este determinante los calculamos en el ejmplo anterior = Hallamos el determinante x, sustituyendo primero la primera columna por las constantes del sistema x x = [()()(-) + ()()() + (-)(-)(-)] - [()()(-) + (-)()() + (-)(-)()] = [ ] - [ ] = -8 - (-) x = Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9 6

7 Hallamos el determinante y, sustituyendo la segunda columna por las constantes del sistema. y y = [()(-)(-) + ()()() +(-)(-)()] - [()(-)(-)+()()()+(-)(-)()] = [8 + + ] - [ + + 9] = - y = - Hallamos el determinante, sustituyendo la tercera columna por las constantes del sistema = = [()()() + ()(-)() + ()(-)(-)] - [()()() + (-)(-)() + ()(-)()] = [6 - +6] - [6 + - ] = 9 - Resumimos: =, x =, y = -, =. Para determinar los valores de las variables llevamos a cabo el proceso siguiente: x x y, y,, La solución de este sistema es (,-,). Práctica Resuelve los siguientes sistema con la Ley de Cramer:. -x x y y Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9 7

8 . x - y = x + y =. - x + y - x - y = - + = x + y - = - Preparado por: Prof. Evelyn ávila Revisado en ENERO 9 8

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