Fundamentos de la prospección con radar de subsuelo.

Transcripción

1 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 73 Capítulo 3 Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. Resumen. La pospección con ada de subsuelo consiste en la emisión y popagación po un medio dado de ondas electomagnéticas, con la posteio ecepción de las señales eflejadas en discontinuidades del medio. En este capítulo se han comentado aquellos conceptos que nos siven paa entende este poceso. Los campos electomagnéticos quedan definidos mediante las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones ligan los campos eléctico y magnético con las fuentes que los poducen, a pati de una seie de paámetos constantes paa cada medio deteminado. Estas constantes definen electomagnéticamente el medio. En pospección con ada de subsuelo tes de estos paámetos son básicos paa compende qué se está egistando. Se tata de la conductividad, la pemitividad dieléctica y la pemeabilidad magnética. Estos tes paámetos son valoes complejos. Cuando efectuamos una medida con ada, los paámetos que se obtienen son los que se denominan valoes efectivos, es deci, combinaciones ente las pates eales e imaginaias de cada uno de los tes. Po ejemplo, la pate eal de la pemitividad elativa de un medio genea una coiente en fase con el campo eléctico aplicado, mientas que su pate imaginaia genea una coiente desfasada. Con la conductividad ocue al evés: su pate eal detemina la amplitud de la coiente desfasada y la imaginaia la de la coiente en fase con el campo eléctico aplicado. La conductividad efectiva se obtiene como la suma de la componente eal de la conductividad del medio y de la imaginaia de su pemitividad elativa. La pemitividad efectiva está fomada po la componente eal de la pemitividad elativa y la pate imaginaia de la conductividad del medio, que junto con la pulsación de la adiación,, indica el efecto de las cagas libes. A lo lago de esta memoia, cuando se habla en

2 74 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. geneal de pemitividad y de conductividad se hace efeencia a estos valoes efectivos, a no se que indique explícitamente que se tata de los valoes elativos del medio. A pati de la ecuaciones de popagación de una onda plana y amónica y de las elaciones de Maxwell se llega a expesiones paa la velocidad de popagación y paa la longitud de onda en función de estos paámetos del medio y de las caacteísticas de la adiación (fecuencia utilizada). Estas expesiones dependen del tipo de medio po el que se poduce la popagación: espacio libe, dieléctico pefecto, dieléctico, dieléctico de bajas pédidas o conducto. La atenuación que se poduce duante la popagación de una onda po un medio mateial puede obtenese consideando los factoes de expansión geomética del fente de ondas y el denominado facto de atenuación. Este último es una función también de los paámetos electomagnéticos del medio y de la fecuencia de la adiación. La atenuación debida a los efectos del medio es una función exponencial que detemina la disminución de enegía (y po lo tanto de amplitud) de la onda confome nos alejamos del foco donde se ha geneado. La amplitud de la onda que se ecibe en la antena es también dependiente del pocentaje de enegía que se ha eflejado en cada una de las discontinuidades del medio. Se definen los coeficientes de tansmisión y eflexión como los pocentajes de enegía efactada y eflejada especto a la enegía incidente en una supeficie deteminada. Estos coeficientes dependen de las impedancias electomagnéticas de los campos incidente y efactado o incidente y eflejado, juntamente con los ángulos de incidencia y efacción. En el caso paticula de un ada de subsuelo la incidencia puede considease nomal, es deci, que el ángulo de incidencia y el ángulo de efacción son ceo (apoximadamente). Con esta condición la expesión de estos coeficientes se simplifica, quedando únicamente en función de las pemitividades de los dos medios en contacto. 3.1 Intoducción. La pospección con geoada consiste en la emisión y ecepción de ondas electomagnéticas. A lo lago de este capítulo se pesentan bevemente los conceptos teóicos más impotantes, efeidos a campos electomagnéticos, en los que se basa la pospección con geoada. Podemos difeencia tes pates: la pimea se efiee a los paámetos electomagnéticos de los medios mateiales y a la popagación de las ondas electomagnéticas (capítulo 3). La segunda explica los fenómenos que se poducen duante la popagación de una onda electomagnética

3 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 75 en un medio mateial (capítulo 4): difacción, dispesión de la enegía y atenuación de la onda electomagnética. La tecea (capítulo 5) se centa en las caacteísticas de la emisión de un ada, en el funcionamiento de los equipos de ada y en los distintos métodos de tabajo que se utilizan. En ella se comentan los paámetos que definen un sistema de ada aéeo (el más desaollado actualmente), básicamente fomado po una antena que emite enegía y ota antena, situada en oto punto, que la ecibe, ya sea diectamente, ya sea tas habe sufido una eflexión en un cuepo anómalo situado en el medio aéeo. El ada es un sistema de detección que se empieza a utiliza duante la Segunda Guea Mundial paa la localización de aviones o bacos. Su funcionamiento básico consiste, en todos los casos, en la emisión de señales de deteminadas fecuencias paa detecta las eflexiones que se poducen en los objetos de inteés. El geoada es un ada diseñado paa que el medio po el que se popaga la enegía sea el subsuelo o cualquie oto medio mateial. Po lo tanto, la pospección con geoada se basa en la emisión y detección de ondas electomagnéticas que se popagan po un medio heteogéneo. La incidencia de esta enegía en las inhomogeneidades del medio povoca fenómenos de eflexión, efacción y de difacción, que pueden se detectados po una antena eceptoa que capta la enegía electomagnética tas su popagación po el medio mateial que, a menudo, suele se el subsuelo teeste. De este modo, con este método de pospección lo que se detectaá seán cambios en las popiedades electomagnéticas de los mateiales del subsuelo, ya que seán los paámetos que definen estas popiedades los que, juntamente con las caacteísticas de la onda emitida, deteminaán la popagación de la enegía po el medio. El objetivo básico de este método de pospección es el conocimiento de estuctuas supeficiales y la detección de objetos enteados, siendo su pincipal caacteística se un método de alta esolución no destuctivo. El método es simila a la sísmica de eflexión de pequeño ángulo, y los fenómenos asociados con la popagación de la enegía son básicamente los mismos, difeenciándose en el ango de fecuencias de las ondas utilizadas. El geoada emplea ondas de fecuencias mucho mayoes que las utilizadas en sísmica: la pospección con geoada tabaja nomalmente ente los 1 MHz y los 1 MHz, mientas que el ango de tabajo en pospección sísmica se sitúa ente los 1

4 76 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. Hz y los 1 Hz). A difeencia de la pospección sísmica, en la cual son las popiedades mecánicas de los mateiales las que igen la popagación de las ondas, con el geoada, las popiedades deteminantes seán las electomagnéticas: la pemitividad dieléctica, la conductividad y la pemeabilidad magnética. Las eflexiones se poducen debido a los contastes de estas popiedades. Po oto lado, las fecuencias que se utilizan en este método pemiten una esolución elevada en estudios supeficiales de un medio (Stewat et al., 1994). El pocesado de los datos es simila al que se ealiza en sísmica, pudiendo llega a utilizase en el tatamiento de tazas de geoada pogamas y métodos diseñados paa sísmica, aunque teniendo en cuenta las caacteísticas de polaización de las ondas electomagnéticas, de tal foma que existe una mayo analogía con las ondas s que con las ondas p Popagación de ondas electomagnéticas. La base teóica de este método de pospección es, po un lado los conceptos de óptica geomética, y po oto la teoía de campos electomagnéticos, cuyas ecuaciones básicas fueon fomuladas po Maxwell en 1867 elacionando los campos eléctico y magnético con sus fuentes. Estas elaciones se completan con las denominadas ecuaciones de continuidad, que especifican el compotamiento de estos campos en las zonas en las que existen distibuciones supeficiales de caga, es deci, ahí donde tenemos discontinuidades en el medio. A pati de estas ecuaciones se puede detemina el compotamiento de una onda de ada duante su popagación po un medio deteminado. Estas ecuaciones paa el campo eléctico y magnético, se fomulan (ej. Loain y Coson, 1972; Cacione, 1996) como:

5 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 77 D ρf B B E + M t D H + J t (3.1) Donde E es la intensidad del campo eléctico (medido en V/m), B es la inducción magnética (medida en W/m 2 ), M es la imanación (en A/m), H es la intensidad del campo magnético (A/m), D es el vecto de desplazamiento eléctico (medido en C/m 2 ), ρ f es la densidad de caga libe (C/m 3 ) y J (A/m 2 ) es la densidad de coiente debida al movimiento de cagas en la mateia, y compende tanto la densidad de coiente de cagas libes como la densidad de coiente de polaización y la densidad de coiente equivalente en mateia imanada. Las denominadas ecuaciones constitutivas elacionan la intensidad del campo eléctico y magnético con el desplazamiento eléctico y la inducción magnética, espectivamente. Paa medios homogéneos e isótopos, las ecuaciones constitutivas tienen una expesión sencilla, elacionando estas magnitudes po medio de la pemitividad dieléctica (ε), la conductividad (σ) y la pemeabilidad magnética (µ) del mateial: D εe B H µ J σe (3.2) En geneal, los medios estudiados son anisótopos. En este caso, la elación que existe ente estas magnitudes se expesa a tavés de los tensoes de la pemitividad, pemeabilidad y conductividad (Cacione, 1996):

6 78 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. ~ E D ε t B ~ µ H ~ E J σ + t J m (3.3) Donde J m es la densidad de coiente debida tanto a polaización como a magnetización del mateial a consecuencia de los campos eléctico y magnético aplicados, y las expesiones ~ ε, µ ~ y σ ~ suelen apoximase po tes tensoes de dimensión 3x3 (Cacione, 1996). Patiendo de las ecuaciones de Maxwell y con la ecuación geneal de popagación de ondas se pueden obtene las elaciones que igen la popagación de una onda electomagnética en función de las popiedades del medio po el que se poduce. Con estas elaciones es posible detemina la velocidad de popagación de la onda, la longitud de onda en el medio mateial y la atenuación que sufe la enegía duante la tayectoia Paámetos electomagnéticos de un medio. Los paámetos electomagnéticos (conductividad, pemitividad dieléctica y pemeabilidad magnética) son los que definen un medio al paso de una onda electomagnética Conductividad. La conductividad de un medio nos popociona una medida de la espuesta de sus cagas libes en pesencia de un campo eléctico exteno, siendo el facto de popocionalidad ente el campo libe aplicado y la densidad de volumen de coiente debido al movimiento de estas cagas libes. Es deci, popociona una

7 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 79 medida de la capacidad de un mateial de conduci coiente eléctica. Según la ley de Ohm: J f σe (3.4) Donde E es el campo eléctico exteno aplicado, Jf es la densidad volúmica de coiente debido a las cagas libes y σ es la conductividad del mateial que se expesa en mhos/m. Las unidades de medida de la conductividad, en el S.I., son mohs/meto o el equivalente de Siemens/meto. La conductividad de un medio es la invesa de su esistividad (medida en Ohmios meto, Ωm). En geneal podemos distingui ente mateiales conductoes, semiconductoes y aislantes. Petenecen al pime gupo aquellos mateiales cuya conductividad es mayo a 1 5 S/m, mientas que mateiales que pesentan una conductividad meno a 1-8 S/m se clasifican como aislantes, siendo los semiconductoes aquellos cuya conductividad se encuenta ente estos dos valoes. En muchos medios sucede que el contenido de agua en los poos del mateial y la composición química de ésta son los factoes que deteminan su conductividad, más que los ganos mineales que lo componen. En la mayo pate de las ocas y subsuelos en los que se ealizan estudios, la conductividad es pincipalmente electolítica ya que, excepto en el caso de existencias de mineales metálicos o de acillas, la mayo pate de los mateiales habituales pueden se consideados como aislantes. En estos medios la conducción eléctica se debe básicamente a la existencia de fluido (con iones disueltos) en poos y fisuas. Es deci, cuanto mayo sea el contenido de agua, el pocentaje de iones disueltos y la poosidad del medio, mayo seá su conductividad. En la tabla 3.1 se pesenta la conductividad y la esistividad de algunos mateiales abundantes en el subsuelo.

8 8 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. Acillas Aenas y gavas Suelos de cultivo Esquistos Cabón Aeniscas Conglomeados Dolomitas y calizas Agua salada Agua dulce Hielo maino "Pemafost" Tabla 3.1. Resistividad y conductividad de mateiales muy comunes en los estudios de pospección. La tempeatua afecta a la movilidad de los iones, de foma que influye en la conductividad electolítica. Po ello, cambia la tempeatua de los medios la conductividad puede vese modificada. En geneal, la conductividad es un paámeto fuetemente vaiable que no depende sólo de los cambios de mateiales del medio, ya que puede vaia dento de una misma fomación. En mateiales poosos este paámeto es fuetemente vaiable dependiendo de la natualeza de los iones disueltos en el fluido instesticial, de la satuación de agua, del númeo de poos y de su comunicación, ente otos factoes. En geneal, la conductividad eléctica se pesenta como un valo complejo: ' '' σ σ iσ (3.5) Donde σ es la pate eal de la conductividad compleja, y detemina la amplitud de la coiente en fase con la intensidad del campo eléctico exteno, y σ es la pate imaginaia de la conductividad compleja, que detemina la amplitud de la coiente desfasada especto al campo eléctico exteno y considea el etado en la espuesta de conducción que pesenta el mateial en pesencia de un campo eléctico vaiable con el tiempo (Sutinen, 1992).

9 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico Pemitividad dieléctica. La pemitividad dieléctica absoluta es una constante de popocionalidad ente la intensidad del campo eléctico exteno aplicado y el vecto desplazamiento eléctico, D : D εe (3.6) La pemitividad absoluta, ε (medida en el S.I. en F/m), se define como el poducto ente una pemitividad elativa del mateial (ε ), que es una constante 12 adimensional y la pemitividad dieléctica del vacío ( ε F/m): ε ε ε (3.7) La pemitividad dieléctica elativa es una constante que da una medida de la capacidad de polaización de un mateial en pesencia de un campo eléctico. Popociona un valo de la espuesta estática del mateial cuando está en pesencia de un campo eléctico exteno. La constante dieléctica elativa del vacío es 1. Paa la mayoía de los mateiales que podemos enconta en el subsuelo al ealiza una pospección electomagnética, los valoes de la pemitividad dieléctica elativa se encontaán ente 1 (la del aie) y 81, siendo esta última la constante dieléctica elativa del agua a 2º de tempeatua. La constante de popocionalidad (adimensional) ente la polaización de un mateial, P, y el campo exteno es la susceptibilidad, χ. P + ε E χε E + ε E (1 + χ) ε E ε ε E (3.8) D La constante dieléctica se epesenta en foma compleja (Mashall, DuBoff y Skitek, 1982; Tune y Siggins, 1994) como una expesión en la que la componente eal poduce una coiente en fase especto al campo eléctico exteno, y la componente imaginaia povoca una coiente en desfase especto a dicho campo eléctico, siendo: ' '' ε ε iε (3.9)

10 82 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. Donde ε es la pate eal de la pemitividad dieléctica compleja, llamada pemitividad eal y ε la pate imaginaia. Dividiendo la ecuación 3.9 po ε se obtiene una expesión simila paa la pemitividad elativa. Este paámeto y la conductividad están inteelacionados ente sí. La pate eal de la pemitividad dieléctica y la imaginaia de la conductividad genean una coiente que vaía en fase con el campo eléctico aplicado, mientas que la pate imaginaia de la constante dieléctica y la eal de la conductividad genean una coiente desfasada especto al campo eléctico. La componente imaginaia de la pemitividad dieléctica considea los etados en la espuesta a la polaización del mateial sometido a un campo electomagnético (Sutinen, 1992), es deci, indica el facto de pédidas dielécticas. Po oto lado también contiene el facto que indica las pédidas po conducción. De foma habitual se suele considea esta componente imaginaia como la suma de los dos factoes, tal como se expesa en la siguiente ecuación: '' σdc ε' ' ε d + (3.1) Donde es la pulsación del campo electomagnético exteno, ε d es el facto de pédidas dielécticas que se elaciona con la espuesta fente a los fenómenos de elajación asociados con las moléculas de agua y σ dc es la conductividad estática. Con estas consideaciones la expesión 3.9 queda como: σ ε ε ' i dc εd + '' (3.11) Paa altas fecuencias (ente 1 MHz y 1 MHz), en la mayo pate de los mateiales del subsuelo, los fenómenos de desplazamiento (o polaización) dominan sobe los fenómenos de conductividad. De esta foma, los medios suelen caacteizase a pati de su constante dieléctica. Paa fecuencias algo menoes el témino de la conductividad estática pedomina sobe el oto. Paa fecuencias bajas (po debajo de los 1 Hz) no se ha obsevado que este paámeto dependa

11 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 83 de la fecuencia del pulso, peo paa fecuencias más altas se apecia una dependencia ente ambos. Tanto la pate imaginaia como la pate eal de la pemitividad dieléctica pesentan vaiación en función de la fecuencia (figua 3.1). Hay difeentes mecanismos que caacteizan esta dependencia (Robet, 1996). Los dos utilizados más comúnmente son el modelo de Debye (ecuación 3.12 y figua 3.1) y el modelo de Cole-Cole (1941),también llamado de Maxwell- Wagne (ecuación 3.13). 1 Pemitividad dieléctica (eal y compleja) Modelo de Debye Pemitividad eal Pemitividad compleja 1E-1 1E+ 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7 1E+8 Fecuencia (MHz) Figua 3.1. Vaiación de la pate eal y de la pate imaginaia de la pemitividad dieléctica compleja en función de la fecuencia, a pati del modelo de Debye, paa el valo de la pemitividad a alta fecuencia de 81 y a baja fecuencia de 3.2 (valoes de Duke, 199). En los dos se considea la vaiación de la pemitividad dieléctica en función de la fecuencia, de la conductividad estática, σ dc, de dos valoes extemos de la pemitividad, ε s y ε, a baja fecuencia (el pimeo) y a muy alta fecuencia (el segundo) y del peiodo de elajación, τ. Cuando en un medio con moléculas que pueden polaizase en pesencia de un campo eléctico exteno se aplica una intensidad de campo eléctico entan en juego dos efectos contaios: po un lado la tendencia a la polaización (que tiende a oienta las moléculas) y, po oto, la agitación témica que tiende a desodena las moléculas. Cuando el campo eléctico exteno desapaece las moléculas tienden a ecupea su posición inicial. Al tiempo que invieten en este poceso, que se poduce gacias a la agitación témica que sigue actuando, se le denomina peiodo o tiempo de elajación.

12 84 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. εs ε σ() ε( ) ε + i (3.12) 1+ (iτ) ε ε ε ε( ) ε + (3.13) 1+ ) s σ( i 1 ξ (iτ) ε Donde α es un coeficiente que cumple: ξ Pemeabilidad magnética. Este paámeto (µ) es el que elaciona la inducción magnética, B, con la intensidad de campo magnético, H. Se mide en Heni/meto y se puede escibi como el poducto ente la pemeabilidad magnética del vacío ( µ 4π 1 H/m) y la pemeabilidad elativa del mateial: B µ µ H µ (1 + χ )H µ H (3.14) m 7 Siendo µ la pemeabilidad elativa del mateial, que depende a su vez de la susceptibilidad magnética del mismo, χ m, que a su vez es la constante de popocionalidad ente la imanación de un mateial y la intensidad de campo magnético exteno: M χ H (3.15) m La pemeabilidad compleja magnética elativa se puede escibi en foma compleja como: µ + χ (3.16) ' '' µ iµ 1 m La pate eal de esta expesión da idea de la enegía magnética almacenada en el mateial, y se le denomina pemeabilidad magnética elástica, mientas que la pate imaginaia detemina la cantidad de pédidas magnéticas debidas a coientes

13 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 85 tubillonaias, histéesis, viscosidad magnética del mateial, etc..., y se denomina pemeabilidad magnética viscosa. En la mayo pate de los mateiales que nos encontaemos en los estudios con geoada (excepto en aquellos que contengan mateiales feomagnéticos) se cumple que la pemeabilidad magnética es póxima a 1, no dependiendo de la fecuencia del campo magnético. La mayoía de los mateiales de la Tiea tienen un compotamiento isotópico especto a la pemeabilidad magnética, de manea que paa ealiza un tatamiento tensoial, como en el caso de la conductividad y de la pemitividad dieléctica, el tenso de este paámeto es una constante po una matiz identidad de dimensiones 3x3: µ ~ µi (3.17) La elación ente la pemeabilidad magnética en el vacío y la pemitividad dieléctica en el vacío se expesa como: 1 c ε µ m/s (3.18) Siendo c la velocidad de popagación de una onda electomagnética en el vacío Velocidad de popagación y longitud de onda. A pati de las cuato ecuaciones fomuladas po Maxwell en 1867 y una onda plana que se popaga en un medio, se pueden calcula las elaciones que definen la popagación de las ondas electomagnéticas en un mateial. Consideando el caso de una onda plana que se popaga en la diección, se obtiene la siguiente ecuación, habiendo supuesto una vaiación del campo amónica especto al tiempo, es deci, dependiente de e it :

14 86 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. E(, t) E e H(, t) H e (i t γ ) (it γ ) (3.19) Se obseva que la expesión tiene una pate que define la popagación de la onda con el tiempo, mientas que el oto témino muesta la disminución de la amplitud de la onda con la distancia ecoida, es deci, considea la atenuación de la onda electomagnética duante su popagación po el medio. El témino de la amplitud (que consta de una amplitud inicial en un punto dado y de un témino de atenuación con la distancia a dicho punto) depende de un facto de decaimiento γ: E () E e H () H e γ γ (3.2) Este témino γ es el denominado constante de popagación o númeo de onda complejo, que puede expesase en función de los paámetos electomagnéticos caacteísticos de cada medio (Stewat et al., 1994; Gacía, 1997) intoduciendo las elaciones que se contemplan en las ecuaciones de Maxwell: 2π γ i εε µ µ i ε µ i ε µ (3.21) c λ Donde c es la velocidad de una onda electomagnética en el vacío, es deci, una constante, λ es la longitud de la misma onda también en el vacío, ε la constante dieléctica del vacío, ε la constante dieléctica elativa del medio, µ la pemeabilidad magnética del vacío y µ la pemeabilidad magnética del medio. Consideando las componentes eal e imaginaia de la constante de popagación: γ α + i β (3.22) Es posible detemina el denominado facto de atenuación de la onda (la componente eal del númeo de onda complejo), y la constante de fase de la onda (la componente imaginaia del númeo de onda complejo), que detemina la velocidad de fase de la misma. La dependencia de estos dos paámetos depende también de la dependencia fecuencial que pesentan los paámetos

15 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 87 electomagnéticos del mateial. Las expesiones del facto de atenuación de la onda, α, y de la constante de fase, β, pueden escibise como (Tune y Siggins, 1994; Gacía, 1997): α Im β Re ε ε µ µ ε ε µ µ Im c Re c ε µ ε µ (3.23) Velocidad de popagación de una onda electomagnética en un medio mateial. El segundo paámeto (β) pemite detemina la velocidad de la onda en el medio mateial en el cual se está popagando, ya que: β (3.24) v Donde v es la velocidad de fase de la onda electomagnética. De esta foma, la expesión que se obtiene paa la velocidad de popagación de la onda es la siguiente: v β Re ε µ c µε σ ε (3.25) En medios no magnéticos, los más fecuentes, en los estudios con geoada, la expesión se simplifica ya que: µ 1. De foma que la expesión que comúnmente se podá utiliza es: c v (3.26) Re ε

16 88 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. Paa mateiales difeentes la velocidad, v, y la constante de popagación, γ, las expesiones desaolladas adoptan difeentes fomas, tal como se expesa en la tabla 3.2 (Mashall et al., 1982). Medio Velocidad Constante de popagación Espacio libe Dieléctico pefecto v c ε 1 3cm / ns v 1 εµ (m / s) β µ β c ε µ γ iβ i γ iβ(m 1 ε µ ε µ ) (m 1 ) Dieléctico ε ε' i σ Dieléctico de bajas pédidas v (m / s) β σ P << 1 v (m / s) ε' β Buen conducto σ P >> 1 ε' v (m / s) β γ α + iβ i i µε' 1 i γ α + iβ σ ε (m ' σ µε' 1 i (m 2ε' γ α + iβ πfµσ ( 1+ i) (m ) ) ) Tabla 3.2. Valoes de v y de g paa difeentes compotamientos del medio (Mashall et al., 1982). En muchos casos la pate imaginaia de la pemitividad dieléctica es pequeña fente a la pate eal. En la ecuación 3.1 podemos ve que esta pate depende de la conductividad del medio y del facto de pédidas dielécticas elacionado con la elajación en la molécula de agua. Cuando los medios son dielécticos o poco conductoes el témino asociado con la conductividad es pequeño. Si además se tiene en cuenta que las fecuencias habituales de tabajo están situadas ente los 1 MHz y los 1 MHz se puede considea que la pate imaginaia es mucho meno que la pate eal de la pemitividad ya que el témino asociado con la elajación de la molécula de agua y, po lo tanto, con la pate imaginaia de la pemitividad es pequeño (ve la figua 3.1). En estos casos la ecuación 3.26 puede simplificase y escibise como:

17 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 89 1 c v (3.27) ε ε µ ε En la figua 3.2 se dibuja la vaiación de la velocidad de la onda fente a la constante dieléctica a pati de la elación 3.27 (en línea continua), así como difeentes valoes puntuales medidos en divesos mateiales eales, dada su pemitividad dieléctica caacteística. Los valoes de la velocidad se han obtenido de las tablas pesentadas po Reynolds (1997). 3 Aie 25 Velocidad de la onda (cm/ns) Agua Pemitividad dieléctica elativa Figua 3.2. Vaiación de la velocidad fente a la pemitividad dieléctica elativa. Los puntos de la gáfica son valoes expeimentales obtenidos paa difeentes mateiales (Reynolds, 1997). La cuva está obtenida a pati de la ecuación La velocidad más elevada se obtiene paa el aie, mientas que el punto que pesenta meno velocidad en la gáfica epesenta al agua. Los mateiales del subsuelo están situados ente estos dos valoes. La gáfica epesenta la compaación ente los valoes expeimentales (tabulados) y la cuva obtenida al epesenta la ecuación Se obseva que la apoximación que popociona la ecuación 3.27 se ajusta adecuadamente a los esultados expeimentales.

18 9 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo Longitud de onda en un medio difeente del vacío. La longitud de onda en un medio dado, λ m, dependeá de la velocidad de fase (e indiectamente de la constante dieléctica efectiva del mismo) y de la fecuencia de la onda emitida. Como en la expesión apaeceán paámetos de la popagación en el vacío, podemos elacionala con la longitud de onda en el vacío: 2π β 2π 2π Re c λ m v (3.28) ε µ Re λ ε µ Donde λ es la longitud de la onda en el vacío. En medios no magnéticos (µ 1), la expesión se simplifica, quedando: λ λ m (3.29) Re ε La longitud de onda detemina la esolución vetical del geoada y dependeá de la fecuencia de emisión de la antena y de la constante dieléctica efectiva del mateial Atenuación. La atenuación de una onda electomagnética debido a las caacteísticas del mateial po el que se popaga es un tema que ha sido planteado en divesas ocasiones tanto teóicamente (Zonghou y Tipp, 1997; Cacione, 1996; Tune y Siggins, 1994) como a pati de simulaciones (Xu y McMechan, 1997; Cacione, 1996; Caspe y Kung, 1996).

19 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 91 La componente eal del facto de atenuación caacteiza el gado de disminución de la amplitud de la onda confome se aumenta la distancia al punto en el cual se ha geneado. A este paámeto se le denomina facto de atenuación (Cai y McMechan, 1995; Gacía, 1997), siendo sus unidades m -1 : α Im ε µ (3.3) c Puede obsevase que la atenuación depende de la componente imaginaia de la pemitividad dieléctica elativa del medio y de su pemeabilidad magnética elativa. El gado de atenuación de una onda electomagnética se define como el cociente ente las amplitudes de las oscilaciones de la onda en dos puntos sepaados una distancia. Si tomamos la ecuación de popagación de ondas, esta elación queda como: E E() α e (3.31) Si se toman logaitmos de esta expesión, podemos medi el gado de atenuación en nepes (en el caso de considea logaitmos nepeianos): E L ln α E() (3.32) Y en el caso de considea logaitmos decimales, se obtendá un paámeto del gado de atenuación que se mediá en decibelios: E L 2log 2(log e) α 8.686α E() (3.33) Siendo la atenuación específica el gado de atenuación de una onda po unidad de longitud:

20 92 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo Γ L 8.686α Im ε µ (3.34) λ Este paámeto pemite obtene el gado de decaimiento de la amplitud de la onda confome ésta se popaga po el medio mateial Paámetos efectivos. Los paámetos que definen el compotamiento electomagnético de los mateiales (pemitividad dieléctica y conductividad) tiene, tal como hemos visto al inicio de este capítulo, una pate eal y una pate compleja. Tanto la pate eal de la expesión de la conductividad como la pate imaginaia de la constante dieléctica compleja poducen una coiente en desfase especto al campo eléctico, mientas que la pate imaginaia de la conductividad y la pate eal de la pemitividad dieléctica povocan una coiente en fase especto al campo eléctico. Las coientes en fase especto al campo eléctico poducen una conductividad que se denomina efectiva y que es el valo mensuable de este paámeto (Tune y Siggins, 1994; Sutinen, 1992), mientas que las coientes en desfase, junto con el efecto de las cagas libes paa altas fecuencias (Cacione, 1996), poducen un etado del campo eléctico. De esta foma se definen los paámetos efectivos. La conductividad efectiva es la suma de los efectos de la componente eal de la conductividad compleja y del efecto de la componente imaginaia de la pemitividad dieléctica, que genea un campo eléctico en fase con el campo exteno: σ σ ' +ε' ' (3.35) ef La pemitividad efectiva está compuesta en pate po la componente eal de la pemitividad compleja, y en pate po el efecto de las cagas libes (pate imaginaia de la conductividad compleja), siendo impotante el etado del campo

21 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 93 eléctico debido al efecto de las cagas libes en el caso de altas fecuencias (Cacione, 1996). Este efecto es impotante a altas fecuencias y debe tenese en cuenta cuando se tabaja con unas antenas deteminadas: aquellas que emiten en la banda de las micoondas (antenas de 1 GHz y fecuencias supeioes): σ'' εef ε' (3.36) Son estos paámetos los que se pueden medi en expeiencias de laboatoio y los que se utilizan paa calcula la velocidad de popagación de la onda electomagnética po el medio así como la atenuación de la enegía que se poduce duante esta popagación. En los siguientes capítulos, aunque no se mencionen explícitamente los paámetos efectivos, se entiende que son los utilizados paa ealiza todos los cálculos y paa defini el compotamiento de las ondas electomagnéticas en los medios. Paa la mayo pate de medios que se pueden enconta, la componente de desfase de la conductividad es pequeña. De aquí en adelante, paa simplifica, cuando se hable de pemitividad dieléctica y conductividad, a menos que se indique lo contaio se estaá haciendo efeencia a la pemitividad dieléctica efectiva y a la conductividad efectiva, concetamente a su pate eal, ya que es el paámeto que puede medise expeimentalmente. Del mismo modo se haá efeencia a la pemitividad dieléctica elativa efectiva como ε, llamándola pemitividad dieléctica elativa Reflexión y efacción. Cuando la enegía electomagnética alcanza una discontinuidad en los paámetos electomagnéticos del medio, se poducen los fenómenos de eflexión y de efacción. Cuando la intefase es plana, la fecuencia de las ondas eflejadas y efactadas es la misma que la fecuencia de la onda incidente, siendo también el ángulo de eflexión igual al de incidencia.

22 94 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. La ley de Snell elaciona los ángulos de incidencia, eflexión y efacción con las velocidades de popagación de las ondas en los dos medios que están en contacto. En la figua 3.3. se pesenta esquemáticamente el poceso de incidencia de una onda electomagnética plana en un contacto ente dos mateiales difeentes, siendo el contacto también plano. La polaización de la onda electomagnética plana es pependicula al contacto en el caso de la figua 3.5.b y paalela al mismo en el caso de la figua 3.5.a. El pocentaje de enegía eflejada depende del contaste existente ente los paámetos electomagnéticos de los difeentes mateiales del medio. Este pocentaje nos define los coeficientes de tansmisión y de eflexión de la enegía. La impedancia de un campo electomagnético es el cociente ente el campo eléctico y el campo magnético, pudiendo defini una impedancia paa el campo electomagnético incidente, η 1, que coincidiá con la del campo magnético eflejado, y ota paa el campo electomagnético efactado, η 2, es deci, tansmitido: η 1 E H i i µ µ ε ε E H µ µ ε ε (3.37) η 2 E H t t µ µ ε ε 2 2 (3.38) A pati de las expesiones de las impedancias se pueden calcula los coeficientes de tansmisión y de eflexión de Fesnel de la enegía, como el cociente ente el campo incidente y el campo efactado en el pime caso, y el cociente ente el campo incidente y el campo eflejado en el segundo caso. Si ai es el ángulo de incidencia de la onda sobe la supeficie plana, y at es el ángulo de efacción, estos coeficiente adoptan la siguiente expesión: R T E E E t E i i η2 cos(at) η1 η cos (ai) + η cos(ai) cos(at) 2η2 cos(at) η cos(ai) + η cos(at) (3.39)

23 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 95 Donde T 1 2 es el coeficiente de Fesnel de efacción ente los medios supeio (1) e infeio (2), R 1 2 es el coeficiente de Fesnel de eflexión en el contacto ente los dos medios, E i el campo incidente, E el campo eflejado y E t el campo efactado o tansmitido. En los estudios que se ealizan con geoada, pueden simplificase estas expesiones ya que el sistema opea con eflexión de muy pequeño ángulo, pudiendo se consideados los ángulos de incidencia y de eflexión (en el caso de que la supeficie eflectoa sea plana) como de ceo gados, es deci, que se tabaja con incidencia nomal. En estas condiciones, los coeficientes de eflexión y de tansmisión únicamente dependen de la elación ente impedancias complejas. Si además se tabaja en medio no magnéticos, una apoximación adecuada paa la mayoía de los mateiales en los cuales se aplican estos estudios con geoada, la expesión de los coeficientes queda como: η1 η R η + η 1 2η2 T η + η ε ε ε ε 2 ε ε ε (3.4) Se puede obseva que la suma del coeficiente de eflexión (que epesenta el pocentaje de enegía eflejada de la enegía incidente) y del coeficiente de efacción (que epesenta el pocentaje de enegía tansmitida al segundo medio, de la enegía incidente), es la unidad. De las expesiones (3.39) y (3.4), se puede deduci que cuanto mayo sea la difeencia ente los paámetos electomagnéticos de los medios, mayo seá el coeficiente de eflexión, es deci, que a mayo contaste ente los dos medio en contacto, mayo pocentaje de la enegía incidente seá eflejada en la discontinuidad, y po lo tanto, tendemos un meno pocentaje de enegía tansmitida al medio infeio. Valoes de R elevados implican en un estudio con geoada, po una pate, la posibilidad de obseva en los egistos con más facilidad la onda eflejada,

24 96 Capítulo 3. Fundamentos de la pospección con ada de subsuelo. mientas que po oto lado la penetación del método disminuye y las eflexiones poducidas en contastes posteioes son de meno amplitud, ya que el pocentaje de enegía efactada es meno, lo que contibuye a que la amplitud de la onda en posteioes eflexiones sea meno. Emisoa Antenas Receptoa at Ángulo de efacción ai Ángulo de incidencia a Ángulo de eflexión Supeficie de eflexión Medio 1: σ, ε, µ Medio 2: σ, ε, µ a Emisoa Antenas Receptoa at Ángulo de efacción ai Ángulo de incidencia a Ángulo de eflexión Supeficie de eflexión Medio 1: σ, ε, µ Medio 2: σ, ε, µ b Figua 3.3. Refacción y eflexión de la enegía incidente en un contacto hoizontal. a) Onda electomagnética polaizada hoizontalmente (paalela al plano de incidencia). b) Polaizada veticalmente (pependicula al contacto).

25 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico 97 Cuando el cociente de la ecuación 3.39 se ealiza con amplitudes en luga de con enegía se obtienen las siguientes expesiones paa el coeficiente de eflexión en amplitud, que se suele epesenta como y paa el coeficiente de tansmisión en amplitud, nomalmente epesentado como t: A A A t A t i i (3.41) Donde A i es la amplitud de la onda incidente en la discontinuidad, A la amplitud de la onda eflejada y A t la amplitud de la onda efactada o tansmitida. Los coeficientes de eflexión y tansmisión de las ecuaciones 3.4 y 3.41 y los coeficientes de la ecuación 3.41 están elacionados ente sí de la siguiente manea (Loenzo, 1996): R T t 2 2 (3.42)