SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 Pág. 1 PÁGINA 06 EJERCICIOS Tipos de poliedros 1 Di, justificdmente, qué tipo de poliedro es cd uno de los siguientes: A B C D E Hy entre ellos lgún poliedro regulr? A Prism pentgonl recto. Su bse es un pentágono. B Pirámide pentgonl. Su bse es un pentágono. C Cubo. Sus crs son cudrdos. D Prlelepípedo. Sus crs son prlelogrmos. E Tronco de pirámide regulr. Sus bses son cudrdos. Solo es poliedro regulr el cubo. Un pirámide pentgonl regulr es un poliedro regulr? Explic por qué. No, porque no tods sus crs son polígonos regulres igules. 3 Est figur está formd por seis rombos idénticos. Aunque sus crs son igules y concurren tres de ells en cd vértice, no es un poliedro regulr. Explic por qué. No es poliedro regulr, porque sus crs no son polígonos regulres.

2 Pág. 4 Alguno de los siguientes poliedros no es ctlogble entre los que y conocemos. Señállo y ctlog los demás. A B C A es un pirámide de bse tringulr y B es un prism de bse tringulr. C no es un prism, porque ls bses no son prlels. 5 Este poliedro está formdo por seis triángulos equiláteros igules. Sin embrgo, no es un poliedro regulr. Explic por qué. No es poliedro regulr, porque en todos sus vértices no concurre el mismo número de crs: en unos vértices concurren tres crs y en otros, cutro crs. Desrrollo con poliedros 6 Con cuáles de los siguientes desrrollos se puede completr un poliedro? Contest rzondmente. A B C D C E DF F E G F H I

3 Pág. 3 A Es un ortoedro. B Es un prism cudrngulr. C No se puede construir un poliedro, pues l ltur del poliedro no tiene l mism longitud que el ldo lterl del rectángulo de l izquierd. D Es un pirámide cudrngulr regulr. E Ls crs lterles no pueden cerrrse. No se puede construir un poliedro. F Ls crs lterles no pueden cerrrse. No se puede construir un poliedro. G Es un pirámide cudrngulr con bse rectngulr. H Ls dos crs lterles extrems son de distinto tmño y deberín coincidir. No se puede construir un poliedro. I Sí se puede construir un poliedro. Es un pirámide cudrngulr inclind. 7 ) Dibuj el desrrollo de: ) Un tetredro regulr de 3 cm de rist. b) Un cubo de 3 cm de rist. c) Un octedro de cm de rist. b)

4 Pág. 4 c) 8 Dibuj el desrrollo de un pirámide hexgonl regulr cuys rists lterles midn 6 cm y ls de l bse 4 cm. NOTA: El dibujo está reducido l 65%. PÁGINA 07 Áres sencills Hll el áre totl de los siguientes cuerpos geométricos: 10 6 dm b,1 dm 6 dm 3 dm 3 dm 3 dm

5 Pág ) A = ( ) = = 45 dm b) A = 3 5,1 + 5(6 3) = 31, = 11,5 dm 11 4 cm b 11 cm 10 cm 8 cm ) A = ( 11 ) = = 44 cm b) A = 6 8 = 384 cm cm 87 cm b 1 m,1 cm ) A = 1 3 5,1 ( ) = 189 cm b) Cálculo de l ltur de un cr lterl: 87 cm x = = 431 = 49,3 cm 100 cm x = 98,6 x A totl = 8 98,6 87 = 34 31,8 cm = 3,4318 m

6 Pág. 6 Áres con cálculos intermedios 13 Hll el áre totl de un pirámide hexgonl regulr con rists lterles de 13 cm y rists de l bse de 10 cm. 13 cm h Cálculo de l ltur de un cr lterl: h = 13 5 = 144 = 1 cm 13 cm 10 cm 5 cm 10 Cálculo de l potem de l bse: = 10 5 = 75 = 8,66 cm 5 A bse = (10 6) 8,66 = 59,8 cm 10 1 A lt = 6 ( ) = 360 cm A totl = 59, = 619,8 cm 14 Hll el áre de un tetredro regulr de 10 cm de rist. g 5 cm h 10 cm Altur de un cr: h = 10 5 = 75 = 8,66 cm A = 4 ( 10 8,66 ) = 173, cm 10 cm 15 Hll el áre totl de un prism recto de 15 cm de ltur cuy bse son rombos de digonles 16 cm y 1 cm. A rombo = D d = 16 1 = 96 cm

7 Pág. 7 Cálculo del ldo del rombo: = = 100 = 10 cm 6 cm 8 cm A lt = 4 (10 15) = 600 cm A totl = = = 79 cm 16 L bse de un pirámide regulr es un cudrdo de 6 dm de ldo. Su ltur es de 4 dm. Hllr su áre totl. Cálculo de l ltur de un cr lterl: 4 dm 4 dm h h = = 5 = 5 dm 6 dm 3 dm A bse = 36 dm 6 5 A lt = 4 ( ) = 60 dm A totl = = 96 dm 17 Ls bses de un tronco de pirámide regulr son cudrdos de 10 cm y 0 cm de ldo, respectivmente. Ls rists lterles son de 13 cm. Hll su áre totl. Cálculo de l ltur de un cr lterl: 10 cm 13 cm 0 cm 10 cm h 13 cm 0 cm 5 cm h = 13 5 = 144 = 1 cm A bses = 400 cm cm = 500 cm A lterl = ( 1) = 70 cm A totl = = 10 cm

8 Pág L bse de est pirámide regulr es un hexágono de 10 cm de ldo. Su ltur es 4 cm. Se cort por un plno que ps 18 cm de l bse. Hll el áre totl del tronco de pirámide que result. Apotem de l bse myor: 18 cm 10 cm 10 cm = 10 5 = 75 = 8,66 cm 5 cm Apotem de l bse menor: 4 = 6 x = 6 8,66 =,165 cm 8,66 x 4 4 cm 6 cm x 8,66 cm Altur de l cr lterl: h = 18 + (6,495) = ,185 = = 366,185 = 19,13 cm 18 cm,165 cm 18 h Ldo de l bse menor: 6 cm l 4 cm 4 10 = 6 l = 60 =,5 cm l 4 6,495 cm 8,66 cm 10 cm 10 +,5 A lt = 6 ( 19,13 ) = 717,375 cm A bses = (6,5),165 + (6 10) 8,66 = 16, ,8 = 76,038 cm Atotl = 993,413 cm

9 Pág. 9 PÁGINA 08 Problems geométricos 19 Contest ls siguientes pregunts: ) Clcul el áre totl de un cubo de rist 4 cm. b) Si lo prtimos por l mitd como se indic en I, cuál es el áre de cd mitd? c) Si lo prtimos por l mitd como se indic en II, cuál es el áre de cd mitd? I II ) A = 6 4 = 96 cm b) A 1 = d, donde d es l digonl de un de sus crs. d = = 5,66; A 1 = ,66 = 70,64 cm c) A = = 64 cm 0 Clcul el áre totl de un ortoedro de dimensiones 3 cm, 4 cm y 1 cm. Hll l longitud de su digonl. Áre totl = ( ) = 19 cm Digonl = = 13 cm 1 Hll el áre totl de un prism hexgonl regulr cuy rist lterl mide 4 cm y ls rists de l bse, cm. Cálculo de l potem de l bse: cm 1 cm = 1 = 1,73 cm Áre de l bse = ( 6) 1,73 = 10,38 cm Áre totl = ,38 = 68,76 cm

10 Pág. 10 Hll el áre totl de un pirámide cudrngulr regulr cuys rists miden: 10 dm ls de l bse y 13 dm ls lterles. 13 dm 13 dm 5 dm 10 dm = 13 5 = 1 dm Áre de cd cr = 10 1 = 60 dm A lt = 4 60 = 40 dm A totl = = 340 dm 3 Cuál es l superficie lterl de un prism recto en el que tnto el perímetro de l bse como l ltur es de 1 cm? A lt = 1 1 = 144 cm 4 Cuál es el precio de un cjón de emblje de medids 0,6 m 0,5 m 0,4 m si l mder cuest rzón de 18 /m? A = (0,6 0,5 + 0,6 0,4 + 0,5 0,4) = (0,3 + 0,4 + 0,) = 1,48 m Precio = 1,48 18 = 6,64 5 Cuál es l sum de ls longitudes de tods ls rists del cjón descrito en el ejercicio nterior (0,6 m 0,5 m 0,4 m)? 0,4 m 0,6 m 0,5 m L = 4 0, , ,4 = 4(0,6 + 0,5 + 0,4) = 4(1,5) = 6 m 6 Desemos construir con lmbres el esqueleto de todos los poliedros regulres, de modo que cd un de ls rists midn 1 dm. Qué cntidd de lmbre utilizremos en cd uno de ellos? N O DE ARISTAS LONGITUD TOTAL TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO dm 1 dm 1 dm 30 dm 30 dm

11 Pág Un pirámide regulr tiene por bse un pentágono regulr de,5 m. L potem de l pirámide mide 4, m. Cuál es su superficie lterl? A lt = 5,5 4, = 6,5 m 8 Un cj en form de ortoedro tiene 9 dm de lrg y 6 dm de nch. Su superficie totl es 8 dm. Hll su ltur y su digonl. Cálculo de l ltur: A = ( h + 6 h) = 8 dm h = 8 30h = 10 h = 4 dm L ltur de l cj es de 4 dm. Cálculo de l digonl: d = = 133 = 11,53 dm 9 El áre totl de un cubo es 150 dm. Hll su digonl. A = 6 = 150 = 5 d = 3 = 75 = 8,66 dm 30 Averigu cuánto cuest l reprción de est cs sbiendo que hy que: Enclr ls cutro predes, por dentro y por fuer, /m. Reprr el tejdo, 4,5 /m. Poner el suelo, /m. 1 m m m 3 m Áre de ls predes: x = 1,5 = 1,3 m Áre de cd fchd: 3 1,3 + 3 = 7,98 m m 1,5 m x 1 m m m Áre de cd pred lterl: 1 = 4 m Áre de tods ls predes: 7, = 63,96 m 3 m

12 Pág. 1 Precio por enclr ls cutro predes por dentro y por fuer: ( 63,96) = 55,84 Áre del tejdo: A = ( 1) = 48 m Precio por repsr el tejdo: 48 4,5 = 16 Áre del suelo: A = 3 1 = 36 m Precio por poner el suelo: 36 = 79 Totl coste de l reprción: 55, = 163,84 31 Dibuj el desrrollo de un tronco de pirámide cudrd, regulr, cuys rists midn: ls de l bse myor 4 cm, ls de l bse menor, cm, y ls lterles, 5 cm. Hll su áre totl. (Ls crs lterles son trpecios. Comprueb que su ltur es 4,9 cm). cm h 5 cm 4 cm 1 cm h = 5 1 = 4 = 4,9 A trpecio = (4 + ) 4,9 = 14,7 cm A totl = 4(14,7) = 58, = 78,8 cm

13 Pág Hy lgún poliedro regulr que se prism? Hy lgún poliedro regulr que se pirámide? El hexedro o cubo es un prism y es un poliedro regulr. El tetredro es un poliedro regulr y es un pirámide tringulr regulr. 33 Hll el áre totl de un octedro en el que l distnci entre los vértices no contiguos es de 0 cm. Observ que l rist del octedro es el ldo de un cudrdo cuy digonl mide 0 cm. 0 cm 0 cm 0 = = = 00 = 14,14 cm El octedro está formdo por 8 triángulos equiláteros de ldo 14,14 cm. Cálculo de l ltur de un triángulo: h = 14,14 7,07 = 1, cm h Áre del octedro: A = 8 14,14 1, ( ) = 690,03 cm 14,14 cm 14,14 cm 7,07 cm PÁGINA 09 Problems de estrtegi 34 Apilmos 7 cubitos de 1 cm 3 formndo un cubo de Pintmos de rojo ls seis crs de este cubo grnde. A continución lo descomponemos de nuevo en los 7 cubitos. Cuántos de estos no tienen ningun cr pintd? Y un cr pintd? Y dos? Y tres? Hy lguno con más de tres crs pintds? Si seguimos el mismo proceso con 64 cubitos di, el número de cubitos que tienen 0, 1,, 3, crs pintds.

14 Pág. 14 Con 7 cubitos: Solo qued un cubito con ningun cr pintd. Los cubitos que están en los vértices del cubo grnde, tienen tres crs pintds. Los cubitos que están en ls rists del cubo grnde (excepto los que están en los vértices), tienen dos crs pintds (uno por cd rist). El resto de los cubitos, excepto el que está en el interior y no se ve, tiene un cr pintd (uno por cd cr). Por tnto: Cubitos con ningun cr pintd 1 Cubitos con 1 cr pintd 6 Cubitos con crs pintds 1 Cubitos con 3 crs pintds 8 Con 64 cubitos: En el interior qued un cubo de cubitos sin ningun cr pintd. Por tnto: Cubitos con ningun cr pintd 8 Cubitos con 1 cr pintd (4 por cd cr) 4 Cubitos con crs pintds ( por cd rist) 4 Cubitos con 3 crs pintds (1 por cd vértice) ) De los 8 cubitos que están pildos en 1, cuántos no se ven desde est postur? b) Cuántos no se ven en? c) Cuántos no se ven en un cubo formdo por situdo de l mism form? d) Cuántos no se ven en un grn cubo de mirdo desde un esquin? ) Solo un cubito no se ve. b) Se ven 19. No se ven 8. c) No se ven 7 cubitos. d) No se ven = 79 cubitos.

15 Pág Un configurción formd por vrios cubos unidos por sus crs se llm policubo. Un policubo de 4 cubos podrí llmrse tetrcubo. Estos dos tetrcubos, por ejemplo, son el mismo. Este tetrcubo es diferente. Cuántos tetrcubos distintos hy? 37 ) En un cubo, en un tetredro y en un octedro es fácil contr el número de rists y el número de vértices. Hzlo. APLICA ESTA ESTRATEGIA Pr contr el número de rists de un dodecedro rzonmos sí: Cd cr tiene 5 rists y hy 1 crs. 5 1 = 60 Pero cd dos crs tienen un rist común. Por tnto, el número de rists es 60 : = 30. Pr contr el número de vértices del dodecedro rzonmos sí: Cd cr tiene 5 vértices, 5 1 = 60. Pero cd tres crs comprten un mismo vértice, 60 : 3 = 0. El número de vértices es 0. b) Clcul cuánts rists y cuántos vértices tiene el icosedro.

16 Pág. 16 c) Complet l siguiente tbl: CARAS ARISTAS VÉRTICES Comprueb que en los cinco poliedros regulres se cumple l relción: CARAS + VÉRTICES ARISATAS = (*) d) Cuent el número de CARAS, de ARISTAS y de VÉRTICES que tienen un pirámide cudrngulr y un prism pentgonl. Comprueb que tmbién se cumple pr ellos l fórmul (*). Relmente es fórmul se cumple pr culquier poliedro. b) Número de rists: Cd cr tiene 3 rists y hy 0 crs 3 0 = 60 Pero cd dos crs tienen un rist común. Por tnto, el número de rists es: 60 : = 30 Número de vértices: Cd cr tiene 3 vértices 3 0 = 60 Pero cd 5 crs comprten un mismo vértice: 60 : 5 = 1 El número de vértices es 1. c) CARAS 4 ARISTAS VÉRTICES C + V = A C + V = A + d) Pirámide cudrngulr: 5 crs, 5 vértices y 8 rists C + V = A + Prism pentgonl: 7 crs, 10 vértices y 15 rists C + V = A +

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