FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO"

Transcripción

1 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Ls unions qu son ontinus n un intrvlo rrdo [, ] y drivls n un intrvlo irto, tinn propidds importnts. Torm d Roll. S un unión qu vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n l intrvlo rrdo [, ] Es drivl n l intrvlo irto, Tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s dir Entons, ist un punto, tl qu s dir, on tnnt orizontl. Torm d Roll Hipótsis: s ontinu n [, ] s drivl n, Tsis:, / Dmostrión: Como s ontinu n un intrvlo rrdo [, ] lnz n dio intrvlo un vlor máimo y otro mínimo. Torm d Wirstrss Pudn drs dos sos: Si l máimo y l mínimo stán n los trmos, stos son iuls, y qu. Entons s trt d un unión onstnt y, por tnto, Si l vlor máimo o mínimo s nuntrn n un punto d, l unión lnz un máimo y un mínimo torm d Wirstrss y omo s drivl n, s umpl qu Ejmplo: L unión : [, ] R dinid por 4 vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n [, ] por sr polinómi Es drivl n, por s polinómi. 8; 8 Entons ist un punto n l intrvlo irto, on drivd nul n dio punto. Vmos: 4; 4 4 El punto st n l intrior dl intrvlo. Torm dl vlor mdio S un unión qu vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n l intrvlo rrdo [, ] Es drivl n l intrvlo irto,

2 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Entons, ist un punto, tl qu Intrprtión ométri: Eist un punto n l urv uy tnnt s prll l urd. Dmostrión: Formmos l unión y plimos l torm d Roll y qu: Es ontinu n [, ] por srlo. Es drivl n, por srlo. Admás y s dir, Como s umpln ls ipótsis dl torm d Roll, ist un punto, tl qu, por tnto, si, Ejmplo : L unión s ontinu y drivl n todo R, podmos nontrr un punto, por jmplo, n l intrvlo, 4 uy tnnt l urv s prll l urd qu un los puntos d siss ; 4. 6; 6 ; Torm dl Vlor Mdio Hipótsis: s ontinu n [, ] s drivl n, Tsis:, /

3 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Torm d Cuy. Si y son dos unions ontinus n [. ] y drivls n,, ist un punto n, tl qu Dmostrión: Nos yudmos d l unión uilir [ ] [ ] A st unión podmos plir l torm d Roll y qu Es ontinu n [, ] por sr dirni d unions ontinus Es drivl n, por sr drivl d unions drivls. Drivndo l unión, [ ] [ ] Y si, [ ] [ ] Simpr qu y Ejmplo : Hll l vlor d dl intrvlo, 4 dond s umpl l tsis dl torm d Cuy, sindo y Ls unions son ontinus y drivls n todo R por s unions polinómis ; ; Vlors d ls unions n los trmos dl intrvlo: luo 5; 4 4 ; ;,4 5 8 Rl d L Hôpitl. Es un onsuni dl torm d Cuy y nos prmit otnr áilmnt irtos its qu, sin st rl, rsultrín omplidísimos. Est rl di: Si, y ist ntons s umpl qu

4 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 4 Dmostrión: Si y son ontinus n [, ] y drivls n, s umplirá : dond, Torm d Cuy Pro y luo Si ntons y qu, luo Como ist por ipótsis, istirá tmién y mos srán iuls. Qud, por tnto, qu L rl d L Hôpitl tmién pud sr plid l so d indtrminions dl tipo. Ejmplo 4: os Est s un so d indtrminión dl tipo por lo qu podmos plir l rl: os os sn L rl pud plirs un o más vs, mintrs s mntn l indtrminión.

5 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 5 Ejriios rsultos.- L unión : [-, ] R dinid por tom l mismo vlor n los - trmos dl intrvlo, ; Enontrr su drivd y ompror qu no s nul nun. Contrdi sto l torm d Roll?. Soluión: ;.. Si intntmos nulr l drivd rsult: surdo! Esto no ontrdi l torm d Roll porqu l sund ipótsis no s vrii. L unión no s drivl n todos los puntos dl intrvlo. Conrtmnt, n l punto, no ist l drivd omo podmos vr lulándol trvés dl it:.- Clul pr qu l unión - 4 umpl ls ipótsis dl torm d Roll n l intrvlo [, ]. Dónd s umpl l tsis?. Soluión: Por sr un unión polinómi, s ontinu y drivl n todo R. y s umpln ls dos primrs ipótsis. Trr ipótsis: ; Cuys soluions son ; ; - : L úni soluión válid s. Dónd s umpl l tsis?: 4; 4 si.- Compru qu l unión 5 Cumpl ls ipótsis dl Torm d Roll. Avriu dónd umpl l tsis. Soluión: si < 4 En d uno d los intrvlos s un unión polinómi qu s ontinu y drivl. El únio punto dudoso s, luo mos d studir l ontinuidd y drivilidd n dio punto:

6 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 6 Continuidd: 4 ; [ 5 ] 4 Eist it n dio punto y vl 4. Admás l vlor d l unión pr, tmién s 4, luo s ontinu. S umpl l ª ipótsis. Drivilidd: si < 4 si 4 Ls drivds ltrls son iuls, luo s drivl n y s umpl l ª ipótsis. Admás, ; Como tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s umpl l ª ipótsis. Vmos dónd s vrii l tsis: si < 4 si 4 Hindo, rsult: qu s surdo. 4, s dir, L tsis s vrii n 4.- Sindo, llr un númro, n l intrvlo, 4 d modo qu s vriiqu l torm dl vlor mdio. Soluión: Como s un unión polinómi, s ontinu y drivl n todo R, luo podmos plir l torm: 4 ; [ ]

7 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 7 6 ± ± 84 6 ± L soluión válid s l ª si < 5.- Pru qu l unión si stis ls ipótsis dl torm dl vlor mdio n l intrvlo [, ] y lul l o los vlors vtiindos por l torm. Soluión: L unión s ontinu n l intrvlo [, ] - si < si L unión s drivl n l punto d sis, únio punto dudoso, luo s umpln ls ipótsis dl torm dl vlor mdio. Aplindo l órmul rsult: si < / ; /, si si < luo si D l primr uión s otin: / - /. Y d l sund uión: -/ - / 6.- Apli l torm d Cuy ls unions ; n l intrvlo [, 4] Soluión: Ls unions son ontinus y drivls por trtrs d unions polinómi, por tnto, ; 6 ; 6

8 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 8 Vlors d ls unions n los trmos d los intrvlos: ; 4 4 ; Entons, s dir, L tsis s vrii n 7.- Rsulv l siuint it plindo l rl d L Hôpitl: Soluión: L L L L. L. L L L 8.- Clul los its siuints: L ; sn sn Soluión: L L. Ls indtrminions d l orm. s pudn rsolvr tmién plindo L Hôpitl sn os os sn sn.os sn sn os. 9.- Rsulv l siuint it: sn os Soluión: sn. sn os os.os sn. os sn os

9 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 9.- Clul Soluión: Hmos A y plimos loritmos:.. L LA, s dir, L LA. Si LA ntons A, s dir A y, por tnto,.- Clul sn Soluión: os os sn sn

10 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Ejriios propustos.- S pud plir l torm d Roll l unión [, 4]?. Rzon l ontstión. 4 n l intrvlo.- Compru si s vrii l torm d Roll pr l unión 4, n l intrvlo [, ]..- Apli l torm dl vlor mdio, si s posil, l unión n l intrvlo [-, -]. Soluión: -/ 4.- Clul y pr qu si < 4 umpl ls ipótsis dl si 4 torm dl vlor mdio n l intrvlo [, 6]. Dónd umpl l tsis? Soluión: ; 9; 9/ n si < 5.- S onsidr l unión m si. Dtrmin m y n pr qu s umpln ls ipótsis dl torm dl vlor mdio n l intrvlo [-4, ]. Hll los puntos dl intrvlo uy istni rntiz l torm. sn 6.- Clul Soluión /6 7.- Clul l siuint it plindo l rl d L Hôpitl: rt rsn Soluión: trnsormándolo n un it dl tipo y plindo ds- 8.- Clul os pués l rl d L Hôpitl Soluión: ½ 9.- Hll los siuints its: ; Soluión: - ;

11 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá.

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Frnndo Frnádz-Rmos Mrín º.- Clcul l continuidd d ls guints uncions. ) 8 7 ) 8 6 c) d) sn ) º.- Dtrminr l vlor d los prámtros d ls uncions pr qu sn continus n todo ) sn Solución: ) Solución: c) cos sn sn

Más detalles

Cálculo II (0252) TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA. Semestre

Cálculo II (0252) TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA. Semestre Cálulo II (5) Smstr - TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA Smstr - Junio Dprtmnto d Mtmáti Aplid U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) Ls nots prsntds ontinuión tinn omo únio fin, l d prstr poyo l studint y filitr su ntndiminto

Más detalles

EJERCICIOS DE REFUERZO DE ECUACIONES 4º ESO A

EJERCICIOS DE REFUERZO DE ECUACIONES 4º ESO A Dprtmnto Cinis Mtmátis ºA Euions, sistms inuions Colio Con Espin Prosor Ánl Fuiio Mrtínz EJERCICIOS DE REFUERZO DE ECUACIONES º ESO A Rsolvr ls siuints uions: - = - = + + = = + = + = - = - -=- - = - -

Más detalles

Tema 8 Límites Matemáticas II 2º Bachillerato 1. EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente: c) 2.

Tema 8 Límites Matemáticas II 2º Bachillerato 1. EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente: c) 2. Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto TEMA LIMITES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : D un dinición pr sts prons y rprséntls gráicmnt: ) ) 9 6 c) ) ) Cundo s proim, l unción s hc muy grnd ) Cundo s proim, l unción

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ----------

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ---------- IES ASTELAR BADAJOZ A nguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE URIA JUNIO (GENERAL) ATEÁTIAS II SOLUIONES Timpo máimo: hors minutos Osrvcions importnts: El lumno drá rspondr tods ls custions d un d

Más detalles

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 3. LÍMITES COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód. 8367 TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Dfinición: S dic qu l límit d l función f s igul L, cundo tind, si cundo s proim, f s proim L, sin

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES

INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES Intgrl indinid. gl d Brrow INTEGA DEFINIDA ÁEAS Y OUMENES siguint rgl, qu s s n l torm undmntl dl cálculo intgrl, rlcion l intgrl dinid con ls intgrls indinids prmit clculr ls intgrls dinids. intgrl dinid

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES

Más detalles

POTENCIA BASE EXPONENTE VALOR

POTENCIA BASE EXPONENTE VALOR TEMA POTENCIAS Y RADICALES CONCEPTO DE POTENCIA Un potni s un or rvi sriir un prouto oro por vrios tors iuls. = Los lntos qu onstitun un potni son L s l potni s l núro qu ultiplios por sí iso n st so l.

Más detalles

Perdidas Secundarias. Operaciones Unitarias Mecánica de Fluidos. Método de los Coeficientes de Perdida de Carga. Perdidas por Fricción Secundarias

Perdidas Secundarias. Operaciones Unitarias Mecánica de Fluidos. Método de los Coeficientes de Perdida de Carga. Perdidas por Fricción Secundarias Oprions Unitris Máni d Fluidos Prdids por Friión Sundris EIQ 303 Primr Smstr 0 Prosor: Luis V A Ls prdids por riión (prdids d r) s pudn lsiir n dos tipos: ) ) Prdids Sundris Prdids Primris. Ls prdids d

Más detalles

( ) ( ) ( x ) ( ) ( ) ( ) v( x) u( x) ( ) EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Calcula F a) ( x) en los siguientes casos: f ( t) = e. = x

( ) ( ) ( x ) ( ) ( ) ( ) v( x) u( x) ( ) EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Calcula F a) ( x) en los siguientes casos: f ( t) = e. = x Alro Enro Cond Mi Gonzálz Jrrro L ingrl y ss pliccions Clcl F ) d) n los sigins csos: F cos d RESUELTOS ) ( + ) d ) ( + ) F cos F d c) F( ) + d f) F d + F d g) v( ) F d h) F + f ( ) d i) F( ) ( ) cos d

Más detalles

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr

Más detalles

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Ls oprcios co límits, tto u puto como l ifiito, ti us propidds álogs qu dbmos coocr: PROPIEDADES El límit d l sum o difrci d dos fucios s l sum o difrci d los límits

Más detalles

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44)

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44) IES Mditrráno d Málg Solución Junio Jun Crlos lonso Ginontti OPCIÓN..- Ev Mrt Susn son trs jóvns migs qu s compromtn lr El Quijot st vrno. Cd un por sprdo n unción dl timpo dl qu dispon dcid lr un mismo

Más detalles

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti OPCIÓN A. 2, se pide determinar:

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti OPCIÓN A. 2, se pide determinar: IES Mdirráno d Málg Soluión Spimr (Espíio) Jun Crlos lonso Ginoni OPCIÓN E.- Dd l unión ( ), s pid drminr: ) El dominio, los punos d or on los js y ls sínos ( puno) ) Los inrvlos d rimino y drimino, y

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese

Más detalles

Árboles binarios. Árbol: definición. Árbol (del latín arbor oris):

Árboles binarios. Árbol: definición. Árbol (del latín arbor oris): Árol: iniión Árols inrios Árol (l ltín ror oris): Plnt prnn, trono lñoso y lvo, qu s rmii irt ltur l sulo. (otrs, vr Rl Ami Espñol ) Frno Guii Polno Esul Innirí Inustril Pontiii Univrsi Ctóli Vlpríso,

Más detalles

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

Logaritmos y exponenciales:

Logaritmos y exponenciales: Logrimos ponncils: L rsolución d cucions ponncils s s n l siguin propidd d ls poncis : Dos poncis con un mism s posiiv disin d l unidd son iguls, si sólo si son iguls sus ponns. Es dcir, p. j. Si = noncs

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CSTELR DJOZ nguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE NVRR JUNIO (GENERL) (RESUELTOS por nonio nguino) TEÁTICS II Timpo máimo: hors minuos Rlir un d ls dos opcions propuss ( o ) OPCIÓN º) Esudi l

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net) Mtries eterminntes CTS. Sen ls mtries, C. Hll l mtri ( C). Soluión: Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net)

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CSTELR DJOZ Mnguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE GLICI SEPTIEMRE - (RESUELTOS por ntonio Mnguino) MTEMÁTICS II Timpo máimo: hors minutos El lumno db rspondr solmnt los jrcicios d un d ls opcions

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

Algebra I 1er. Cuatrimestre 2013 Práctica 1 - Conjuntos

Algebra I 1er. Cuatrimestre 2013 Práctica 1 - Conjuntos lr I 1r. utrimstr 013 Práti 1 - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto rrnil V, notrmos por l omplmnto rspto V. Por onvnión, si x s un númro rl positivo, x not l únio númro rl positivo uyo uro s x. 1. Do

Más detalles

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS 6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.

Más detalles

También pueden descomponerse los segmentos en función de los vectores posición lo que da como resultado:

También pueden descomponerse los segmentos en función de los vectores posición lo que da como resultado: EL ÁLGER GEÉTRI EL ESPI Y TIEP 87 6. GEETRÍ EL TETRER Volmn l ttrro El volmn n ttrro s l st prt l volmn l prllpípo q lo ontin (vés igr 5.6). El volmn l prllpípo s igl l proto trior trs rists lsqir no prlls.

Más detalles

Función exponencial y logarítmica:

Función exponencial y logarítmica: MATEMÁTICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA º DE BACHILLER Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii)

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES. APLICACIONES

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES. APLICACIONES INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES. APLICACIONES.- PRIMITIVAS....- INTEGRALES INMEDIATAS SIMPLES. TABLA....- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE... 5.- INTEGRACIÓN POR PARTES... 7 5.- PARA PRACTICAR...

Más detalles

Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Soluions los jriios prolms ustions Uni. El onjunto los númros rls Mtmátis plis ls inis Soils I NÚMEROS RIONLES E IRRIONLES. Hll l númro iml qu orrspon un ls siguints rions. omnt l rsulto: 0 00 0 0000 00

Más detalles

ECUACIONES EXPONENCIALES

ECUACIONES EXPONENCIALES ECUACIONES EXPONENCIALES. Rsolvr ls siguins cucions ponncils ) Eponncils con igul s, s iguln los ponns. ) Los dos érminos s pudn prsr como ponncils d igul s. c) 0' Los dos érminos s pudn prsr como ponncils

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Cpít ulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Dfiniions Pvis: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llmo tmién n posiión nóni o stán. Es quél ángulo tigonométio uo véti oini on l oign l sistm

Más detalles

Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.

Más detalles

Solución de los Problemas del Capítulo 3

Solución de los Problemas del Capítulo 3 1. Slccion l rspust corrct y xpliqu por qué. Un lctrón qu tin un n= y m= ) Db tnr un m s =+1/ b) Pud tnr un l= c) Pud tnr un l=, ó 1 d) Db tnr un l=1 L rspust corrct s l c) porqu si n=, los posibls vlors

Más detalles

RELACIONES DE ORDEN. ÁLGEBRAS DE BOOLE., y 2. ) x 1.. Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente.

RELACIONES DE ORDEN. ÁLGEBRAS DE BOOLE., y 2. ) x 1.. Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente. Dprmno Mmái Apli. Ful Inormái. UPM. Rlions quivlni RELACIONES DE ORDEN. ÁLGEBRAS DE BOOLE ) En l onjuno N N s in l rlión (, ) R (, ). =.. Avrigu si s quivlni y si lo s lul l ls l lmno [(4, 8)]. 2) En l

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

1.-PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. Límites cuando

1.-PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. Límites cuando -PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo d límits cuando Límits cuando a R a R s raliza sustituyndo por a Si st valor s un númro ral ntoncs ya stá calculado y st límit s único, pro n algunos

Más detalles

0. x = 0. 0. x = b. x Solución:

0. x = 0. 0. x = b. x Solución: TEMA : ECUACIONES E INECUACIONES CONCEPTO DE ECUACIÓN Un uión s un igul lgri qu l umpln tn solo un sri númros qu son ls soluions. Es ir, Ls soluions un uión son los vlors qu n tomr ls ltrs pr qu l igul

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Rzón y proporión. Rzón. Rzón entre os números y es el oiente. Sus términos son nteeente y onseuente. Proporión. Un proporión es un igul entre os rzones. Se lee es omo es.,, y son los términos e l proporión.

Más detalles

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.

Más detalles

EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS. 1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: log

EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS. 1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: log EJERCICIOS DE POTECIAS Y LOGARITMOS - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes ritmos: ) ) 79 ) 09 e) f) g) h) - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes

Más detalles

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente. 89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

TRANSFORMADORES EN PARALELO

TRANSFORMADORES EN PARALELO TRNFORMDORE EN PRLELO. Trnsformdors d igul rzón d trnsformción Not: no s tomn n cunt ls pérdids n l firro. q q q llmrmos s cumpl b. Trnsformdors d rzón d trnsformción un poco distints Rfridos l scundrio:

Más detalles

Tema 8. Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital

Tema 8. Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital Mtmátics II (Bcillrto d Cicis) Aálisis: Drivds 8 Tm 8 Drivds Torms d ls fucios drivbls Rgl d L Hôpitl Drivd d u fució u puto Dfiició U fució f () s drivbl l puto f ( ) f ( ) si ist l it: 0 Est it s dot

Más detalles

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA ejeriiosemees.om MTRICES Y DETERMINNTES. Dds ls mtries Hllr ) ) B ).B d) B. e) +B f) C. g) C.B h) C.D i) j) B k) + l) B.B uioes. Dds ls mtries B. Clul +B, B,, B, B, B uió D C B.B / / / / / / / / B / /

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grdo n Ingnirí Informátic) Práctic 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.- L intgrl dfinid d Rimnn. L intgrl dfinid d Rimnn surg prtir dl prolm dl cálculo d árs d suprficis dlimitds

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - S - 59 7 Mtemátis ISSN: 988-79X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees

Más detalles

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 98 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

Determinantes. Ejercicio nº 1.-

Determinantes. Ejercicio nº 1.- Deerminnes Ejeriio nº.- Hll el vlor e los siguienes eerminnes. En el pro ), lul, emás, los posiles vlores e pr que el eerminne se ero: Ejeriio nº.- ) Clul el vlor el eerminne: ) Resuelve l euión: Ejeriio

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012 UNIVERSIDADES ÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID RUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 20-202 MATERIA: TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II MODELO INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES

Más detalles

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].

Más detalles

FÍSICA GENERAL I. Leyes de Newton. 1 Cuáles de los siguientes objetos están en equilibrio?

FÍSICA GENERAL I. Leyes de Newton. 1 Cuáles de los siguientes objetos están en equilibrio? FÍSICA GENERAL I Ls d Nwton Cuáls d los siguints objtos stán n quilibrio? Un globo d hlio qu s ntin n l ir sin sndr ni dsndr b Un bol lnzd hi rrib undo s nuntr n su punto ás lto Un j qu s dsliz sin friión

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

2) El eje y, la curva Solución:

2) El eje y, la curva Solución: APLICACIONES DE LA INTEGRAL UNIDAD VI Eistn muchos cmpos dl conociminto n qu istn pliccions d l intgrl. Por l nturlz d st concpto, pud plicrs tnto n Gomtrí, n Físic, n Economí incluso n Biologí. Por sólo

Más detalles

ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOVILLE

ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOVILLE UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Profs. Rúl F Jiméz Emilio Bllo CAPITULO II ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOVILLE Rordmos qu u oprdor difril lil d ord dfiido l

Más detalles

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma:

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. DEFINICIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión de la forma: IE Pdr Povd (Gudi) Mtátics plicds ls CC II Dprtto d Mtátics Bloqu I: Álgr il Profsor: Ró ort Nvrro Uidd : ists d Ecucios ils UNIDD : ITEM DE ECUCIONE INEE DEFINICIONE U sist d cucios lils co icógits s

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS D l triz A, qué relión een gurr ls onstntes pr que se verifique l igul A A. Cluleos A : A. Coo se h e uplir que A A, teneos que:, por tnto se otiene el siguiente

Más detalles

31 EJERCICIOS de LOGARITMOS

31 EJERCICIOS de LOGARITMOS EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS

MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS http://olmo.pnti.me.es/dms000 MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA Y : LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS HOJA Nº Feh de entreg: Viernes, de Oture de 00 Ejeriios. 7. Etre ftores y simplifi l máimo l epresión

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

Nudo Es todo punto de la red en que concurren tres o más conductores.

Nudo Es todo punto de la red en que concurren tres o más conductores. ltos 1 4.12-1 Rgls Kirhho Un iruito, n gnrl, stá ormo por un onjunto rsistnis y gnrors..m. ontos un orm ritrri, mnr qu no simpr s posil sustituir los onjuntos rsistnis por sus quivlnts, y qu no suln str

Más detalles

Enigmas 1: Productos envasados que se venden en los comercios

Enigmas 1: Productos envasados que se venden en los comercios Trr Cilo Primri Enigms 1: Proutos nvsos qu s vnn n los omrios Es un mtril vntjoso pr lrgr proutos qu s tinn qu protgr los ryos solrs Es un mtril qu onsrv muy in los limntos y s fáil oloión y lmnminto por

Más detalles

UNIDAD 7 Trigonometría

UNIDAD 7 Trigonometría UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier

Más detalles

UNIDAD 7 Trigonometría

UNIDAD 7 Trigonometría UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

Modelo 5 de sobrantes de Opción A

Modelo 5 de sobrantes de Opción A Ejercicio. [ puntos] Se f : R l función dd por Modelo de sobrntes de 6 - Opción. Ln f siendo Ln l función logrito neperino. Estudi l eistenci de síntot horiontl pr l gráfic de est función. En cso de que

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo

Más detalles

OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:

OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO ESUDIOS UNIVERSIRIOS (LOE) EMEN MODELOCURSO - MEMÁICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSRUCCIONES: El lumno deerá elegir un de ls dos opiones o

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

Cuestionario Respuestas

Cuestionario Respuestas Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida Tem 6 El lenguje eptdo por un FA Funión de trnsiión δ p j p l Dr. Luis A. Pined ISBN: 970-32-2972-7 Σ Q p i p k n Pr todo en Q & Σ, δ(, ) = p Funión de trnsiión etendid δ permite moverse the un estdo otro

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores

Más detalles

CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS

CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: b b( 1 k 3 ) Soluión: I.T.I. 1,, I.T.T. 1, En primer lugr,

Más detalles

Construyendo la función exponencial

Construyendo la función exponencial Costrdo l ció ocil Cr SÁNCHZ DÍZ Pd costrirs l ció ocil ri o trl coo l ció ivrs d l ció logrito trl r d idtiicrs co l ocil d s úro rl os d ror tl coicidci l cso d ot tro tié rciol l cso d ot rl d diirs

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles