ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA INTERPRETANDO SU COMPORTAMIENTO AL VARIAR SUS PARAMETROS

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1 ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA INTERPRETANDO SU COMPORTAMIENTO AL VARIAR SUS PARAMETROS JUAN ALFONSO OAXACA LUNA, MARÍA DEL CARMEN VALDERRAMA BRAVO Introducción Uno de los conceptos centrales en el aprendizaje de las ateáticas es el de función. Después de los conociientos de aritética y álgebra, la construcción del concepto de función es la base para que posteriorente el aluno pueda coprender otros conceptos ateáticos. La iportancia que se le da al tea de funciones no es nueva. Leonardo Euler (siglo XVIII) organizo una de sus obras alrededor de este tea. Desde entonces, se descubrió que las funciones son un pilar de las ateáticas que perite su desarrollo de una anera ás integral y profunda. Lo que se puede decir que es nuevo en el tea de funciones es su presentación de anera que se pueda apreciar inediataente la vinculación con otras raas científicas. Las nuevas teorías del aprendizaje han influido notableente en los nuevos acercaientos con las posibles representaciones en papel, pizarrón, coputadora y software ateático ya que son esenciales para la construcción de los conceptos ateáticos. Las nuevas teorías y la eperientación en educación ateática han puesto de anifiesto la iportancia para realizar tareas de conversión de una representación a otra del concepto ateático en cuestión. Una de las dificultades que presenta el aluno es la de interpretar entalente el significado de la epresión algebraica a su representación gráfica y aún ás difícil si se pide obtener la epresión algebraica a través de su representación gráfica 1

2 En esta investigación se enfatizo esencialente en fora las diferentes representaciones de las funciones y sus correspondientes conversiones de una representación a otra. Para logarlo fue necesario desarrollar en el estudiante la habilidad de la visualización ateática ya que esta tiene que ver con el entendiiento de un enunciado y la puesta en archa de una actividad. Una de las características de esta visualización es el vínculo entre representaciones para la búsqueda de la solución de un problea de la vida real. Por ejeplo se quiere fabricar un recipiente en fora cilíndrica y nos interesa ponerle arcas para saber el voluen del líquido que puede contener. Suponeos que teneos un recipiente con base circular y lo estaos llenando con un líquido que sale de un tubo de 5 c de radio a una velocidad de c/in, la altura del recipiente es H 0 c. Coo varía el voluen del líquido en función de su altura?, Cóo varia la altura en función del voluen? etc., y así por el estilo podeos retoa ejeplos cotidianos para construir su tabulación o tabla, gráfica y finalente el odelo ateático. La propuesta de enseñanza tiene un acercaiento relativo a la ateática en conteto; adeás, los aspectos teóricos integrados en la propuesta hacen posible la construcción del concepto de función en fora sólida, de anera que el estudiante podrá desenvolverse con ejores acercaientos a las nociones ateáticas relacionadas con la definición de función. Consideraos que es iportante esta línea de investigación dado que a través de ella se prooverá al estudiante de concepciones dináicas de fenóenos y de los odelos ateáticos asociados a esos fenóenos. Esta posibilidad de interacción dináica con los ejeplos prooverá en el estudiante la construcción de iágenes entales dináicas que posibleente lo ayudarán a entender ejor un concepto de función. La odelación depende del coportaiento de los datos, los cuales son llevados a diferentes representaciones, donde la siultaneidad de la edida de cabio y su

3 coportaiento es intrínseca a la gráfica. El coportaiento tendencial de las funciones es intrínseco a la gráfica y genera un conjunto de situaciones que abarca cierto contenido del Cálculo, enarcado en situaciones globales de variación. Las graficas de las funciones son representaciones privilegiadas de estas situaciones, sin ebargo, las representaciones en la perspectiva del coportaiento tendencial de la función tabién conllevan relaciones analíticas Marco teórico Función cuadrática Definición Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la fora: f ( ) a + b + c Donde a, b y c son núeros reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representaos "todos" los puntos (, f()) de una función cuadrática, obteneos siepre una curva llaada parábola. Coo ejeplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas sencillas: f() f() Si al térino cuadrático se le asocia un coeficiente A donde este es ayor que uno, podeos observar que a edida que este crece el coportaiento de la función es copriirse positivaente hacia el eje de las ordenadas y. 3

4 f() A si A>1 Si ahora al térino cuadrático se le asocia un coeficiente A donde este es ayor que cero pero enor que uno, podeos observar que a edida que este se hace ás pequeño el coportaiento de la función se epande hacia el eje de las absisas. f() A si 0 < A < 1 Si al térino cuadrático se le asocia un coeficiente A donde este es enor que cero, podeos observar que a edida que este se hace as pequeño el coportaiento de la función se coprie negativaente hacia el eje de las ordenadas negativo y. f() A si A < 0 4

5 Hasta ahora heos observado coo es el coportaiento de la función cuadrática con un térino cuadrático, pero que ocurre si adeás posee un terino lineal, ahora su fora será: f() A + B, si el coeficiente del térino cuadrático A>0 la parábola es cóncava hacia arriba y posee un ínio, pero si A< 0, entonces la parábola es cóncava hacia abajo y posee un áio, pero observeos coo se coporta la función al agregar el térino lineal. Cuando B > 0 Cuando B < 0 De las gráficas se observa que cuando B > 0, el desplazaiento de las parábolas es a la izquierda, y cuando el valor de B < 0 el desplazaiento es a la derecha, en abas situaciones a edida que el valor absoluto de B auenta la ordenada del vértice de la parábola se hace ás negativa. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen. Ahora se analizara el coportaiento de la función cuadrática cuando el térino independiente se ve odificado, anteniendo constantes los valores de A y B, por lo que la fora de la función es: f() A + B,+C. 5

6 En la gráfica se observa que el desplazaiento de las parábolas es vertical, es decir la ordenada del vértice se hace ás positiva si C > 0 y es ás negativa si C < 0; conservando las características del efecto que proporciona el térino cuadrático y el térino lineal Intersección de la parábola con los ejes Toda función cuadrática f() a + b + c, representa una parábola tal que: Su fora depende eclusivaente del coeficiente a de. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las raas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto ás grande sea el valor absoluto de a, ás cerrada es la parábola. Eiste un único punto de corte con el eje y, que es el (0,c) Los cortes con el eje se obtienen resolviendo la ecuación a + b + c 0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. Intersección con el eje y : Coo todos los puntos de este eje tienen la abscisa 0, el punto de corte de la parábola con el eje y tendrá de coordenadas (0,c) Intersección con el eje : Coo todos los puntos del eje tienen la ordenada y 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado a + b + c 0. Dependiendo del valor del discriinante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas: 6

7 Si D > 0, donde D b 4ac, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje en dos puntos. 3 y Si D 0, donde D b 4ac, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje en un punto (que será el vértice). y Si D < 0, donde D b 4ac, la ecuación no tiene soluciones reales y no corta al eje, Por lo que la parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo, pero sobre el eje o por abajo del eje, según sea el caso 15 y Ceros de la función cuadrática Tabién llaados "raíces", representa los valores de "" cuya iagen tiene valor cero, (,0). Al ser cuadrática sólo se obtiene, coo áio dos valores, denoinados 1 y. 7

8 Estos valores (raíces) pueden utilizarse para epresar la función cuadrática en fora de producto de factores: f () a ( 1 ) ( ) Para calcular los ceros de la función cuadrática Se aplica la fórula general ya conocida. 1, b b 4ac a Coo una de las características de la parábola es que esta es siétrica con respecto al eje focal, entonces la abscisa del vértice corresponderá al punto edio entre abos valores de la abscisa, esto es: 1 + Sustituyendo valores b + a b 4ac a b + a b 4ac a Siplificando b 4a b a Sustituyendo este valor en la función original y a + b + c b b y a + b + c a a Desarrollando ab b y + c 4a a 8

9 Siplificando y y y ab ab + 4a c 4a ab + 4a c 4a 4ac b 4a Entonces las coordenadas del vértice son: V - b ( y ) a, que les corresponde V, a 4 4ac b El cual se localizara coo un punto áio cuando la parábola abre hacia abajo, es decir cuando el coeficiente del térino cuadrático sea negativo y cuando este sea positivo la parábola abre hacia arriba y le corresponde un ínio. Graficar una función de segundo grado Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo enos tres puntos, "las raíces" y el vértice. Grafiqueos f () La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabeos que el punto (0, 6) pertenece a la función. Halleos el vértice de la parábola: Ahora las raíces: 9

10 1, b b 4ac a Sustituyendo valores 1, 5 ± 5 (4)(1)(6) ()(!) , se obtiene el punto (1,0) 5 7 6, se obtiene el punto( 6,0) Con estos tres puntos podeos trazar la parábola: Si quereos graficar la ecuación y tiene coo doinio todos los núeros reales y coo rango el conjunto de los núeros reales positivos incluido el cero. El valor ínio (en la iagen) de esta función será para 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denoinareos vértice de la parábola. Para f () teneos que el: D f() : R ientras que el R f() : [0, + ) y el vértice (0, 0). Si suaos a la ecuación cuadrática ( ) una unidad, o sea, " + 1", la iagen se desplaza "uno" hacia arriba, de anera que el intervalo queda definido desde [1, + ). Si restaos a la ecuación cuadrática ( ) una unidad, o sea, " 1" la iagen se desplaza "uno" hacia abajo, de anera que el intervalo queda definido desde [ 1, + ). En abos casos este intervalo es el rango de la función R f() 10

11 En si, el agregar una constante a la función f() consiste en desplazarla a la gráfica de la función verticalente de acuerdo al valor de la constante. Es decir, ahora la fora de la función será f() ± C Podeos preguntarnos ahora qué sucedería si eleváraos un binoio (dos térinos con letras y núeros) al cuadrado?. Por ejeplo f() ( + 1). Coo no suaos "ningún núero al cuadrado" la función no se desplaza en el eje de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la prier coordenada, para era "0", ese valor lo obtendreos si 1, de esa anera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda. Otro ejeplo, f() ( 1). Por la isa justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha, esto es gráficaente tendreos: De lo anterior podeos concluir que si a una función cuadrática, a la variable independiente se le agrega o disinuye una constante, el valor de la constante indica un 11

12 desplazaiento horizontal de la función pero en sentido opuesto, entonces la función tendrá la fora f() ( ± C ). Por otra parte si a la función f() ( ± C ), le agregaos una nueva constante, entonces la función f(), tendrá un desplazaiento horizontal de acuerdo al valor de C y un desplazaiento vertical que depende del valor de K, por lo que la nueva función será: f() ( ± C ) + K Su gráfica correspondiente es: 4 y f() (-)^ +1 f() (+)^ -1 f() (-)^ Conclusiones: Los profesores debeos ayudar a nuestros alunos a desarrollar las foras de pensaiento sintético-geoétrico y analítico-aritético para que ellos puedan transitar en abas foras.. El profesor en el aula induce a los alunos a conocer las foras de solución de la ecuación cuadrática, pero se olvida de instruirlos en sus representaciones 1

13 geoétricas para obtener su ecuación a partir de su gráfica y aún ás difícil obtener la ecuación a partir de su representación gráfica interpretando las características de cada paráetro. En este iso sentido están diseñados los libros de teto, inclinándose por el pensaiento analítico- aritético. o únicaente dan una introducción a sus representaciones de situaciones gráficas y continúan resolviendo los probleas en fora algorítica provocando que el aluno eorice o ecanice los étodos. Bibliografía Albert A. y Farfan,, R.(1997), Resolución gráfica de desigualdades. Segunda edición, Méico: Grupo Editorial Ibero Aérica Cordero, F. (1998). El entendiiento de algunas categorías del conociiento del cálculo y análisis del coportaiento tendencial de las funciones. Revista Latinoaericana de Investigación en Mateática Educativa. Cordero, F. y Solis,M. (1999). Coportaientos gráficos en la visualización de las ecuaciones diferenciales lineales. Acta Latinoaericana de Mateática Educativa. Cordero, F. y Solis,M. (1997). Las gráficas de las funciones coo una arguentación del cálculo. Serie de cuadernos de didáctica, Méico. Grupo Editorial Ibero Aérica. Hill, F. (00). Funciones en Conteto, Méico. Prentice Holl Kerlinger, F. (1990), Investigación del coportaiento, Méico : Mc Graw Hill. Martínez, M. (1999). Estudio de las relaciones que el estudiante hace para construir la gráfica de la derivada y la priitiva, efectos en la enseñanza en la transforación de funciones. Tesis de Maestría UAH, Méico Schoaf, P. (1997), Álgebra un enfoque oderno, Méico, Reverte Ediciones S.A. de C.V. 13