Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Transcripción

1 695 Aálisis matmático para Igiría M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA CAPÍTULO Sistmas d cuacios difrcials lials d primr ord Cuado s studia matmáticamt ua situació d la ralidad, l modlo qu s obti sul tr u caráctr o lial, sido sto lo qu l cofir, la maoría d los casos, ua gra dificultad Uo d los procdimitos más utilizados dtro d la Matmática, d la Cicia gral, cuado s aborda u problma difícil, s cosidrar u problma más scillo qu sa, algú stido, ua bua aproimació dl atrior Al studiar st sgudo problma s itta obtr, d las coclusios, algú tipo d rsultado para l problma primitivo Ua d las formas más usuals d simplificar l problma s lializarlo Si s quir studiar u problma o lial, l primr paso obligado s studiar l problma lial asociado d la mara más complta posibl para podr aalizar así qu ocurrirá l caso o lial El studio d los sistmas lials o s difícil umrosas ocasios s pud obtr rsultados cocluts pus la structura algbraica d las solucios s scilla a vcs s pud dar ua dscripció d la misma térmios d fucios lmtals U sistma d cuacios difrcials d ord suprior s trasforma u sistma d primr ord añadido más variabls Por sta razó l capítulo s ctra l studio d los sistmas d cuacios difrcials

2 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 696 lials d primr ord La scció comiza ralizado ua primra aproimació tr los sistmas lials las cuacios difrcials d ord suprior stablcido los tormas d istcia uicidad E la scció s dsarrolla la toría gral d la structura d las solucios d los sistmas lials d primr ord qu s similar a la d las cuacios lials d ord suprior Así l cojuto d solucios d u sistma lial d primr ord homogéo ti structura d spacio vctorial l o homogéo d spacio afí La scció stá ctrada los métodos d rsolució d los sistmas lials homogéos co coficits costats Utilizado la toría algbraica para calcular los autovalors autovctors d ua matriz s stablc u procdimito qu prmit rsolvr l sistma Otro forma d rsolvr sistmas lials s utilizado la pocial d ua matriz, qu s l cotido d la scció 4 El capítulo trmia co la scció 5 la qu s dsarrolla los métodos d rsolució d sistmas lials o homogéos, los qu d uvo s obsrva u parallismo co los studiados l capítulo atrior para rsolvr las cuacios lials compltas d ord suprior SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES U sistma d cuacios difrcials d ord suprior pud trasformars fácilmt u sistma d primr ord si más qu añadir más variabls: si l sistma d ord suprior s lial tambié lo s l d

3 697 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA primr ord Por sta razó, si pérdida d gralidad, s posibl studiar úicamt los sistmas d cuacios difrcials d primr ord Cocptos prvios Dfiició : U sistma d k cuacios difrcials d ord suprior prsado d la forma f(, (), (), (),, ) ()) s domia lial cuado la fució vctorial f s ua fució lial co rspcto a la fució () a todas sus drivadas E particular u sistma d cuacios difrcials d primr ord prsado d la forma f(, (), ()) s domia lial cuado la fució vctorial f s ua fució lial rspcto a () () Cuado s posibl dspjar l sistma s scrib d la siguit forma: ( ) f(,,, ' ( ) f(,, ( ) f(,,, ) ) ) f,,f : S R R sido f, f,, f fucios lials rspcto a las variabls,,,, s dcir, tambié s pud prsar: ( ) a( )( ) a( )( ) a ( )( ) b ( ) ( ) a( )( ) a( )( ) a( )( ) b( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) b ( ) () sido a ij () b i () fucios dfiidas u itrvalo (a, b), i, j {,,, }

4 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 698 El sistma atrior s pud prsar forma vctorial: () A() () b(), sido A() ua matriz cuadrada d ord, formada por las fucios a ij () b(), (), () fucios vctorials d dimsió dfiidas u itrvalo (a, b) d R E l capítulo 9 s dsarrolló ua mara atural d asociar a cada cuació difrcial ordiaria d ord u sistma quivalt d cuacios difrcials d primr ord; así mismo, dado u sistma s pud dtrmiar ua cuació difrcial d ord suprior asociada, auqu o ha quivalcia a qu la cuació pud tr solucios qu o lo so dl sistma como s mustra l jmplo E sta trasformació tr sistmas d primr ord cuacios d ord, la propidad d lialidad s cosrva como s dmustra la siguit proposició Proposició : Si ua cuació difrcial d ord s lial tambié s lial l sistma asociado d cuacios difrcials d primr ord rcíprocamt si l sistma s lial tambié lo s su cuació difrcial asociada Dmostració: Dada la cuació difrcial lial: ) P () -) P - () P () G(), ralizado l cambio d variabl: ; ; ; -), s obti ), por lo tato la cuació s trasforma l sistma:

5 699 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA ( ) P ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) G( ) qu s u sistma d cuacios difrcials lials d primr ord Rcíprocamt si,,, so solucios dl sistma () al drivar la primra cuació co rspcto a : a a a a a a b sustituir las drivadas,,, por sus prsios l sistma () s obti d d d h S driva sta prsió co rspcto a, s sustitu dl modo atrior s obti () d d d h S rpit l procso hasta la drivada d ord s calcula: ) () d d d h D sta forma s obti l siguit sistma: ( ) a( )( ) a( )( ) a ( )( ) b( ) ' ( ) d( )( ) d( )( ) d( )( ) h( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) h ( ) () D las primras cuacios s calcula,,, fució d, la fució sus drivadas hasta l ord, al itroducir stas prsios la última cuació d () s obti la cuació difrcial lial d ord : ) () Q () -) Q - () Q () H()

6 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 Dfiició : U sistma d cuacios difrcials lials d primr ord co coficits costats s prsa d la siguit forma: ( ) a( ) a( ) a ( ) b( ) ' ( ) a( ) a( ) a( ) b( ) ( ) a ( ) a ( ) a ( ) b ( ) dod a ij R, b i () so fucios rals d variabl ral Si para todo i, i, b (), R, l sistma s domia homogéo i Las quivalts cuacios matricials so: () A () b() para u sistma o homogéo () A () para u sistma homogéo, dod A s ua matriz d úmros rals, cuadrada d ord, A (aij) Tormas d istcia uicidad Los tormas fudamtals d istcia uicidad d las solucios d u problma d valor iicial para sistmas lials d cuacios difrcials d primr ord s pud uciar d forma similar a los obtidos para sistmas d cuacios difrcials d primr ord s dmostrará a partir d llos Torma : Torma d istcia uicidad Sa A() ua fució matricial cuadrada d ord, b() ua fució vctorial, cotiuas u itrvalo (a, b) d R, sa () A() () b() u

7 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA sistma lial d cuacios difrcials d primr ord Sa (a, b), si s impo la codició iicial ( ) ( ( ), ( ),, ( )) (,,, ), tocs ist ua úica fució vctorial ϕ() (ϕ (), ϕ (),, ϕ ()) qu s solució dl sistma vrifica las codicios iicials Dmostració: E l torma 9 d istcia dl capítulo 9 para sistmas d cuacios difrcials d primr ord para garatizar la istcia s igía la cotiuidad d las fucios f k (, ), para todos los valors d k tr E ustro caso particular f k (, ) j akj ( ) j ( ) b k () Como por hipótsis las fucios a kj () b k () so fucios cotiuas l itrvalo (a, b) s ti garatizada la istcia d solució d cualquir problma d valor iicial s itrvalo Admás las drivadas parcials d las fucios fk(, ), rspcto d las variabls j () so prcisamt las fucios a kj () qu por hipótsis so cotiuas por lo tato, por l torma 9, s asgura la istcia uicidad local d la solució para u problma d valor iicial, dicha solució pud tdrs a todo itrvalo l qu sa cotiuas las fucios a kj () b k () Es itrsat obsrvar qu para sistmas lials l itrvalo maimal d istcia d cualquir solució s l mismo itrvalo para cualquir codició iicial, coicid co l itrvalo domiio d dfiició d las fucios A() b(), mitras qu si l sistma s o lial l itrvalo maimal d istcia dpd d la codició iicial

8 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 Ejmplos rsultos Ejmplo : Clasificar los siguits sistmas lials o o lials, homogéos o o homogéos, d primr ord o d ord suprior a) ) (D ) (D b) ' ' ' c) ' ' El sistma dl apartado a) s lial, o homogéo d ord dos El sistma dl apartado b) s lial, homogéo d primr ord El sistma dl apartado c) s o lial, homogéo d primr ord Los trs jmplos ti los coficits costats Ejmplo : Eprsar forma matricial l sistma lial asociado a la cuació difrcial lial homogéa a a a Ralizado l cambio d variabl ;,, s obti ) ( a ) ( a ) ( a ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ', por lo tato la cuació s trasforma l sistma: qu prsado forma matricial: ) ( ' ) ( ' ) ( ' a a a ) ( ) ( ) ( Ejmplo : Calcular ua cuació difrcial d ord dos asociada al sistma ' ' comprobar qu ti solucios qu o so

9 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA solucios dl sistma La solució d gral d st sistma s: K K K ; K, o ist ua cuació difrcial lial d sgudo ord qu tga stas solucios, así por jmplo drivado la primra cuació s ti Ua solució d sta cuació so las fucios costats qu si mbargo o so solució dl sistma d partida Ejmplo 4: Obtr ua cuació difrcial d sgudo ord asociada al sistma ' ', a partir d sus solucios rsolvr l sistma Drivado la primra cuació s ti Sustitudo los valors d dl sistma s ti: 7 6 S cosidra l sistma las variabls ' : S '' 7 6 dspja la primra cuació: ( ), s sustitu la sguda, co lo qu s obti la cuació 4 La solució gral d sta cuació difrcial s K 4 K - Sustitudo tato como su drivada s obti: K 4 K - Por lo tato la solució gral dl sistma s:

10 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 4 k k Ejrcicios Calcular la cuació difrcial asociada a cada uo d los siguits sistmas a partir d sus solucios obtr la solució gral dl sistma a) ' ' ' b) ' ' Eprsar forma matricial l sistma lial asociado a la cuació difrcial lial homogéa Rsolvr l sistma ' ' a partir d las solucios d la cuació difrcial d ord dos asociada a st sistma

11 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Dpdcia idpdcia lial Dfiició : Dado u cojuto d fucios vctorials {,,, } dfiidas u itrvalo (a, b) s dic qu so lialmt dpdits l itrvalo (a, b), si ist costats α, α,, α o todas ulas, tals qu: α () α () α (), (a, b) Si por l cotrario s vrifica qu sta idtidad solamt s cumpl cuado α α α, tocs s dic qu las fucios {,,, } so lialmt idpdits l itrvalo (a, b) Dfiició : Dado u cojuto d fucios vctorials {,,, }, co k () ( k (), k (),, k ()), k, s domia wroskiao d stas fucios s dota por W[,,, ] a la fució dfiida por l siguit dtrmiat: W[,, ]() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s dcir W[,, ]() dt [,, ]() Proposició :

12 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 76 Si las fucios,,, so lialmt dpdits l itrvalo (a, b), tocs su wroskiao s itrvalo s la fució ula Dmostració: Si las fucios so lialmt dpdits ua d llas k s pud prsar como combiació lial d las otras por lo tato, la columa k- ésima dl dtrmiat s pud prsar como ua combiació lial d las otras columas, lo qu supo qu l dtrmiat s cro Esta proposició pruba qu si u cojuto d fucios vctorials s lialmt dpdit tocs so lialmt dpdits los vctors uméricos qu s obti al hallar las imágs d stas fucios cada puto El rcíproco o s cirto, para algú valor d pud sr dichos vctors lialmt dpdits o srlo las fucios Si los vctors so lialmt idpdits para algú valor,, tocs s pud asgurar qu so lialmt idpdits las fucios Pro icluso pud ocurrir qu para cada valor los vctors sa lialmt dpdits sr lialmt idpdits las fucios Esta aomalía d qu uas fucios lialmt idpdits puda tr valors u puto qu o lo sa, dsaparc si las fucios so solució d u mismo sistma lial homogéo Estructura d las solucios dl sistma homogéo

13 77 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA E los siguits tormas s supo u sistma d cuacios difrcials lials d primr ord prsado forma vctorial () A() () sido A() ua fució matricial cuadrada d ord, cotiua u itrvalo (a, b) d R, (), () fucios vctorials d R R Torma Sa,,, solucios lialmt idpdits dl sistma () A() () l itrvalo (a, b) Etocs, dadas costats c, c,, c, la fució c k k s tambié solució dl sistma l itrvalo (a, b) k Dmostració: Las fucios k (), k, so solucios dl sistma, por tato vrifica k () A() k () Por sr la drivada lial s ti qu: d d c k k k c k k d d k ck A( ) k ( ) k A( ) ck k ( ) k Torma 4: Si las fucios,,, so solucios lialmt idpdits l itrvalo (a, b) dl sistma () A() () tocs su wroskiao o s aula igú puto d s itrvalo Dmostració: S dmustra l torma por rducció al absurdo, por lo qu s supo qu ist algú (a, b) tal qu W[,,, ]( ) Por lo tato ua columa dl wroskiao s ua combiació lial d las otras S supo qu s la primra, tocs:

14 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 78 ( ) c ( ) c ( ) c ( ) Sa z() () c () c () c (), (a, b) Esta fució s solució dl sistma por sr ua combiació lial d solucios; admás z(), lugo l puto la fució z() coicid co la fució ula, qu tambié s solució dl sistma Por l torma d uicidad d solucios z(), (a, b), lo qu cotradic qu las fucios,,, sa lialmt idpdits (a, b) Torma 5: Si las fucios,,, so solucios dl sistma lial d cuacios difrcials () A() () u itrvalo (a, b), tocs su wroskiao s itrvalo o s la fució ula o o s aula igú puto d dicho itrvalo Dmostració: S pud comprobar la siguit prsió para la drivada dl wroskiao: W [,,, ] W[,,, ] W[,,, ] W[,,, ] Como,,, so solucios dl sistma para todo k, tal qu k, s vrifica qu k () A() k () Sustitudo la prsió atrior s ti qu W [,,, ]() (a () a () a ()) W[,,, ]() qu s ua cuació difrcial lial d primr ord qu ti por solució W[,,, Traza( A( )) d ]() C Como la fució pocial o s aula, s ti qu W[,,, ]() sólo cuado C s igual a, por lo qu W[,,, ]() s la fució ula o o s aula igú puto dl

15 79 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA itrvalo (a, b) D la dmostració d st torma s dduc qu: W [,,, ]() traza(a) W[,,, ]() corolario: Como coclusió d los tormas atriors s ti l siguit Corolario 6: Si las fucios,,, so solucios dl sistma lial homogéo d cuacios difrcials () A() () l itrvalo (a, b), las trs codicios siguits so quivalts: a) Las fucios,,, so lialmt idpdits (a, b) b) Eist u (a, b) tal qu W[,,, ]() s distito d cro c) Para todo (a, b) s vrifica qu W[,,, ]() s distito d cro Es vidt qu: a) b) por l torma 4, b) a) por l torma, b) c) por l torma 5, c) b) trivial Dfiició : S llama sistma fudamtal d solucios dl sistma lial homogéo () A() () u itrvalo (a, b), a cualquir cojuto d solucios lialmt idpdits (a, b)

16 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 Torma 7: Simpr ist u sistma fudamtal d solucios dl sistma lial homogéo d primr ord () A() (), l itrvalo (a, b) Dmostració: Sa (a, b) Por l torma d istcia d solucios s sab qu ist fucios k (), para k dsd hasta, qu so solució dl sistma cada ua vrifica la codició iicial siguit: ( ) (,,, ), ( ) (,,, ),, ( ) (,,, ), Las fucios (), (),, () so lialmt idpdits, a qu si ist costats c, c,, c tals qu c () c () c () (a, b), s ti qu: ck k k ( ) c ck k k ck k k ( ) c ( ) c E coscucia las fucios so lialmt idpdits por lo tato forma u sistma fudamtal d solucios Torma 8: Si {,,, } s u sistma fudamtal d solucios dl sistma lial homogéo d primr ord () A() (), l itrvalo (a, b),

17 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA tocs toda solució ϕ() (ϕ (), ϕ (),, ϕ ()) dl sistma s pud prsar d la forma ϕ() ck k ( ), dod c, c,, c so costats k Dmostració: Sa {,,, } u sistma fudamtal d solucios, ϕ ua solució dl sistma () A() (), u puto dl itrvalo (a, b), tocs por l corolario 6, W[,,, ]( ) S dtrmia ϕ( ), ϕ ( ),, ϕ ( ) s cosidra l siguit sistma d cuacios las icógitas c, c,, c : ck k ( ) ϕ( ) k ck k ( ) ϕ( ) k ck k ( ) ( ) ϕ k Como W[,,, ]( ) s l dtrmiat d la matriz d los coficits s distito d cro, l sistma ti solució úica, s dcir ist c, c,, c costats qu vrifica las cuacios por l torma d uicidad ϕ c k k k Torma 9: Sa Λ l cojuto d solucios dl sistma lial homogéo d primr

18 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 ord () A() () l itrvalo (a, b) Etocs Λ ti structura d spacio vctorial d dimsió Dmostració: Como l torma garatiza la lialidad d las solucios dl sistma () A() (), admás s vrifica los aiomas d spacio vctorial, s ti qu Λ l cojuto d solucios dl sistma lial homogéo ti structura d spacio vctorial U sistma fudamtal d solucios dl sistma, qu ist como rsultado dl torma 7, s ua bas dl spacio vctorial Λ a qu: a) Es u sistma d gradors, pus por l torma 8 cualquir solució s pud prsar como combiació lial d los lmtos dl sistma fudamtal d solucios b) Por dfiició so fucios lialmt idpdits S pud obsrvar qu cada solució o pud dpdr d más d solucios idpdits, a qu supoido qu hubira particularizado u puto s cotraría vctors d R lialmt idpdits, qu s imposibl Corolario : Sa {,,, } u sistma fudamtal d solucios dl sistma lial homogéo () A() () l itrvalo (a, b) La solució gral d st sistma s pud prsar d la forma: ϕ() ( ) ( ) ck k ( ) c k c ( ) ( )

19 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Matriz fudamtal Dfiició 4: S domia matriz fudamtal dl sistma lial homogéo () A() () a ua matriz Φ() cuas columas so solucios lialmt idpdits dl sistma, s dcir, so u sistma fudamtal d solucios u itrvalo (a, b), ( ) ( ) Φ() ( (), (),, ()) ( ) ( ) Dfiició 5: S domia matriz solució dl sistma lial homogéo () A() () a ua matriz ψ() cuas columas so solucios dl sistma, sa lialmt idpdits o o Dfiició 6: S domia matriz fudamtal pricipal dl sistma lial homogéo () A() () a ua matriz fudamtal Φ() tal qu para u valor vrifiqu qu Φ( ) I, sido I la matriz idtidad E alguos ttos s dic qu ua matriz d solucios lialmt idpdits s fudamtal cuado admás s pricipal La solució gral d u sistma homogéo s pud prsar térmios d la matriz fudamtal dl sistma: Φ() C, dod C s u vctor d costats idtrmiadas Ua matriz fudamtal quda caractrizada por vrificar:

20 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 a) Φ () A() Φ(), pus s ua matriz solució, b) Su dtrmiat s distito d cro Propidads d la matriz fudamtal: Fórmula d Jacobi: Si ψ () s ua matriz solució tocs: (dtψ) () traza(a()) dtψ () ( ) dt( Ψ )) dt Ψ( traza( A(s ))ds 5 Rsultados qu a ha sido comtados la dmostració dl torma Sa Φ() ua matriz solució Φ() s ua matriz fudamtal si sólo si ist algú (a, b) tal qu dt(φ( )) s distito d cro Es ua coscucia dl corolario 6 Si Φ s ua matriz fudamtal tocs cualquir otra matriz fudamtal s d la forma Φ P dod P s ua matriz rgular d ord Si mbargo, como l producto d matrics o s csariamt comutativo, P Φ pud o sr ua matriz fudamtal 4 Si Φ s ua matriz fudamtal s compruba qu: ( ) G( ) P ( ) Φ( ) C Φ( ) Φ (s ) b(s ) ds Esta fórmula s studia postriormt 5, s cooc co l

21 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA ombr d fórmula d variació d las costats 5 Si Φ s ua matriz fudamtal, si s cosidra l problma d valor iicial: ' ( ) A( ) ( ) b( ) ( ) dod (, ) (a, b)r tocs la úica solució s: ( ) Φ( ) Φ ( ) Φ( ) Φ (s ) b(s ) ds S obsrva qu coocida la matriz fudamtal s pud obtr l cojuto d solucios dl sistma homogéo, qu si s pudira calcular la itgral qu aparc la propidad 4 s tdría d mara plícita todas las solucios Dsgraciadamt, ist pocos tipos d sistmas los qu s pud cotrar d mara plícita la matriz fudamtal 4 Estructura d las solucios dl sistma o homogéo El cojuto d solucios d u sistma lial d primr ord o homogéo ti structura d spacio afí, sido su spacio vctorial asociado l cojuto d solucios dl sistma lial homogéo El dsarrollo para obtr st rsultado s mu similar al qu s ralizaba para dtrmiar la structura d las solucios d las cuacios difrcials d ord suprior Prviamt s dmustra qu ua solució gral dl sistma o homogéo s pud obtr a partir d ua solució particular d ést la solució gral dl sistma homogéo Est rsultado, qu a s studió

22 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 76 para las cuacios lials d primr ord d ord suprior, s scial para rsolvr sistmas o homogéos Torma : Sa A() ua fució matricial b() ua fució vctorial, cotiuas u itrvalo abirto (a, b) Si,,, so solucios lialmt idpdits dl sistma lial homogéo d primr ord () A() () l itrvalo (a, b) ϕ P s ua solució cualquira dl sistma o homogéo () A() () b(), tocs para toda solució ϕ d st sistma, ist costats c, c,, c, tals qu ϕ pud prsars por ϕ ϕ P c k k k Dmostració: Sa ϕ ua solució arbitraria dl sistma () A() () b() Como ϕ P tambié s solució s ti qu ambas fucios vrifica l sistma, por lo qu ϕ () A() ϕ() b() ϕ P () A() ϕ P () b() Por lo tato rstado ambas igualdads: ϕ () ϕp () A() (ϕ() ϕ P ()), s dcir, ϕ ϕ P s ua solució dl sistma homogéo Por l torma 8 ist costats c, c,, c, tals qu ϕ ϕ P c k k ϕ ϕ P k c k k, d dod s dduc qu la solució gral k ϕ dl sistma o homogéo s pud prsar como la suma d ua solució particular d ést, ϕ P, más la solució gral dl sistma homogéo

23 77 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA asociado c k k k Torma : Sa A() ua fució matricial b() ua fució vctorial, cotiuas u itrvalo abirto (a, b) El cojuto d solucios dl sistma o homogéo () A() () b() ti structura d spacio afí d dimsió costruido sobr l spacio vctorial d solucios dl sistma homogéo () A() () Sa Λ l cojuto d solucios dl sistma homogéo, qu por l torma 9 ti structura d spacio vctorial d dimsió, sa I l cojuto d solucios dl sistma o homogéo La aplicació h: I I Λ, dfiida por h(ϕ, ϕ ) ϕ ϕ structura a I como spacio afí a qu: Si ϕ, ϕ I (ϕ ϕ ) (ϕ ) (ϕ ) (A() ϕ () b()) (A() ϕ () b()) A() (ϕ ϕ )() ϕ ϕ Λ Admás s vrifica los aiomas d spacio afí: º ϕ I ψ Λ tocs ϕ Ξ, tal qu h(ϕ, ϕ ) ϕ ϕ ψ Basta tomar ϕ ϕ ψ I Es vidt qu ϕ I a qu ϕ () (ϕ ψ) () ϕ () ψ () A() ϕ () b() A() ψ() A() (ϕ ψ)() b() A() ϕ () b() º Si ϕ, ϕ, ϕ I tocs h(ϕ, ϕ ) h(ϕ, ϕ ) h(ϕ, ϕ ), lo qu s vrifica a qu ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

24 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 78 Ejmplos rsultos Ejmplo : Comprobar qu Φ () Φ () so matrics fudamtals dl sistma: ' ' La matriz d los coficits s A Para comprobar qu Φ () s solució dl sistma A, s db vrificar qu Φ () A Φ Φ () () coicid co A Φ A Φ () a qu () Por lo tato s ua matriz solució como admás s rgular (pus su dtrmiat val 4 4 Aálogamt Φ por lo qu s distito d cro), tocs s ua matriz fudamtal () A Φ (), por lo

25 79 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA qu Φ () s ua matriz solució dl sistma Admás s rgular (pus su dtrmiat val 4 por lo qu s distito d cro) Por lo tato s tambié ua matriz fudamtal Ejmplo : Dada la matriz Φ() cotrar u sistma d cuacios difrcials para l qu Φ() sa ua matriz fudamtal so solucios lialmt idpdits dl sistma buscado Admás Por lo tato Φ() s ua matriz ' fudamtal dl sistma ' Ejmplo : Dmostrar qu si z (a i b) (αβi) z (a i b) (α-βi) so solucios compljas lialmt idpdits d u sistma lial d dos cuacios difrcials tocs: Ral((a b i) (αβi) ) Im((a b i) (αβi) ) so solucios rals dl sistma lialmt idpdits a qu: Las fucios so combiacios lials d las fucios z z (z z ) α (a cos β b s β), (z z ) α (b cos β a s β) i por lo tato so tambié solucios dl sistma Admás so lialmt

26 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 idpdits a qu: W[, ] α a cosβb sβ a cosβb sβ b cosβ a sβ b cosβ a sβ α (a b - a b ) Para dmostrar qu a b a b, s calcula l wroskiao d las solucios z z, qu por hipótsis so lialmt idpdits, por lo tato s distito d cro: β β W[z, z ] α (a ib ) (a ib ) i α (b β β a b a ) (a ib ) (a ib ) Comparado ambos dtrmiats s obsrva qu las solucios z z so lialmt idpdits si sólo si so lialmt idpdits Ejrcicios 4 Comprobar qu Φ() 4 s ua matriz fudamtal dl sistma ' ' 4 5 Dada la matriz Φ() ( ) cotrar u sistma d cuacios difrcials para l qu Φ() s ua matriz fudamtal

27 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA 6 Comprobar qu Φ() s ua matriz fudamtal dl sistma ' ' ' SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES E los sistmas lials homogéos co coficits costats s posibl dar ua dscripció complta dl cojuto d solucios d muchas d sus propidads cualitativas Por razos d claridad los jmplos s limita a sistmas d dos o trs cuacios E sta scció s studia los sistmas homogéos, hacido uso dl cálculo d autovctors autovalors Sólo s cotmpla l caso qu los coficits so rals, pro l caso d coficits compljos s podría studiar d forma similar co ligras modificacios, como rmplazar la traspusta d ua matriz por la hrmítica cojugada U sistma lial homogéo d coficits costats A s u sistma autóomo pus A, al sr costat o dpd d, por lo qu basta co studiarlo para trlo studiado para cualquir problma d valor iicial Los sistmas autóomos s studiará co maor profudidad l capítulo : Toría cualitativa d cuacios difrcials

28 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 At u sistma lial, lo primro qu s db ittar s trasformarlo otro más scillo o ua cuació d ord Las stratgias para cosguirlo pud sr mu divrsas, como so las distitas técicas algbraicas qu prmit rsolvr u sistma lial o utilizar dtrmiados cambios d variabl Ua forma sistmática d ralizar combiacios lials tr las cuacios dl sistma d mara qu s rduzca a ua cuació d ord suprior cosist utilizar opradors difrcials, procdimito qu s dsarrolla a cotiuació Rsolució por limiació mdiat l oprador difrcial D E l capítulo atrior s dfiía l oprador difrcial D como ua df aplicació d I I tal qu f I, D(f), sido I la familia d fucios d rals d variabl ral ifiitamt drivabls u itrvalo (a, b) Dado l sistma: b ( ) b' '' b' ( ) b ' b ' ( ) b ' ( ) ( ) ( ) b ' ( ) a( ) a( ) a ( ) b ' a( ) a( ) a( ) b ( ) a ( ) a( ) a( ) () Aplicado qu D() s pud prsar:

29 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA (a bd)( ) (a bd) ( ) (a b D)( ) (a bd) ( ) (a bd) ( ) (a bd) ( ) (a bd) ( ) (a bd) ( ) (a D)( ) o bi forma matricial: a a a b b b D D D a a a b b b D D D a a a b b b D ( ) D ( ) D ( ) Sa l oprador (D) a a a b b b D D D a a a b b b D D D a a a b b b D D D qu s supo qu o s la fució ula (D) s u oprador poliómico d grado Si (D) r r D r D tocs ) (D)(k()) r k () r k () r k () Para todo k, k s rsulv la cuació difrcial homogéa d ) grado : r k () r k () r k () Ua vz obtidas cada ua d las fucios k() fució d costats, s ti total costats qu s limia hasta djar sólo sustituédolas l sistma Ejmplos rsultos

30 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 Ejmplo : Utilizar l método por limiació mdiat l oprador D para rsolvr l sistma d dos cuacios co dos icógitas d d dz d z z Para rsolvr l sistma s itgra la cuació difrcial d sgudo ord homogéa: (D)(z()) (D) D D D 4D 5 (D ( i))(d ( i)) La cuació (D 4D 5)z() ti como solució gral: z() (C s C cos ) Sustitudo sta solució la sguda cuació dl sistma: () (C s C cos ) (C cos C s ) (C s C cos ) ((C C ) s (C C ) cos ) Por lo tato la solució dl sistma s: () ((C C ) s (C C ) cos ) z() (C s C cos ) Ejmplo : Rsolvr l sistma: ' ' 4z z' ' 4, utilizado l oprador D S prsa l oprador D forma matricial:

31 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA D 4 4 D z por lo tato (D) D 4 6 S rsulv la cuació homogéa d ord 4: (D Las raícs d la cuació caractrística d sta cuació difrcial so: 4 6)(()) λ ( i); λ ( i); λ ( i); λ 4 ( i), la solució gral: () (C cos C s ) (C cos C 4 s ) Al calcular () sustituir la primra cuació s obti z() () ((C C ) cos (C C ) s )) ((C 4 C ) cos (C C 4 ) s )) () 4 (C cos C s ) 4 (C 4 cos C s ) z() (C cos C s ) (C 4 cos C s ) La solució dl sistma s: () (C cos C s ) (C cos C 4 s ) z() (C cos C s ) (C 4 cos C s

32 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 76 ) Rsolució buscado solucios pocials Método d Eulr La fució pocial, a, vrifica qu sus drivadas so múltiplos d sí misma Por lo tato parc atural qu sa d s tipo las solucios d u sistma lial homogéo co coficits costats S cosidra l sistma A S busca ua solució d la forma () B λ S sustitu l sistma: B λ λ λ λ Bλ ab ab a B λ λ λ λ B λ ab ab ab λ λ λ λ B λ ab ab ab s divid tr λ : (a λ)b ab a B ab (a λ)b ab a λ B ab (a )B () El rsultado s u sistma algbraico lial homogéo las variabls B, B,, B qu sólo ti solució distita d la trivial cuado l dtrmiat d los coficits s igual a cro, s dcir:

33 77 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA a a a λ a a a λ a a a λ Esta cuació s domia cuació caractrística Al dsarrollar l dtrmiat s obti ua cuació poliómica λ d grado, la qu l tipo d raícs d la cuació dtrmia la prsió d las solucios distitas Caso : La cuació caractrística ti todas las raícs rals Sa λ, λ,, λ las raícs d la cuació caractrística, tocs para todo k, k, al sustituir λ por cada valor λ k l sistma () s obti ua solució, o trivial, dl sistma algbraico (B k, B k,, B k ) qu dtrmia ua solució dl sistma d cuacios difrcials: B k k() ( kj ()) λ k Bk D sta forma s obti solucios qu, st caso, so lialmt idpdits, por lo tato dtrmia la solució gral dl sistma qu s d la forma () C () C () C (), por tato: () C B λ λ C λ C B B B B B Caso : La cuació caractrística ti raícs compljas distitas E st caso s pud obtr la solució gral fució d

34 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 78 pocials compljas las solucios d () pud sr tambié úmros compljos Para aalizar l caso l qu s quir obtr solucios rals s supo u sistma d dos cuacios difrcials cua cuació caractrística ti dos raícs compljas cojugadas α βi, α βi, dos solucios lialmt idpdits compljas: () B (αβi) (a ib) (αβi) () B (α-βi) (a ib) (α-βi) La part ral la part imagiaria d stas solucios s obti como combiació lial d llas, por lo qu so solucios, so lialmt idpdits so fucios rals, como s comprobó l jmplo La solució gral dl sistma s: () α (C ( a a cos β b s β) C b ( b b cos β a s β)) a Caso : La cuació caractrística ti raícs múltipls S supo u sistma d dos cuacios difrcials cua cuació caractrística ti ua raíz dobl El caso gral s studia l siguit λ apartado Sa λ la raíz, tocs () B solució B B λ s ua La aalogía co las cuacios d ord llvaría a psar qu la otra solució lialmt idpdit co lla s () λ B Si mbargo pud o sr así, la otra solució dl sistma ti la forma () (B B ) λ Sustitudo sta solució l sistma s dtrmia los vctors B

35 79 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA B La solució gral dl sistma s: () C B λ B C B ( B B B λ ) Ejmplos rsultos Ejmplo : Rsolvr l sistma d trs cuacios co trs icógitas: d z dt d z dt dz dt S calcula las raícs d la cuació caractrística: λ λ λ λ 7λ 6 () (λ ) (λ ) (λ ) Las raícs d la cuació caractrística λ, λ λ so rals distitas Para λ s busca solucios d la forma (t) A t, (t) B t, z(t) C t sido A, B, C solucios dl sistma algbraico homogéo: A B C, cua solució s A K, B C K, por lo qu la solució buscada s (t)

36 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 t, (t) t, z(t) t Para λ, s busca solucios d la forma (t) A -t, (t) B -t, z(t) C -t sido A, B, C C B A solucios dl sistma algbraico homogéo:, cua solució s A K, B C K, por lo qu la solució buscada s (t) -t, (t) -t, z(t) -t Para λ, s busca solucios d la forma (t) A -t, (t) B -t, z(t) C -t sido A, B, C C B A solucios dl sistma algbraico homogéo:, cua solució s A, B C K, por lo qu la solució buscada s (t), (t) -t, z(t) -t La solució gral dl sistma d cuacios difrcials s: (t) K t K -t (t) K t K -t K z(t) K -t t K -t K -t ) z(t ) (t ) (t K t K -t K -t Ejmplo 4: Rsolvr l sistma:

37 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA d d dz d 9z 8z S rsulv la cuació caractrística: λ 9 8 λ λ λ 5 (λ 5), por lo tato la cuació caractrística ti ua raíz dobl ua solució dl sistma s d la forma: ( ) z( ) A ( A B ) 5 B Al sustituir la primra cuació dl sistma s obti: (5(A A ) A ) 5 (A A ) 5 9(B B ) 5 A 9B A (A 9B ) Si B K, A K si B K, A K K, por lo tato la solució gral dl sistma s: () (K K K ) 5, z() (K K ) 5 Ecuació caractrística Autovalors autovctors S cosidra l sistma A co () ( k ()), k S supo qu l sistma ti ua solució d la forma () v λ, dod v s u vctor d R o ulo Para qu () sa solució s db vrificar qu: () λ v λ A v λ λ v A v,

38 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 7 s dcir, A v s u múltiplo d v, lo qu idica qu v s u autovctor d la matriz A λ u autovalor Por st procdimito, l caso qu s pudira cotrar solucios d st tipo lialmt idpdits, s tdría rsulto l sistma Ats d dmostrar qu ist al mos ua solució d sta forma d buscar u sistma fudamtal d solucios s dfi los cocptos algbraicos csarios para dsarrollar la toría Dfiició : Dada ua matriz cuadrada A d ord, s domia vctor propio, vctor caractrístico, autovctor o igvctor d A, a u vctor v ral o compljo, distito d cro, para l qu ist u valor λ, tal qu A v λv o lo qu s lo mismo (A λi) v dod I s la matriz idtidad Dfiició : Dada ua matriz cuadrada A d ord, v u vctor caractrístico d A, s domia valor propio, autovalor o igvalor d A, a u úmro ral o compljo λ qu vrifica qu (A λi) v Si para u valor λ u vctor v s vrifica qu (A λi) v, s dic qu λ s u autovalor d la matriz A v s u autovctor d A asociado al autovalor λ Dfiició : Dada ua matriz cuadrada A d ord, s domia cuació caractrística d A a la cuació A λi Proposició :

39 7 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Dada ua matriz cuadrada A d ord, λ s u autovalor d A si sólo si s ua raíz d su cuació caractrística Dmostració: Sa A (a ij ) v (v,, v ) u autovctor d A asociado al autovalor λ La cuació matricial (A λi) v s prsa: (a λ)v av a v av (a λ)v av a λ v av (a )v Est sistma admit ua solució o trivial para los valors d λ para los qu l dtrmiat d los coficits A λi s aula, por lo qu si λ s u autovalor d A s quivalt a dcir qu s ua raíz d su cuació caractrística Ya qu A λi s ua cuació poliómica d grado, o pud tr mas d autovalors Si λ s ua raíz múltipl d ord m s dic qu l autovalor ti multiplicidad m Por l torma fudamtal dl Álgbra s sab qu A ti actamt autovalors cotado cada uo tatas vcs como idica su multiplicidad Proposició : Si v, v,, v m so m autovctors d A asociados, rspctivamt, a m autovalors distitos λ, λ,, λ m, tocs los vctors v, v,, v m so lialmt idpdits Dmostració:

40 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 S dmustra por iducció sobr m Para m s imdiato a qu u autovctor o pud sr l vctor cro Supusto cirto para k vctors, s cosidra k autovctors v, v,, v k asociados a los autovalors λ, λ,, λ k Si ist c i o todos ulos tals qu k c i v i i, al multiplicar por la matriz A s ti qu k c i λi v i i S pud supor qu al mos ua d las costats c, c,, c k- s k k distita d cro, multiplicado c i v i por λ k rstado c i λiv i i i, s aula l sumado k-ésimo s obti k ci ( λk λi ) v i i, lo qu cotradic la hipótsis d iducció a qu los autovalors so distitos Por lo tato las costats c i so ulas para todo i lo qu implica qu los autovctors so lialmt idpdits Proposició : Sa () ua solució dl sistma A Si ist u valor tal qu l vctor ( ) s u autovctor d A asociado al autovalor λ, s dcir A ( ) λ( ), tocs para todo valor d s vrifica qu A () λ() Dmostració: S cosidra la fució z() () λ() Por sr () ua solució dl sistma s ti qu z() A () λ(), como por hipótsis A ( ) λ( ),

41 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA s vrifica qu z( ) Aplicado l torma d uicidad z() s la fució idéticamt cro por lo tato para todo valor d s ti qu A () λ() Dfiició 4: S dic qu ua solució () dl sistma A s ua solució caractrística si para algú valor λ s vrifica qu A () λ() Proposició 4: Sa l sistma A Para cada autovalor λ d la matriz A, ist al mos ua solució caractrística dl sistma, (), qu s pud prsar d la forma () (v λ, v λ,, v λ ), sido v (v, v,, v ) u autovctor asociado al autovalor λ Dmostració: Sa λ u autovalor d la matriz A v (v, v,, v ) u autovctor asociado a λ, sa () ( (), (),, ()) ua solució caractrística dl sistma tal qu () v, qu ist por la proposició vrifica qu () A () λ() Por lo tato para todo k, k s ti qu k () λ k () Itgrado s ti k () c k λ, pusto qu k () c k v k s obti: () (v λ, v λ,, v λ ) El siguit torma prmit dtrmiar u sistma fudamtal d solucios por lo tato la solució gral dl sistma cuado los autovalors d la cuació caractrística so distitos Torma 5:

42 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 76 U cojuto d solucios caractrísticas dl sistma A asociadas a autovalors difrts d la matriz A s lialmt idpdit E particular si A ti autovalors distitos l cojuto d solucios caractrísticas s u sistma fudamtal d solucios Dmostració: Sa,,, m solucios caractrísticas dl sistma asociadas, rspctivamt, a los m autovalors distitos λ, λ,, λ m Por la proposició para u valor fijo, los vctors ( ), ( ),, m ( ) so lialmt idpdits por l corolario 6 tambié so lialmt idpdits las fucios,,, m E particular, si la matriz A ti autovalors distitos, las solucios caractrísticas,,, forma u sistma fudamtal d solucios Para todo k, k por la proposició 4 s ti qu k () λ ( v k λ,v k λ,,v k k k k ) por tato la solució gral () s pud prsar d la forma: v v v λ () C λ C λ C v v v λ λ C v C v C v λ sido v k (v k, v k,, v k ) u autovctor asociado al autovalor λ k El sistma fudamtal qu s obti, gral, pud star formado por solucios compljas pro a partir d él s pud obtr solucios rals lialmt idpdits por lo tato costitu u sistma

43 77 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA fudamtal d solucios; s l rsultado d la siguit proposició Proposició 6: Sa las fucios z, z,, z solucios caractrísticas rals o compljas lialmt idpdits dl sistma A, sido A ua matriz ral d ord, tocs s pud obtr a partir d llas solucios rals lialmt idpdits Dmostració: Para toda solució complja z k (a bi) (αβi), s ti la solució z k (a bi) (α-βi) Para cada par d solucios compljas z k, z k s obti dos solucios rals lialmt idpdits, qu so: k Ral((a bi) (αβi) ) k Im((a bi) (αβi) ) Las fucios k k so combiacios lials d las fucios z k z k a qu: k (z k z k ) α (a cos β b s β); k (z k z k ) α (b cos β a s β) i por lo tato so tambié solucios dl sistma por costrucció so lialmt idpdits Ats dl studio dl caso gral s rcurda alguos rsultados d Álgbra lial Dfiició 5: Sa λ u autovalor d la matriz A, s dic qu u vctor R,,

44 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 78 sta asociado a λ co multiplicidad m si para l úmro tro m, o para otro mor, s vrifica qu (A λi) m, s dcir: Kr(A λi) m / Kr(A λi) m- Proposició 7: Sa λ, λ,, λ r, los autovalors d la matriz A, co multiplicidads m, r m,, m r, sido m k Etocs para cada autovalor λ k ist u k cojuto d m k vctors kj, j {,,, m k } tals qu kj stá asociado a λ k co multiplicidad mor o igual a m k l cojuto d vctors kj ; j {,,, m k }, k {,,, r}, s lialmt idpdit Esta proposició s coscucia d las siguits proposicios Proposició 8: Sa () ua solució dl sistma A Si s vrifica qu para u valor, (A λi) m ( ), tocs para todo s vrifica qu (A λi) m () Dmostració: Sa z() (D λ) m (()) (A λi) m (); z() s solució dl sistma A por sr combiació lial d () d sus drivadas, admás z( ) (A λi) m ( ) por l torma d uicidad s ti qu z() Proposició 9: Si () s ua solució dl sistma A asociada a u autovalor λ co multiplicidad m, s dcir, (A λi) m () tocs () s d la forma:

45 79 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA () p ( ) p ( ) p ( ) λ () sido p k (), k, poliomios d grado mor o igual a m Dmostració: Sa () ( (), (),, ()) ua solució dl sistma tal qu (A λi) m (), por lo tato s vrifica tocs qu (D λ) m ( k ()), k Por otra part (D λ) m ( k ()) (D λ) m ( λ -λ k ()) aplicado l lma : (D λ) m ( k ()) λ D m ( -λ k ()) Por lo tato λ D m ( -λ k ()) ; simplificado s obti D m ( -λ k ()), itgrado k () p k () λ, k grado(p k ()) m Torma : Simpr ist u sistma fudamtal d solucios dl sistma A, formado por fucios d la forma () Admás si s cooc los autovalors d la matriz A, st sistma fudamtal s pud obtr mdiat u úmro fiito d opracios lmtals Dmostració: Por la proposició 7 ist u cojuto d vctors lialmt idpdits k asociados a los autovalors λ k d A Si s dtrmia las solucios dl sistma A d modo qu vrifiqu las codicios iicials k ( ) k, stas fucios srá lialmt idpdits d la forma ()

46 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 Admás si λ s u autovalor cualquira co multiplicidad m s pud obtr m solucios lialmt idpdits dl sistma d la forma () pi( ) pi( ) λ, co p ij () poliomio d grado i co coficits idtrmiados, pi ( ) sido i m Para i, sustitudo () l sistma s obti u sistma d cuacios algbraicas lials los coficits idtrmiados d los poliomios Est sistma pud qu o tga solució, qu tga ua o qu tga varias solucios o trivials lialmt idpdits S rpit l procso para i s obti cuacios lials los coficits idtrmiados S cotiúa l procso hasta i m, hasta obtr m solucios lialmt idpdits Hacido lo mismo co los otros autovalors s obti u sistma fudamtal d solucios S pud prcisar más l procso sguido para calcular los autovctors corrspodits a autovalors múltipls utilizado cocptos algbraicos Dado l sistma A, pud ocurrir qu la matriz A sa diagoalizabl o qu o lo sa E l caso qu la matriz A sa diagoalizabl, tocs ist ua matriz diagoal D ua matriz P rgular tal qu P - D P A, tocs ist autovctors v i lialmt idpdits, qu so las columas d la matriz P d cambio d bas Estos autovctors so las bass d los subspacios Kr(A λ i ), sido λ i los autovalors d la matriz A Las solucios lialmt idpdits dl sistma so d la forma ϕ i () v i

47 74 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA i λ Cuado la matriz A o s diagoalizabl l úmro d autovctors qu s obti d las bass d los subspacios Kr(A λ i ) s u valor k mor qu por lo tato l úmro d solucios lialmt idpdits d la forma ϕ i () v i λ i s tambié k Las k solucios rstats so dl tipo ϕ i () pi( ) pi( ) pi ( ) i λ, p ij () s u poliomio tal qu grado(p ij ()) m sido m la multiplicidad d λ i E la siguit proposició s dsarrolla u método para simplificar l cálculo d stos poliomios Proposició : Sa λ u autovalor d A d multiplicidad s tal qu l subspacio Kr(A λi) sólo s cutra u autovctor v lialmt idpdit; tocs s pud cotrar s solucios lialmt idpdits dl sistma A, d la forma: ϕ () v λ tal qu (A λi) v para todo j, j s, s s ϕ j () (v v v j ) λ tal qu (A λi) v j- v j ( j )! ( j )! Dmostració: Si λ s u autovalor d A d multiplicidad s tal qu l subspacio Kr(A λi) sólo s cutra u autovctor v lialmt idpdit s ti ua solució dl sistma: ϕ () v λ Ua sguda solució s busca d la forma ϕ() (v v ) λ Para

48 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 74 dtrmiar v s aplica qu ϕ () s solució, s dcir ϕ () A ϕ (), por lo tato v λ (v v ) λ λ A (v v ) λ Simplificado s ti v v λ v λ A v A v Aplicado qu λ v A v s obti: v v λ A v por lo tato v (A λi) v La trcra solució s busca d la forma ϕ() (v v v ) λ S sustitu l sistma: (v v ) λ (v v v ) λ λ A (v v v ) λ S simplifica: v v v λ v λ v λ A v A v A v S aplica qu λ v A v qu v v λ A v por lo qu s obti v v λ A v, s dcir (A λi) v v Aálogamt s calcula las distitas solucios hasta ϕs() qu s d s s la forma: ϕ s () (v v v s ) λ (s )! (s )! S sustitu l sistma s simplifica térmios tido cuta qu (A λi) v qu (A λi) v j v j- para todo j, j s : (A λi) vs- v s Otros rsultados algbraicos qu covi rcordar so: Proposició : La suma d los autovalors d ua matriz A s igual a la traza d A su

49 74 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA producto al dtrmiat d A Proposició : Si A s ua matriz simétrica tocs A ti todos sus autovctors rals admás ti autovctors ortoormals Otro método para rsolvr sistmas d cuacios difrcials s calcular dirctamt la matriz fudamtal, lo qu collva calcular la pocial d ua matriz, qu s dsarrolla l siguit apartado Ejmplos rsultos Ejmplo 5: Calcular la solució gral dl sistma d z dt d z dt dz dt S rsulv la cuació caractrística: λ λ λ λ λ Los autovalors so λ λ λ S dtrmia l subspacio Kr(A I): z, qu ti

50 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 744 dimsió por lo tato ua bas stá formada por v v Eist por tato dos autovctors lialmt idpdits asociados al autovalor, dos solucios lialmt idpdits ϕ (t) -t ϕ (t) S dtrmia l subspacio Kr(A I): -t z U autovctor d st subspacio s v la solució ϕ (t) t Por lo tato la solució gral dl sistma s ϕ(t) K -t K -t K t Ejmplo 5: Rsolvr l sistma z D D 5 S calcula las raícs d la cuació caractrística λ λ 5 λ S dtrmia l subspacio Kr(A I): 6λ 9 s obti u autovalor dobl λ z s obti

51 745 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA u úico autovctor v lialmt idpdit Ua solució s ϕ () S busca u vctor v tal qu v (A I) v z s obti v Otra solució s ϕ () ( ) Por lo tato la solució gral dl sistma s: ϕ() K K ( ) ) Ejrcicios 7 Rsolvr l sistma d trs cuacios co trs icógitas: d z dt d 5 z dt dz z dt 8 Calcular la solució gral dl sistma: d z d dz 4z d 9 Ecotrar dos solucios lialmt idpdits dl sistma:

52 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 746 d d dz d 5z z Rsolvr l sistma d dt d z co las codicios iicials (), dt dz z dt (), z() 4 Calcular la solució gral dl sistma: ' ' z' z ' Rsolvr l sistma: z' z 4 EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ El cojuto d las fucios matricials ti structura d spacio métrico, por lo qu s pud hablar d límits, sris, drivadas d fucios matricials, s isomorfo al spacio uclído R Dfiido como producto itro l producto d matrics s ti ua structura d álgbra Si s compara u sistma co la cuació a, d solució a C, s pud psar qu la solució dl sistma A s d la forma A C Para llo s db dfiir la pocial d ua matriz Dfiició 4:

53 747 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sa A ua matriz costat S dfi la pocial d la matriz A mdiat la prsió: A A I A! A! A! Por lo tato A A I A! A! A! E cada térmio d la matriz s ti ua sri umérica como la sri d Talor asociada a la fució pocial covrg todo l plao compljo, pud probars qu tal matriz simpr ist Cuado la matriz A s diagoal o s ilpott, la prsió d A s simplifica cosidrablmt co rspcto a su forma gral, como s dmustra las siguits proposicios Proposició 4: λ Si A s ua matriz diagoal d ord m, A λ, tocs λ m A λ λ λ m Dmostració: k λ Si A s ua matriz diagoal s ti qu A k k λ k λ m

54 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 748 Por lo tato: A λ λ λ m λ! λ! λ m! λ! λ! λ λ m! λ λ m Dfiició 4: Ua matriz A s ilpott si ist k Ν tal qu A k s la matriz ula Proposició 4: Si A s ilpott tocs A ti u úmro fiito d sumados Esta proposició s ua coscucia imdiata d la dfiició d matriz ilpott 4 Propidads d la pocial d ua matriz Si s la matriz ula tocs I Si I s la matriz idtidad r R tocs r I r I Si A B so matrics d ord A B B A, tocs AB A B 4 Si r, s R A s ua matriz d ord tocs A(rs) Ar As 5 La pocial d la matriz A, A, s rgular a qu dt( A ) trazaa 6 La ivrsa d la pocial d ua matriz ( A ) - -A, a qu A -A A-A I

55 749 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Proposició 4: La matriz A s ua matriz fudamtal pricipal dl sistma A, Dmostració: Al drivar A A, s ti qu:! d ( A ) A A A A d! ( )! Por lo tato A s ua matriz fudamtal dl sistma A Admás cuado tocs A I por lo qu admás s ua matriz fudamtal pricipal dl sistma 4 Cálculo d la fució matricial A ' A La solució úica dl problma d valor iicial ( ) s A Si ' A s cosidra l problma más gral, la solució s ( ) A( ) E ambos casos ha qu calcular la matriz A, por lo qu s va a dsarrollar u procdimito útil fctivo para calcular dicha fució matricial, Proposició 44: Si A s ua matriz diagoalizabl, tal qu A P D P -, sido D ua matriz diagoal, tocs A P D P - Admás dt( A ) (trazad) Dmostració:

56 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 75 λ Sa A P D P - λ, sido D, λ, λ,, λ λ los autovalors d A las columas d la matriz P los autovctors asociados a dichos autovalors Etocs: A (P D P - ) (P D P - ) P D P - ; A P D P - gral Ν s ti qu: A P D P -, por lo tato: A A ( P D P ) P D P -!! Por la proposició 4 A λ λ P P - λ Admás a qu dt(a) dt(d) s ti: λ dt( A ) dt( D ) (trazad) λ λ Proposició 45: Si A s ua matriz o diagoalizabl, A P J P -, sido J ua matriz d Jorda tocs A P ( D N ) P -, D matriz diagoal N matriz ilpott Dmostració: Si A o s diagoalizabl s ti qu A P J P -, sido J ua matriz d Jorda la matriz P ti por columas los autovctors asociados a los

57 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA autovalors d la matriz A J o s diagoal, pro J D N, sido D ua matriz diagoal N ua matriz ilpott por lo tato: A P J P - P (D N) P - P ( D N ) P - 4 Estudio dl caso gral A cotiuació s aaliza l caso l qu la matriz A o s costat E l caso d ua cuació d primr ord, b(), la solució s pud prsar d la forma C b( ) d Si ahora s aaliza l sistma A() s pud psar qu la solució sa d la forma A( ) d C Esto s así cuado s cumpl las codicios d la proposició qu s prsta a cotiuació: Proposició 46: Sa l sistma A() ; B() A ( ) d Si A() B() B() A() tocs B() s ua matriz fudamtal dl sistma Dmostració: Al drivar B (B( )) I B()! (B( ))! (B( ))!, s d ti qu ( B ) B () d d! d (B()) d! d (B()) d d (B()) d (B() B()) B () B() B() B () A() B() B() A() d d Si A() B() B() A() tocs d (B()) B () B() Aálogamt

58 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 75 si A() B() B() A() tocs d d (B()) B () (B()) - Por lo tato B() s ua matriz fudamtal dl sistma A() Ejmplos rsultos Ejmplo 4: Dada la matriz diagoal D la matriz ilpott N Calcular D N D s ua matriz diagoal por tato D ( ), Ν, por cosiguit D ( )! ) (! N s ua matriz ilpott pus N por tato N, Ν,, por cosiguit: N I N Ejmplo 4: Calcular ua matriz fudamtal dl sistma A, sido A 6 5

59 75 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA La matriz A s diagoalizabl S calcula la matriz diagoal asociada D, la matriz d cambio d bas s P su ivrsa s P -, por lo tato: A P P Est cálculo s pud simplificar si csidad d hallar P - Aplicado qu cuado Φ() s ua matriz fudamtal P ua matriz rgular tocs Φ() P s tambié ua matriz fudamtal Y a qu D P P D P - P P D P, s ti qu: D s ua matriz fudamtal Ejmplo 4: Calcular ua matriz fudamtal dl sistma A, sido A La matriz A o s diagoalizabl pro s smjat a J co la matriz d autovctors P J D N, D s diagoal N ilpott, N J (D N) D D N N D N D Y gral: D N

60 M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA Sistmas d cuacios difrcials 754 J D D - N Por lo tato: J! Por cosiguit A P - Ua matriz fudamtal dl sistma s: Otro método para obtr J s prsarla d la forma: (IJ-I) I (J-I) I Aálogamt s pud obtr A A (IA-I) I (A-I) I Ejmplo 44: Calcular ua matriz fudamtal dl sistma A(), sido A()

61 755 Capítulo º: Ecuacios difrcials M MOLERO; A SALVADOR; T MENARGUEZ; L GARMENDIA B() )d ( A Las matrics A() B() comuta a qu A() B() B() A() ; por lo tato B() s ua matriz fudamtal dl sistma Φ() tambié Ejrcicios Calcular ua matriz fudamtal dl sistma A, sido A 4 (Solució: Φ() 4 ) 4 Calcular ua matriz fudamtal dl sistma 5 (Solució: Φ() ) ( ) 5 Calcular ua matriz fudamtal dl sistma 6 Comprobar si B() 4 s ua matriz fudamtal dl sistma A(), sido A() B() d ) ( A