Capítulo 16. Electricidad

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1 Capítulo 16 Electricidad 1

2 Carga eléctrica. Ley de Coulomb La carga se mide en culombios (C). La del electrón vale e = C. La fuerza eléctrica que una partícula con carga Q ejerce sobre otra con carga Q es: F = 1 QQ 4πɛ 0 r 2 r es la distancia entre las cargas y r el vector unitario que va de la partícula que ejerce la fuerza a la que la sufre. 1/(4πɛ 0 ) es una constante universal igual a N m 2 /C 2. Si existen más de dos partículas, la fuerza eléctrica que experimenta una es la suma (vectorial) de las fuerzas debidas a cada una de las otras. r

3 Campo eléctrico El campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga que experimenta una partícula en dicho punto. E = F Q El campo eléctrico es un vector y se mide en N/C. El campo eléctrico producido por una partícula, de carga Q vale: E = 1 4πɛ 0 Q r 2 r r es el vector unitario que va desde la carga hasta el punto en donde se calcula, y r la distancia entre los dos puntos anteriores.

4 Ley de Gauss. Plano cargado El flujo del campo eléctrico φ E es la integral de superficie φ E = E ds La ley de Gauss nos dice que φ E a través de una superficie cerrada es: φ E = Q int ɛ 0 en donde Q int es la carga total incluida en el interior. El campo de un plano con una densidad de carga ρ s es E = ρ s 2ɛ 0 Si ρ s es positiva, el campo está dirigido hacia afuera, y viceversa.

5 Potencial eléctrico. Energía La diferencia de potencial eléctrico V (r) entre dos puntos, o voltaje, es igual a la integral de línea del campo eléctrico entre dichos puntos: B A E dr = V (r A) V (r B ) El potencial eléctrico se mide en voltios, V=J/C. La energía potencial eléctrica de una carga Q en un punto es el potencial eléctrico en dicho punto por el valor de la carga: E p = Q V

6 Potenciales El potencial eléctrico producido por una carga Q viene dado por: V (r) = 1 Q 4πɛ 0 r r es la distancia de la carga que produce el potencial al punto en donde se mide. El potencial debido a un plano cargado es: V (x) = ρ s 2ɛ 0 x siendo x la distancia del punto considerado al plano.

7 Doble capa eléctrica El campo en el interior de una doble capa eléctrica es: E centro = ρ s ɛ 0 En las dos regiones de los lados el campo eléctrico es nulo. Suponemos que el plano con carga negativa es el de la izquierda y está en x = 0. Tomando V = 0 para x < 0. Entre las capas tenemos: y para x > d, V = ρ s d/ɛ 0. V (x) = ρ s ɛ 0 x En un dieléctrico, el campo total E t reduce el que habría sin dieléctrico E a : E t = E a κ κ es la constante dieléctrica, es adimensional y en una membrana vale aproximadamente 7. La diferencia de potencial entre las dos capas con un dieléctrico vale: V + V = ρ s ɛ 0 κ d La energía necesaria para pasar una carga a través de una doble capa es: E = Q V = Qρ sd ɛ 0 κ

8 Capacidad Un condensador es un par de conductores situados uno cerca del otro. La capacidad se define como la carga acumulada en cada uno de los conductores dividida por la diferencia de potencial: C = Q V La unidad de capacidad es el faradio, F = C/V. La capacidad por unidad de área de una doble capa eléctrica es: c a = C S = ɛ 0κ d

9 Corriente eléctrica La intensidad de corriente a través de una sección se define como la carga total que la atraviesa por unidad de tiempo: I = Q t La unidad de intensidad es el amperio, A = C/s. El valor instantáneo de la intensiad de corriente viene dado por: I = dq dt La densidad de corriente j es la corriente por unidad de área: j = I S = Q St

10 Ley de Ohm. Resistencia eléctrica La ley de Ohm nos dice: I = V R La constante R se denomina resistencia eléctrica, y viene dada por: R = ρ l S siendo ρ una constante llamada resistividad, característica del material. La conductividad es la inversa de la resistividad, σ = 1 ρ. La resistencia se mide en ohmios, Ω =V/A, y la resistividad en Ω m. las resistencias en serie se suman, mientras que en paralelo se suman sus inversas.

11 Ley de Joule Al atravesar una corriente eléctrica un conductor se genera una cierta cantidad de calor. La potencia disipada viene dada por la ley de Joule: P = V I Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos reescribir la de Joule como: P = R I 2 = V 2 R

12 Problema 16.1 Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctrica entre dos cargas de 0.01 C separadas una distancia de 0.1 m.

13 Problema 16.2 Tenemos cuatro cargas iguales de 10 4 C colacadas en los vértices de un cuadrado de lado 1 cm. Calcula: (a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las otras tres, (b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado, (c) el campo eléctrico en el centro de un lado, (d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado, (e) la energía potencial eléctrica de una carga.

14 Problema 16.3 Una molécula está formada por dos iones con cargas opuestas de módulo e, separados una distancia de 4 Å. Determina: (a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones, (b) el campo eléctrico en el punto medio, (c) el potencial eléctrico en el punto medio, (d) la energía potencial eléctrica de una carga.

15 Problema 16.4 Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de 3 C en el punto 3î m. En qué puntos del eje X se anula el potencial? Y el campo eléctrico?

16 Problema 16.5 Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilos de 1 m de longitud sujetos de un mismo punto. Ambas partículas poseen la misma carga y sus hilos forman un ángulo de 30 con la vertical. Qué carga poseen?

17 Problema 16.6 Una molécula está formada por tres iones. Uno central con carga 2e situado en el origen, y dos con cargas iguales a e situados en 4î Å y en 4ĵ Å. Determina: (a) la fuerza que sufre el ion central, (b) el campo eléctrico en el punto 4î + 4ĵ Å, (c) el potencial eléctrico en el punto anterior, (d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los iones, (e) la energía necesaria para llevar una carga de 3e desde el punto 4î + 4ĵ Å hasta el infinito.

18 Problema 16.7 Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, suponiendo que la masa del núcleo es mucho mayor que la del electrón, que vale kg, y que éste gira alrededor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio. Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica.

19 Problema 16.8 Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora cargada es el mismo que habría si toda la carga estuviera situada en el centro. Demuestra que en el interior el campo es nulo. Calcula el potencial debido a una esfera conductora cargada.

20 Problema 16.9 Un plano está uniformemente cargado con una densidad superficial de carga de C/m 2. Cuál es el valor del campo eléctrico por él producido? Determina la diferencia de potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2 m del plano, situados en partes opuestas.

21 Problema El módulo de la densidad de carga superficial de cada uno de los planos de una doble capa eléctrica es de C/m 2 y la separación entre los planos es de 5 cm. Determina: (a) el campo eléctrico entre los planos, (b) la diferencia de potencial entre ambos, (c) la energía que cuesta mover una carga de 10 4 C a través de la doble capa, (d) la capacidad por unidad de área.

22 Problema El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctrica es de 800 V/m. La distancia entre las placas es de 0.2 m. Calcula: (a) la densidad superficial de carga, (b) la diferencia de potencial entre las planos, (c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula de 0.01 kg y 10 4 C situada en su interior, (d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa la partícula anterior si inicialmente se encuentra en reposo a igual distancia de las dos placas, (e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior.

23 Problema Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una constante dieléctrica de 7. La densidad superficial acumulada en cada una de las superficies es de C/m 2, en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcula: (a) el campo eléctrico en el interior de la membrana, (b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula, (c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl de la célula, (d) el potencial, respecto del que existe en el interior de la célula, de un punto en el interior de la membrana a 2 nm de su superficie interna, (e) la capacidad por unidad de área de la membrana.

24 Problema Encuentra el campo eléctrico producido por una superficie cilíndrica de longitud infinita y radio R uniformemente cargada, con una densidad superficial de carga ρ s.

25 Problema Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superficies cilíndricas de radios R 1 y R 2, que comparten el mismo eje, y con densidades superficiales de carga ρ s 1 y ρ s 2, tales que el conjunto de las dos superficies es neutro. Obtén la diferencia de potencial entre las dos superficies.

26 Problema Tenemos una estufa de 1 kw conectada a la red de 220 V, que supondremos que es de corriente continua. Determina: (a) la resistencia de la estufa, (b) la intensidad eléctrica que la recorre, (c) el campo eléctrico en su interior si el filamento desenrollado mide 2 m.

27 Problema Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm de longitud está lleno de una disolución biológica con una resistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos una diferencia de potencial de 10 V entre sus extremos. Calcula: (a) la resistencia eléctrica del cilindro, (b) el campo eléctrico en el interior de la disolución, (c) la conductividad de la disolución, (d) la corriente que circula, (e) la potencia calorífica que se disipa.

28 Problema Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas en paralelo. El conjunto se alimenta con una diferencia de potencial de 100 V y entonces circula una corriente total de 10 A. Cuál es el valor de cada una de las resistencias? Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistencias se conectaran en serie, en vez de en paralelo?

29 16.1 Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctrica entre dos cargas de 0.01 C separadas una distancia de 0.1 m. El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada carga es: F = 1 4πɛ 0 QQ r 2 = = N. La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une las cargas y es repulsiva. La energía potencial eléctrica es: E p = 1 QQ 4πɛ 0 r = = J.

30 16.2 Tenemos cuatro cargas iguales de 10 4 C colacadas en los vértices de un cuadrado de lado 1 cm. Calcula: (a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las otras tres, (b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado, (c) el campo eléctrico en el centro de un lado, (d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado, (e) la energía potencial eléctrica de una carga. (a) La fuerza total que experimenta la carga en el origen es: F = F 1 + F 2 + F 3 = 1 Q 2 4πɛ 0 a î 1 Q 2 2 4πɛ 0 a ĵ 2 1 Q 2 ( î + ĵ ) 4πɛ 0 2a = ( î + = (î + ĵ) N. î 2 + ĵ + ĵ ) 2 (b) Por simetría, deducimos que el campo eléctrico en el centro es nulo. (c) El campo eléctrico en A vale: E = E 1 + E 2 = 2 1 4πɛ 0 Q a a 2 + (a 2 /4) a2 + (a 2 /4)ĵ = (1 + (1/4)) 5ĵ = ĵ N/C. (d) La energía potencial eléctrica de una carga es: E p = E 1 + E 2 + E 3 = 1 4πɛ 0 2a Q2 a + Q2 a + Q2

31 ( = ) = J

32 16.3 Una molécula está formada por dos iones con cargas opuestas de módulo e, separados una distancia de 4 Å. Determina: (a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones, (b) el campo eléctrico en el punto medio, (c) el potencial eléctrico en el punto medio, (d) la energía potencial eléctrica de una carga. (a) El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada ión es: F = 1 QQ 4πɛ 0 r 2 = = N. La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une los iones y es atractiva. (b) El módulo del campo eléctrico en el centro vale: E = 2 1 Q = πɛ 0 r = N/C. (c) El potencial en el punto medio es cero por simetría. (d) La energía potencial eléctrica de cada uno de los iones es: E p = 1 QQ 4πɛ 0 r = = J.

33 16.4 Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de 3 C en el punto 3î m. En qué puntos del eje X se anula el potencial? Y el campo eléctrico? El potencial se puede anular en la zona entre las dos cargas y para x negativos. Entre las dos cargas tenemos: V = 1 Q 4πɛ 0 x + 1 Q 4πɛ 0 3 x = 1 ( 2 4πɛ 0 x 3 ). 3 x Esta expresión vale cero cuando se verifica: Para x negativos: 2(3 x) 3x = 0 = x = 6 5 = 1.2m. V = 1 Q 4πɛ 0 x + 1 Q 4πɛ x = x 3 x, 4πɛ 0 x (3 + x ) y de aquí deducimos: x = 6 m = x = 6 m. El campo sólo se hace cero para valores negativos de x: lo que implica: E = 1 4πɛ 0 Q x 2( î) + 1 4πɛ 0 Q (3 + x ) 2î = 0 2(3 x) 2 3x 2 = x 2 12x + 18 = 0. La solución negativa de esta ecuación es: x = = 13.3 m.

34 16.5 Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilos de 1 m de longitud sujetos de un mismo punto. Ambas partículas poseen la misma carga y sus hilos forman un ángulo de 30 con la vertical. Qué carga poseen? La relación entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria que experimenta una partícula ha de ser: tan 30 = F e F g = 1 4πɛ 0 Q 2 r 2 1 mg, en donde la distancia entre partículas viene dada por r = 2l sen 30 = l. De la anterior ecuación despejamos el valor de la carga: Q = tan 30 mg 4πɛ 0 l 2 = = C.

35 16.6 Una molécula está formada por tres iones. Uno central con carga 2e situado en el origen, y dos con cargas iguales a e situados en 4î Å y en 4ĵ Å. Determina: (a) la fuerza que sufre el ion central, (b) el campo eléctrico en el punto 4î + 4ĵ Å, (c) el potencial eléctrico en el punto anterior, (d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los iones, (e) la energía necesaria para llevar una carga de 3e desde el punto 4î + 4ĵ Å hasta el infinito. (a) La fuerza sobre el ion central es: F = 1 Q Q î + 1 Q Q ĵ 4πɛ 0 a 2 4πɛ 0 a 2 = (î + ĵ) = (î + ĵ) N. (b) El campo eléctrico en el punto 4î + 4ĵ Å vale: E = 1 e 1 2e 4πɛ 0 a2(î + ĵ) 4πɛ 0 2a 2 = = (î + ĵ) N/C. ( î 2 + ( ) (î + ĵ) ĵ ) 2 (c) El potencial en dicho punto vale: V = 1 4πɛ 0 2e a 1 4πɛ 0 2e 2a = ( ) = 2.1 V.

36 (d) La energía potencial eléctrica del ion central es: E p = 1 4e 2 4πɛ 0 a La de cada uno de los otros iones vale: E p = 1 2e 2 4πɛ 0 a = = J. + 1 e 2 4πɛ 0 2a = ( ) = J. (e) La energía para llevar una carga de 3e desde el punto mencionado hasta el infinito es igual a: E p = Q(V V ) = 3e(0 2.1) = = J.

37 16.7 Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, suponiendo que la masa del núcleo es mucho mayor que la del electrón, que vale kg, y que éste gira alrededor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio. Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica. La energía eléctrica de un átomo es: E p = 1 e 2 4πɛ 0 r = = J. Para obtener la energía cinética imponemos que la fuerza sea igual a la masa por la aceleración (centrípeta): F = 1 e 2 4πɛ 0 r = m v2 2 r La energía total es por tanto: = E c = 1 2 mv2 = 1 2 E p. E t = E c + E p = 1 2 E p = J.

38 16.8 Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora cargada es el mismo que habría si toda la carga estuviera situada en el centro. Demuestra que en el interior el campo es nulo. Calcula el potencial debido a una esfera conductora cargada. Por simetría, el campo será radial (respecto del centro de la esfera) y su módulo sólo dependerá de la distancia al centro. Apliquemos la ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica con la esfera y de mayor radio que ésta: φ E = E ds = 4πr 2 E = Q T ɛ 0 = E = 1 4πɛ 0 Q T r 2. Como se ve, el campo es el mismo que produciría toda la carga si estuviera concentrada en el centro. El campo ha de ser nulo en el interior, pues de lo contrario la carga no estaría en equilibrio ya que se trata de un conductor. Toda la carga se reparte por la superficie. El potencial en el exterior es el mismo que el de una carga: V ext = 1 4πɛ 0 Q T r. En el interior el potencial es constante, ya que el campo es nulo, y su valor es igual al de la superficie: en donde R es el radio de la esfera. V int = 1 4πɛ 0 Q T R,

39 16.9 Un plano está uniformemente cargado con una densidad superficial de carga de C/m 2. Cuál es el valor del campo eléctrico por él producido? Determina la diferencia de potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2 m del plano, situados en partes opuestas. El módulo del campo eléctrico vale: E = ρ s 2ɛ 0 = 2π = N/C. El campo señala hacia el plano. La diferencia de potencial que nos piden es: V = V 2 V 1 = ρ s 2ɛ 0 ( x 2 x 1 ) = (2 1) = V.

40 16.10 El módulo de la densidad de carga superficial de cada uno de los planos de una doble capa eléctrica es de C/m 2 y la separación entre los planos es de 5 cm. Determina: (a) el campo eléctrico entre los planos, (b) la diferencia de potencial entre ambos, (c) la energía que cuesta mover una carga de 10 4 C a través de la doble capa, (d) la capacidad por unidad de área. (a) El campo eléctrico entre los planos va del positivo al negativo y su módulo vale: E = ρ s ɛ 0 = 4π = N/C. (b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campo por la separación entre ellos: V = E L = = V. (c) La energía que cuesta mover la carga mencionada es igual a: E = Q V = = 22.6 J. (d) La capacidad de la doble capa es: C = Q V = ρ s S (ρ s /ɛ 0 ) L. Entonces la capacidad por unidad de área de la doble capa es igual a: C S = ɛ 0 L = 1 4π = F/m 2.

41 16.11 El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctrica es de 800 V/m. La distancia entre las placas es de 0.2 m. Calcula: (a) la densidad superficial de carga, (b) la diferencia de potencial entre las planos, (c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula de 0.01 kg y 10 4 C situada en su interior, (d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa la partícula anterior si inicialmente se encuentra en reposo a igual distancia de las dos placas, (e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior. (a) La densidad superficial de carga es igual a: ρ s = Eɛ 0 = π = C/m 2. (b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campo por la separación entre ellos: V = E L = = 160 V. (c) La partícula sufriría una fuerza dada por: F = QE = = 0.08 N, y experimentaría una aceleración igual a: a = F m = = 8 m/s2. (d) y (e) Es más fácil calcular primero el último apartado. La energía que gana la partícula es igual a: E = Q V = = J.

42 Esta energía se invierte en cinética, por lo que la velocidad con la que la partícula llega a la placa es: v = 2 E m = = 1.26 m/s. 0.01

43 16.12 Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una constante dieléctrica de 7. La densidad superficial acumulada en cada una de las superficies es de C/m 2, en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcula: (a) el campo eléctrico en el interior de la membrana, (b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula, (c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl de la célula, (d) el potencial, respecto del que existe en el interior de la célula, de un punto en el interior de la membrana a 2 nm de su superficie interna, (e) la capacidad por unidad de área de la membrana. (a) El campo eléctrico en el interior de la membrana vale: E = ρ s = π = N/C. κɛ 0 7 (b) La diferencia de potencial es, en este caso, el campo por la anchura de la membrana: V = E L = = V. El potencial es menor en el interior que en el exterior. (c) La energía necesaria para sacar un ion cloro es: E = Q V = = J. (d) El potencial del punto mencionado será: V = Ex = = V. (e) La capacidad de la membrana vale: C = Q V = ρ s S (ρ s /κɛ 0 ) L.

44 Entonces la capacidad por unidad de área de la membrana es igual a: C S = κɛ 0 L = 7 4π = F/m 2.

45 16.13 Encuentra el campo eléctrico producido por una superficie cilíndrica de longitud infinita y radio R uniformemente cargada, con una densidad superficial de carga ρ s. Por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al eje del cilindro y su módulo sólo dependerá de la distancia al eje. Aplicamos la ley de Gauss a la superficie cilíndrica de la figura. Sólo el área lateral contribuye al flujo de E: φ E = L 2πr E = q T ɛ 0 = L 2πRρ S ɛ 0 = E = Rρ S rɛ 0.

46 16.14 Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superficies cilíndricas de radios R 1 y R 2, que comparten el mismo eje, y con densidades superficiales de carga ρ s 1 y ρ s 2, tales que el conjunto de las dos superficies es neutro. Obtén la diferencia de potencial entre las dos superficies. El campo fuera del cilindro externo y dentro del interno es nulo. Entre los dos cilindros el campo es igual al producido por el cilindro interno (ver el problema anterior): E = R 1ρ S 1 rɛ 0. La diferencia de potencial entre las dos superficies es la integral del campo: V 1 V 2 = R2 R 1 R 1 ρ S 1 rɛ 0 dr = R 1ρ S 1 ɛ 0 ln R 2 R 1.

47 16.15 Tenemos una estufa de 1 kw conectada a la red de 220 V, que supondremos que es de corriente continua. Determina: (a) la resistencia de la estufa, (b) la intensidad eléctrica que la recorre, (c) el campo eléctrico en su interior si el filamento desenrollado mide 2 m. (a) La resistencia de la estufa viene dada por: P = V I = V 2 R = R = V 2 P = = 48.4 Ω. (b) La intensidad eléctrica que atraviesa la resistencia es: I = V R = = 4.55 A. (c) El campo eléctrico será la diferencia de potencial dividida por la longitud: E = V = 220 = 110 N/C. l 2

48 16.16 Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm de longitud está lleno de una disolución biológica con una resistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos una diferencia de potencial de 10 V entre sus extremos. Calcula: (a) la resistencia eléctrica del cilindro, (b) el campo eléctrico en el interior de la disolución, (c) la conductividad de la disolución, (d) la corriente que circula, (e) la potencia calorífica que se disipa. (a) La resistencia eléctrica viene dada por: R = ρ l S = π = Ω. (b) El campo eléctrico aplicado será: E = V l = = 83.3 N/C. (c) La conductividad es la inversa de la resistividad: σ = 1 ρ = (d) La intensidad de la corriente es: (e) La potencia que se disipa vale: = /(Ωm). I = V R = = A. P = V I = = W.

49 16.17 Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas en paralelo. El conjunto se alimenta con una diferencia de potencial de 100 V y entonces circula una corriente total de 10 A. Cuál es el valor de cada una de las resistencias? Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistencias se conectaran en serie, en vez de en paralelo? Cuando la dos resistencias están en paralelo la resistencia total viene dada por: 1 = 1 R T R + 1 R = 2 = R T = R R 2. Sabemos que: R T = V I = = 10 = R 2 = R = 20 Ω. Si conectamos las resistencias en serie, entonces tenemos: R T = R + R = 2R = I = V R T = = 2.5 A.

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