PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

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1 PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura J. Juliá Toledo Práctica Los Cojutos Numéricos Básicos Práctica Sucesioes uméricas Práctica 3 Series de úmeros reales Práctica 4 Límites de fucioes.cotiuidad Práctica 5 Cálculo Diferecial Práctica 6 Cálculo Itegral Práctica 7 Números complejos Práctica 8 Sucesioes y series de fucioes Práctica 9 Series de potecias

2 Curso 00/003 Práctica Los Cojutos Numéricos Básicos El objetivo de esta práctica es operar y calcular co úmeros, más cocretamete co úmeros reales. El cojuto de ellos, que deotaremos por R, se defie axiomáticamete y cotiee, etre otros, a los cojutos de los úmeros aturales (N), eteros (Z) y racioales (Q). Geométricamete su represetació es ua recta. Escogido u puto como el 0 y a su derecha el se determia la escala y la represetació decimal permite idetificar cada úmero real como u puto de la recta. La relació de orde ser meor que se iterpreta geométricamete como estar a la izquierda de. Los úmeros aturales. El pricipio de iducció matemática Ua de las propiedades características del cojuto de los úmeros aturales N es el llamado pricipio de iducció matemática que os permite afirmar que si teemos ua propiedad P sobre úmeros aturales y sabemos que es cierta para el, y siempre que sea cierta para es cierta para +, etoces la propiedad es cierta para todos los úmeros aturales. Más rigurosamete: Sea A N tal que (i) A y (ii) + A siempre que A. Etoces A = N. E alguos casos es más útil el deomiado pricipio de iducció completa que afirma que si ua propiedad sobre úmeros aturales es cierta para el y es cierta para + siempre que es cierta para todos los aturales meores o iguales que, etoces es cierta para todos los úmeros aturales. Más cocretamete: Sea A N tal que (i) A y (ii) + A si,..., A. Etoces A = N. No es uestro objetivo i demostrar los resultados ateriores a partir de ua axiomática de la teoría de cojutos, i establecer su equivalecia. Para más iformació el estudiate iteresado puede cosultar el texto de M. Spivak (ver bibliografía de teoría ) y el opúsculo El Método de Iducció Matemática de Somiski e Leccioes Populares de Matemáticas (Ed. Mir). Pasemos a aplicacioes secillas del método de iducció matemática. Ejemplo. Probemos que = ( + ) E efecto; sea A := { N : = (+) }. Es evidete que A. Si A, veamos que + A: ( + ) ( + )( + ) ( + ) = + + =. Luego la idetidad se satisface co + y + A. E defiitiva A = N. PROBLEMAS PROPUESTOS: Ejercicio. Probar que todo úmero atural es par ( se puede escribir como p co p atural) o impar (se puede escribir como p co p atural ). Deducir de lo aterior que u úmero atural es par (respectivamete impar) si, y sólo si, su cuadrado es par (respectivamete impar). Ejercicio. Demostrar que u cajero automático cargado co billetes de dos y cico mil pesetas siempre puede dispesar ua catidad e miles de pesetas superior a cuatro mil. Ejercicio.3 Probar que rectas del plao cocurretes e u puto divide a aquél e partes.

3 Práctica : Los Cojutos Numéricos Básicos Ejercicio.4 Si S := (+) calcular S, S, S 3, S 4,...,iducir u probable valor de S y probar que se está e lo cierto aplicado el pricipio de iducció. Ejercicio.5 Probar que k= k = (+)(+) 6. Ejercicio.6 Probar que k= k3 = (+) 4. Ejercicio.7 Comprobar que se cumple las desigualdades: (i) , si =,,... (ii)! >, si = 3, 4,... (iii)!.4!...()! > (( + )!), si =, 3... Ejercicio.8 (Desigualdad de J. Berouilli) (i) Si x,..., x so úmeros reales del mismo sigo, mayores que -, probar que ( + x ).( + x )...( + x ) + x + x x (ii) Deducir que si x >, etoces ( + x) + x. Estudiar cuádo y porqué se alcaza la igualdad. Ejercicio.9 Probar que todo úmero de la forma 5, co atural, es divisible por 4. Teiedo e cueta este resultado y el hecho de que si dos úmeros so divisibles por p etoces su suma y su diferecia tambié lo so, probar que todo úmero de la forma , co atural, es divisible por 8. Ejercicio.0 Demostrar que las potecias de termia siempre e esas ocho cifras. Más aplicacioes del pricipio de iducció se estudiará e el segudo tema a la hora de defiir sucesioes. Los úmeros racioales Otro subcojuto otable de R es Q, el cojuto de los úmeros racioales, formado por todos los cocietes de eteros ( co el divisor o ulo). Todo racioal tiee ifiitas represetacioes pero, por cuestioes triviales de divisibilidad, siempre es posible ecotrar ua que ivolucre a eteros primos etre sí e icluso co divisor atural. E teoría se prueba que existe u úmero real cuyo cuadrado es y que tal úmero o es racioal. El argumeto se puede exteder para 3, 5, 6... y e geeral para todo o cuadrado perfecto. Siguiedo u argumeto similar veamos el Ejemplo. Probemos que el úmero real cuyo cubo es 4 o es racioal ( e otras palabras 3 4 es irracioal). Supogamos que 3 4 es racioal. Etoces 3 4 = p q siedo p y q eteros co m.c.d.(p, q) =. E ese caso 4 = p3 q y 4q 3 = p 3. Luego 4 divide a p 3, de dode o podemos deducir que 4 divida 3 a p (piesese que 4 divide a 6 3 pero o divide a 6). Para poder cotiuar el razoamieto otemos que 4 o es primo. Descompogámoslo e factores primos y tedremos p 3 = 3.3.q 3 lo que os dice que 3 divide a p 3 y, por lo tato, a p. Sea p = 3k, de ahí que 3 3.k 3 = 3.3.q 3, luego 3.k 3 = 3.q 3 lo que asegura que 3 divide a q. Hemos, pues, ecotrado u divisor comú a p y q lo que ivalida la hipótesis de que m.c.d.(p, q) =. Siguiedo este método se puede llegar a probar que k sólo es racioal si = m k.

4 Práctica : Los Cojutos Numéricos Básicos 3 Ejemplo.3 Si a es racioal y b es irracioal a + b es irracioal pues si o fuese así al restar los racioales a + b y a ecesariamete obtedríamos u racioal pero esa diferecia os da b. Por u razoamieto aálogo el producto es irracioal salvo el caso e que a = 0. Si a y b so ambos irracioales la suma y el producto o se puede predecir si so o o racioales o irracioales. Cosideremos como casos atagóicos primero a = y b =, y e segudo lugar a = y b = 3. PROBLEMAS PROPUESTOS: Ejercicio. Demostrar que si y m so aturales o cuadrados perfectos etoces + m es irracioal. Ejercicio. Probar que 6 3 es irracioal. Ejercicio.3 Demostrar que si m y so aturales cuyo producto o es cuadrado perfecto, etoces tato + m como m so irracioales. Estudiar el carácter de p p + para p u atural cualquiera. Ejercicio.4 Si a, b, c, d so racioales siedo c o ulo y x irracioal, probar que ax+b cx+d ad bc. es irracioal si, y sólo si, Ejercicio.5 Demostrar que es racioal. Como sugerecia se puede elevar al cubo y comprobar que dicho úmero es raíz de u cierto poliomio. 3 Propiedades de orde de los úmeros reales. Valor absoluto El orde defiido e el cuerpo de los úmeros reales os permite defiir y caracterizar subcojutos otables como so los itervalos y uioes de éstos. Ua propiedad importate relacioada co el orde es la acotació: u subcojuto A de R se dice que está acotado superiormete si existe u úmero real M, llamado cota superior que es mayor o igual que cualquier elemeto de A. Sustituyedo mayor por meor obteemos las defiicioes de subcojuto acotado iferiormete y de cota iferior. Si u cojuto está acotado superior e iferiormete simplemete le llamamos acotado. Ua propiedad crucial de los úmeros reales es aquella que afirma que dado u subcojuto A o vacío que está acotado superiormete existe u úmero real que es la más pequeña etre sus cotas superiores. A tal elemeto se le llama supremo y se lo deota por sup(a). Si el supremo perteece al cojuto se le deomia máximo y deotamos max(a). Coceptos duales cosiderado acotació iferior e lugar de superior so el ífimo, if(a), y el míimo, mi(a). Otro cocepto útil es el del módulo o valor absoluto de u úmero real x. Se deota por x y se defie como el propio x si x 0, y como x e otro caso. Geométricamete sigifica, e la recta real, su distacia al 0. Ejemplo.4 Los itervalos [a, b], ]a, b[, [a, b[ y ]a, b] so acotados y para todos a es su ífimo (míimo e el primero y el tercero) y b es su supremo (máximo e el primero y e el cuarto). Ejemplo.5 Hallar el cojuto de úmeros reales x que cumple que x 4x + 3 > 0. Como x 4x + 3 = (x ).(x 3), y teiedo e cueta que el producto de dos reales es positivo si, y sólo si, ambos so a la vez positivos o egativos, el problema se reduce a estudiar dos casos. E primer lugar si x > 0 y x 3 > 0, lo que ocurre cuado x > 3 y, e segudo lugar si x < 0 y x 3 < 0, lo que ocurre cuado x <. Uiedo los resultados de ambos casos obteemos que el cojuto es ], [ ]3, + [.

5 Práctica : Los Cojutos Numéricos Básicos 4 Mediate la represetació de la parábola y = x 4x+3 se puede ver ua iterpretació geométrica del resultado. PROBLEMAS PROPUESTOS: Ejercicio.6 Probar que si A y B so subcojutos acotados de R, tambié lo es su uió teiedose que sup(a B) = max(supa, supb), if(a B) = mi(ifa, ifb). Dar u ejemplo de ua uió ifiita de cojutos acotados cuya uió o esté acotada. Ejercicio.7 Sea A u subcojuto acotado de R. (i) Si B es u subcojuto de A etoces probar que if(a) if(b) sup(b) sup(a). (ii) Si por αa deotamos el cojuto que resulta de multiplicar por α todos los elemetos de A, probar que sup(αa) = α.sup(a) e if(αa) = α.if(a) cuado α es positivo, mietras que sup(αa) = α.if(a) e if(αa) = α.sup(a) e caso de que α sea egativo. Ejercicio.8 Si A y B so sedos subcojutos acotados y A + B deota el cojuto de todas las sumas que resulta al escoger u elemeto de A y otro de B probar que sup(a + B) = sup(a) + sup(b), if(a + B) = if(a) + if(b). Explicar qué ocurre co el cojuto que resulta de tomar todos los productos de u elemeto de A por u elemeto de B. Ejercicio.9 Comprobar que si x e y so úmeros reales se tiee que max(x, y) = Ecotrar ua expresió aáloga para el míimo. Ejercicio.0 Hallar los subcojutos de úmeros reales que cumple: (i) 5 x < 8 (ii) x 3 < 8 (iii) x + x > 0 (iv) x 3 x x + < 0 (v) x + x > x + y + x y Ejercicio. Ecotrar, si existe, el supremo y el ífimo de los cojutos siguietes: (i) {x R x 3 } (ii) {x Q 0 x } (iii) { Z 0} (iv) { ( ) N} (v) { + 5, m N} m Ejercicio. (i) Demostrar que si x e y so úmeros reales se tiee xy x + y. Cuádo se da la igualdad? (ii) Deducir de lo aterior que si x e y o so ulos x + y + xy > 0. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS:

6 Práctica : Los Cojutos Numéricos Básicos 5 Ejercicio.3 Probar que si x > 0, etoces x + x, y deducir que si x, y, z so reales positivos (x + y + z)( x + y + z ) 9 Ejercicio.4 Demostrar que si x, y, z so reales positivos co z x + y, etoces z + z x + x + y + y Ejercicio.5 Probar que si x es u real mayor o igual que la uidad x + x x x x

7 Curso 00/003 6 Práctica Sucesioes uméricas E esta práctica estudiaremos los métodos más habituales para hallar el ite de ua sucesió, empezado por el cálculo de alguos ites muy secillos utilizado sólo la defiició. Del estudio que se ha realizado co el cálculo de ites se ha obteido resultados que os permite asegurar que del coocimieto de los ites de dos sucesioes se puede obteer el ite de otra sucesió obteida como suma, producto,... de las dos ateriores. Si embargo, hay otros casos que se llama de idetermiació e los que o es posible calcular e el caso geeral el ite, siedo ecesario hacer el estudio e cada ejemplo particular. Estos casos so los siguietes: () + + ( ) () 0. (3) 0 0 (4) (5) 0 (6) 0 0 (7) A lo largo de esta práctica veremos alguas estrategias para calcular ites cuado se preseta idetermiacioes. Defiició de ite Se dice que la sucesió (a ) = coverge hacia l (y se escribe a = l ) si para cada ɛ > 0 existe ɛ N tal que si ɛ, etoces a l < ɛ. Cuado queramos verificar que a = l, dado ɛ > 0, hay que partir de la codició a l < ɛ para ecotrar ua codició sobre los ídices N que implique la aterior desigualdad. Ejemplo. Vamos a demostrar que la sucesió ( 3 7 ) = coverge a /3. Para ello, dado ɛ > 0, hemos de averiguar qué úmeros aturales satisface la desigualdad < ɛ. Como = 4 4 a 9 < ɛ. Por otro lado, 4 9 equivalete a las siguietes: 4 9 < ɛ cuado 3 4 < 9 cuado 3 ɛ 9 ( 4 ɛ + ) < cuado 3 9, Por tato, basta tomar ɛ N tal que ɛ > 9 ( 4 ɛ se deduce que la desigualdad buscada es equivalete > 0 cuado 3 co lo cual esta desigualdad es a su vez + ) y este hecho es cosecuecia de la propiedad arquimediaa. Ahora, si ɛ, etoces > 9 =.333 co lo cual 3 y se puede utilizar las ateriores desigualdades para deducir = 4 9 < ɛ. E este caso, dado cualquier ɛ > 0, es posible ecotrar u ɛ que verifique la codició. Por ejemplo, si ɛ = 0.00, etoces 9 ( ɛ + ) = 9 0 = 4.555; luego se puede tomar como ɛ cualquier úmero mayor o igual que 5; por ejemplo, ɛ = 300.

8 Práctica : Sucesioes uméricas 7 Límites elemetales Vamos a empezar estudiado alguos ites elemetales que so idetermiacioes del tipo ites de sucesioes de la forma. Los (a) P () Q() y (b) log P () log Q() dode P y Q so poliomios e de grado p y q respectivamete, se calcula fácilmete procediedo como sigue: E el caso (a) se divide el umerador y el deomiador por q, co lo cual P () + si p > q, Q() = 0 si p < q, si p = q siedo P () = a p p + + a 0 y Q() = b q q + + b 0. a p b p E el caso (b) se escribe P () = p f() y Q() = q g() y al operar, teiedo e cueta las propiedades del logaritmo eperiao, se obtiee que Luego log P () log Q() = p q. Ejemplo. Si a = log(3 +) log( 4 +), etoces Luego, a = 3 4. log P () p log + log f() = log Q() q log + log g() = p + q + log f() log log g() log a = log(3 + ) log( 4 + ) = 3 log + log( + /3 ) 4 log + log( + / 4 ) = 3 + log(+/ 3 ) log. 4 + log(+/4 ) log. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio. Demostrar, utilizado la defiició de ite, que las sucesioes ( ) ( + ) ( 3 4 +, = 6, = 5 + coverge, respectivamete, a /4, 0, 3/5 y a /7. Hallar u ɛ correspodiete a ɛ = 0.0 y a ɛ = Ejercicio. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: ) = y ( + ) 7 = (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) + + (vii) + + (viii) ( + 3) 3 3 (ix) log( ) 5 log( )

9 Práctica : Sucesioes uméricas 8 Ejercicio.3 E este ejercicio se estudia la covergecia de la sucesió defiida por a = a, dode a R. (i) Demostrar que si a >, etoces a = + (ii) Demostrar que si a <, se tiee a = 0 (iii) Demostrar que si a =, la sucesió es fiitamete oscilate. (iv) Demostrar que si a <, la sucesió es ifiitamete oscilate. Ejemplo.3 Utilizado el problema aterior y el método descrito para el cálculo de cocietes de poliomios, es posible hallar ites de cocietes de fucioes expoeciales. Por ejemplo, vamos a hallar E este caso el térmio del deomiador que diverge más rápidamete a + es 5. Dividiedo umerador y deomiador por 5, se obtiee porque ( 5 ) = ( 3 5 ) = = + ( 5 ) + ( 3 = 5 ) PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.4 Calcular los ites de las sucesioes siguietes: (i) (ii) /. Para calcular ites de sucesioes de la forma r P () r Q() dode P y Q so poliomios e y r N, procederemos como sigue: llamamos a = r P (), b = r Q(). Como a r b r = (a b)(a r + a r b + + ab r + b r ), se obtiee que r P () r Q() = P () Q() P () r + + r Q(). r r De esta maera u ite idetermiado de la forma + +( ) se ha covertido e uo de la forma. Fialmete, dividiedo el umerador y el deomiador de esta última expresió por el moomio de mayor grado del deomiador, se obtiee el valor del ite. Ejemplo.4 () Calculemos el ite de la siguiete sucesió: (a) a = 4 3.

10 Práctica : Sucesioes uméricas 9 Sea a = 4, b = 3. Etoces, a = a b = a b a + b = Dividiedo umerador y deomiador por, se obtiee que a = + () Vamos a hallar el ite de (b) a = Escribimos Luego a = 0. = a = = a b = (3 + ) + 3 ( 3 + ) PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.5 Hallar los ites de las sucesioes siguietes: (i) (ii) + 4 (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) 3 + (ix) Subsucesioes Recordemos que dada ua sucesió (a ) = y uos ídices k, dode k N, que verifica < < 3 <... < k < k+ <..., se dice que la sucesió (a k ) k= es ua subsucesió de (a ) =. La oció de subsucesió es útil para demostrar tato la covergecia como la divergecia de ua sucesió como se deduce de los siguietes resultados. () Si ua sucesió (a ) = posee dos subsucesioes que tiee diferetes ites, etoces (a ) = o tiee ite. () Si (a ) = es ua sucesió tal que todas las subsucesioes que tiee ite, tiee el mismo ite l; etoces a = l. Ejemplo.5 Vamos a hallar todos lo ites de subsucesioes de la sucesió defiida por a = ( ). Si a = a k, etoces o puede ocurrir que exista ifiitos ídices k que sea pares e ifiitos que sea impares (porque de otro modo existiría dos subsucesioes de (a k ) k= que covergería a diferetes ites). Por cosiguiete, a partir de u cierto térmio la sucesió es costate: existe k 0 N tal que a k = o bie a k = para todo k k 0. Por tato, a = o bie a =.

11 Práctica : Sucesioes uméricas 0 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.6 Sea a =. Determiar cuáles de las siguietes sucesioes (b ) = (a ) =. (a) b = (b) b = { + +, (c) b = (d) b =! (e) b = { (f) b = (g) b = a, si es impar si es par, si es impar 0, si es par so subsucesioes de la sucesió (h) b = a! Ejercicio.7 Hallar todas las subsucesioes covergetes de las sucesioes siguietes. (Existe ifiidad de ellas, pero sólo hay ua catidad fiita de ites que estas subsucesioes puede teer.) (a) a = se (π/) (b) a = se (π/4) (c) a = { (d) a =, si es impar { 0, si es par, si es impar (e) a = 0, si es par PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Ejercicio.8 Determiar los ites de las subsucesioes covergetes de la sucesió cuyos primeros térmios so:,,,,, 3,,, 3, 4,,, 3, 4, 5,,, 3, 4, 5, 6,... Ejercicio.9 Sea (a ) = ua sucesió tal que existe a = a y b = a. Demostrar que (a ) = coverge si, y sólo si, a = b. Ejercicio.0 Demostrar que la sucesió (se ) = diverge. 4 Criterio del emparedado El euciado del criterio del emparedado es: Cosideremos tres sucesioes (a ) = (b ) = y (c ) = tales que existe 0 N de modo que a b c para todo 0. Si a = c = l, etoces b = l. Es decir, os asegura la covergecia de ua sucesió (b ) = si podemos poerla etre dos sucesioes que coverge al mismo ite. El ecotrar esas dos sucesioes depede de las características

12 Práctica : Sucesioes uméricas de la sucesió dada. E el caso e que la sucesió ivolucre la parte etera, es útil aplicar las siguietes desigualdades: x < [x] x. Ejemplo.6 Calculemos el ite de la sucesió a = Cada uo de los térmios que aparece e la sucesió es de la forma j. 4 +j Si sustituímos el deomiador por el deomiador más grade posible 4 + y después por el más pequeño 4 +, se obtiee las desigualdades j 4 + j 4 + j j 4 + j =,,,...,. De ellas se deduce que Por otro lado, = = 4 + = ( + ) 4 + = de dode se sigue que = que a =.. Aálogamete se tiee = 4 +. Por el criterio del emparedado se cocluye que PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio. Calcular mediate el criterio del emparedado los ites de las sucesioes defiidas por: (i) (ii) (iii) [x] + [x] + [3x] + + [x] dode x > 0. (iv) (v) seπ.

13 Práctica : Sucesioes uméricas PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Ejercicio. (a) Demostrar que si a Z para todo N y a = +, etoces ( + ) a = e. a (b) Utilizar la parte etera de u úmero real y el criterio del emparedado para probar que si a = +, etoces Ejercicio.3 ( + ) a = e. a Sea (a ) = ua sucesió tal que a =. Si N es tal que a, llamaremos x = a. Demostrar que la sucesió (c ) = defiida por {, ( ) si a = ; c = x, log + x si, a ; coverge a. (Idicació: Utilizar el ejercicio aterior) 5 Criterios logarítmicos Para estudiar los ites de sucesioes dode aparece expoetes es muy útil tomar logaritmos para así covertir las sucesioes e productos o cocietes, y así poder utilizar los resultados coocidos para calcular ites de productos o cocietes. E este cotexto so eseciales las siguietes propiedades de las fucioes expoecial y logarítmica: (a) Si (a ) = es ua sucesió que coverge a l, etoces e a = e l. (b) Si (a ) = es ua sucesió de úmeros positivos que coverge a l > 0, etoces log a = log l. (c) Si (a ) = es ua sucesió de úmeros positivos que coverge hacia a > 0 y b = b, etoces ab = a b. Si ua defiició rigurosa de las dos fucioes es imposible demostrar las ateriores propiedades. Si embargo, es posible justificarlas supoiedo que teemos defiidas las fucioes expoecial y logarítmica, que so estrictamete crecietes, que so iversa la ua de la otra, y que cumple alguas propiedades elemetales como que log = 0 o que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto. Para demostrar (a), cosideremos ua sucesió (a ) = que coverge a l. Etoces a l = 0. Dado ɛ > 0 se cumple que log( ɛ) < 0 < log( + ɛ), co lo cual existe 0 N tal que si 0, etoces log( ɛ) < a l < log( + ɛ). Por tato, si 0, etoces ɛ < e a l < + ɛ y esto implica que ɛ < e a l < ɛ; esto es, e a l =. De aquí se deduce que e a = e a l e l = e l.

14 Práctica : Sucesioes uméricas 3 Para demostrar (b), sea (a ) = ua sucesió de úmeros positivos que coverge a l > 0. Etoces a l = Dado ɛ > 0, se cumple que e ɛ < < e ɛ, co lo cual existe 0 N tal que si 0, etoces e ɛ < a l < e ɛ, y de aquí se deduce que ɛ < log a l < ɛ; es decir, ɛ < log a log l < ɛ. Por tato, log a = log l. Por último, (c) se deduce imediatamete de (a) y (b) puesto que si (a ) = úmeros positivos que coverge hacia a > 0 y b = b, etoces a b = log eb a = e b log a = a b. es ua sucesió de Ejemplo.7 Cosideremos las sucesioes defiidas por a = + b = 0, se deduce que a b = 0 =. y b = Como a = y Las propiedades (a) y (b) se aplica tambié al cálculo de idetermiacioes de expoetes, ya que las covierte e idetermiacioes de productos o cocietes, de las que ya coocemos alguos métodos b de resolució. Para calcular ites de sucesioes de la forma (a ), co a > 0, a = 0 y b = 0, o bie a = + y b = 0, se cosidera la sucesió b log(a ) = b log a. Si λ = log(a b ), etoces a b = e λ. Ejemplo.8 Si a = + y b = log, etoces log a b = log( + ) log Luego, log(a b ) =, co lo cual, = log + log( + / ). log a b = e. E el caso de la idetermiació, existe ua fórmula de gra utilidad para calcular esos ites. Sea (a ) = y (b ) = sucesioes tales que a = y b = +. Etoces existe a b Ejemplo.9 si, y sólo si, existe b (a ). Además, e este caso, se cumple que a b = e b(a ). Cosideremos a = +, y b = + +. Etoces, a = y b = +, co lo cual siedo ab = e λ, + λ = + ( + ( + ) ) = ( + )( ) =. PROBLEMAS PROPUESTOS

15 Práctica : Sucesioes uméricas 4 Ejercicio.4 Calcular los ites de las sucesioes siguietes: (i) ( + ) 3 /(+) (ii) ( + 3 5) ( +5)/(+) 4 + (iii) ( log( + ) ) log log (iv) log + / / (v) ( + 3 4) /(+ log ) (vi) ( ) / log( +7 5) (vii) ( + 3 ) /(3 ) (viii) ( + ) /( + ) (ix) + +. Ejercicio.5 Sea a > 0. Demostrar que ( a ) = log a y, como aplicació, calcular [ a + b]. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Ejercicio.6 Sea (a ) = y (b ) = sucesioes tales que a = y b = +. Demostrar que existe a b (Idicació: Utilizar el ejercicio ) 6 Criterios de Stolz si, y sólo si, existe b (a ). Además, e este caso, se cumple que a b = e b(a ). Los siguietes criterios so de gra utilidad para el cálculo de ites de sucesioes de la forma a b cuado (a ) = y (b ) = coverge ambas a cero o diverge a ifiito. So los métodos para resolver idetermiacioes de cocietes de sucesioes aálogos a las reglas de L Hôpital para idetermiacioes de cocietes de fucioes derivables. (a) Sea (a ) = y (b ) = dos sucesioes que coverge a cero, de maera que b > b > > b >. (o bie b < b < < b <. ) Si etoces a + a = a R, +,, b + b a = a R, +,. b (b) Sea (a ) = y (b ) = dos sucesioes de maera que 0 < b < b < < b < y (b ) = + (o bie 0 > b > b > > b > y (b ) = ). Si a + a = a R, +,, b + b

16 Práctica : Sucesioes uméricas 5 etoces a = a R, +,. b Es importate señalar que, tomado logaritmos, los criterios de Stolz tambié se puede aplicar para calcular ites de sucesioes e las que aparezca raíces. Ejemplo.0 () Calculemos el ite de log + / + + /. E este caso, a = log, co lo cual a + a = log +, y b = + / + + /, co lo cual b + b = + > 0. Además, b = +. Como aplicado el criterio de Stolz (b), se obtiee que a + a = b + b log( + )+ = log e = ; log + / + + / =. () Vamos a calcular!. Etoces ( ) log! log! =. Defiiedo a = log! y b = se cumple que b + > b y b = +. Por ser a + a + )! = log(( ) = log + = ; b + b! a aplicado el criterio de Stolz (b), se verifica b =. Se deduce que! = 0. Es importate observar que los criterios de Stolz sólo os asegura que si existe el ite de etoces existe el ite de a b ; cuado o existe el ite de a+ a b + b, a+ a b + b, o se puede deducir ada. Ejemplo. [ ] Cosideremos la sucesió, dode [x] deota la parte etera de x. Para itetar aplicar el [ ] criterio de Stolz se defie a = y b =. Es evidete que la sucesió (b ) = es estrictamete creciete y diverge a + Por otra parte, a + a [ + ] [ ] { 0, si es par, = = b + b, si es impar ; cuyo ite o existe. Por cosiguiete, o se puede aplicar el criterio de Stolz. De esta situació [ ] o se puede deducir que o existe el ite pedido. E efecto, de las desigualdades < se [ ] [ ] sigue que < co lo cual, por el criterio del emparedado, =.

17 Práctica : Sucesioes uméricas 6 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.7 Hallar (a) a, dode a > 0. (b). Ejercicio.8 Calcular los ites siguietes: (i) 4 ( ( 4 ) + ( 8 ) + ( ) (4) ) + + (ii) p + p + 3 p + + p p+, dode p N (iii) ( ()! ) / ( )( 3 (iv)! ) ( + ) (v) (3 ) ( + 3) (vi) ( ( + ) + ( + ) + ( + 3 ) ( ) ) (vii) (4 ) (viii)! ( )( ) ( ) (ix) (x) ( log + log + log ) log. log PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Ejercicio.9 Probar que si la sucesió (a ) = coverge, etoces tambié coverge la sucesió ( (a + a + + a )/ ) =. Hallar la relació etre ambos ites. Ejercicio.0 Probar que si a > 0 para todo N y a + /a = a, etoces a = a. 7 Sucesioes defiidas por recurrecia Ua de las formas más usuales para defiir ua sucesió es utilizar el pricipio de iducció: se defie a y, supuesto defiido a, se defie a + = f(a ). E geeral, o se dispoe de igua fórmula para el térmio geeral, auque e ciertas ocasioes es posible ecotrar algua. Ejemplo. Si (a ) = viee defiida por a = y a + = a, etoces a = para todo N. E efecto, a = 0 y supoiedo que a =, se deduce que a + = a = = (+). PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio. Ecotrar, si existe, ua fórmula para las siguietes sucesioes recurretes. Idicar e cada caso si la sucesió es covergete y si o lo es hallar ua subsucesió que lo sea. (a) a =, a + = ( ) + a. (b) a =, a + = a.

18 Práctica : Sucesioes uméricas 7 (c) a =, a + = a. (d) a =, a + = ( ) a. (e) a =, Ejercicio. a + = a +. Sea a =, y a + = a para N. (a) Poer a +, a +3 y a +4 e fució de a. (b) Ecotrar todos los ites de subsucesioes de (a ) =. 8 Sucesioes moótoas y sucesioes de Cauchy Para determiar el ite de ua sucesió o siempre es posible utilizar las reglas usuales del cálculo de ites, bie porque la fórmula del térmio geeral es complicada o bie porque o dispoemos de igua. E estos casos el problema pricipal radica e demostrar que la sucesió coverge si coocer previamete cúal es el ite. Se dispoe de dos criterios para determiar si ua sucesió coverge si hacer referecia al ite: Ua sucesió moótoa coverge si, y sólo si, es acotada. Toda sucesió de Cauchy coverge. Ilustraremos la utilizació de estos criterios co las siguietes sucesioes. Ejemplo.3 (a) a = E este caso, la sucesió es moótoa creciete porque para cada N se cumple a + a = > 0. Veamos que tambié es acotada superiormete. a = < = por ser la suma de térmios de ua progresió geométrica. Se deduce que a < /5 4/5 = 4. Por tato la sucesió (a ) = es moótoa creciete y acotada superiormete, luego coverge. (b) a = ( ) Evidetemete, la sucesió o es moótoa: i creciete i decreciete. Para ver que coverge demostraremos que es ua sucesió de Cauchy. Fijado N, cosideremos a +p a y veamos que lo podemos acotar para todo p N. E efecto, a +p a = ( ) ( )+p+ 5 +p p + < p = = ( ) 5 p = 5 5 p+ 5 5 < 5 4

19 Práctica : Sucesioes uméricas 8 y se tiee que el miembro que mayora es idepediete de p. Como 5 4 ɛ > 0 existe 0 N tal que si 0, etoces 5 a +p a < 5 4 Ejemplo.4 = 0, para cada 4 < ɛ. Luego si 0 y p N, etoces < ɛ co lo cual la sucesió es de Cauchy y cosiguietemete coverge. Probar que coverge la sucesió de térmio geeral a = ( ) Ua forma muy secilla de demostrar que ua sucesió es de Cauchy es aplicado el siguiete resultado, cuya demostració se halla e el maual de R. G. Bartle y D. R. Sherbert Itroducció al Aálisis Matemático de ua Variable pag. 0. Sea la sucesió (a ) = tal que existe c, co 0 c <, y 0 N de modo que a + a + c a + a para todo 0. (a) La sucesió (a ) = es de Cauchy y, por tato, coverge. (b) Si l = a, etoces para todo 0 se cumple l a + c c a + a c 0+ c a 0+ a 0. Este resultado tambié proporcioa ua estimació del error cometido al aproximar el ite por u térmio de la sucesió. Es particularmete iteresate para aproximar raíces de alguas fucioes. Ejemplo.5 La ecuació cúbica 3x 3 x 5x + = 0 tiee ua úica solució e el itervalo [0, ]. Para calcularla, se defie a = y a + = 5 (3a3 a + ) para todo N. Vamos a demostrar (a) a [0, ] para todo N (b) La sucesió coverge. (c) Su ite es ua raíz de la ecuació dada e [0, ]. (a) Se demuestra por iducció. Es evidete que a = [0, ]. Supogamos ahora que a [0, ]. Etoces a 3 [0, ] y a [0, ], co lo cual 3a 3 a = 5 y 3a 3 a + 0. Luego, (3a 3 a + ) [0, 5] y, por tato, a + = 5 (3a3 a + ) [0, ]. Se deduce que a [0, ] para todo N. (b) Para aplicar el resultado aterior, primero vamos a operar. a + a + = = 5 (3a3 + a + + ) 5 (3a3 a + ) = 5 3(a3 + a 3 ) (a + a ) 5 3(a + + a + a + a ) (a + a ) (a + + a ) (a + a ) ( ) 3 a + + a + a + a 5 a + a + a + + a a + a ( 3 3 a+ a + a + a ) = a + a. Sea c = 3 5. Por el resultado aterior, la sucesió es de Cauchy, co lo cual coverge. (c) Sea l = a. Por ser a + = 5 (3a3 a + ) para todo N, se deduce que l = 5 (3l3 l + ), lo cual implica que 3l 3 l 5l + = 0. Por cosiguiete, l es ua raíz de la ecuació dada e [0, ].

20 Práctica : Sucesioes uméricas 9 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.3 Estudiar si las siguietes sucesioes so covergetes y, e caso afirmativo, calcular su ite. (a) a =, a + = a +. (b) a =, a + = a + +a +a. (c) a > 0, a + = a+ a + +. a (d) a =, a + = a +. Ejercicio.4 Probar que las siguietes sucesioes so covergetes y calcular su ite. (a) a =, a =, a + = 3 (4a + a ). (b) a =, a + = + a. (c) a =, a + = +a. (d) a = 0, a =, a + = 3 a a. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Ejercicio.5 Cosideremos ua sucesió que cumpla a a + a + a para todo N y (a a ) = 0. Demostrar que la sucesió coverge a u cierto l que verifica a l a para todo N. Aplicar lo aterior a la sucesió defiida por a =, a + = /( + a ). (Idicació: aplicar el ejercicio 8) Ejercicio.6 (a) Demostrar que se cumple la desigualdad + < log( + ) log < para todo N. (b) Probar que la sucesió de térmio geeral a = log es moótoa decreciete y de térmios positivos. (c) Hallar Ejercicio.7 y ( )+. Cosideremos dos sucesioes que está defiidas por 0 < a < b, a + = a b y b + = (a +b ) para todo N. Demostrar que (a) La sucesió (a ) = coverge. (b) La sucesió (b ) = coverge. (c) Las dos sucesioes tiee el mismo ite. Ejercicio.8 Dado x > 0 se defie ua sucesió (a ) = por recurrecia tomado a 0 > 0 y a = (a + x a ). Probar que la sucesió coverge y calcular su ite.

21 Curso 00/003 0 Práctica 3 Series de úmeros reales Criterios de covergecia para series de térmios positivos La determiació del carácter de ua serie (es decir, su covergecia o divergecia) se simplifica cosiderablemete cuado sabemos que está formada por térmios positivos, pues e tal caso dispoemos de ua colecció de criterios de covergecia específicos. El primero de tales criterios, llamado criterio de comparació, asegura: Teorema 3. Sea = a y = b tales que a, b 0, N. - Si 0 tal que a b 0, y = b es covergete, etoces = a es tambié covergete. - Si existe y es fiito y o ulo el ite a b, las dos series tiee el mismo carácter. Ejemplo 3. Así, dada la serie: se tiee: = log + 0 log +0 = y por lo tato la serie: = log + 0 tiee el mismo carácter que la serie =, es decir, es divergete.. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3. Estudia el carácter de las siguietes series: (i) = + (ii) ( a ) p a >, p R + = (iii) = + + (iv) = cosh() cosh() Otro criterio para series positivas que puede aplicarse co facilidad es el siguiete:

22 Práctica 3: Series de úmeros reales Teorema 3. ( Criterio de codesació de Cauchy) Sea = a ua serie de térmios positivos tal que a a + N. Etoces = a coverge si y sólo si coverge la serie = a. Ejemplo 3. Así, la serie: diverge pues la serie armóica: es divergete. = = log k k log k = k log =. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3. Estudiar la covergecia e los casos α = β = y α =, β = de la serie = Ejercicio 3.3 Estudia la covergecia de = (log ) (log ). Otros criterios de covergecia que se utiliza habitualmete so los siguietes: Teorema 3.3 ( Criterio de Cauchy de la raíz eésima) Sea = a ua serie de térmios positivos tal que existe - si r >, etoces = a es divergete. - si r <, etoces = a es covergete. r = a Teorema 3.4 ( Criterio de D Alembert del cociete) Sea = a ua serie de térmios positivos tal que existe - si r >, etoces = a es divergete. - si r <, etoces = a es covergete. Ejemplo 3.3 Dada la serie: a + r = a = + 5 como + 5 = 5 <, sabemos por el criterio de Cauchy que la serie coverge. α (log ) β.

23 Práctica 3: Series de úmeros reales Ejemplo 3.4 Para la serie se tiee: =! (+) (+) (+) (+)!! = e > y el criterio de D Alembert asegura la divergecia de la serie..3 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.4 Estudia la covergecia de las series (i) = log (log ) (ii) =! (iii) cos π ( + 4 ) (iv) ( + ) = E muchas ocasioes e que los criterios de D Alembert y Cauchy o ofrece iformació sobre el carácter de ua serie, ya que el ite asociado toma el valor, es útil el siguiete criterio de covergecia: Teorema 3.5 (Criterio de Raabe) Sea = a ua serie de térmios positivos tal que existe - si r >, etoces = a es covergete. - si r <, etoces = a es divergete. r = ( a a + ) = Ejemplo 3.5 Así, para la serie: se obtiee: Pero como: 3 3 la serie es covergete por Raabe = ( + ) = ( + )( + 3) = + )( + 3) (( ( + ) ) = 3

24 Práctica 3: Series de úmeros reales 3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.5 Estudia la covergecia de las series (i) ( )! = ( + )( + ) ( + ) (ii) =3 ( 3 )+ + + Criterios de covergecia de series de térmios cualesquiera Ua serie = a se dice alterada si el producto de dos térmios cosecutivos de la serie es u úmero egativo. Tales series puede expresarse de la forma: ( ) b b 0, = y e alguos casos puede determiarse el carácter de tales series mediate el siguiete criterio: Teorema 3.6 ( Criterio de Leibitz) Sea = ( ) a co a 0. Si {a } es ua sucesió moótoa decreciete co ite ulo, etoces la serie = ( ) a es covergete. Ejemplo 3.6 Dada la serie: se tiee obviamete: y la serie coverge por Leibiz. + log ( ) = log = 0 log( + ) log +. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.6 Estudia la covergecia de las series (i) ( ) = (ii) ( + ( ) ) ( + ) ( + ) = E otras ocasioes, es posible determiar el carácter de la serie = a b cuado so coocidas alguas propiedades de las sucesioes {a } y {b }. Dispoemos de los siguietes criterios: Teorema 3.7 ( Criterio de Dirichlet) Si la serie = a tiee acotadas sus sumas parciales y la sucesió {b } es moótoa co ite ulo, etoces la serie = a b coverge.

25 Práctica 3: Series de úmeros reales 4 Teorema 3.8 ( Criterio de Abel) Si la serie = a coverge y la sucesió {b } es moótoa acotada, etoces la serie = a b coverge. Ejemplo 3.7 La serie: coverge por Dirichlet pues: y { log(+) } es moótoa. Ejemplo 3.8 Del mismo modo: coverge por Abel pues: es covergete y la sucesió: =0 =0 cos(π/ + π/3) log( + ) p cos(π/ + π/3) =0 log( + ) = 0 cos(π/ + π/3) ( + log( + ) )+ =0 cos(π/ + π/4) log( + ) {( + )+ } es moótoa.. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.7 Utilizado el ejercicio 7.7, estudia el carácter de la serie: = ( cos x ) 3 Sumació de series. E alguas ocasioes, dada ua serie = a, es posible determiar ua expresió para la sucesió de las sumas parciales {S }. E estos casos, puede determiarse el carácter de la serie estudiado directamete la sucesió {S }; además, a meudo podrá calcularse la suma de la serie, es decir, el ite de la sucesió {S }. Veamos alguas de estas situacioes especiales:

26 Práctica 3: Series de úmeros reales 5 3. Descomposició e fraccioes simples. La descomposició e fraccioes simples del térmio geeral de alguas series permite obteer explícitamete su suma parcial. Ejemplo 3.9 Así, para: se obtiee la descomposició de dode resulta: y por lo tato: = = S = , = = 3. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.8 Suma las series (i) = ( + )( + 3) (ii) = Series telescópicas. Ua serie = a se dice telescópica si a = b b +, dode la sucesió {b } es coocida. E tal caso, S = b b +, y por tato puede determiarse el carácter de la serie estudiado la sucesió {b }. Ejemplo 3.0 Así, dada la serie: se tiee: y así: + 3 ( + ) 3, = + 3 ( + ) 3 = 3 + 3, + 3 ( + ) 3 =. = 3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.9 Halla la suma de las series (i) + + ( + ) = (ii) log( + log ( + ) log( + ) + + ) log( + ) log ( + )

27 Práctica 3: Series de úmeros reales Series aritmético-geométricas. Se llama serie aritmético-geométrica a ua serie de la forma = a b, dode {a } es ua progresió aritmética y {b } ua progresió geométrica. Método : Para obteer la expresió explícita de la suma parcial de tales series, se escribe S rs, dode r es la razó de la progresió geométrica; tal expresió puede calcularse ahora, pues se trata de la suma parcial de ua serie geométrica (más alguos térmios idepedietes).además, se deduce que la serie aritmético-geométrica es covergete si la razó de la progresió geométrica es meor que. Ejemplo 3. Así, dada: se obtiee: de dode: Método : = + 7, ( 7 )S = = = + 7 = , Otro procedimieto de sumació de dichas series cosiste e el uso de Fórmula de Taylor. particular = x = ( =0 x). Por tato x = ( x). = E Ejemplo 3. Aplicaremos dicho método al cálculo siguiete Basta observar que Por tato = + 4 = = = 3.6 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3.0 Suma las siguietes series: = + 4( =0 ) = ( + 4 == ( + 4( + ) ) = 6. (i) = + 3 (ii) = ( + ) ).

28 Práctica 3: Series de úmeros reales Series hipergeométricas Ua serie = a de térmios positivos diremos que es hipergeométrica si a 0 y a+ a siedo β y γ costates diferetes de cualquier etero egativo. Ejemplo 3.3 La serie = (+)(+) cumple: a + = a + 3. Sumado las igualdades: (k + 3)a k+ = ka k k =,... = +β +γ, se obtiee: de dode: (S 6 ) = 6 ( + )( + ), = ( + )( + ) = PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3. Suma la serie = 3.9 =! a(a+) (a+) P ()!, co P poliomio. La suma de la serie aterior puede obteerse descompoiedo el térmio geeral e la forma: P ()! = A 0! + A ( )! + + A q ( q)! dode A 0, A,..., A q so costates a determiar y q es el grado de P. El proceso de sumació se cocluye ahora utilizado: =0 x! = ex. Ejemplo 3.4 Así, para se obtiee: y por tato: = +! = +! =3 = +! =! + ( )! + ( )! 3,! + =3 ( )! + =3 ( )! = 3e

29 Práctica 3: Series de úmeros reales PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 3. Halla la suma de las series (i) (+) =! (ii) ( ) = (+)!. 4 Problemas de covergecia de series Estudia el carácter de las siguietes series: Ejercicio 3.3 Ejercicio 3.4 Ejercicio 3.5 Ejercicio 3.6 ( ) = b = = + se, b = + Comparado co vuelva a estudiar el ejercicio 3.3. Ejercicio 3.7 = (log ) log = a + a Ejercicio 3.8 =3 log (log(log )) p Ejercicio 3.9 p q, = p, q R

30 Práctica 3: Series de úmeros reales 9 Ejercicio 3.0 Ejercicio 3. Ejercicio 3. Ejercicio = = (!) 4 ()! ( + ) ( ) 5 8 (3 ) = ( + ) b co = b divergete = Ejercicio 3.4 = ( + ( ) )+ Ejercicio 3.5 = log log! 5 Problemas de suma de series Halla la suma de las siguietes series: Ejercicio 3.6 Ejercicio 3.7 = = ( + ) ( + )( + )

31 Práctica 3: Series de úmeros reales 30 Ejercicio 3.8 Ejercicio 3.9 Ejercicio 3.30 Ejercicio 3.3 = log(( + ) ( + )) log log( + ) + =0 =p = ( p) 3 +! 6 Cuestioes y problemas complemetarios Ejercicio 3.3 Si {a } es ua sucesió moótoa decreciete tal que = a coverge, etoces: a = 0. Ejercicio 3.33 Demostrar que la serie hipergeométrica = a, co a+ a y además se tiee e tal caso: a = = γa γ β. = +β +γ, es covergete si y sólo si γ > β +, Ejercicio 3.34 Sea (a ) = y (b ) = sucesioes de térmios positivos tales que = a y = b coverge. Probar que las series = a b, = (a + b ), y = a / coverge. Ejercicio 3.35 Sea = a ua serie absolutamete covergete. Demostrar que tambié coverge absolutamete = a /( + a ) (si a para todo N ) y = a /( + a ). las series = a,

32 Práctica 3: Series de úmeros reales 3 Ejercicio 3.36 Si a = ( ) y b = a comprobar que lim b a = b o coverge. = pero = a coverge mietras que Ejercicio 3.37 Si a = cuado es par y a = 3 cuado es impar, averiguar el carácter de la serie = a. Ejercicio 3.38 Probar que ( ) + = = log. Ejercicio 3.39 Sea {a } = ua sucesió decreciete co ite 0 y de termios positivos. Probar que las series = a y = (a a ) tiee el mismo carácter. Ejercicio 3.40 Sea = a ua serie divergete de térmios o egativos. Demostrar que la serie = a /(+a ) tambié diverge pero = a /( + a ) coverge Qué puede decirse de la serie = a /( + a ).?. Ejercicio 3.4 Averiguar el carácter de la serie = ( ) + 00.

33 Curso 00/003 3 Práctica 4 Límites de fucioes.cotiuidad Límites elemetales de fucioes Sea D u subcojuto de R y a ac(d), sea además f ua fució co domiio D, se dice que f(x) tiede a r cuado x tiede hacia a ( x a f(x) = r), si se cumple que para cada ɛ > 0 se puede ecotrar δ > 0 tal que f(x) r < ɛ para todo x D co 0 < x a < δ. Ejemplo 4. Demostrar que (5x ) = 9. x Segú la defiició aterior, para cualquier ɛ > 0 que os de, teemos que ecotrar δ > 0 tal que (5x ) 9 < ɛ siempre que 0 < x < δ. Nótese, si embargo, que (5x ) 9 = 5(x ) = 5 x luego la desigualdad (5x ) 9 < ɛ se cumplirá si 0 < x < ɛ 5. Por tato, si os da ɛ > 0 siempre podemos tomar δ = ɛ 5.. Problemas propuestos Ejercicio 4. Demostrar, siguiedo el procedimieto del ejemplo aterior, que (a) (3x ) =. x (b) x = 4. x (c) x + 3x + = /. x 0 x + (d) x x x + = 0. Ejemplo 4. Si a es u úmero real cualquiera, probar que se(x) = se(a). x a Como caso prelimiar observemos que la desigualdad se(x) x se cumple para todo x R. Supógase que 0 x π. Si formamos u águlo de x radiaes, deotamos por P el puto del primer cuadrate correspodiete al corte de la recta que pasa por el orige de pediete ta x y la circuferecia de cetro el orige y radio y deotamos Q el simétrico de P respecto al eje OX,

34 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 33 tedremos que la logitud de la cuerda P Q es se(x), mietras que la del arco P Q es x. Como la líea recta es el camio más corto etre dos putos, resulta que se(x) x, lo que implica que se(x) x. Para π x la desigualdad es trivial, pues e este caso se(x) < π x = x. E cosecuecia, se(x) x para todo x positivo. Si x 0, etoces x es positivo y se(x) = se(x) = se( x) x = x. Ua vez probada la desigualdad, pasemos a demostrar la afirmació origial.. Usaremos la siguiete idetidad: se(x) se(a) = cos (x + a)se (x a). Como los valores de la fució coseo está compredidos etre y Luego tomado δ = ɛ, obteemos el resultado.. Problemas propuestos Ejercicio 4. Demostrar que para todo úmero real a se tiee: se(x) se(a) se (x a) x a. (a) cos(x) = cos(a). x a (b) ta(x) = ta(a). x a Mediate la aplicació de las propiedades de los ites se puede sustituir el cálculo de u ite de ua expresió complicada por el cálculo de otros ites más simples. Ejercicio 4.3 Calcular los ites: (a).- x x + x + (b).- x (x )x se( x ). Si embargo, a veces, las expresioes a las que se llega o so ta secillas o coduce a ites que o tiee setido; so los llamados casos de Idetermiació que se escribe e la forma simbólica: Ejemplo 4.3 Calcular 0 0,, 0,, 0,. x x 3 3x + x 3 + x 0x + 6. Este ite es ua idetermiació del tipo 0 0 que puede resolverse utilizado que es ua raíz de los dos poliomios: x x 3 3x + x 3 + x 0x + 6 = x (x ) (x + ) (x ) (x + 6) = x (x + ) (x + 6) = 3 8.

35 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 34 Hay otras idetermiacioes que puede resolverse utilizado el procedimieto de sustituir la expresió dada por otra equivalete, es el caso de los Ifiitésimos equivaletes. Se dice que ua fució real f es u ifiitésimo e a, ( se represeta por < f(x), a >), si x a f(x) = 0. Se dice que u ifiitésimo < f(x), a > es de orde meor, igual o mayor que otro ifiitésimo < g(x), a > si el cociete f(x) g(x) tiede (cuado x a) respectivamete a ifiito, a u úmero real distito de cero, o a cero. Para la comparació de ifiitésimos, se suele defiir uo que se llama pricipal y respecto de él se defie los órdees de los restates. Se suele tomar como ifiitésimo pricipal < x a, a >, de este modo, diremos que el ifiitésimo < f(x), a > tiee orde k si: x a f(x) (x a) k = r 0. Dos ifiitésimos < f(x), a >, < g(x), a > se dice que so equivaletes si se verifica: f(x) x a g(x) =. E este caso escribiremos < f(x), a > =< g(x), a >. Ejemplo 4.4 Probar que < se(x), 0 > =< x, 0 >. Que el seo es u ifiitésimo e x = 0 es cosecuecia imediata del ejemplo 4.. Para obteer el resultado debemos comprobar que: se(x) = x 0 x Sea P el puto de corte de la circuferecia cetrada e el orige y de radio y la recta que pasa por el orige O co pediete ta x. Sea S el puto de corte de la circuferecia y el eje OX. Deotemos por R la proyecció de P sobre el eje 0X y por Q el puto de corte de la recta que pasa por el orige O co pediete ta x y la perpedicular al eje OX e el puto S. Es claro que el área del triágulo OP R es meor que la del sector circular OP S, y ésta a su vez iferior al área del triágulo OQS: OP R = OR. RP = cos(x)se(x), ORS = OS. SQ = ta(x). El área del sector circular será igual al área del círculo, a saber π, multiplicada por la fracció x π. Luego, teemos cos(x)se(x) x ta(x); desigualdades válidas para 0 x π. De la desigualdad cos(x)se(x) x resulta se(x) x Aálogamete, de la desigualdad x ta(x) se tiee cos(x) Luego cos(x) se(x). x cos(x) se(x) x cos(x)

36 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 35 si 0 x π. Nótese que cada térmio de esta desigualdad es ivariate bajo el cambio de x por x. Segú el ejercicio 4. y por lo tato De aquí, por el criterio del emparedado,.3 Problemas propuestos Ejercicio 4.4 cos(x) = x 0 x 0 cos(x) = se(x) =. x 0 x Ecotrar el orde de los siguietes ifiitésimos: (a).- < cos(x), 0 >, (b).- < e x, 0 >, (c).- < log( + x), 0 > (d).- < ta(x), 0 >, (e).- < a x, 0 > siedo a > 0 (f).- < arcta(x), 0 >, (g).- < ( + x), 0 >. Ua propiedad de los ifiitésimos equivaletes que poe de maifiesto su utilidad e el cálculo de idetermiacioes es la siguiete: Si < f(x), a > =< g(x), a > y existe x a h(x)g(x), etoces se tiee que h(x)g(x) = h(x)f(x) x a x a E efecto; por la propiedad del producto de ites obteemos: Ejemplo 4.5 Calcular g(x) h(x)f(x) = h(x)f(x) x a x a x a f(x) = f(x)h(x)g(x) = h(x)g(x). x a f(x) x a (x )sex x 0 x x. Este ite es ua idetermiació del tipo 0 0, como segú el ejemplo 4, teemos que < se(x), 0 > =< x, 0 >, etoces aplicado la propiedad aterior de los ifiitésimos equivaletes: (x )sex (x )x x 0 x = x x 0 x x =.4 Problemas propuestos Ejercicio 4.5 Calcular los siguietes ites: (a).- (b).- (c).- x π cos(x) x π, (x π x π ) ta(x), (x x 3 )((x + ) x 0 log( + 4x)( cos(x))

37 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 36 (d).- x 0 x log( + x)se(x) ta(x) ( cos(x))(a x )(( + x) ). Ua propiedad de los ites de fucioes es la siguiete. Si x a f(x) = α y x a g(x) = β, etoces x a (f(x))g(x) = α β. e cambio, cuado x a f(x) = y x a g(x) =. para resolver este tipo de idetermiació es de gra utilidad el siguiete resultado: (*) Si existe λ = x a g(x)(f(x) ), etoces.5 Problemas propuestos Ejercicio 4.6 Calcular los siguietes ites: (a).- (b).- (c).- x a (f(x))g(x) = e λ. ( x) x x 0 x (4x 4x ( x 0 cos (x)).6 Límites laterales y por sucesioes. ) x 3 x (se(x)+ta(x)). Sea D u subcojuto de R y a ac(d) (a, ) (respec. a ac(d) (, a), sea además f ua fució co domiio D, se dice que f(x) tiede a r cuado x tiede hacia a por la izquierda (respec. por la derecha), deotado x a + f(x) = r, (respec. x a f(x) = r), si se cumple que para cada ɛ > 0 se puede ecotrar δ > 0 tal que f(x) r < ɛ para todo x D co a < x < a + δ (respec. a δ < x < a). La existecia del ite e u puto se caracteriza por la existecia y coicidecia de ambos ites laterales. Sea f ua fució real co domiio D y sea a it(d), etoces: x a f(x) = r x a x a f(x) = f(x) = r. + Otro modo de ver la existecia de ite cosiste e el estudio del ite por sucesioes, es decir x a f(x) = r si y sólo si para toda sucesió (x ) D tal que x f(x ) = r Ejemplo 4.6 Demostrar que o existe los siguietes ites = a se tiee (a) 5x x o x (b) (c) x o si x x x x

38 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 37 pero E efecto, para (a) basta observar que 5x = x o + x 5x = +. x o x Para resolver (b) tomar las sucesioes (x ) tal que x = π +π y (y ) tal que y = π que verifica x = 0 y y = 0 pero si embargo y para resolver (c) observar que mietras que.7 Problemas propuestos Ejercicio 4.7 Probar la existecia o o de los siguietes ites: si x = si y = 0. x x + x = x x + x = x x x = (x ) =. x x (a) (b) e x x cos x (x ) (c) x + x 6 x x Cotiuidad de fucioes. Se dice que ua fució real de variable real f co domiio D, es cotiua e a D si, y sólo si, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si x D y x a < δ etoces f(x) f(a) < ɛ. Ejemplo 4.7 Comprobar que la fució f(x) = x es cotiua e x 0 > 0. E efecto; basta cosiderar la siguiete igualdad: x x0 = ( x x 0 ) x + x0 x + x0 luego si x > 0, teemos x x 0 < x x 0 x0 ahora la demostració es simple, dado ɛ > 0 tomamos δ = mí{x 0, x 0 ɛ}. Si x x 0 < δ etoces x x 0 < ɛ.

39 Práctica 4: Límites de fucioes.cotiuidad 38. Problemas propuestos Ejercicio 4.8 Sea f la siguiete fució: f : ]0, ] {} R { π x Q x f(x) = x / Q Probar, utilizado la defiició, que f es cotiua e x =. Ejercicio 4.9 Estudiar la cotiuidad de la siguiete fució: se(x) x f : R R { x x Q x f(x) = x x / Q Si e la defiició de cotiuidad a D ac(d), etoces podemos afirmar que f es cotiua e a si, y sólo si, x a f(x) = f(a). De este modo, las propiedades de las fucioes cotiuas puede deducirse de las propiedades de los ites de las fucioes. Como cosecuecia del cometario aterior y de los ejemplos y 3 se obtiee que las fucioes seo y coseo so cotiuas e cualquier puto. Ejercicio 4.0 Probar que f(x) = xse(x) es cotiua para todo x > 0. Ejercicio 4. Estudiar la cotiuidad de las siguietes fucioes: (a).- (b).- f(x) = x e x. (c).- f : R R x f(x) = { 0 x = 0 +e x e x x 0 f : R R { x = 0 x f(x) = x se( x ) sex x 0 3 Teoremas de fucioes cotiuas. Uo de los resultados de fucioes cotiuas que más se utiliza es el llamado teorema de Bolzao. Sea f : [a, b] R ua fució cotiua, verificado que f(a)f(b) < 0, etoces se cumple que existe c ]a, b[ co f(c) = 0. El teorema de Bolzao os permite verificar la existecia de solucioes de determiadas ecuacioes: Ejemplo 4.8 Probar que el poliomio x 7 + x 4 + x 3 + x tiee ua raíz real e [0, ]. E efecto; LLamamos f(x) := x 7 + x 4 + x 3 + x, evidetemete f es ua fució cotiua e [0, ] y además f(0) = y f() = 3, por tato f(0)f() < 0, ahora aplicado el teorema de Bolzao se tiee el resultado.