EJEMPLO 1. Solución: Definimos las variables originales como: = número de conejos. x = número de pollos.

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1 EJEMPLO. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía de forma que no se superen en conjunto las 8 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo puede albergar un máimo de kilogramos de pienso. Si se supone que un conejo necesita kilogramos de pienso al mes y un pollo kilogramos al mes que las horas mensuales de cuidados requeridos por un conejo son y por un pollo son y que los beneficios que reportaría su venta ascienden a y pesetas por cabeza respectivamente hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máimo. Solución: Definimos las variables originales como: número de conejos. número de pollos. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) f Las restricciones lineales del problema se formulas como: (para la disponibilidad del pienso) 8 (para la disponibilidad de horas) Finalmente tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:

2 El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: ma f ( ) s.a.: 8 El siguiente paso consistirá en pasar a la forma estándar esto es introducimos variables de holgura en las dos restricciones verdaderas obteniendo una vez realizadas las simplificaciones oportunas: ma s.a.: 8 La solución factible básica inicial es: 8 sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: 8 Continuamos con las siguientes iteraciones: / / / -/ -

3 Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: conejos pollos Z 8 pesetas. Este problema puede ser resuelto también gráficamente: D C y B y y 8 hora calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: () B () C () D (9) f () f(b) f(c) 8 f(d) 7 Por tanto obtenemos la misma solución: conejos y pollos con un beneficio máimo de 8 pesetas. 7

4 EJEMPLO. En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a pesetas y contiene gramos de polvorones gramos de mantecados y 8 gramos de roscos de vino. El segundo surtido se vende a pesetas y contiene gramos de polvorones gramos de mantecados y gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de kilogramos de polvorones kilogramos de mantecados y kilogramos de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar cajas. Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea máimo?. Solución: Definimos las variables originales como: número de surtidos del tipo. número de surtidos del tipo. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) f Las restricciones lineales del problema se formulan como: (para la disponibilidad de los polvorones) (para la disponibilidad de los mantecados) 8 (para la disponibilidad de los roscos) (para la disponibilidad de las cajas) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: 8

5 El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: ma f ( ) s.a.: 8 Observamos que la restricción de la disponibilidad de cajas implica la restricción de la disponibilidad de los mantecados por lo que esta última puede ser eliminada del problema. Teniendo en cuenta esta circunstancia y simplificando en el resto de las restricciones obtenemos la forma estándar: ma s.a.: La solución factible básica inicial es: sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: / / 9

6 Continuamos con las siguientes iteraciones: / / / -/ / -/ / / - - Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: 8 surtidos tipo surtidos tipo Z 8 pesetas. Notamos que al igual que ocurría para el ejemplo este problema puede ser resuelto también gráficamente donde idenficamos las variables por comodidad como e y (número de surtidos del tipo y del tipo respectivamente). El método de resolución gráfica quedará de la siguiente manera:

7 D C y B y y 8 y hora calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo. Notamos que el punto de corte de las tres rectas de las restriciones tomadas dos a dos es el mismo punto C: () B () C (8) D () f () f(b) f(c) 8 f(d) Por tanto obtenemos la misma solución: 8 surtidos del tipo y del tipo con un beneficio máimo de 8 pesetas. EJEMPLO. Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere hora de trabajo en la sección de montaje y de horas en la de pintura. Por su parte la fabricación de una mesa precisa de horas en la sección de montaje y de hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo mesas es doble que el de sillas. Cuál ha de ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máimo?.

8 Solución: Definimos las variables originales como: número de sillas. número de mesas. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) f Las restricciones lineales del problema se formulan como: 9 (disponibilidad de horas en la sección de montaje) 8 (disponibilidad de horas en la sección de pintura) Finalmente tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: ma f ( ) s.a.: 9 8 Obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura: ma s.a.: 9 8

9 La solución factible básica inicial es: 9 8 sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: 9 8 Continuamos con las siguientes iteraciones: / / / -/ / -/ / -/ -/ / -/ -/ Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: sillas mesas Z 7 veces el valor de venta de una silla. Notamos que de nuevo este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico donde idenficamos las variables por comodidad como e y (número de sillas y de mesas respectivamente). si pues obtenemos:

10

11 Solución: Definimos las variables originales como: número de unidades diarias del tipo. número de unidades diarias del tipo B. número de unidades diarias del tipo C. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) f Las restricciones lineales del problema se formulan como: (disponibilidad de tiempo de mano de obra) (disponibilidad de tiempo de revisión) (restricción de número de herramientas) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: f s.a.: ma ( ) Obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura:

12 ma s.a.: La solución factible básica inicial es: sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: Continuamos con las siguientes iteraciones: 8 / / - - / -/ - / -/ / -/ - -/ -/ -/ / - -/ -

13 Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: herramientas herramientas B herramientas C Z pesetas de beneficio máimo. EJEMPLO. Un dentista emplea a tres asistentes. En los dos sillones de su consulta se realizan trabajos de endodoncia y estomatología general. Un servicio de endodoncia requiere.7 horas de sillón. de trabajo de un asistente y. horas de trabajo del dentista. Un servicio de estomatología general requiere respectivamente.7 horas hora y. horas. Por cada servicio de endodoncia se obtiene un beneficio de pesetas y por cada servicio de estomatología general pesetas. Si tanto el dentista como sus asistentes trabajan 8 horas diarias cómo debe distribuirse el trabajo entre endodoncias y sesiones de estomatología general para que el beneficio diario sea máimo?. Solución: Definimos las variables originales como: número de endodoncias. número de sesiones de estomatología general. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( ) f Las restricciones lineales del problema se formulan como: (disponibilidad de tiempo de sillón) (disponibilidad de tiempo de asistentes) 8 (disponibilidad de tiempo del dentista) 7

14 Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: ma f ( ) s.a.: Simplificando la función objetivo entre obtenemos la forma estándar al introducir las correspondientes variables de holgura: ma s.a.: La solución factible básica inicial es: 8 sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: / / / 8 / / 8

15 Continuamos con las siguientes iteraciones: / -/ / / / -/ / -/ -/8 -/ 8 - -/ - - Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: 8 endodoncias sesiones de estomatología general Z 88pesetas de beneficio máimo. Este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico: D C y B. y..y 8.7.7y 9

16 hora calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: () B () C (8) D () f () f(b) 8 f(c) 88 f(d) Por tanto obtenemos la misma solución: 8 endodoncias y sesiones de estomatología general con un beneficio máimo de 88 pesetas. EJEMPLO. Una compañía de pulpa de papel posee dos regiones forestales la región I y la región II y dos molinos y B. Las capacidades de suministro mensual de madera de las regiones I y II son y toneladas respectivamente. El molino requiere por lo menos toneladas de madera al mes y el B al menos también al mes. Los costes de transporte en unidades monetarias por tonelada de cada región a cada molino son los siguientes: de la región I al molino desde la región I al molino B desde la región II al molino y desde la región II al molino B. Qué cantidad de madera debe transportarse desde cada región I y II a cada molino y B de forma que se minimice el coste total de transporte?. Cuál ese coste mínimo?. ay algún trayecto que no debe realizarse para conseguir dicho coste mínimo?. Solución: Definimos las variables originales como: toneladas transportadas de I a. B toneladas transportadas de I a B. toneladas transportadas de II a. toneladas transportadas de II a B. B La función a minimizar coste del transporte será:

17 ( B B ) B B f Las restricciones lineales del problema se formulan como: (oferta de la región I) B B B B (oferta de la región II) (demanda del molino ) (demanda del molino B) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: B B El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: min f ( B B ) B B s.a.: B B B B B B Cambiando de signo a la función objetivo e introduciendo variables de holgura y artificiales obtenemos la forma estándar: ma M M B B 7 8 B B 7 B B 8 B B 7 8 s.a.: La solución factible básica inicial es:

18 B B 7 8 sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: B B 7 - -M 8 - -M M -M M - M - M - M - -M -M 7 8 B B B M M M -M - M - M - - M -M -M 7 8 B B B M M - M M - - M - -M 8

19 B B B B Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: Z pesetas de coste mínimo. B B EJEMPLO 7. Sobre dos alimentos diferentes tenemos la siguiente información por kilogramo: limento Calorías Proteínas (gr) Precio (ptas) B allar el coste mínimo de una dieta formada sólo por este tipo de alimentos y que al menos aporte calorías y gramos de proteínas. Solución: Definimos las variables originales como: kilogramos de alimento. kilogramos de alimento B. La función a minimizar coste de la dieta será: ( ) f

20 Las restricciones lineales del problema se formulan como: (aportación mínima de calorías) (aportación mínima de proteínas) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: min f ( ) s.a.: Cambiando de signo a la función objetivo simplificando en las restricciones e introduciendo variables de holgura y artificiales obtenemos la forma estándar: ma M M s.a.: La solución factible básica inicial es: sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple:

21 - -M - -M - - -M -M M - M - -M -M Continuamos con las siguientes iteraciones: / - / -M / -/ M M -M M - - / / -/ Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: kilos de alimento. kilos de alimento B Z pesetas de coste mínimo Este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico sin más que identificar a las variables e y como las cantidades (kilogramos) de los alimentos y B respectivamente. sí pues obtenemos el siguiente dibujo:

22 C B y y y hora calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: () B (.) C (.) f () f(b) f(c) Por tanto obtenemos la misma solución: kilogramos del alimento y. del B con un mínimo de pesetas. Notamos que al movernos por los ejes de coordenadas que limitan la región de factibilidad la función objetivo crece hacia infinito por lo que en dichos puntos no puede alcanzarse el mínimo buscado. EJEMPLO 8. En una eplotación agraria de hectáreas se desean realizar diferentes labores como son: cultivar dos tipos de cereal (trigo y cebada) plantar dos tipos de frutales (perales y manzanos) y reforestar para lo cual se plantarán pinos y chopos. Los beneficios que se obtienen por cada hectárea cultivada de trigo y cebada son respectivamente y. unidades monetarias; así mismo por cada hectárea de perales se obtienen. u.m. y por cada hectárea de manzanos u.m. Por otro lado se obtiene una subvención por la reforestación y se otorgan u.m. por cada

23 hectárea de pinos y. u.m. por cada hectárea de chopos. Las normas de la eplotación obligan a utilizar al menos el % del total de la tierra en el cultivo de los cereales y como máimo un % de la tierra en cualquiera de las otras dos labores frutales o reforestación. Calcular cómo ha de repartirse la tierra para obtener un máimo beneficio. Solución: Definimos las variables originales como: hectáreas cultivadas de trigo. hectáreas cultivadas de cebada. hectáreas plantadas de perales. hectáreas plantadas de manzanos. hectáreas plantadas de pinos. hectáreas plantadas de chopos. La función a maimizar beneficio obtenido será: ( )... f Las restricciones lineales del problema se formulan como: (máimo de hectáreas)... ( ) ( ) ( ) (normas de la eplotación) (normas de la eplotación) (normas de la eplotación) Finalmente por su definición tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: El planteamiento del problema queda por tanto de la siguiente manera: 7

24 8 ma ( )... f s.a.: ( ). ( ). ( ). Simplificando las restricciones e introduciendo las correspondientes variables de holgura obtenemos la forma estándar: ma... s.a.: La solución factible básica inicial es: sí obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: Continuamos con las siguientes iteraciones:

25 7 / / -/ -/ -/ / 9 -/ -/ 7/ / / - - -/ / -/ -7/ -7/ -7/ / / 7/ -8/ -8/ -/ / / / -/ 7/ / 9 - / -/ Obtenemos por tanto la solución óptima cuyo valor es: Z 9 u.m. de beneficio. Esto es se cultivarán hectáreas de trigo y ninguna de cebada; únicamente se plantarán hectáreas de manzanos (ninguna de perales); además se reforestarán hectáreas con pinos y ninguna con chopos. Con todo esto se obtendrá un beneficio de 9 unidades monetarias. 9

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